ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε δραστηριότητες ταξινόµησης, αναγνώρισης, σχεδίασης ή µε άλλο τρόπο κατασκευής σχηµάτων. Στο επίπεδο 1 η προσοχή µεταφέρεται στις ιδιότητες των γεωµετρικών σχηµάτων. Στόχος είναι πάλι η οµαδοποίηση και ταξινόµηση των γεωµετρικών σχηµάτων, αλλά τώρα αυτή γίνεται στη βάση των γεωµετρικών ιδιοτήτων τους και όχι απλώς της µορφής τους. Παράλληλα ξεκινλαει η επεξεργασία και ανάλυση των ιδιοτήτων, που θα οδηγήσει στο επίπεδο 2. Οι ιδιότητες που εξετάζονται είναι οι σχέσεις ανάµεσα σε µήκη (µεγαλύτερο, ίσο, µικρότερο) ή οι αναλογίες µηκών (διπλάσιο, µισό, ), οι διάκριση των γωνιών (οξεία, ορθή, αµβλεία) κ.λ.π. Συνδυασµοί τέτοιων ιδιοτήτων µπορούν να δώσουν ένα µεγάλο αριθµό σχέσεων που µπορούν να αναλυθούν από παιδιά στο επίπεδο 1. Να σηµειώσουµε οτι η µετάβαση από το επίπεδο 0 στο επίπεδο 1 δεν γίνεται από όλα τα παιδιά την ίδια περίοδο, και είναι φυσιολογικό στην ίδια τάξη να γίνονται δραστηριότητες σχετικές µεταξύ τους αλλά οι οποίες ανήκουν σε διαφορετικά επίπεδα van Hiele. Ταξινόµηση µε βάση τις ιδιότητες των σχηµάτων Παρουσιάζονται τα σχήµατα µε τρόπους που να διακρίνονται καθαρά συγκεκριµένες ιδιότητες. Γενικά για κλειστές καµπύλες, και ειδικότερα για πολύγωνα o Κοίλα σχήµατα (σχήµατα µε «βαθουλώµατα») o Κυρτά σχήµατα o Συµµετρικά o Μη συµµετρικά Πολύγωνα o Αριθµός πλευρών o Κανονικό ή µη κανονικό Τρίγωνα o Ως προς τις πλευρές Ισόπλευρο Ισοσκελές Σκαληνό o Ως προς τις γωνίες Οξυγώνιο Ορθογώνιο Αµβλυγώνιο Κυρτά τετράπλευρα o Ως προς το µήκος των πλευρών ύο ζεύγη διαδοχικών ίσων πλευρών ύο ζεύγη απέναντι ίσων πλευρών (παραλληλόγραµµα) o Ως προς την παραλληλία των πλευρών ύο πλευρές παράλληλες (τραπέζια) Τραπέζια µε δύο µη παράλληλες απέναντι ίσες πλευρές (ισοσκελή τραπέζια)
ύο ζεύγη παράλληλων πλευρών (παραλληλόγραµµα) Παραλληλόγραµµα o Ορθογώνια παραλληλόγραµµα o Όλες οι πλευρές ίσες (ρόµβοι) Ορθογώνια µε ίσες πλευρές (τετράγωνα) Παρουσιάζονται τα γεωµετρικά σχήµατα σε συλλογές που περιέχουν δύο ή τρεις διαφορετικούς τύπους, ώστε τα παιδιά να παραγάγουν τις ιδέες που διακρίνουν κάθε κλάση. Όπου χρειάζεται, η δασκάλα ή ο δάσκαλος υποδεικνύει τις ιδιαίτερες ιδιότητες που δεν παρατηρούν τα παιδιά. Αφού τα παιδιά κατανοήσουν σε ικοανοποιητικό επίπεδο την