Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει θανάτους από καρδιακή ανεπάρκεια ανάμεσα σε άνδρες γιατρούς οι οποίοι έχουν κατηγοριοποιηθεί κατά ηλικία και κάπνισμα το 1951 στη Βρετανία. (δεδομένα από Altham, Lecture notes in GLM) Καπνιστές Μη καπνιστές Ηλικία Θάνατοι Ανθρωποέτη Θάνατοι Ανθρωποέτη 35-44 32 52407 2 18790 45-54 104 43248 12 10673 55-64 206 28612 28 5710 65-74 186 12663 28 2585 75-84 102 5317 31 1462 Προσπαθήστε να μοντελοποιήσετε τα δεδομένα του παραπάνω προβλήματος σκεπτόμενοι ότι οι θάνατοι είναι ανάλογοι των ανθρωποετών (αριθμός ανθρώπων από τους οποίους ελήφθησαν τα δεδομένα σε όλα τα χρόνια που διήρκησε η έρευνα). Η μοντελοποίηση πρέπει να γίνει λαμβάνοντας υπόψι ότι πρέπει να απαντηθούν τα παρακάτω ερωτήματα: Ο ρυθμός θανάτου είναι μεγαλύτερος για τους καπνιστές από τους μη καπνιστές? Αν ναι πόσο πολύ? Υπάρχει επίδραση της ηλικίας στο ρυθμό θανάτου? Γράψτε το κατάλληλο μοντέλο που απαντάει σε αυτές τις ερωτήσεις ερμηνεύοντας κατάλληλα και τις παραμέτρους του. Απάντηση: Η εξαρτημένη μεταβλητή deaths αντιστοιχεί στον αριθμό των θανάτων. Ως επεξηγηματικές μεταβλητές έχουμε τους παράγοντες ηλικία (age) και το αν ο αντίστοιχος γιατρός είναι καπνιστής ή όχι. Η ηλικία κατηγοριοποιείται ως εξής: Ηλικία 35-44 :1 45-54 :2 55-64 :3 65-74 :4 75-84 :5
επίσης θεωρούμε τη ψευδομεταβλητή smoke=1 αν είναι καπνιστής και 0 διαφορετικά. Μέσω του γραφήματος, το οποίο παρουσιάζει τους θανάτους ανά ανθρωποέτη (ρυθμός θανάτων) συναρτήσει της ηλικιακής ομάδας για τους καπνιστές και τους μη καπνιστές, παρατηρούμε ότι με εξαίρεση την ηλικιακή ομάδα 75-84, ο ρυθμός θανάτου είναι μεγαλύτερος στους καπνιστές από τον αντίστοιχο στους μη καπνιστές, ενώ όσο μεγαλώνει η ηλικία μεγαλώνει και η διαφορά των ρυθμών θανάτου στις 2 ομάδες. Παρατηρούμε ότι η σχέση μεταξύ ρυθμών θανάτου και ηλικίας δεν είναι γραμμική, για αυτό θα συμπεριλάβουμε στην ανάλυση μας ως επεξηγηματική μεταβλητή και το τετράγωνο της ηλικίας, age 2 καθώς επίσης και όρο αλληλεπίδρασης μεταξύ του παράγοντα κάπνισμα και της ηλικίας. Συγκεκριμένα, θα προσαρμόσουμε μοντέλο Poisson με offset το λογάριθμο των ανθρωποετών της μορφής, 2 log deaths 0 1smoke 2age 3age 4( age* smoke) population 2 log deaths smoke age age ( age* smoke) offset. 0 1 2 3 4 Στο SPSS, από τις επιλογές των Generalized Linear Models, επιλέγουμε Poisson μοντέλο με συνάρτηση σύνδεσης τη log. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης είναι τα ακόλουθα, Model Information Dependent Variable Probability Distribution Link Function Offset Variable deaths Poisson Log offs
