Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Μαθηματικών Π.Μ.Σ. Θεωρητικής Πληροφορικής και Θεωρίας Συστημάτων και Ελέγχου

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Μαθηματικών Π.Μ.Σ. Θεωρητικής Πληροφορικής και Θεωρίας Συστημάτων και Ελέγχου

2 Κάθε εικόνα μπορεί να αναπαρασταθεί με έναν πίνακα, κάθε κελί του οποίου αντιστοιχεί σε ένα pixel της εικόνας και περιέχει πληροφορίες για την απόχρωσή του. Κλίμακα του γκρι: μια τιμή μεταξύ 0 και 255 Έγχρωμη εικόνα (RGB): τρεις τιμές μεταξυ 0 και 255

3 Τετράγωνος n n πίνακας Ανάστροφος του Α: Αντίστροφος του Α: Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα του Α: Για την εύρεση των ιδιοτιμών: Νόρμα του Frobenius:

4 Ο Α μπορεί να γραφεί ως: Για τους πίνακες U, Σ, V ισχύουν τα εξής: Όπου: οι ιδιάζουσες τιμές του πίνακα Α, δηλαδή οι τετραγωνικές ρίζες των ιδιοτιμών του πίνακα Με στήλες τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις πρώτες n ιδιοτιμές του πίνακα Με στήλες τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα

5 Αν ranka=r<n τότε: Οι μηδενικές γραμμές και στήλες του Σ μπορούν να παραλειφθούν, και αναλόγως να τροποποιηθούν και οι U και V:

6 Οι ιδιάζουσες τιμές του Α εμφανίζονται με φθίνουσα σειρά στη διαγώνιο του Σ. Όσο πλησιάζουμε στην κάτω δεξιά γωνία του πίνακα τόσο πιο κοντά στο μηδέν είναι οι ιδιάζουσες τιμές που εμφανίζονται. Επιλέγουμε την τάξη k της προσέγγισης. Παραλείπουμε r-k ιδιάζουσες τιμές από τη διαγώνιο του Σ. Παραλείπουμε r-k στήλες από τον U. Παραλείπουμε r-k στήλες από τον V. Προκύπτουν τρεις νέοι πίνακες: Ο πίνακας είναι προσέγγιση του πίνακα Α τάξης k.

7 Πίνακας τάξης 3 Με χρήση του Mathematica προκύπτουν οι πίνακες U,S,V ώστε

8 Αφού ranka=3 μπορούμε να τροποποιήσουμε τους U,S,V: Προσέγγιση του Α από πίνακα με τάξη 2.

9 Εκτελώντας τον πολλαπλασιασμό πινάκων θα προκύψει: Ο Α από τον οποίο ξεκινήσαμε ήταν: Νόρμα Frobenius:

10 Για την αποθήκευση μιας εικόνας απαιτούνται αποθηκεύοντας ολόκληρο τον πίνακα Α. θέσεις μνήμης, Εναλλακτικά, μπορούμε να επιλέξουμε να αποθηκεύσουμε τους πίνακες δεσμεύοντας θέσεις μνήμης, όπου r η τάξη του πίνακα Α. Για να έχουμε κέρδος σε αποθηκευτικό χώρο πρέπει: Σε διαφορετική περίπτωση προσεγγίζουμε τον Α με πίνακα μικρότερης τάξης. Ανάλογα την τάξη του πίνακα της προσέγγισης που επιλέγουμε, προκύπτει διαφορετικό ποσοστό συμπίεσης.

11 Έστω ότι η εικόνα που καλούμαστε να συμπιέσουμε αντιστοιχεί σε έναν πίνακα. Αποθηκεύοντας ολόκληρο τον πίνακα δεσμεύουμε θέσεις μνήμης. Για να έχουμε κέρδος σε αποθηκευτικό χώρο πρέπει η τάξη της προσέγγισης να είναι 553. Προσέγγιση τάξης 540: Ποσοστό συμπίεσης: 4% Προσέγγιση τάξης 400: Ποσοστό συμπίεσης: 30% θέσεις μνήμης. θέσεις μνήμης. Ομοίως, επιλέγοντας προσεγγίσεις όλο και μικρότερης τάξης, επιτυγχάνονται συνεχώς καλύτερα ποσοστά συμπίεσης.