ταξινόµηση των σχηµάτων στη βάση των χαρακτηριστικών τους ιδιοτήτων, δίδεται το όνοµα της κάθε κατηγορίας σχηµάτων. Στην ταξινόµηση των τετραπλεύρων τα υποσύνολα που διακρίνουµε δεν είναι όλα ξένα µεταξύ τους. Για παράδειγµα το τετράγωνο είναι ορθογώνιο αλλά είναι και ρόµβος. Άρα τα τετράγωνα βρίκσονται στην τοµή των ορθογωνίων και των ρόµβων. Αυτές οι περιπτώσεις πολλαπλών εντάξεων παρουσιάζουν δυσκολία για τα παιδιά, αλλά και για τους ενήλικες, εφ όσον σε κάποιες περιπτώσεις δεν υπάρχει κοινά αποδεκτός ορισµός. Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι ο ορισµός των τραπεζίων: Σε ορισµένα βιβλία τα τραπέζια ορίζονται ως τετράπλευρα µε ακριβώς ένα ζεύγος παράλληλων πλευρών, ενώ σε άλλα ως ένα τετράπλευρο µε (τουλάχιστον) ένα ζεύγος παράλληλων πλευρών. Στη µία περίπτωση ένα παραλληλόγραµµο δεν είναι τραπέζιο, ενώ στην άλλη είναι. Τα παιδιά δυσκολεύονται από αυτές τις διπλές εντάξεις. Για παράδειγµα, δεν δέχονται ένα τετράγωνο ως ρόµβο. Αυτό είναι φυσιολογικό, γιατί ο νους αρνείται να αγνοήσει κάποια πληροφορία που του είναι γνωστή 1 : αφού βλέπω οτι έχει ορθές γωνίες, γιατί να το ονοµάσω ρόµβο. Όµως στις µεγαλύτερες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, τα παιδιά είναι σε θέση να χρησιµοποιούν πολλαπλά συστήµατα ταξινόµησης σε άλλα πλαίσια. Οι κατάλληλες δραστηριότητες ταξινόµησης συντελούν στην ανάπτυξη της κατανόησης των σχέσεων µεταξύ σχηµάτων. Ταξινόµηση µε βάση τις ιδιότητες και όχι τα ονόµατα των σχηµάτων. o Ταξινοµήστε µε βάση µία ιδιότητα κάθε φορά. Για παράδειγµα, βρείτε τα τετράπλευρα που έχουν τις απέναντι πλευρές παράλληλες. Κατόπιν, από αυτά, βρείτε όσα έχουν και µία ορθή γωνία. Μία άλλη δραστηριότητα που βοηθάει στην αναγνώριση των χαρακτηριστικών ιδιοτήτων είναι η ακόλουθη: o Από µία συλλογή σχηµάτων, διαπιστώνεται οτι όλα έχουν κάτι κοινό. o Από µία άλλη συλλογή σχηµάτων, διαπιστώνεται οτι κανένα δεν έχει αυτή την ιδιότητα. o Από µία τρίτη συλλογή σχηµάτων επιλέγονται αυτά που έχουν αυτή την ιδιότητα. Κατασκευές και µετρήσεις Καθώς τα παιδιά αρχίζουν να εµφανίζουν επίπεδο συλλογιστικής 1, οι δραστηριότητες κατασκευής παίρνουν τη µορφή εργασίας: δίδονται στα παιδιά 1 Ένα συναφές πρόβληµα στην άλγεβρα είναι η τάση να θεωρήσει κάποιος λανθασµένη την έκφραση 2 3.
