ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του πολυωνύμου για iii).να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα και iv).να λύσετε την εξίσωση x 3 ΘΕΜΑ Δίνεται η παράσταση ( x 9) 3x( x 9) i). Να κάνετε τις πράξεις ii). Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση iii).να λύσετε την εξίσωση 0 iv).στο παρακάτω σχήμα έχουμε το τετράγωνο ΑΒΓΔ και το τρίγωνο ΑΖΒ. Αν x και 9, να βρείτε το x ώστε το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ να είναι εξαπλάσιο του εμβαδού του τριγώνου ΑΖΒ. 1
ΘΕΜΑ 3 Α. Τι ονομάζουμε κλασματική εξίσωση; Β. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις 6 3 0 Οι όροι της εξίσωσης έχουν νόημα αν x 3 x x 1. Σ Λ x 3 και x. x 1 x Ο αριθμός 1 είναι λύση της εξίσωσης x 1 x Σ Λ 3. 1 5( x 3) Η εξίσωση 19 x x 1 1( x 1) 5x( x 3) 19 γράφετε Σ Λ ΘΕΜΑ 4 Δίνεται η εξίσωση x ( 4) x 0 (1) i). Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του, η εξίσωση (1) έχει μια τουλάχιστον λύση. ii). Να βρείτε την τιμή του για την οποία η εξίσωση (1) έχει μια διπλή λύση. iii).για ην τιμή του που βρήκαμε στο ερώτημα (β) να λύσετε την εξίσωση (1) ΘΕΜΑ 5 Η ευθεία : x (1 ) y 3 τέμνει τον άξονα xx στο σημείο με τετμημένη 5 και διέρχεται από το σημείο (5,4) i). Να βρείτε τους αριθμούς και ii). Να σχεδιάσετε την ευθεία ( ) και να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει με τους άξονες.
ΘΕΜΑ 6 Δίνονται οι ευθείες : ( ) x y 1 και : x (6 ) y 4 1 Η ευθεία ( 1 ) τέμνει τον άξονα xx στο σημείο με τετμημένη 4, ενώ η ευθεία ( ) τέμνει τον άξονα yy στο σημείο με τεταγμένη. i). Να βρείτε τους αριθμούς και ii). Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών ( 1 ) και ( ) ΘΕΜΑ 7 x y 4 Δίνεται το σύστημα ( 3) x ( ) y 45 Να βρείτε τους αριθμούς και, ώστε το σύστημα να έχει λύση το ζεύγος ( x, y) (5,) ΘΕΜΑ 8 Η παραβολή y x 4x διέρχεται από το σημείο ( 3, ). Να βρείτε i). Τον αριθμό λ ii). Το σημείο τομής Α της παραβολής με τον άξονα yy iii).την κορυφή Κ της παραβολής iv).το εμβαδόν του τριγώνου ΚΑΟ, όπου Ο η αρχή των αξόνων ΘΕΜΑ 9 Η παραβολή y x x έχει κορυφή το σημείο ( 1, 4). Να βρείτε: i). Τους αριθμούς και ii). Τα σημεία τομής Α και Β της παραβολής με τον άξονα iii).το εμβαδόν του τριγώνου ΚΑΒ xx 3
ΘΕΜΑ 10 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά τμήματα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να αποδείξετε ότι i). ii). Τα τρίγωνα και είναι ίσα iii).το τρίγωνο είναι ισοσκελές ΘΕΜΑ 11 Δίνεται τρίγωνο και το ύψος του. Προεκτείνουμε τις πλευρές του και κατά τμήματα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ και Ε ισαπέχουν από την ευθεία. 4
ΘΕΜΑ 1 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με φέρουμε και. Από τυχαίο σημείο Δ της i). Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια ii). Να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν από την ομοιότητα. ΘΕΜΑ 13 Έστω γωνία, με 0 180, για την οποία ισχύει i). Να εξετάσετε αν η γωνία είναι οξεία ή αμβλεία. ii). Να βρείτε την τιμή της παράστασης 1 5 13 6 10 150 ΘΕΜΑ 14 Δίνεται αμβλεία γωνία ω, για την οποία ισχύει 9 6 1 0. Να βρείτε i). Το ii). Το και την iii).τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 180 5
ΘΕΜΑ 15 1. Να λυθεί η εξίσωση: x 5x 0. Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο: x 5x 0 x 3x 3. Να λυθεί η εξίσωση: x 1 x x 5x ΘΕΜΑ 16 Δίνεται η παράσταση x x x 5x 3 3 3 x 5x x 5x 1. Να απλοποιήσετε την παράσταση. Να λύσετε την εξίσωση 0 ΘΕΜΑ 17 1. Να λύσετε την εξίσωση y 11y 1 0. Αν y 1, y είναι οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης με y1 y να λύσετε την 1 1 εξίσωση y y y y x 1 x 1 x 1 ΘΕΜΑ 18 1. Να αποδείξετε ότι το x 1 3 () x x x 5 x είναι παράγοντας του πολυωνύμου 1 x 1. Να λύσετε την εξίσωση 3 x 1 x x x 5x ΘΕΜΑ 19 1. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις a. b. c. x 3x 4 3 x x x x 4x. Για ποιες τιμές του x δεν ορίζονται οι παραστάσεις x 3 x 5 3 3x 4 x x x 3. Να λυθεί η εξίσωση Α = Β + Γ 4 x 4x 6
