Δεύτερο πακέτο ασκήσεων

ΕΚΠΑ Ακαδημαϊκό έτος 018-019 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι Δεύτερο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 7 Δεκεμβρίου (στο μάθημα της κ. Κουραντή, του κ. Παπανδρέου ή του κ. Πινόπουλου). Θα υπάρξει και δυνατότητα να στείλετε τις λύσεις ηλεκτρονικά με σύνδεσμο που θα ανακοινωθεί στο eclass. Φροντίστε να κρατήσετε ένα αντίγραφο για τον εαυτό σας για να μπορέσετε να κάνετε αυτο-βαθμολόγηση. Οι λύσεις θα αναρτηθούν στο τέλος της ίδιας μέρας και εργασίες δε θα γίνονται δεκτές μετά από αυτή την ημέρα. Οι συνολικές μονάδες για το πακέτο είναι 10. Σε κάθε άσκηση αναφέρονται οι μονάδες που της αντιστοιχούν. Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Υ-ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ (10 ερωτήσεις 0.3 μονάδες = 3 μονάδες) 1. Εάν ένας καταναλωτής καταναλώνει μόνο δυο αγαθά, τότε είναι δυνατόν και τα δυο αγαθά να είναι κατώτερα. ΛΑΘΟΣ Εφόσον πρέπει πάντα να βρίσκεται πάνω στην γραμμή του εισοδηματικού περιορισμού, το ένα τουλάχιστον αγαθό θα πρέπει να είναι κανονικό. Έστω Χ και Υ τα δυο αγαθά, το αγαθό Χ είναι κατώτερο και το εισόδημα αυξάνεται. Σε αυτή την περίπτωση, η αύξηση του εισοδήματος οδηγεί σε μείωση του Χ και συνεπώς σε μείωση του p Χ Χ. p X X + p Y Y (? ) = m Άρα, δεδομένου ότι πρέπει να ικανοποιείται πάντα ο εισοδηματικός περιορισμός, θα πρέπει οπωσδήποτε να αυξάνεται το p Υ Υ, και συνεπώς να αυξάνεται το αγαθό Υ. Αύξηση του Υ λόγω αύξησης του εισοδήματος σημαίνει ότι το Υ είναι κανονικό.. Αν η συνάρτηση ζήτησης είναι x 1 = p 1, τότε η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης είναι x 1 = 1 p 1. ΛΑΘΟΣ Η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης εκφράζει την τιμή συναρτήσει της ζητούμενης ποσότητας, άρα p 1 = x 1 3. Έστω ότι οι προτιμήσεις είναι κοίλες. Το αποτέλεσμα υποκατάστασης εξακολουθεί να είναι αρνητικό. 1

Το αποτέλεσμα υποκατάστασης εξαρτάται από την κλίση των καμπυλών αδιαφορίας και όχι από την κυρτότητα. 4. Αν δυο αγαθά είναι υποκατάστατα, τότε η αύξηση της τιμής του ενός αγαθού θα μειώσει την ζήτηση του άλλου. ΛΑΘΟΣ Αν δυο αγαθά είναι υποκατάστατα, τότε η αύξηση της τιμής του ενός αγαθού θα αυξήσει την ζήτηση του άλλου. 5. Στην περίπτωση που καταναλώνονται δυο αγαθά, αν ένα αγαθό είναι κατώτερο τότε το άλλο αγαθό πρέπει να είναι αγαθό πολυτελείας. Ο εισοδηματικός περιορισμός δίνεται από Παραγωγίζω και τις δυο πλευρές ως προς m p 1 x 1 + p x = m x 1 p 1 m + p x m = 1 Πολλαπλασιάζω και διαιρώ τον πρώτο όρο στα αριστερά της παραπάνω ισότητας με x 1 και m, ενώ πολλαπλασιάζω και διαιρώ τον δεύτερο όρο στα αριστερά με x και m Με αναδιάταξη όρων παίρνουμε Η παραπάνω γράφεται ως x 1 x 1 m p 1 m x 1 m + p x x m m x m = 1 p 1 x 1 x 1 m m m + p x x 1 m (1) s 1 ε 1 Μ + s ε Μ = 1 x m = 1 m x όπου 0 < s 1, s < 1 είναι το ποσοστά της δαπάνης για τα αγαθά 1 και, ενώ ε 1 Μ, ε Μ είναι οι εισοδηματικές ελαστικότητες των αγαθών 1 και αντίστοιχα. Έστω ότι το αγαθό 1 είναι κατώτερο, δηλ. η εισοδηματική του ελαστικότητα είναι αρνητική, ε 1 Μ < 0. Άρα και s 1 ε 1 Μ < 0. Για να ισχύει η (1) θα πρέπει s ε Μ > 1. Εφόσον s < 1 τότε ε Μ > 1 που σημαίνει ότι το αγαθό θα πρέπει να είναι πολυτελείας. 6. Εάν η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή για ένα αγαθό είναι -1, τότε όταν η ποσότητα του αγαθού διπλασιάζεται, η συνολική δαπάνη για το αγαθό επίσης διπλασιάζεται.