ιδιότητες των σχηµάτων που πρέπει να κατασκευάσουν, και όχι το όνοµα του σχήµατος ή ένα υπόδειγµα για να το αντιγράψουν. Οι γεωπίνακες, οι ψηφίδες, χαρτί µε καµβά είναι µερικά από τα υλικά που µπορούν να χρησιµοποιήσουν τα παιδιά στα πρώτα στάδια των κατασκευών. Σε µεγαλύτερες ηλικίες µπορούν να αρχίσουν να σχεδιάζουν σε λευκό χαρτί µε κανόνα, ή µε υποδεκάµετρο και µοιρογνωµόνιο. Τρίγωνα µε οδοντογλυφίδες Μοιράζουµε στα παιδιά µερικές οδοντογλυφίδες. Σκοπός της δραστηριότητας είναι να τοποθετήσουν τις οδοντογλυφίδες σε ευθείες γραµµές για να φτιάξουν τρίγωνα. Θα διαπιστώσουν οτι µπορούν να φτιάξουν ένα µόνο τρίγωνο χρησιµοποιώντας τρεις οδοντογλυφίδες, ενώ δεν µπορούν να φτιάξουν κανένα χρησιµοποιώντας τέσσερεις οδοντογλυφίδες. Μπορούν να φτιάξουν δύο διαφορετικά τρίγωνα χρησιµοποιώντας επτά οδοντογλυφίδες. Αυτή η δραστηριότητα µπορεί να επεκταθεί στη συλλογιστική του επιπέδου 2: να προσπαθήσουν τα παιδιά να εξηγήσουν γιατί είναι αδύνατον να κατασκευαστούν τρίγωνα µε συγκεκριµένα µήκη πλευρών. Προκλήσεις ιδιοτήτων Να κατασκευαστούν σχήµατα µε συγκεκριµένες ιδιότητες, που δεν είναι οι χαρακτηριστικές ιδιότητες των γνωστών κατηγοριών σχηµάτων. o Τετράπλευρο µε δύο απέναντι ίσες πλευρές, όχι παράλληλες. o Πολύγωνα µε όλες τις γωνίες ορθές. Πόσες πλευρές µπορούν να έχουν; o Εξάπλευρα µε δύο, 4 ή 6 πλευρές παράλληλες ανά δύο. o 5 διαφορετικά τρίγωνα, 5 διαφορετικά τετράπλευρα, 5 διαφορετικά πεντάγωνα, 5 διαφορετικά εξάγωνα. Σε τι διαφέρουν σε κάθε περίπτωση; o Τετράπλευρα µε 3 ίσες πλευρές. Πεντάγωνα µε 4 ίσες πλευρές. o Σχήµατα µε συγκεκριµένη συµµετρία: µε συµµετρία ως προς άξονα ανάκλασης, µε συµµετρία ως προς σηµείο (περιστροφή κατά 180 ). Ταξινόµηση τετραπλεύρων µε βάση τις διαγώνιες o Ίσες ή διαφορετικές διαγώνιες; o ιχοτοµούνται ή όχι; o Τέµνονται κάθετα ή όχι; ιερεύνηση µεγεθών Ζητήστε από τα παιδιά να κατασκευάσουν 5 διαφορετικά σχήµατα µε συγκεκριµένο εµβαδόν (π.χ. σε γεωπίνακα, σχήµατα µε εµβαδόν 4 τετραγωνάκια). Κατόπιν να συγκρίνουν τις περιµέτρους των διαφορετικών σχηµάτων. Να κατασκευάσουν διαφορετικά σχήµατα µε την ίδια περίµετρο. Κατόπιν να συγκρίνουν το εµβαδόν τους. Να προσπαθήσουν να σχεδιάσουν ένα σχήµα µε δοσµένη περίµετρο και όσο το δυνατό µεγαλύτερο εµβαδόν. Για µετρήσεις γωνιών, χρησιµοποιείται ως µονάδα η ορθή γωνία, το µισό και τι ένα τρίτο της ορθής. Μπορούν να χρησιµοποιηθούν και άλλες µη τυπικές µονάδες. Να κατασκευάσουν τρίγωνα µε µία γωνία συγκεκριµένου µεγέθους. Να κατασκευάσουν τρίγωνα µε δύο γωνίες συγκεκριµένου µεγέθους. Τι παρατηρούν;
