Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive) Παραγωγικός συλλογισμός (deductive) Εις άτοπον απαγωγή Μαθηματική επαγωγή Οι τρόποι (μέθοδοι) απόδειξης είναι μαθηματικοί τρόποι τους οποίους χρησιμοποιούμε για να φτάσουμε σε κάποια συμπεράσματα. Συμπληρώστε την σειρά: 3, 6, 9, 1, 15,? Βλέπουμε ότι αυξάνεται κατά 3, γι αυτό λέμε ότι το επόμενο θα είναι το 18 (πολλαπλάσια του 3). Υπάρχει πιθανότητα όμως μετά να είναι το 4, γιατί οι πέντε πρώτοι αριθμοί είναι πολλαπλάσια του 3 (1x3, x3, 3x3, 4x3, 5x3) και οι επόμενοι πέντε να είναι πολλαπλάσια του 4 (1x4, x4, 3x4, ). Σύμφωνα με τον επαγωγικό συλλογισμό, πιο σωστό θα ήταν να λέγαμε κατά πάσα πιθανότητα ο επόμενος αριθμός θα είναι το 18, δηλαδή να υποθέσουμε. Εκτός, αν μας πουν ότι οι αριθμοί είναι πολλαπλάσια του 3, δηλαδή αν μας πουν τον κανόνα, οπότε σίγουρα θα είναι το 18. Αν δεν μας πουν όμως τον κανόνα, τότε κάνουμε έναν συλλογισμό σχετικά με την διαδοχή των αριθμών και διατυπώνουμε μία υπόθεση για το τι ενδεχομένως ακολουθεί αλλά δεν μπορούμε να το πούμε με σιγουριά. Στον επαγωγικό συλλογισμό, δηλαδή, διατυπώνουμε απλά μια υπόθεση για το τι θα ακολουθήσει χωρίς απόλυτη βεβαιότητα (δεν μπορούμε να είμαστε ποτέ σίγουροι, εκτός αν κάποιος μας έχει πει τον κανόνα). Ένα παιχνίδι που παίξαμε ήταν το εξής : Σκέψου έναν αριθμό Πολλαπλασίασέ τον με το 8 Πρόσθεσε 6 στο γινόμενο Διαίρεσε το άθροισμα με Αφαίρεσε 3 από το αποτέλεσμα Μετά το παιχνίδι έγινε σε ζευγάρια και ο καθένας προσπαθούσε να βρει τον αρχικό αριθμό που σκέφτηκε το ζευγάρι του καθώς και την συσχέτιση αρχικού και τελικού αριθμού.
Κάποια παιδιά προκειμένου να βρουν ποιον αριθμό σκέφτηκε αρχικά ο διπλανός τους ακολούθησαν την αντίθετη πορεία. Ο τελικός αριθμός βρέθηκε σε κάθε περίπτωση συγκεκριμένων αριθμών τετραπλάσιος του αρχικού. Φαίνεται λοιπόν ότι όταν ακολουθείς τα βήματα μάλλον σε οδηγούν σε έναν αριθμό που είναι τετραπλάσιος του αρχικού. Άρα, άμα ξέρω ότι ο τελικός αριθμός είναι τετραπλάσιος του αρχικού, διαιρώ με το 4 και βρίσκω τον αρχικό. Μέχρις εδώ είμαστε στο πλαίσιο του επαγωγικού συλλογισμού: έχουμε μία υποψία ότι ακολουθώντας τα βήματα καταλήγουμε σε έναν αριθμό τετραπλάσιο του αρχικού δεν είμαστε όμως απολύτως σίγουροι, γι αυτό για να βεβαιωθούμε ότι ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό κι αν χρησιμοποιήσουμε, θα πρέπει να καταλάβουμε γιατί τα συγκεκριμένα βήματα οδηγούν σε τετραπλάσιο αποτέλεσμα ακολουθώντας την εξής διαδικασία. Αρχικά θέτουμε ως x τον αρχικό αριθμό (συμβολίζει τον οποιονδήποτε αριθμό). Μετά ακολουθούμε τα βήματα της άσκησης και αντί για τον αριθμό χρησιμοποιούμε το x. x 8 = 8x 8x + 6 = 8x + 6 8x 6 8x 6 (8x + 6) : = 4x + 3 ή 4x 3 (4x + 3) 3 = 4x Άρα επιβεβαιώσαμε ότι ακολουθώντας αυτά τα βήματα, ανεξαρτήτως αριθμού, ο τελικός αριθμός θα είναι πάντα τετραπλάσιος του αρχικού, χωρίς καμία αμφιβολία, μετά από συγκεκριμένες ενέργειες είμαστε απολύτως σίγουροι. Έτσι διατυπώσαμε ένα γενικό συμπέρασμα πέρα από κάθε