Case Processing Summary N Percent Included 10 100,0% Excluded 0,0% Total 10 100,0% Continuous Variable Information N Minimum Maximum Mean Std. Deviation Dependent Variable deaths 10 2 206 73,10 73,422 Covariate Τετράγωνο της ηλικίας 10 1,00 25,00 11,0000 9,11653 smoke*age 10,00 5,00 1,5000 1,90029 smoke 10 0 1,50,527 age 10 1 5 3,00 1,491 Offset offs 10 7,29 10,87 9,2740 1,18561 Μέτρα καλής προσαρμογής του μοντέλου: Goodness of Fit b Value df Value/df Deviance 1,635 5,327 Scaled Deviance 1,635 5 Pearson Chi-Square 1,550 5,310 Scaled Pearson Chi-Square 1,550 5 Log Likelihood a -28,352 Akaike's Information Criterion (AIC) Finite Sample Corrected AIC (AICC) Bayesian Information Criterion (BIC) 66,703 81,703 68,216 Consistent AIC (CAIC) 73,216
Dependent Variable: deaths Model: (Intercept), age, smoke, age2, smokage, offset = offs a. The full log likelihood function is displayed and used in computing information criteria. b. Information criteria are in small-is-better form. Το μοντέλο που εκτιμήθηκε βελτιώνει την ικανότητα πρόβλεψης μας σε σχέση με μοντέλο όπου όλοι οι συντελεστές πλην του σταθερού όρου είναι μηδέν: Omnibus Test a Likelihood Ratio Chi-Square df Sig. 933,432 4,000 Dependent Variable: deaths Model: (Intercept), age, smoke, age2, smokage, offset = offs a. Compares the fitted model against the intercept-only model. Tests of Model Effects Type III Source Wald Chi-Square df Sig. (Intercept) 574,924 1,000 age 130,604 1,000 smoke 14,989 1,000 age2 52,173 1,000 smokage 10,044 1,002 Dependent Variable: deaths Model: (Intercept), age, smoke, age2, smokage, offset = offs Οι συντελεστές είναι στατιστικά σημαντικοί, συμπεριλαμβανομένου και του όρου αλληλεπίδρασης των παραγόντων:
Parameter Estimates 95% Wald Confidence 95% Wald Confidence Interval Hypothesis Test Interval for Exp(B) Paramete r B Std. Error Lower Upper Wald Chi- Square df Sig. Exp(B) Lower Upper (Intercept ) -10,792,4501-11,674-9,910 574,924 1,000 2,057E-5 8,513E-6 4,969E-5 age 2,376,2079 1,969 2,784 130,604 1,000 10,767 7,163 16,184 smoke 1,441,3722,711 2,170 14,989 1,000 4,225 2,037 8,762 age2 -,198,0274 -,251 -,144 52,173 1,000,821,778,866 smokage -,308,0970 -,498 -,117 10,044 1,002,735,608,889 (Scale) 1 a Dependent Variable: deaths Model: (Intercept), age, smoke, age2, smokage, offset = offs a. Fixed at the displayed value. Το μοντέλο που εκτιμήθηκε είναι: 2 log deaths 10, 792 1, 441smoke 2,376age 0,198age 0,308( age* smoke) offset, όπου όλοι οι συντελεστές είναι στατιστικά σημαντικοί. Συνεπώς η πιθανότητα θανάτου από καρδιακή ανεπάρκεια επηρεάζεται από τον αν είναι κάποιος καπνιστής ή όχι αλλά και από την ηλικία του. Από τη στήλη Exp(B) του πίνακα των εκτιμημένων συντελεστών συμπεραίνουμε ότι σταθερών των υπολοίπων μεταβλητών το ρίσκο θανάτου για τους καπνιστές είναι 4,2 φορές μεγαλύτερο έναντι των μη καπνιστών. Η καλή προσαρμογή του μοντέλου γίνεται αισθητή και στο γράφημα που ακολουθεί όπου παρουσιάζονται οι προβλεπόμενοι από το μοντέλο θάνατοι προς την ηλικία, για τους καπνιστές και τους μη καπνιστές σε σύγκριση με τις παρατηρούμενες τιμές.