1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό σχήμα, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γιν όμεν α: i) ΑΒ ΓΑ ii) ΒΑ ΒΓ 4 Το τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος είναι ισόπλευρο πλευράς 4 Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: i) ΑΔ ΒΓ ii) ΑΒ ΑΓ iii) ΑΒ ΓΒ iv) ΑΔ v) ΑΓ vi) ΑΔ ΑΓ vii) ΑΔ ΓΑ 149

5 Να βρείτε το α, β, αν είναι γνωστό ότι: i) α =, β = 4 και α + β = 5 ii) α + 5β = 10 και α 5β = 5 6 Αν α = (, ) και β = ( 4,10) να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα α β, 7 Αν α = (, ), β = (,8), γ = (, ), να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) α β, αγ, βγ ii) ( α β) γ και α ( βγ ) iii) ( α β) γ και α ( βγ ) αi, β j π 8 Αν α =, β = και (α ^ β )=, να βρείτε τους αριθμούς : 1 ι) α β ιι) α ιιι) (α - β ) (α + β ) ιv) (α - β ) 9 Να υπολογιστεί το γινόμενο α β στις παρακάτω περιπτώσεις: α) α = 1, β = και ( α, β ) = π 6 β) α =, β = και ( α, β ) = 75 γ) α =, β = 1 και ( α, β ) = 15 10 Δίνονται τα διανύσματα α) α β β) α + β γ) ( α + β ) δ) ( α + β ) (4 α - 5β ) α και β με ( α,^ β ) = π 6 Αν α = και β = να βρεθούν: 1 1 Η γωνία των διανυσμάτων α και β είναι ίση με 60 ο και ισχύει ( α + β) ( α β), α + β = 7 Να βρείτε τα μέτρα των α και β καθώς και 150

1 Αν για τα συνεπίπεδα διανύσματα α, β, γ είναι: α = β = γ = 1, να βρεθούν τα μέτρα: α + 4γ, α + β γ ( α, β ) = π 6 και π ( βγ, ) =, 1 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με: α =, β = βρεθούν τα μήκη της πλευράς ΑΒ και της διαμέσου ΓΜ 14 Αν για τα διανύσματα: α, β είναι: υπολογισθούν τα μέτρα: α και β, όπου: ΑΒ= γ, ΒΓ= α, ΓΑ = β και π Γ = Να π ( α, β ) =, α + β α β και α + β = 7, να π 15 Αν α =1, β = και (α ^ β )=, να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος: γ =α - β 4 + β αν ( α ^ β ) = ( β ^ 16 Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος α + γ γ ) = π και α =, β = 4 και γ = 17 Αν β = α = ν = α β β + α β 18 Αν α =, β = 1 19 Αν α = 1 ν = α β + γ, β = και (, ) π αβ =, να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος και α β =, να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος ν = α β, γ = 4 αβ, = βγ, = γα, = 60, να βρείτε το μέτρο του διανύσματος και 0 0 Αν α = α β + γ, β =, γ = 6 π και ( αβ, ) =, 5π βγ, =, (, ) 6 π αγ =, να υπολογίσετε το 6 α = ( 1, ) 1 Δίνονται τα διανύσματα υπολογίσετε το ΒΓ και β = ( 0,1) Αν ΑΒ = α β και ΑΓ = α β, να 151

Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν: α β, ( α + β) ( α β) και α β =, να βρείτε τα α, β π Αν για τα διανύσματα ισχύουν ( αβ, ) =, ( α β ) ( α + β ) α, β να υπολογίσετε τα μέτρα των α, β και α β = 19 19 4 Αν Α(4, 1), Β(8, ), Γ(1, ), να αποδείξετε ότι η γωνία των ΑΒ, ΑΓ είναι αμβλεία α = 1, 0 7 και β =, λ Αν ( αβ, ) = 15, να βρεί τε το λ 5 Δίνονται τα διανύ6σματα 6 Έστω τα διανύσματα α = (, 6), β = (, 1) Να βρεθεί η γωνία ( α, β ) 7 Αν για τα διανύσματα α και β ισχύουν α = γωνία α, α β, β = α,β = 45 και 0, να υπολογιστεί η π 8 Αν: α = β και α β, α =, να βρεθεί η γωνία: α, β 4 9 Αν τα διανύσματα α = u + ν και β = 7u + 4ν είναι κάθετα και u = 1, ν =, να βρείτε τη γ ωνία θ των διανυσμάτων u και ν π 0 Αν α = β =1 και (α ^ β )=, να βρείτε την γωνία των διανυσμάτων : α + β, α - β 1 Αν α = β = 1 και ( α, β ) = π να υπολογιστεί η γωνία των u = α + 4 β, v = α - β Να βρείτε την γωνία των διανυσμάτων α =(,1) και β =(+,1- ) Αν u (- -, - 1 - ) κ αι v (- 1 -, - 1 - ) και ο < ( u, v ) < π να αποδείξετε ότι: ( u, π v ) = 1 15

4 Αν, 1), να βρείτε το x, ώστε ( α, α = ((x-1), x) και π β = (- β ) = 5 Έστω δύο διανύσματα α και β με α =1, β = και (α ^ β )= π Αν δ = α + β, να υπολογίσετε τις γωνίες (δ ^α ),(δ ^ β ) 6 Να αναλυθεί το διάνυσμα ν =(,5) σε δύο συνιστώσες, μιας παράλληλης προς το διάνυσμα α =(1,) και μία κάθετη προς αυτ ό 7 Δίνονται τα διανύσματ α α = (, - 4) και β = (5, 10) Να αναλύσετε το διάνυσμα β σε δύο κ άθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το α 8 Αν: α = ( 4, και β = ( 1, ), να αναλυθεί το α σε δύο κάθετες συνιστώσες: α 1, α, ώστ ε: α // β ) 9 Αν: α = (,) α β, β = ( 1, 4) 40 Δίνονται τα διανύσματα α ( 9,1 ), β ( 5,), να αναλυθεί το α σε δύο συνιστώσες: α 1, α, ώστε : α 1 // α + β και και γ (, 4) συνιστώσ ες u και ν παράλληλες αντίστοιχα προ ς τα διανύσματα β και γ 41 Δίνονται τα διανύσματα α ( 19, 4 ), β (,1) συνιστώσες u και και γ ( 1, ) ν κάθετες αντίστοιχα προς τα διανύσματα β και γ Να αναλυθεί το διάνυσμα α σε δύο Να αναλυθεί το διάνυσμα α σε δύο 41 Δίνονται τα σημεία Α(-,) και Β(1,1) Να βρείτε σημείο Γ του άξονα y'y για το οποίο το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Γ 4 Αν α = ( α 1, α ), α 1 β - α β 1 = - 4 β = (β 1, β ) με α = β = και α β να αποδείξετε ότι ισχύει α 1 β - α β 1 = 4 ή 4 Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα ( α β )γ -( α γ ) β είναι κάθετο στο α 44 Θεωρούμε τα διανύσματα α και β με α =, β = 6 Να οριστεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε τα διανύσματα α + λβ και α - λβ να είναι κάθετα 15