ΛΑΘΟΣ Όταν ε = 1, η ποσοστιαία μεταβολή της ποσότητας είναι ίση με την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής, οπότε η συνολική δαπάνη για το αγαθό παραμένει αμετάβλητη. 7. Εάν ένας καταναλωτής καταναλώνει μόνο δυο αγαθά και το ένα αγαθό είναι αγαθό Giffen, τότε το άλλο αγαθό θα πρέπει να είναι κανονικό. Ένα αγαθό Giffen είναι οπωσδήποτε και κατώτερο. Συνεπώς, εφόσον το ένα αγαθό είναι κατώτερο, το άλλο θα πρέπει να είναι κανονικό (δες απάντηση στην (1)). 8. Ένας καταναλωτής δαπανά όλο το εισόδημά του σε δυο αγαθά, Χ και Υ. Εάν μια αύξηση της τιμής του Χ δεν μεταβάλλει την καταναλισκόμενη ποσότητα του Υ, τότε η ελαστικότητα ζήτησης για το αγαθό Χ είναι -1. Εφόσον το Υ είναι σταθερό και η τιμή του δεν αλλάζει επίσης, τότε η δαπάνη για το Υ είναι σταθερή. Αφού ούτε το εισόδημα αλλάζει, και δεδομένου ότι πρέπει να ικανοποιείται πάντα ο εισοδηματικός περιορισμός, η δαπάνη για το Χ είναι επίσης σταθερή. Άρα άλλαξε η τιμή του Χ και η συνολική δαπάνη δεν μεταβλήθηκε. Αυτό συμβαίνει μόνο όταν η ελαστικότητα ζήτησης είναι ίση με -1 (η ποσοστιαία μεταβολή της ποσότητας είναι ίση με την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής). 9. Ένας καταναλωτής καταναλώνει δύο αγαθά. Το ένα από αυτά είναι αγαθό Giffen. Αν η τιμή του αγαθού Giffen αυξηθεί, η ζήτηση για το άλλο αγαθό πρέπει να μειωθεί. Έστω x το αγαθό Giffen και y το άλλο αγαθό. Εφόσον είναι Giffen, τότε όταν p x αυξάνει, x αυξάνει και άρα p x x αυξάνει. Εφόσον το εισόδημα δεν αλλάζει, και δεδομένου ότι πρέπει να ικανοποιείται πάντα ο εισοδηματικός περιορισμός, τότε θα πρέπει y να μειώνεται. Εφόσον δεν υπάρχει μεταβολή της τιμής τότε θα πρέπει y να μειώνεται. 10. Εάν η τιμή ενός αγαθού αυξηθεί και η εισοδηματική του ελαστικότητα είναι θετική, τότε η ζητούμενη ποσότητα του θα μειωθεί οπωσδήποτε. Εάν όμως η τιμή του αγαθού αυξηθεί και η εισοδηματική του ελαστικότητα είναι αρνητική, η ζητούμενη ποσότητα του μπορεί να αυξηθεί η να μειωθεί. εισοδηματική ελαστικότητα θετική = κανονικό αγαθό και άρα αποτέλεσμα εισοδήματος αρνητικό. Το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι πάντα αρνητικό οπότε σε αυτή την περίπτωση μια αύξηση της τιμής θα μειώσει σίγουρα την ζητούμενη ποσότητα. εισοδηματική ελαστικότητα αρνητική = κατώτερο αγαθό και άρα αποτέλεσμα εισοδήματος θετικό. Το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι πάντα αρνητικό οπότε σε αυτή την περίπτωση μια αύξηση της τιμής θα μειώσει ή αυξήσει την ζητούμενη ποσότητα ανάλογα του ποιο αποτέλεσμα είναι πιο ισχυρό. 3

Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ/ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (7 μονάδες) 1. Η Αναστασία καταναλώνει δυο αγαθά x και y, και έχει συνάρτηση χρησιμότητας U = x + lny. H τιμή του x είναι p x, η τιμή του y είναι και το εισόδημα είναι m. (α) Ποιες είναι οι Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης για τα δυο αγαθά; (β) Ποια είναι η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας; (γ) Ποιες είναι οι Χικσιανές συναρτήσεις ζήτησης; (α) Η συνθήκη βελτιστοποίησης είναι MU x MU y = y = p x /. Συνδυάζοντας τη σχέση αυτή με τον εισοδηματικό περιορισμό, p x x + y = m, βρίσκουμε και x = m p x p x y = p x (ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Έχετε διδαχθεί 3 τρόπους για το πώς να βρίσκετε τις συναρτήσεις ζήτησης μέσω του προβλήματος μεγιστοποίησης του καταναλωτή. Εδώ παρουσιάζεται ο ένας από αυτούς θα πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε τις παραπάνω συναρτήσεις ζήτησης, αλλά και τις συναρτήσεις ζήτησης οποιουδήποτε προβλήματος μεγιστοποίησης σας δωθεί, και με τους 3 τρόπους.) (β) Αντικαθιστώ τις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης που βρήκα στο (α) στην συνάρτηση χρησιμότητας και παίρνω την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας V = m p x p x + ln ( p x ) (γ) Για να βρούμε τις Χικσιανές συναρτήσεις ζήτησης, λύνουμε την V (έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας) που βρήκαμε στο (β) ως προς m, και επειδή στο άριστο ισχύει m = e και V = u, θα πάρουμε την συνάρτηση δαπανών e = p x [1 + u ln ( p x )] Παραγωγίζοντας την συνάρτηση δαπανών ως προς τις τιμές, θα πάρω τις αντίστοιχες Χικσιανές συναρτήσεις ζήτησης 4

e p x = h x = u ln ( p x ) και e = h y = p x. Η Χριστίνα καταναλώνει δυο αγαθά x και y, και έχει συνάρτηση χρησιμότητας U = x 0.5 + y 0.5. H τιμή του x είναι p x, η τιμή του y είναι και το εισόδημα είναι m. (α) Ποιες είναι οι Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης της Χριστίνας για τα δυο αγαθά; (β) Τα δυο αγαθά x και y είναι για την Χριστίνα: (i) κανονικά ή κατώτερα; (ii) υποκατάστατα ή συμπληρωματικά; (α) Η συνθήκη βελτιστοποίησης είναι MU x MU y = y 0.5 x 0.5 = p x /. Συνδυάζοντας τη σχέση αυτή με τον εισοδηματικό περιορισμό, p x x + y = m, βρίσκουμε και (β) x = y = m p x (1 + p x ) m (1 + p x ) (i) x m = 1 p x (1+ p x py ) > 0, y = 1 m (1+ p > y px ) 0, άρα και τα δυο είναι κανονικά αγαθά. (ii) x = y = p x m (p x + ) > 0, άρα τα αγαθά είναι υποκατάστατα. 5

