ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... Σ ΑΜ:. Ημερομηνία: Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος Ι Μέρος ΙΙ Μέρος ΙΙΙ Σύνολο Λ Σ Λ 3 4 Μέρος Ι (8 ερωτήσεις σωστού-λάθους. Μέγιστος αριθμός μονάδων=4) Δώστε την κατάλληλη απάντηση (ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ ) στις παρακάτω προτάσεις. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει 5 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή αφαιρούνται πέντε μονάδες. Στο απλό γραμμικό μοντέλο, οι εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων ˆ β και ˆβ είναι γραμμικές συναρτήσεις των παρατηρήσεων Y. Η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων ή ευθεία παλινδρόμησης ˆ = ˆ β + ˆ β x διέρχεται από το σημείο ( x, Y ) Y 3. Στο κανονικό απλό γραμμικό μοντέλο Y = β + β x + ε οι εκτίμητριες μέγιστης πιθανοφάνειας των β, β και σ είναι αμερόληπτες εκτιμήτριες των αντίστοιχων παραμέτρων που εκτιμούν. 4. Στο απλό γραμμικό μοντέλο, ο συντελεστής προσδιορισμού R ισούται με το συντελεστή συσχέτισης r xy των (x, Y ), =,,,. Δηλαδή, R = r xy. 5. Στο απλό γραμμικό μοντέλο, τα υπόλοιπα ή κατάλοιπα εˆ είναι ασυσχέτιστα και με σταθερή διακύμανση σ. 6. Στο πολλαπλό γραμμικό μοντέλο, ο πίνακας διακυμάνσεων συνδιακυμάνσεων των εκτιμητριών ελαχίστων τετραγώνων δίνεται από τη σχέση ( X' X), όπου Χ ο πίνακας σχεδιασμού. 7. Στο κανονικό απλό γραμμικό μοντέλο, τα σφάλματα ε είναι ανεξάρτητα. 8. Στο απλό γραμμικό μοντέλο Y = β + β x + ε οι εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων ˆ β και ˆβ υπολογίζονται από τη σχέση ( X'X) X' Y, όπου Χ ο πίνακας σχεδιασμού και Υ το διάνυσμα - στήλη των παρατηρήσεων. Σελίδα από 6

2 Μέρος ΙΙ ( ερωτήσεις υπολογισμού κατανόησης. Μέγιστος αριθμός μονάδων=4). Κάθε σωστή απάντηση παίρνει μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή αφαιρείται μισή μονάδα Για να μελετήσουμε πιθανή γραμμική σχέση των ανεξάρτητων μεταβλητών x, x και x 3 με την (εξαρτημένη) μεταβλητή απόκρισης Υ πήραμε δείγμα = παρατηρήσεων. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης συγκεντρώνονται στους παρακάτω πίνακες, από όπου λείπουν κάποιες τιμές. ANOVA Model Sum of Squares df Mea Square F Sg. Regresso a a3 6684,333 a7, Resdual Total a a4 a6 539 a5 Predctors: (Costat), x3, x, x Depedet Varable: y Model Ustadardzed Coeffcets 95% Cofdece Iterval for B B Std. Error T Sg. Lower Boud Upper Boud (Costat) 5,65 a9,65,555 a3 a5 x a8,394 a, -3,59 -,593 x,894 a a,,984 a6 x3 6,868,3 9,776, a4 7,43 a. Depedet Varable: y Να δώσετε τις απαντήσεις σας στον παρακάτω πίνακα. Δίνεται ότι: t 8 (,5)=,86 t 7 (,5)=,895 t 6 (,5)=,943 και t 8 (,5)=,36 t 7 (,5)=,365 t 6 (,5)=, a = a5 = a9 = a3 = a = a6 = a = a4 = a3 = a7 = a = a5 = a4 = a8 = a = a6 = 7. Το μοντέλο παλινδρόμησης που προκύπτει, σύμφωνα με το δεύτερο πίνακα, είναι το: 8. Ο συντελεστής προσδιορισμού R του μοντέλου είναι: R = 9. Η εκτίμηση της διακύμανσης s των σφαλμάτων είναι: s =. Ο έλεγχος της υπόθεσης Η : β = β = β 3 = έναντι της Η : κάποιο β, γίνεται μέσω συγκεκριμένης ελεγχοσυνάρτησης η οποία για το δείγμα μας έχει τιμή : F * = Σελίδα από 6

3 Μέρος ΙΙΙ (4 θέματα πλήρους ανάπτυξης. Μέγιστος αριθμός μονάδων=4)απαντήστε στα επόμενα θέματα αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας. Κάθε θέμα παίρνει μονάδες. Μη χρησιμοποιήσετε περισσότερο χώρο από αυτόν που δίνεται σε κάθε θέμα.. Σε σημεία ( x, y ) =,, L, του επιπέδου, ζητάμε να προσδιορίσουμε ένα γραμμικό μοντέλο της μορφής y = β + βx + ε, =,, L, έτσι ώστε να ισχύει β = 5β. Να δειχθεί ότι οι εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων δίνονται από τους τύπους: 5y + x y = ˆβ =, 5 + x + x = 5y + 5 = = ˆβ 5 + x + x y = x Σελίδα 3 από 6

4 . Για τις παρατηρήσεις y, =,,3,4, 5 δίνεται ότι y = a 3β + ε = a 5β + ε 3 = a + ε 3 4 = a + 5β + ε 4 5 = a + 3β + ε 5 όπου α, β άγνωστες παράμετροι. Να βρεθούν οι εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων των α και β. Σελίδα 4 από 6

5 3. Δίνεται το γραμμικό μοντέλο Y = β + βx + ε, =,,..., ( > ) όπου ε, ε,..., ε είναι ανεξάρτητες τ.μ. που καθεμία έχει μέση τιμή και διακύμανση σ, ( σ > παράμετρος). Έστω ˆ β ˆ, β οι συνήθεις εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων των παραμέτρων β, β αντίστοιχα και ˆ ˆ ˆ ε = Y β βx. Να βρεθεί η V ( ˆ ε ). Σελίδα 5 από 6

6 4. Δίνεται το γραμμικό μοντέλο Y = β + βx + ε, =,,..., ( > ) όπου ε, ε,..., ε είναι τ.μ. ανεξάρτητες με μέση τιμή και διακύμανση σ ( σ > παράμετρος). Nα δείξετε ότι Cov( Yˆ j Y, ˆ ε ) = για κάθε, j =,...,. Σελίδα 6 από 6