45 Αν τα διανύσματα α και β έχουν ίσα μέτρα και είναι κάθετα να αποδείξετε ότι τότε και τα διανύσματα α + β, α - β είναι κάθετα 46 Δείξτε ότι τα διανύσματα 47 Να δείξετε ότι το διάνυσμα α = ( β β )α -(α β ) β, β είναι κάθετα μεταξύ τους βx β β - x είναι κάθετο στο β για κάθε διάνυσμα x 48 Σε καθεμιά από κάθετα μεταξύ τους α) β - ( ) αβ α και β β τις παρακάτω περιπτώσεις, να εξετάσετε αν τα διανύσματα που δίνονται είναι β) ( β α ) γ - γ ( α β ) και α γ) β - ( α ) β α α και α 49 Να βρείτε τις τιμές του x ώστε τα διανύσματα α = ( x,1), β = ( 4 x, 1), να είναι κάθετα 50 Να δείξετ ε ότ ι γι α κάθε λ τα διανύσματα α = ( λ, λ 1), β = ( λ+, 1) δεν είναι ορθογώνια 51 Αν α και β μ η παράλληλα να αποδειχτούν οι ισοδυναμίες: α ) α = β ( α β) ( α + β) γ) α β = α + β α β β) α + β = α β α β δ) α + β = α + β α β 5 Να αποδειχτούν οι ισοδυναμίες: ( αβ, 0) α β α β α) + = ( α + β) ( α β) α α α β α β + α β ) 1 = ( α + β) ( α β) α α α 154

5 Να αποδειχτούν οι συνεπαγωγές: α) αβ, 0, α ( α β) α β β) α, β, γ 0, α ( β γ), β γ α γ β α 54 Αν ( αβ, ) = x, ( βγ, ) = y, ( γα, ) = z και τα διανύσματα u = ( αγ) β ( αβ) γ ν = αγ β βγ α είναι κάθετα μεταξύ τους να αποδειχτεί α γ ή συν z = συν xσυν y και 55 Να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων α και β όταν είναι: α β = 7, αβ, = 60 ο α + β α β α) γ) α ( ), και 56 Να βρεθεί ο αριθμός x ώστε να είναι κάθετα τα διανύσματα: α x +,, β ( 4, x + 5) β) α ( x +, x) β x 1, x+ 5 x,1 x β x+, x+ 10 α x + 4, β x,1 x, δ), 57 Να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(κ 1, λ ), Β(λ, 1 κ) και Γ( λ, κ 1) είναι ισοσκελές ορθογώνιο με κο ρυφή Α για κάθε τιμή των παραμέτρων κ και λ 58 Να βρ εθεί διάνυσμα με μέτρο κάθετο στο διάνυσμα α =(-,4) νύσματα 59 Δίνονται τα δια u = (-, ) και v = (4, - ) Να βρείτ ε το διάνυσμα w ώστε να είναι w ( v - 5 u ) 60 Δίνονται τα διανύσματα α =(,-), β =(, -6), γ =( 1, σ υνδυασμός των α, β που έχει μέτρο και είναι κάθετο στο γ 61 Έστω τα δι ανύσματα α = ( 1, ), β = ( 1, ) ν = κα + λβ που είν αι κάθετα στο γ και έχουν μέτρ ο 5 6 Έστω τα διανύσματα α = ( 4, ) γ α β και γ = α ( ) 6 Αν ( 5, ) και γ = ( 4, ) ) Να βρεθεί γραμμικός Να βρείτε τα διανύσματα και β = (,7) Να βρείτε διάνυσμα γ ώστε να είναι α = και β = 7,, να βρείτε το διάνυσμα x ώστε: α x = 8 και β x = 0 155

64 Έστω τα διανύσματα α = (, ) και β = (, ) Να βρεθεί διάνυσμα γ, ώστε γ ( α + β) γ = 10 α + β και 65 Να βρεθεί το διάνυσμα u, αν είναι γνωστό ότι u α = 18 β = ( 4,6) και uβ = 1 66 Να βρείτε διάνυσμα u μέτρου 5, ώστε uα = 10, όπου α = (, 1) 67 Έστω i α = + j Να βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα u = στο α 68 Αν α = (,5) ( x, y) και β = ( 4, ) 69 Nα εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα: ( α β ) 70 Να εξετάσετε πότε από την ισότητα, να βρείτε διάνυσμα u, ώστε u // α και = α β α β = α γ προκύπτει β =γ, ό που α = (, ) και, με xy,, το οποίο είναι κάθετο uβ = 14 71 Αν για τα δια νύσματα α και β ισχύουν β = α και α + β = α, δείξτε ότι τα α και β είναι αντίρροπα 7 Αν ισχύει α = β = α + β, να αποδείξετε ότι α β = α 7 Αν είναι β = α κα ι α + β = α, να αποδείξετε ότι α β 74 Να δειχτεί ότι: α + β + α + γ + γ + α = α + β + γ + α + β + γ 75 Αν α = β = 1 και α, β = θ να αποδειχτούν οι ισότητες: α) α + β = συνθ και β) α β = ημθ 76 Αν α = π, β = 1/ και α, β = π / να αποδειχτεί ότι: ημ α β + συν α β = β) ημ α β + συν α β = α) 156