αμφιβολία. Τα βήματα τα οποία χρησιμοποιήσαμε για να αποδείξουμε ότι αυτό ισχύει ανήκουν στον παραγωγικό συλλογισμό (με μαθηματικούς συλλογισμούς καταλήγουμε στην απόλυτη βεβαιότητα). SOS: Στον επαγωγικό συλλογισμό υποθέτουμε ότι το φαινόμενο θα επαναληφθεί και ουσιαστικά κάνουμε δοκιμές μέχρι να καταλήξουμε σε μία πρόταση, την οποία στη συνέχεια θα αποδείξουμε με αυστηρά μαθηματικά, ενώ στον παραγωγικό συλλογισμό βασιζόμενοι στην υπόθεση καταλήγουμε σε ένα συμπέρασμα, αφού στα μαθηματικά για να έχουμε παραγωγικό συλλογισμό πρέπει να αποδείξουμε κάτι. Μετά μας ζητήθηκε να φτιάξουμε κι εμείς ένα παρόμοιο παιχνίδι όπου ο τελικός αριθμός θα είναι τριπλάσιος του αρχικού. Ένα παιχνίδι που φτιάχτηκε ήταν το εξής: Σκέψου έναν αριθμό Πολλαπλασίασέ τον με το 6 Πρόσθεσε στο γινόμενο Διαίρεσε το άθροισμα με το Αφαίρεσε 1 από το αποτέλεσμα Μετά από επαγωγικό συλλογισμό βρίσκουμε ότι αυτό ισχύει για μερικούς αριθμούς. Στη συνέχεια θέλουμε να αποδείξουμε ότι ισχύει για κάθε αριθμό (παραγωγικός συλλογισμός):
Ορίζω ως κάθε αριθμό τον x 6 x = 6x 6x + = 6x + (6x + ) : = 3x + 1 3x + 1 1 = 3x Στα μαθηματικά όλα ξεκινούν από υποθέσεις. Ένας συνδυασμός επαγωγικού και παραγωγικού συλλογισμού είναι το πώς ο Γαλιλαίος ανακάλυψε τον νόμο του εκκρεμούς, έναν νόμο που συνδέει την περίοδο της ταλάντωσης (Τ) με το μήκος του σκοινιού που κρέμεται το μπαλάκι: πήγε στο εργαστήριό του πήρε ένα εκκρεμές με μήκος 10cm, χρονομέτρησε κι έφτιαξε έναν πίνακα, ομοίως και για άλλες μετρήσεις. Στο τέλος, εξετάζοντας τα δεδομένα προσπάθησε να ανακαλύψει τον τύπο, δηλαδή να βρει αν αυτά τα δύο νούμερα (μήκος σχοινιού και χρόνος ταλάντωσης) συνδέονται μεταξύ τους με μαθηματικό τρόπο και με ποιον τύπο. Με βάση τα δεδομένα διατύπωσε μία υπόθεση. Ποτέ δεν μπορείς να πεις ότι ο τύπος στον οποίο φτάνω είναι αληθής μόνο και μόνο επειδή παρατηρείς κάποια αριθμητικά δεδομένα, διατυπώνεις απλώς κάποιες υποθέσεις για το ποιο μπορεί να είναι το μοτίβο. Επίσης παραγωγικό συλλογισμό ακολουθώ όταν έχω μια βάσιμη υποψία και αποδεικνύω γιατί συμβαίνει κάτι. Αντίθετα, στον επαγωγικό συλλογισμό κάνω πολλές δοκιμές. Με βάση τα δεδομένα διατύπωσε μια υπόθεση: Αν προσθέσουμε δύο περιττούς αριθμούς το άθροισμά τους είναι περιττός αριθμός; Παίρνω πολλά παραδείγματα που θα με βοηθήσουν αρχικά να διατυπώσω μία υπόθεση. 3+5=8 (επαγωγικός συλλογισμός) 1+7=8 Η υπόθεση πως όταν προσθέσουμε δύο περιττούς καταλήγουμε σε 5+7=1 περιττούς φαίνεται να μην ισχύει για τα συγκεκριμένα ζευγάρια 3+11=14 αριθμών, αφού καταλήγουμε σε άρτιο αποτέλεσμα. Πρέπει να επιβεβαιώσω την υποψία μου με αυστηρό μαθηματικό τρόπο (παραγωγικός συλλογισμός). Θέτω τον έναν περιττό αριθμό ν+1 και τον άλλο κ+1 ακολουθώντας τις γενικές μαθηματικές αρχές (μαθηματικές παραδοχές). Ο περιττός αριθμός δεν διαιρείται με το άρα δεν έχει την μορφή ν αλλά μπορούμε να τον συναντήσουμε με τις εξής μορφές: ν+1 ή ν-1. Επίσης τον δεύτερο περιττό τον θέτω κ+1 για να τον ξεχωρίζω απλά από τον πρώτο.