Κατασκευή τρισδιάστατων γεωµετρικών αντικειµένων Τα µοντέλα είναι εξαιρετικά χρήσιµα για να αντιληφθούµε τις σχέσεις των γεωµετρικών αντικειµένων σε τρεις διαστάσεις. Τα µοντέλα µπορεί να είναι από πηλό, πλαστελίνη, χαρτόνι ή από ειδικά πλαστικά σχήµατα που συνδέονται για να σχηµατίσουν τρισδιάστατα αντικείµενα. Μπορούµε να αναπαραστήσουµε τρισδιάστατα σχήµατα µε τη φαντασία µας, µε την κίνηση ενός διδιάστατου σχήµατος µέσα στο χώρο. Έτσι ένας κύκλος που κινείται κατά µήκος ενός άξονα διαγράφει έναν κύλινδρο. Ένα πολύγωνο που κινείται παράλληλα κατά µήκος ενός άξονα πρίσµα διαγράφει ένα πρίσµα. Ένα σχήµα που περιστρέφεται στο χώρο γύρω από έναν άξονα διαγράφει ένα τρισδιάστατο σώµα εκ περιστροφής. ιερεύνηση όγκου και εµβαδού επιφανείας Πόσα διαφορετικά ορθογώνια πρίσµατα µπορούν να κατασκευαστούν µε 36 ίσους κύβους; Όλα αυτά τα πρίσµατα έχουν όγκο 36 µονάδες λαµβάνουµε ως µονάδα τον όγκο ενός από τους κύβους. Όµως υπάρχουν πολλά τέτοια πρίσµατα. Για παράδειγµα, µπορούν να έχουν διαστάσεις 1x1x36 ή 1x2x18 ή 2x2x9 κλπ. Είναι όσα και οι διαφορετικοί τρόποι να εκφράσουµε τον αριθµό 36 ως γινόµενο τριών ακεραίων. Τα παιδιά µπορούν να κατασκευάσουν κάποια διαφορετικά πρίσµατα και να υπολογίσουν το εµβαδόν της επιφάνειας του καθενός. Συµµετρία Στο επίπεδο 0 γίνεται κυρίως αναφορά στη συµµετρία επίπεδων σχηµάτων ως προς ανάκλαση σε κάποιον άξονα. Στο επίπεδο 1 µπορούµε να µελετήσουµε περισσότερες συµµετρίες, τόσο στο επίπεδο όσο και στο χώρο. Συµµετρίες στο επίπεδο o Ανάκλαση σε έναν άξονα o Περιστροφή γύρω από ένα σηµείο Συµµετρίες στο χώρο o Ανάκλαση σε ένα επίπεδο o Περιστροφή γύρω από έναν άξονα o Αντιποδική συµµετρία ως προς ένα σηµείο. ραστηριότητες για τη διερεύνηση της συµµετρίας στο χώρο o Βρείτε επίπεδα συµµετρίας ενός κτηρίου o Βρείτε τους άξονες συµµετρίας ενός κύβου. o Με πόσους τρόπους µπαίνει ένας ρόµβος σε ένα κουτί µε το ίδιο σχήµα; Με πόσους ένα παραλληλόγραµµο; Με πόσους ένα ορθογώνιο; Με πόσους ένα τετράγωνο;
Οµοιότητα Όµοια σχήµατα είναι σχήµατα που έχουν την ίδια µορφή, αλλά διαφορετικό µέγεθος. Σχεδιάστε 3 όµοια σχήµατα, και ζητήστε από τα παιδιά να µετρήσουν τα µήκη 3 πλευρών από το καθένα, και να εκτιµήσουν το εµβαδόν τους. Κατόπιν ζητήστε τους να συγκρίνουν τα µήκη των 3 σχηµάτων. Όταν έχουν αντιληφθεί τα παιδιά τη σχέση µεταξύ οµοίων σχηµάτων, δίδουµε τον ορισµό οµοίων πολυγώνων: όλες οι γωνίες είναι ίσες, και τα αντίστοιχα µήκη είναι ανάλογα.