77 Αν α =, β =, γ = ισότητες: α) α β + α γ = β + γ, = π /6 και ( α β) β), = π /, ( β γ) β γ α = β γ, = π /4, ( γ α) να αποδειχτούν οι 78 Να αποδειχτεί ότι για κάθε x ισχύουν οι ανισότητες: α) x α β x+ α β 0 β) x + α β x+ α β 0 79 Για τα μη μηδενικά διανύσματα α και β να αποδειχτεί ότι: α) α β = α β α παράλληλο του β β) α β = α β α ομόρροπο του β γ) α β = α β α αντίρροπο του β 80 Να εξεταστεί αν ισχύουν οι σχέσεις: α) α β = α β β) α β = 0 α = 0 ή α β γ α β γ α α = α α = δ) γ) β = 0 81 Για τα μη μηδενικά διανύσματα α, β να αποδειχτεί ότι: α) α + β = α + β α, β ομόρροπα β) α + β = α β α, β αντίρροπα 8 Δίνονται τα κάθετα και μη μηδε νικά διανύσματα α, β για τα οποία ισχύει α = β Να βρείτε τ α διανύσματα x, y ώστε: x // α β y α β και x y = α β, β 8 Αν α β, ν = α α και u = β α να αποδείξετε ότι: β i ν α και u = α ii ν + u = α + β 157

84 Για τη μη μηδενικά διανύσματα α και π β είναι γνωστό ότι αβ, = 6 α + xβ = έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες Να αποδείξετε ότι 0< α < 4 85 Αν α =, β =1 και ( αβ, ) = 60 ο, να λυθεί η εξίσωση x α β x+ ( α + β) = 1 και ότι η εξίσωση 86 Δίνο νται τα μοναδιαία διανύσματα α και β, με ( α, β ) = π Να βρείτε διάνυσμα x, τέτοιο ώστε x //( α + β ) και β ( α + x ) 87 Αν α = γ +δ, γ // β και δ β (β 0), να εκφράσετε τα γ,δ με την βοήθεια των α, β 88 Αν α = (1, ) και β = (, 4) να βρεθούν τ α διανύσματα p και q ώστε να ισχύουν συγχρόνως: α) α = p + q β) p // α γ) q β 89 Αν β 0 και α = p + q με p // β και q β να αποδειχθεί ότι ισχύουν οι σχέσεις: α) p αβ = β β β ) q = αβ α - β β π 90 Αν α =, β =1 (α ^ β )=, να βρεθεί διάνυσμα χ για το οποίο ισχύει: χ //α - β και α ( β + χ ) 91 Α ν Α(-,1), Β (4, 8), Γ(10,6) είναι κορυφές τριγώνου ΑΒΓ, να υπολογιστεί το διάνυσμα προβ ΑΓ ΒΓ 9 Δείξτε ότι αν α, β 0, τότε ισχύει : προβ α β = προβ β α α β ή α = β 158