3. Ο Γιάννης καταναλώνει δυο αγαθά x και y, και έχει συνάρτηση χρησιμότητας U = xy. H τιμή του αγαθού x είναι 160, η τιμή του αγαθού y είναι 00 και το εισόδημα του Γιάννη είναι 8.000. (α) Ποια είναι η άριστη επιλογή του Γιάννη; (β) Η τιμή του αγαθού x αυξάνεται σε 50. Ποια είναι η νέα άριστη επιλογή του Γιάννη μετά την μεταβολή της τιμής; (γ) Αναλύστε την μεταβολή στη ποσότητα του x σε αποτέλεσμα υποκατάστασης κατά Hicks και σε αποτέλεσμα εισοδήματος. Ποιο είναι το εισόδημα που πρέπει να δώσουμε στον Γιάννη, έτσι ώστε με τις τελικές τιμές να βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο χρησιμότητας που βρισκόταν στις αρχικές τιμές; (δ) Αναλύστε την μεταβολή στη ποσότητα του x σε αποτέλεσμα υποκατάστασης κατά Slutsky και αποτέλεσμα εισοδήματος. Ποιο είναι το εισόδημα που πρέπει να δώσουμε στον Γιάννη, έτσι ώστε με τις τελικές τιμές να μπορεί να αγοράσει το αρχικό καλάθι αγαθών; ( μον.) (α) Η συνθήκη βελτιστοποίησης MU x MU y = p x / δίνει y/x = 4/5, δηλαδή 4x = 5y. Συνδυάζοντας τη σχέση αυτή με τον εισοδηματικό περιορισμό, 160x + 00y = 8.000 (με απλοποίηση γίνεται 4x + 5y = 00), βρίσκουμε x = 5, y = 0. Αντικαθιστώντας τις άριστες επιλογές στην συνάρτηση χρησιμότητας έχουμε V = 500. (β) H συνθήκη βελτιστοποίησης MU x MU y = p x / δίνει y/x = 5/4, δηλαδή 5x = 4y. Συνδυάζοντας τη σχέση αυτή με τον εισοδηματικό περιορισμό 50x + 00y = 8.000 (με απλοποίηση γίνεται 5x + 4y = 160), βρίσκουμε x = 16, y = 0. (ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Έχουμε δείξει 3 τρόπους για το πώς υπολογίζουμε τις άριστες ποσότητες των δυο αγαθών. Εδώ παρουσιάζεται η λύση με έναν από αυτούς θα πρέπει να είστε σε θέση να λύσετε τα (α) και (β) παραπάνω, αλλά και οποιοδήποτε πρόβλημα μεγιστοποίησης σας δωθεί, και με τους 3 τρόπους.) (γ) Η κατανάλωση του αγαθού x μειώθηκε κατά 5 16 = 9 μονάδες. Hicks: Ποιο είναι το εισόδημα που πρέπει να δώσουμε στον Γιάννη, έτσι ώστε με τις τελικές τιμές να βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο χρησιμότητας που βρισκόταν στις αρχικές τιμές; Το αρχικό επίπεδο χρησιμότητας (πριν την μεταβολή της τιμής) είναι 5 0 = 500. Στις τελικές τιμές ισχύει 5x = 4y, δηλαδή y = (5 4)x, και θέλω να έχω χρησιμότητα xy = 500. Αρα έχουμε (5 4)x = 500, δηλαδή x = 0, οπότε y = 5. 5 0 = 5 και 0 16 = 4: η μείωση της κατανάλωσης κατά 9 μονάδες αναλύεται σε μείωση 5 μονάδων λόγω αποτελέσματος υποκατάστασης και σε μείωση 4 μονάδων λόγω εισοδηματικού αποτελέσματος. Το εισόδημα που χρειάζεται ο Γιάννης για να αγοράσει τον συνδυασμό x = 0, y = 5 στις νέες τιμές είναι 0 50 + 5 00 = 10.000. Το εισόδημα του είναι 8.000 άρα θα πρέπει να του δώσουμε.000. (δ) Η κατανάλωση του αγαθού x μειώθηκε κατά 5 16 = 9 μονάδες. 6

