ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. Σχεδιάζουµε τις δυνάµεις επάνω στο σάκο όπως στο Σχήµα 1 αναλύουµε σε συνιστώσες. Ορίζουµε ϑετική ϕορά προς τα πάνω. Σχήµα 1: Σάκος µε τσιµέντο. (αʹ) Ο σάκος ισορροπεί, άρα Σ F y = 0 T 3 + F g = 0 = T 3 = F g. Από την ανάλυση σε συνιστώσες, ϑα είναι Σ F y = 0 T 1y + T 2y + F g = 0 = T 1 sin(θ 1 ) + T 2 sin(θ 2 ) = F g (1) Οµοια στον x άξονα, Σ F x = 0 T 1x + T 2x = 0 = T 1 cos(θ 1 ) = T 2 cos(θ 2 ) (2) Άρα T 1 = F g cos(θ 2 ) (sin(θ 1 ) cos(θ 2 ) + cos(θ 1 ) sin(θ 2 )) = F g cos(θ 2 ) sin(θ 1 + θ 2 ) (3) (ϐʹ) Αντικαθιστώντας, έχουµε T 3 = F g = 325 N T 1 253 N T 2 165 N Ασκηση 2. Σχεδιάζουµε τις δυνάµεις που ασκούνται σε κάθε σώµα όπως στο Σχήµα 2. (αʹ) είτε το Σχήµα (2). (ϐʹ) Ας συµβολίσουµε µε a το µέτρο της επιτάχυνσης a j του σώµατος m 1, της επιτάχυνσης a i του σώµατος m 2, της επιτάχυνσης +a j του m 3. Επίσης, έστω T 12 την τάση του αριστερού νήµατος,
Φυσική Ι - 2018/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων 2 Σχήµα 2: Τρια σώµατα δεµένα µε σχοινί - υνάµεις. T 23 την τάση του δεξιού νήµατος. Για το σώµα m 1, έχουµε επιτάχυνση στον y άξονα, οπότε είναι ΣF y = m a y (4) T 12 + m 1 g = m 1 a (5) T 12 m 1 g = m 1 a (6) Για το σώµα m 2, αφού κινείται επιταχυνόµενα στον x άξονα, είναι ΣF x = m a x (7) T 12 + f k + T 23 = m 2 a x (8) T 12 + f k + T 23 = m 2 a (9) T 12 + µ k n + T 23 = m 2 a (10) αφού ισορροπεί στον y άξονα, ΣF y = 0 (11) n + m 2 g = 0 (12) n m 2 g = 0 (13) n = m 2 g (14) Με όµοια διαδικασία, για το σώµα m 3 που επιταχύνεται στον κατακόρυφο άξονα, έχουµε ΣF y = m 3 a y (15) T 23 m 3 g = m 3 a (16) Εχουµε τρεις εξισώσεις T 12 + 39.2 = 4a (17) T 12 0.35(9.8) T 23 = a (18) T 23 19.6 = 2a (19) οι οποίες αν προστεθούν κατά µέλη δίνουν a = 2.31 m/s 2 (20) µε κατεύθυνση προς τα κάτω για το m 1, αριστερά για το m 2, επάνω για το m 3. (γʹ) Αντικαθιστώντας στις παραπάνω σχέσεις έχουµε T 12 = 30 N (21) T 23 = 24.2 N (22)
Φυσική Ι - 2018/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων 3 Ασκηση 3. (αʹ) Το αεροσκάφος επιταχύνεται στον x άξονα ισορροπεί στον y άξονα, οπότε (ϐʹ) Στον οριζόντιο άξονα Σ F y = 0 F y + m g = 0 (23) F sin(θ) mg = 0 (24) mg = F sin(θ) (25) mg = 8000 sin(65 o ) = 7.25 10 3 N (26) Σ F x = m a x (27) F x = ma x (28) F cos(θ) = ma x (29) a x = F cos(θ) m = F cos(θ) F sin(θ) g (από προηγ. ερώτηµα) (30) = 8000 cos(65o ) (31) 7.25 10 3 9.8 = 4.57 m/s 2 (32) Ασκηση 4. Η ϱόδα γυρίζει δεξιόστροφα, οπότε η τριβή ολισθήσεως έχει κατεύθυνση την κατεύθυνση της κίνησης (προς τα δεξιά). Από το 2ο νόµο του Newton έχουµε Οµως ξέρουµε ότι αν x i = 0 u xi = 0, ΣF x = m a (33) f k = m a (34) f k = ma (35) µ s mg = ma (36) a = µ s g (37) x f = x i + u xi t + 1 2 at2 = 1 2 at2 = µ sgt 2 2 µ s = 2x f = 4.16 (38) gt2 Ασκηση 5. ϑα κρατήσουµε τη γωνία ως µεταβλητή για να µη λύσουµε τρεις ϕορές το ίδιο πρόβληµα. Το αυτοκίνητο κινείται σε κεκλιµένο γωνίας θ έστω ότι κινείται προς τα δεξιά (πάνω) στο κεκλιµένο. Εστω ότι ο άξονας x είναι παράλληλος του κεκλιµένου. Από το 2ο νόµο του Newton έχουµε Σ F x = F gx + f k = m a x (39) mg sin(θ) f k = ma x (40) mg sin(θ) µ k n = ma x (41) Σ F y = F gy + n = 0 (42) mg cos(θ) + n = 0 (43) n = mg cos(θ) (44)
Φυσική Ι - 2018/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων 4 αντικαθιστώντας στην εξίσωση του x-άξονα mg sin(θ) µ k mg cos(θ) = ma x (45) mg(sin(θ) + µ k cos(θ)) = ma x (46) a x = g(sin(θ) + µ k cos(θ)) (47) Το αυτοκίνητο κινείται οµαλά επιταχυνόµενα, οπότε από τις εξισώσεις της κίνησης έχουµε u 2 x f = u 2 x i + 2a x (x f x i ) 0 = u 2 x i + 2a x x f x f = u2 x i 2a x = u 2 x i 2g(sin(θ) + µ k cos(θ)) (48) Για γωνίες θ = 10 o, 0, 10 o, λαµβάνουµε 48 m, θ = 10 o x f = 57 m, θ = 0 (49) 75 m, θ = 10 o Ασκηση 6. Το ϐιβλίο ταξιδεύει απόσταση 1.00 m σε διάστηµα 0.483 s, οπότε από την εξίσωση κίνησης µε x i = 0, x f = 1.00, u xi = 0, t = 0.483 s, έχουµε x f = x i + u xi t + 1 2 a xt 2 (50) a = 2x f t 2 = 8.57 m/s 2 (51) Σχεδιάζοντας τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα όπως στο Σχήµα 3 ορίζοντας τον άξονα x x παράλ- Σχήµα 3: Βιβλίο που ολισθαίνει. ληλο µε το επικλινές τον άξονα y y κάθετο σε αυτό, έχουµε ΣF y = 0 (52) n + F gy = 0 (53) n mg cos(θ) = 0 (54) n = mg cos(θ) (55)
Φυσική Ι - 2018/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων 5 ΣF x = m a x (56) F gx + f k = m a x (57) mg sin(θ) f k = ma x (58) mg sin(θ) µ k n = ma x (59) mg sin(θ) µ k mg cos(θ) = ma x (60) a x = g(sin(θ) µ k cos(θ)) (61) = 7.02 m/s 2 (62) Άρα πράγµατι η περιγραφή δεν είναι ακριβής.