Να ρείτε την προβολή του διανύσματος 9 β α = ( 1, ) 94 Αν α = 1, στο διάνυσμα α στο διάνυσμα β = (, 4) 0 β = και ( αβ, ) = 60, να βρ είτε την προβολή του διανύσματος ν = α β πάνω 95 Αν τα διανύσματα α, β είναι μοναδιαία και κάθετα, να βρείτε την προβολή του ν = α + β πάνω στο u = α β 96 Αν α = ( 1, ), β = ( 4,) ν α β α β να βρείτε την π ροβ ν α και = ( ) 97 Έστω α = ( 4, ) και β = ( 1, ) Να υπολογίσετε το προβ α β α ( ) 98 Δίνονται τα σημεία Α(1,), Β(,-1), Γ(,1) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y), αν ισχύει : ΜΑ ΒΓ = ΑΒ ΑΓ 99 Δίνονται τα σημε ία Α,Β (Α Β) ενός επιπέδου P Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του P, αν ισχύει : ΜΑ=ΜΒ 100 Αν α, βγ, μοναδιαία και ισχύει α β + γ = 0, να υπολογίσετε την παράσταση: Α= α β + β γ + γ α 101 Θεωρούμε τα διανύ σματα α, β, γ με α + β - γ = 0 Αν α =, β = και γ = 5 υπολογίστε το: α β + β γ + γ α 10 Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου που κατασκευάζεται με τα διανύσματα α + β και α 0 β, αν α =1, β = και ( αβ, ) = 15 159

0 10 Αν α = 1, β =, ( αβ, ) = 60 και α + β + γ = 0, να υπολογίσετε: i το γ ii το α γ + β γ 104 Αν είναι α + β + γ = 0 και α = β = γ = 1, να αποδείξετε ότι α β = β γ = γ α = 105 Αν α = β = γ =1 και α + β +γ = 0, να βρείτε: ι) την τιμή της παράστασης Α= α β + β γ + γ α ιι) τι ς γων ίες των α, β,γ ανά δύο 106 Έστω τα διανύσματα α, β με μέτρο 1 Αν τα διανύσματα γ =α +4 β και δ =α - β π σχηματίζουν γων ία, να βρείτε την γωνία των α, β, και β = α > 0 107 Να βρεθεί η γωνία φ των α και β αν α( α + β) = 0 108 Αν για τα διανύσματα α, βγ, ισχύει α + β γ = 0 και γ = β 109 Έστω τα διανύσματα α, β με α = και ότι για κάθε κ, λ ισχύει ( κα + 4λβ ) ( λα κβ ) i Να αποδείξετε ότι: α β ii Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων β και α β, να δείξετε ότι: α ( α + 6β) 110 Αν α = β = γ 0, α ( β γ) S = συν α, β + συν β, γ + συν γ, α,, β ( γ α) γ α β ( ) να βρεθεί το άθροισμα 111 Τα κάθετα διανύσματα α και β έχουν μέτρα και 4 αντίστοιχα Να βρεθεί διάνυσμα γ με μέτρο 1 που διχοτομεί την γωνία τους 11 Δίνονται τα διανύσματα α = (1, ), β = (, - 1) και γ = (- 1, 0) Να βρείτε όλα τα διανύσματα v με v = 10, v γ κ αι v = λ α + μβ, λ, μ R 160