Slutsky: Ποιο είναι το εισόδημα που πρέπει να δώσουμε στον Γιάννη, έτσι ώστε με τις τελικές τιμές να μπορεί να αγοράσει το αρχικό καλάθι αγαθών; Το εισόδημα που χρειάζεται ο Γιάννης για να αγοράσει τον αρχικό συνδυασμό x = 5, y = 0 στις νέες τιμές είναι 5 50 + 0 00 = 10.50. Το εισόδημα είναι 8.000 άρα θα πρέπει να του δώσουμε.50. Σύμφωνα με τον Slutsky, αποτέλεσμα εισοδήματος δεν θα υπήρχε αν δίναμε στο άτομο επιπλέον εισόδημα.50. Άρα για να απομονώσουμε το αποτέλεσμα υποκατάστασης υπολογίζουμε τις άριστες ποσότητες x και y στις νέες τιμές αλλά με εισόδημα 8.000 +.50 = 10.50. Στις νέες τιμές ισχύει ότι 5x = 4y και ο εισοδηματικός περιορισμός είναι 50x + 00y = 10.50. Η άριστη επιλογή του x και 0.5 μονάδες. Άρα 5 0.5 = 4.5 και 0.5 16 = 4.5: η μείωση της κατανάλωσης κατά 9 μονάδες αναλύεται σε μείωση 4.5 μονάδων λόγω αποτελέσματος υποκατάστασης και σε μείωση 4.5 μονάδων λόγω εισοδηματικού αποτελέσματος. 4. Έστω σε μια αγορά υπάρχουν μόνο δυο καταναλωτές, ο Βασίλης και η Άννα. H συνάρτηση ζήτησης του Βασίλη είναι Q Β (p) = 10 p ενώ η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης της Άννας είναι p(q Α ) = 10 Q Α. Να βρείτε την αγοραία συνάρτηση ζήτησης. Να σχεδιάσετε στο ίδιο διάγραμμα τις ατομικές καμπύλες ζήτησης του Βασίλη και της Άννας, όπως επίσης και την αγοραία καμπύλη ζήτησης. Η συνάρτηση ζήτησης του Βασίλη είναι Q Β (p) = 10 p: οι ζητούμενες ποσότητες για τον Βασίλη είναι μη-αρνητικές για το εύρος τιμών p [0,5]. Η συνάρτηση ζήτησης της Άννας είναι Q Α (p) = 5 (1 )p: οι ζητούμενες ποσότητες για την Άννα είναι μη-αρνητικές για το εύρος τιμών p [0,10]. Συνεπώς για p [0,5) και οι δυο έχουνε ζήτηση οπότε η αγοραία ζήτηση είναι το άθροισμα των ατομικών, δηλαδή Q αγορ (p) = Q Α (p) + Q Β (p) = [5 (1 )p] + [10 p] = 15 (5 )p για p [5,10] μόνο η Άννα έχει ζήτηση άρα η αγοραία ζήτηση είναι ουσιαστικά η ατομική της Άννας, δηλαδή Q αγορ (p) = Q Α (p) = 5 (1 )p 10 P 5 Q αγορ (p) 0 Q A (p) Q B (p) 5 10 15 Q 7

5. Η συνάρτηση ζήτησης της Αναστασίας για ρούχα είναι Q(p) = 10 p. (α) Η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή στην τιμή p είναι /3. Ποια είναι η τιμή p ; (β) Ποιο είναι το πλεόνασμα του καταναλωτή όταν η τιμή είναι ; Ποια είναι η μεταβολή του πλεονάσματος αν η τιμή αυξηθεί από σε 4; (α) ε = dq dp p Q(p ) 3 = p 10 p p = (β) Για Q = 0, p = 5. Για p =, Q = 6. Άρα πλεόνασμα = 1 (5 ) 6 = 9 Για p = 4, Q =. Άρα πλεόνασμα = 1 (5 4) = 1 Άρα, η μεταβολή στο πλεόνασμα είναι 1 9 = 8, δηλ. η αύξηση της τιμής μείωσε το πλεόνασμα κατά 8 μονάδες P 5 4 0 Α Δ Ε Απώλεια πλεονάσματος = εμβαδό σκιασμένης περιοχής = 8 Β 6 Γ Πλεόνασμα στην αρχική τιμή p = : εμβαδό τριγώνου ΑΒΓ (1/) (5 ) 6 = 9 Πλεόνασμα στην τελική τιμή p = 4: εμβαδό τριγώνου ΑΔΕ (1/) (5 4) = 1 Απώλεια πλεονάσματος = εμβαδό ΑΒΓ εμβαδό ΑΔΕ = εμβαδό σκιασμένης περιοχής = 8 10 Q 6. (α) Έστω μια γραμμική καμπύλη ζήτησης Q(p) = α bp. Να δείξετε ότι η ελαστικότητα στο μέσο της καμπύλης είναι πάντα ίση με 1. (β) Έστω μια γενική καμπύλη ζήτησης Q(p). Να δείξετε ότι το έσοδο μεγιστοποιείται όταν η ελαστικότητα είναι ίση με 1. 8

Έστω Μ το σημείο στο μέσο της καμπύλης. (α) Εάν Q = 0, p = a/b οπότε στο μέσο της καμπύλης p M = a/b. Εάν p = 0, Q = a οπότε στο μέσο της καμπύλης Q M = a/. Άρα, ε = dq a dp pμ Q Μ = b b a = 1 (β) Το έσοδο ισούται με R = p Q(p). Το έσοδο μεγιστοποιείται όταν dr dp = 0. Συνεπώς, dr dp = 0 Q(p) + dq dp p = 0 1 + dq dp p Q(p) = 0 1 + ε = 0 ε = 1 9