(ν+1)+(κ+1)=ν+κ+ 1=(ν+κ+1) άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα με αποδεκτά βήματα πως οποιουσδήποτε δύο περιττούς αριθμούς κι αν προσθέσω θα προκύπτει ένα άρτιο αποτέλεσμα. Άμα πολλαπλασιάσω δύο περιττούς, το γινόμενό τους τι θα είναι; 3x5=15 Υποθέτουμε ότι το γινόμενο δύο περιττών αριθμών 9x9=81 θα είναι περιττός αριθμός. 3x11=33 3x3=9 3x7=1 Έστω ο ένας περιττός αριθμός ν+1 και ο άλλος κ+1. (ν+1) (κ+1)= κν + ν +κ + 1= (νκ+ν+κ) + 1 Μπορώ το νκ+ν+κ να το θέσω ως Α, άρα (νκ+ν+κ)+1 = Α + 1 Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως αν πολλαπλασιάσεις δύο περιττούς αριθμούς, το γινόμενό τους θα είναι σίγουρα περιττός αριθμός. Για διευκόλυνση σε όσους δεν θυμούνταν την επιμεριστική ιδιότητα δόθηκε το εξής παράδειγμα: Ένας πατέρας μοίρασε και έδωσε στους δύο γιούς του το παρακάτω χωράφι. Τα παιδιά σκέφτηκαν να το πουλήσουν και θέλησαν να υπολογίσουν το εμβαδόν του χωραφιού. Καθένας τους το έκανε με εντελώς διαφορετικό τρόπο. Ποιοι είναι οι δύο τρόποι με τους οποίους τα παιδιά υπολόγισαν το εμβαδόν του χωραφιού; α β γ Οι δύο τρόποι με τους οποίους υπολόγισαν τα παιδιά το εμβαδόν του οικοπέδου και έβγαλαν το ίδιο αποτέλεσμα, ήταν οι εξής: α(β+γ) (βρήκε το μήκος της μίας πλευράς και υπολόγισε το εμβαδόν του ορθογώνιου οικοπέδου) αβ+αγ (εμβαδόν κάθε τμήματος του χωραφιού ξεχωριστά) Η ιδιότητα α(β+γ)=αβ+αγ στο δημοτικό είναι γνωστή ως ελληνικός πολλαπλασιασμός ενώ σε μεγαλύτερες τάξεις ως επιμεριστική ιδιότητα.
Ομοίως η ιδιότητα (α+β)(γ+δ) που είναι η επιμεριστική με μία πιο σύνθετη μορφή, ουσιαστικά είναι σαν να έχω δύο επιμεριστικές(κρύβω πρώτα το β και μετά το α). α β γ δ άρα θα ισχύει: (α+β)(γ+δ)=αγ+αδ+βγ+βδ Το τετράγωνο περιττού αριθμού τι αριθμός είναι; Θέτω τον περιττό αριθμό ν+1. (ν+1) = 4ν +4ν+1=(ν +ν)+1 άρα είναι περιττός αριθμός. Η ιδιότητα (α+β) με ένα σχήμα: α β α α αβ α β αβ β β α β άρα (α+β) =α +αβ+αβ+β =α +αβ+β ή (α+β) = (α+β)(α+β)=αα+αβ+αβ+ββ=α +αβ+β Ομοίως και το x. x x Δεν πρέπει ποτέ να στηριζόμαστε στον επαγωγικό συλλογισμό. Πάνω στην περίμετρο ενός κύκλου έχω ένα τυχαίο σημείο. Σε πόσα μέρη χωρίζεται ο κύκλος; Σε ένα.