ϕ 11 Αν α = β =1 και (α ^ β )= ϕ, να αποδείξετε ότι : α + β = συν 114 Να αποδειχτούν οι ισοδυναμίες: α) α + β < α β ( α, β) > π / α + β > α β α, β < π / β) 115 Αν τα διανύσματ α α και β δεν είναι μηδενικά και ισχύει α ( α + β) = α α + β ότι είναι παράλληλα να δειχτεί 116 Αν για τα μη μηδενικά διανύσματ α α και β ισχύει αβ+ βα= 0, να αποδείξετε ότι α β > α + β 117 i) Να εξετάσετε πότε ισχύε ι α β = α + β ii) Για τα μοναδιαία διανύσματ α α, β, γ ισχύει αβ + βγ 6αγ = 7 Να αποδείξετε ότι: α) β = α + γ β ) β = γ = α 118 Έστω τα διανύσματα α, β με α = β i Να αποδείξετε ότι: α β 0 x // α β ii Να βρείτε διάνυσμα x ώστε: αβ, = 10 και 0 119 Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α, βγ, αποδείξετε ότι: i β = α ii β γ και α ( β x) ισχύει α + β + γ = 0 και β γ α = =, να β γ 10 Αν για τα μη μηδενικά διανύσ ματα α, βγ, ισχύει ότι: α + β + γ = 0 και α = =, να 4 αποδείξετε ότι: i β = α ii α γ 11 Για κάθε διάνυσμα α του επιπέδου, να αποδείξετε ότι: α =(α i )i +(α j ) j 161

ισχύει: 1 Έστω ότι για τα μη μ ηδενικά διανύσματα α, β α β α = α β i Να αποδείξετε τα α, β είναι συγγραμμικά ii Αν τα διανύσματα ν,u έχουν συντελεστές διεύθυνσης τις ρίζες της εξίσωσης: α ( β) + β = ν // u x α x 0, να αποδείξετε ότι 1 Αν α =, β = κα ι α + β =, να βρεθούν οι τιμέ ς του λ για τις οποίες η εξίσωση xα + β = λ έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες 14 Δίνονται τα μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους διανύσματα α, β Να βρείτεα, β τα διανύσματα x και y για τα οποία x // α β y α 4β και x+ y = α + β, 5 Αν 1 α // β και γ = λα + μβ, να αποδείξετε την ισοδυναμία 16 Θεωρούμε τα διανύσματα α, β με ( αβ, ) = 60 ο και i) Να βρεθεί το διάνυσμα x για το οποίο ( x α ) // β ii) Να βρεθεί το x α = γ // α + β λ = μ β =1, x + β α + και // 17 Αν α 0, να λυθεί η εξίσωση ( α + α ) x = ( αx α ) α 18 Αν ισχύουν β α = 1, αα+ ββ = 1 και ( αβ, ) = 60 ο να βρείτε το α β 4, 19 Αν α = ( 1, ), β = ( ) 10 Αν αβ, 0 και ισχύουν: 4 προβ λα + β = β, να βρείτε το λ 5 και ισχύει: β α β = α κ προβ α β α, να βρείτε το x αι ( + x ) = ( x) α 11 Αν α = 1, β = π αβ =, να βρείτ λ ώστε και (, ) προβ λα β α ε το : ( + ) = α 16

Αποδείξτε το πυθαγόρειο θεώρημα 1 1 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με διάμεσο ΑΜ, να αποδείξετε ότι : 1 ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ + ΒΓ (πρώ το θεώρημα διαμέσων) 14 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε ύψος ΑΔ και την διάμεσο ΑΜ Να αποδείξετε ότι : ΑΒ - ΑΓ = ΔΜ ΓΒ (δεύτερο θεώρημα διαμέσων) 15 Στο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε το ύψος ΑΔ ι) Να αποδείξετε ότι ΒΑ + ΒΑ ΑΓ= ΒΔ ΒΓ ιι) Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α, τότε να αποδειχθεί ότι : ΑΒ = ΒΓ ΒΔ 16 ι) Σε κάθε τετράπλευρο ΑΒΓΔ να αποδειχθεί ότι : ΑΒ + ΓΔ - ΒΓ - ΑΔ = ΑΓ ΔΒ ΑΒ ιι) Να απ οδείξετε την ισοδυναμία : ΑΓ ΔΒ + ΓΔ = ΒΓ + ΑΔ ιιι) Αν είναι γνωστά τα μήκη των πλευρών και των διαγωνίων ενός τετραπλεύρου, να υπολογίσετε την γωνία των διαγωνίων του 17 Αν ΑΔ είναι διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( Α =90), να αποδείξετε ότι : ΑΔ ΒΓ 1 = 18 Δίνονται τα σημεία Α και Β με ΑΒ = 4 ισχύει: ΒΜ ΒΜ ΒΑ = 9 Να βρεθεί ο γτ των σημείων Μ του επιπέδου όταν 19 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με διαγώνιο 6 μονάδες Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου του για τα οποία ισχύει: ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ + ΜΔ =100 140 Δίνονται τα σημεία Α και Β με ΑΒ = α > 0 Να βρεθεί ο γτ των σημείων Μ του επιπέδου όταν ΜΑ + ΜΒ = 4ΜΑ ΜΒ 141 Δίνονται τα σημεία Α και Β και ο αριθμός λ > 0 Να βρεθεί ο γτ των σημείων Μ του επιπέδου όταν Μ Α + ΜΒ = λ 16