12 1 Ο πίνακας Α που περιέχει τις πληροφορίες για την εικόνα είναι ένας πίνακας με τάξη Ο πίνακας προσέγγισης πρέπει να έχει τάξη το πολύ 690.

13 Διατήρηση 690 ιδιαζουσών τιμών. Ποσοστό συμπίεσης 0,2%. Διατήρηση 300 ιδιαζουσών τιμών. Ποσοστό συμπίεσης 57%.

14 Διατήρηση 100 ιδιαζουσών τιμών. Ποσοστό συμπίεσης 86%. Διατήρηση 50 ιδιαζουσών τιμών. Ποσοστό συμπίεσης 93%.

15 Διατήρηση 20 ιδιαζουσών τιμών. Ποσοστό συμπίεσης 97%. Διατήρηση 5 ιδιαζουσών τιμών. Ποσοστό συμπίεσης 99,3%.

16 Διατήρηση 1 ιδιάζουσας τιμής. Ποσοστό συμπίεσης 99,9%. Η εικόνα μας παραμένει ιδιαίτερα ευδιάκριτη ακόμα και με διατήρηση μόλις 50 ή 20 ιδιαζουσών τιμών και μαλιστα με εντυπωσιακά ποσοστά συμπίεσης.

17 Η μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί και σε έγχρωμες εικόνες. Σε κάθε κελί του πίνακα Α που περιέχει τις πληροφορίες της εικόνας, βρίσκονται 3 τιμές μια για την ένταση του κόκκινου, μια για του πράσινου και μια για του μπλε. Ο πίνακας Α μπορεί να χωρισθεί σε 3 επιμέρους πίνακες ίδιας διάστασης. Εφαρμόζουμε τη συμπίεση μέσω ανάλυσης με ιδιάζουσες τιμές σε κάθε έναν από αυτούς τους πίνακες. Η μέθοδος που περιγράψαμε, είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική, προσφέρει εντυπωσιακά ποσοστά συμπίεσης με ικανοποιητική διατήρηση της ποιότητας της εικόνας. Ωστόσο από υπολογιστικής άποψης δεν είναι ιδιαίτερα γρήγορη μέθοδος. Η ανάγκη για ανάπτυξη ολοένα αποτελεσματικότερων μεθόδων παραμένει επιτακτική, δεδομένης της αλματώδους εξέλιξης της τεχνολογίας.

18 1. Chartier, T. (2015).When Life is Linear. From Computer Graphics to Bracketology, Davidson College: The Mathematical Association of America 2. Chen, J. (200).Image Compression with SVD, Engineering Computer Science, 289K- Scientific Computation, ttp://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/svdcompression.html (ημερομηνία προσπέλασης ) 3. Golub, G. H Reinsch, C. (1969). Handbook series linear algebra: Singular Value Decomposition and Least Squares Solutions, Stanford Univercity - Computer Science Department 4. Καραμπετάκης, Ν Σταματάκης, Σ. Ψωμόπουλος, Ε. (2004).Μαθηματικά & Προγραμματισμός στο Mathematica, Θεσσαλονίκη: ZΗΤΗ 5. Gantmacher, F. R. (2000).The theory of matrices, Volumes 1&2, Providence, Rhode Island: American Mathematical Sosciety 6. Τσακλίδης, Γ. Βασιλείου, Π.-Χ. Γ. (2001).Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων, Θεσσαλονίκη: ΖΗΤΗ 7. Mounika, K. Lakshmi, D. S. N. Alekya, K. (2015). SVD Based Image Compression, International Journal of Engineering Research and General Science Volume 3, Issue 2, 8. Tian, M. Luo, S. W. - Liao, L. Z. (2005).A n investigation into using Singular Value Decomposition as a method of Image Compression, Fourth International Conference on Machine Learning and Cybernetics, Guangzhou, China: IEEE