.ΚΑΙ ΑΛΛΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΡΙΖΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ 1) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: ) Να αποδείξετε ότι: i. 3) Να απλοποιήσετε την παράσταση:, όπου 4) Να αποδείξετε ότι ο αντίστροφος του αριθμού είναι ο αριθμός 5) Αν να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 6) Να δείξετε ότι: 7
7) Αν να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης: 8) Αν και να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i. i ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ 9) Έστω η εξίσωση:. Εάν γνωρίζεται πως η ρίζα της εξίσωσης και ο αντίστροφος της έχουν άθροισμα να βρείτε την τιμή του α. 10) Να βρείτε δυο διαδοχικούς περιττούς αριθμούς με άθροισμα τετραγώνων 74. 11) Να βρείτε 3 διαδοχικούς ακέραιους αν γνωρίζετε ότι το άθροισμα τους και το γινόμενο τους είναι ίσα. 1) Να αποδείξετε ότι: 13) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο: i. Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση: Να απλοποιήσετε την Κ και να αποδείξετε ότι: 14) Να λύσετε τις εξισώσεις: και i. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: και 8
Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση: i Να απλοποιήσετε την παράσταση Α 15) Δίνονται τα πολυώνυμα: και i. Να παραγοντοποιήσετε τα Για ποια ορίζονται τα: i Να λύσετε την εξίσωση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 16) Δίνεται η συνάρτηση:. Αν ο άξονας συμμετρίας της είναι η ευθεία και η γραφική παράσταση της τέμνει τον στο σημείο i. Να δείξετε ότι: και i Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα x x Να βρείτε αν παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο και ποιο είναι αυτό 17) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης: είναι μια παραβολή που τέμνει τον στα σημεία και τον άξονα στο σημείο. Να βρείτε τα α, β, γ και να την σχεδιάσετε. 18) Δίνονται οι ευθείες : ( ) x y 1 και : x (6 ) y 4. Η ευθεία 1 ( 1 ) τέμνει τον άξονα xx στο σημείο με τετμημένη 4, ενώ η ευθεία ) άξονα yy στο σημείο με τεταγμένη. i. Να βρείτε τους αριθμούς και Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών ( 1 ) και ( ) ( τέμνει τον 19) Η παραβολή y x 4x διέρχεται από το σημείο ( 3, ). Να βρείτε v). Τον αριθμό λ vi).το σημείο τομής Α της παραβολής με τον άξονα 9 yy
vii). Την κορυφή Κ της παραβολής viii). Το εμβαδόν του τριγώνου ΚΑΟ, όπου Ο η αρχή των αξόνων ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 0) Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει ότι: i. Να βρείτε τα: και την Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 1) Δίνεται μια αμβλεία γωνία ω, για την οποία ισχύει: i. Να βρείτε το Να βρείτε την τιμή της παράστασης: ) Αν και να υπολογισθούν i. Οι τριγωνμετρικοί αριθμοί της γωνίας ω Η παράσταση: 3) Να αποδείξετε ότι: i. ΤΡΙΓΩΝΑ 4) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μέσο της ΒΓ. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ (προς το μέρος των Β και Γ) παίρνουμε αντίστοιχα τμήματα ΒΔ=ΓΕ. Να δείξετε ότι: i. ΔΜ=ΕΜ Τα Δ, Ε ισαπέχουν από την ΒΓ 10
5) Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι: και το ύψος του είναι. Αν να βρείτε: i. για ποια τιμή του το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γίνεται μέγιστο τη μέγιστη τιμή του εμβαδού 6) Στο παρακάτω σχήμα η ΒΔ είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( ). Αν ισχύει ότι: και να βρείτε i. Το τμήμα ΑΔ Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. Β φ Γ ω Δ Α 7) Το τραπέζιο ΑΒΓΔ του παρακάτω σχήματος έχει βάσεις και και ισχύει: και. Να βρείτε: i. Το ύψος ΒΕ το και την i τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. Α 9 Β 0 φ Δ 30 Γ ω 11
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 8) Έστω οι ευθείες και και i. Να βρείτε το σημείο τομής Α των ευθειών Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η ευθεία να διέρχεται από το Α i Για να σχεδιάσετε την ευθεία και να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από την ευθεία και τους άξονες. 9) Αν το σύστημα έχει λύση την να βρείτε τα 1
13