14 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: ΒΓ =, ΑΓ = 5 και ΑΒ = 7 Να υπολογισθεί η γωνία: (, ) ΒΓ ΓΑ 14 Αν α και β είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα και για κάθε κ ισχύει α + κβ α να δειχτεί ότι είναι α β και αντίστροφα 144 Αν οι θετικοί αριθμοί x και y ω συνδέονται με τη σχέση 1 + 1 = 1, να αποδείξετε ότι x y α + β xα + y β 145 Αν για τα συγγραμμικά διανύσματ α α, β, γ αβ βγ γα + + = 1 α β β γ γ α να αποδείξετε ότι δύο από αυτά είναι αντίρροπα ισχύει 146 Αν για τα μοναδιαία διανύσματα α, β, γ και τους θετικούς πραγματικούς x, y, ω ισχύει x αβ + y βγ + z γα = x+ y+ z να αποδείξετε ότι α = β = γ 147 Αν είναι α = 1 και 1+ α β = α + β, να αποδείξετε ότι α // β 148 Έστω αβ 0 και α + β + γ = 0 με γ = Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα x, y είναι x = x + yα να αποδείξετε ότι: i) x + y 6 αy+ βx ii) 1 αβ και y = x + y β 164

149 α) Αποδείξτε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα α και β ισχύει: α β α β β) Χρησιμοποιώντας το (α) ερώτημα να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης Α = 6x - 8ψ αν x + ψ = 6 γ) με τη βοήθεια του ( α) ερωτήματος αποδείξτε ότ ι: 6ημx -8συνx 5 150 Έστω α και β δύο μη συγγραμμικά διανύσματα Αν τα γ και δ είναι ομόροπα με τα α και β αντίστοιχα και έχουν μέτρο 1, να αποδείξετε ότι τα διανύσματα χ =γ + δ και y = β α + α β είναι συγγραμμικά με την διχοτόμο της γωνίας των α, β 151 Να αποδείξετε ότι οι μεσοκάθετοι των πλευρών τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο 15 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δείξετε ότι : α = β συνγ + γ συνβ 15 Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ,αν ισχύει : ( ΑΒ ΑΓ) ΑΔ = ( ΑΔ ΒΓ ) ΑΒ όπου ΑΔ είναι διάμεσος 154 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλ ευρές α, β, γ ισχύει α= βσυνγ Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές 155 Στο επίπεδο P ενός κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ υπάρχουν τρία τουλάχιστον σημεία Μ διάφορα ανά δύο, ώστε : ( ΜΑ ΜΓ ) ΑΓ = ( ΜΒ ΜΔ ) ΒΔ Δείξτε ότι το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 156 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου του για τα οποία είναι: ΑΜ ΑΒ = ΜΑ ΓΑ 157 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το περίκεντρο αυτού Ο Να βρεθεί ο γτ των σημείων Μ του επιπέδου του όταν ΜΒ + ΜΓ = ΜΑ 158 Δίνονται τα σημεία Α και Β και αριθμός λ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου όταν ΜΑ ΜΒ = λ 165