Αν είχαμε δύο σημεία, σε πόσα μέρη χωρίζεται ο κύκλος; Σε δύο. Σημείωση: Τα μέρη είναι μη επικαλυπτόμενα Σημείο Μέρη 1 1 3 4 4 8 5 16 6 31 sos! Δεν ακολουθούμε τον επαγωγικό συλλογισμό γιατί μας βγάζει λάθος αποτέλεσμα, καθώς τα μέρη στα οποία χωρίζεται ο κύκλος όταν έχουμε 6 σημεία είναι 31, και όχι 3 που βγαίνει από τον επαγωγικό συλλογισμό. Παραγωγικό συλλογισμό έχουμε όταν κάνουμε χρήση αντιπαραδειγμάτων. Δηλαδή αν κάποιος πει ότι αυτό ισχύει πάντα και θέλουμε να το καταρρίψουμε, φτάνει να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα με επαγωγικό συλλογισμό για το οποίο δεν θα ισχύει. Άρα έτσι καταρρίπτεται όλη η θεωρία. Δηλαδή στα μαθηματικά η εξαίρεση δεν επιβεβαιώνει τον κανόνα. Τι είναι η απόλυτη τιμή ενός αριθμού; Είναι η απόστασή του από το 0 (δεν υπάρχει θετική ή αρνητική απόσταση, καθώς είναι ένας καθαρός αριθμός). π.χ. το x >0 ισχύει πάντα; Η απάντηση είναι ότι δεν ισχύει πάντα, καθώς δεν περιλαμβάνει την περίπτωση όπου x=0. Π.χ. -3 =3 3 =3 άρα -3 = 3 Ένα πρόβλημα το οποίο συνδυάζει επαγωγικό και παραγωγικό συλλογισμό είναι το πρόβλημα με τις χειραψίες.
Μία τάξη στην έκτη δημοτικού είχε 5 παιδιά. Ο δάσκαλος είπε στα παιδιά να συστηθούν μεταξύ τους κάνοντας χειραψίες μία φορά με όλους (και φυσικά όχι με τους εαυτούς τους). Τελικά πόσες χειραψίες έγιναν; Μία σκέψη που διατυπώθηκε ήταν πως αν ο ένας έκανε 4 χειραψίες τότε τα 5 άτομα θα έκαναν 4x5=600 χειραψίες. Μία συμβουλή που δίνει ο Goliath (πατέρας της επίλυσης προβλημάτων) είναι πως αν δεν μπορείς να λύσεις ένα πρόβλημα, ξαναδιατύπωσέ το με μικρότερους αριθμούς. Δηλαδή 5 άνθρωποι σε ένα πάρτι είναι πολλοί αν λέγαμε π.χ. ότι ήταν 3 άνθρωποι στο πάρτι το πρόβλημα θα λυνόταν πιο απλά. Επίσης ένα πρόβλημα το οποίο μπορεί να μας φαίνεται δύσκολο και να μην ξέρουμε πώς να ξεκινήσουμε να το λύνουμε, με απλή σκέψη και καταγραφή των δεδομένων μπορεί να λυθεί. Αν οι μαθητές ήταν 3, θα γίνονταν 3 χειραψίες. Αν ακολουθούσαμε την παραπάνω σχέση θα έπρεπε να πούμε το εξής: Αν ο 1 κάνει χειραψίες τότε οι 3 κάνουν 6 χειραψίες. Εφαρμόζοντάς το όμως στην πραγματικότητα είδαμε ότι κάνουν 3 χειραψίες, δηλαδή κάποιες χειραψίες έχουν ξαναγίνει. Ένας τρόπος να δείξουμε κάποια πράγματα είναι να τα ζωγραφίσουμε. Αν ήταν 4 άτομα θα γίνονταν 6 χειραψίες. Αν ήταν 5 άτομα θα γίνονταν 10 χειραψίες. Μετά όμως από τα πέντε άτομα αρχίζει και δυσκολεύει η απεικόνιση, επομένως προσπαθούμε να βρούμε έναν κανόνα (βρισκόμαστε στον επαγωγικό συλλογισμό). Όταν θα είναι 6 άτομα, θα γίνουν κατά πάσα πιθανότητα 5+4+3++1 χειραψίες. Οπότε βελτιώνοντας την πρόταση που διατυπώθηκε, πως αν ο ένας έκανε 4 χειραψίες τότε τα 5 άτομα θα έκαναν 4 5=600 θα διαιρέσουμε το 600 με το, άρα το αποτέλεσμα
των χειραψιών είναι 300 χειραψίες (διαιρούμε με το γιατί οι χειραψίες μετριούνται δύο φορές). Δεν είμαστε απολύτως βέβαιοι, απλά είναι ένα συμπέρασμα και θέλουμε να σιγουρευτούμε ακόμα περισσότερο, δηλαδή να είμαστε απολύτως σίγουροι για τον τύπο που βρήκαμε. Αν οι άνθρωποι ήταν ν τότε: Ο 1 θα κάνει ν-1 χειραψίες Α τρόπος (με αναλογίες) v( v 1) ν νομίζω ότι αυτός είναι ο τύπος. Β τρόπος (αποτέλεσμα σαν άθροισμα) (ν-1)+(ν-)+(ν-3)+ +3++1 κατά πάσα πιθανότητα εκφράζουν. v( v 1) Εάν αποδεικνύαμε ότι το με το (ν-1)+(ν-)+ +1 είναι το ίδιο ακριβώς πράγμα, θα είχαμε πειστεί ότι αυτή είναι η λύση στο πρόβλημά μας, δηλαδή με ποιο τρόπο αν το προσεγγίζαμε και το γενικεύαμε να καταλήγαμε σε μία λύση. Επίσης και οι δύο είναι τύποι που φτάσαμε κάνοντας δοκιμές και κατά πάσα πιθανότητα εκφράζουν την λύση του προβλήματος. Χρησιμοποιώντας αυτό που είχε σκεφτεί ο μικρός Gauss όταν τους έδωσε το παρακάτω πρόβλημα ο δάσκαλός τους: 1++3+4+ +99+100 = 50 101 = 100 *101 Δηλαδή παρατήρησε ότι ο πρώτος (1) και ο τελευταίος (100) αριθμός κάνουν μαζί 101, ο δεύτερος () και ο προτελευταίος αριθμός (99) κάνουν 101, ομοίως και οι υπόλοιποι, και 100 υπολογίζοντας πως είχε 50 ( ) ζευγάρια, κατέληξε στο αποτέλεσμα. Έτσι, ακολουθώντας την λογική του Gauss: v 1 Έχουμε ν-1 αριθμούς, άρα ζευγάρια και κάθε ζευγάρι δίνει άθροισμα ν, άρα όλα τα v( v 1) ζευγάρια θα έχουν άθροισμα, δηλαδή καταλήξαμε πάλι στον ίδιο τύπο. ν (ν-1)+(ν-)+(ν-3)+ +1 ν-1 v( v 1) άρα, όπου ν το άθροισμα των ατόμων και (ν-1) τα ζευγάρια.
Ερώτηση: Πόσες διαγώνιες έχει ένα δεκαπεντάγωνο; Αφού έχει 15 κορυφές τότε 15 14 =105, στην πραγματικότητα όμως υπολογίσαμε πως αν αυτοί είναι άνθρωποι που κάνουν χειραψίες, πόσες χειραψίες θα γίνουν. Το πρόβλημα όμως ζητάει μόνο τις διαγώνιες, γι αυτό θα αφαιρέσουμε 15, γιατί το 105 δεν είναι μόνο οι διαγώνιες αλλά και οι πλευρές. Άρα 105-15 = 90 διαγώνιες. Άρα ενός ν-γώνου οι διαγώνιες θα είναι: v( v 1) v v v v v 3v Διαγώνιες είναι οι ευθείες που ενώνουν δύο γωνίες. Και το πιο δύσκολο πράγμα στα μαθηματικά μπορεί να εξηγηθεί με απλά λόγια, όπως είναι το ολοκλήρωμα, το οποίο είναι το εμβαδόν μίας περίεργης περιοχής. Μία ακόμη μέθοδος που θα δούμε αργότερα είναι η μέθοδος της εξάντλησης. Άσκηση Να αποδείξετε ότι το άθροισμα δύο άρτιων αριθμών είναι άρτιος και γιατί;