Λύσεις Δεύτερου Πακέτου Ασκήσεων

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Λύσεις Δεύτερου Πακέτου Ασκήσεων"

Χείρων Μελετόπουλος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι Λύσεις Δεύτερου Πακέτου Ασκήσεων 1. Αν οι προτιμήσεις της Κατερίνας είναι μονοτονικές (προτιμά δηλαδή μεγαλύτερες ποσότητες από τα αγαθά σε σχέση με μικρότερες ποσότητες), τότε το καλάθι με 4 μπύρες και 4 τσιγάρα θα είναι προτιμότερο από το καλάθι με 3 μπύρες και 4 τσιγάρα. Αν οι προτιμήσεις της Κατερίνας είναι και μεταβατικές τότε αν ισχύει ότι (6,3) > (4,4) και (4,4) > (3,4), τότε θα ισχύει και (6,3) > (3,4). Άρα η Κατερίνα θα προτιμήσει ένα καλάθι με 6 μπύρες και 3 τσιγάρα από ένα καλάθι με 3 μπύρες και 4 τσιγάρα. 2. Έχουμε: 3. A) H συνάρτηση είναι ισοδύναμη με την u(x,y)=lnx+2lny. Συνάρτηση ζήτησης, έχουμε από τη σχέση MRS=Px/Py ότι Y/2X=Px/Py και από τον εισοδηματικό περιορισμό XPx+YPy=M και Χ=Μ/3Px και Υ=2Μ/3Py. Έμμεση συνάρτηση οφέλειας: V(Px,Py,M)=ln(Μ/3Px)+2ln(2Μ/3Py). Αντισταθμισμένη συνάρτηση ζήτησης: Έχουμε e " = xy & και ' &( = ) *, οπότε y =,- &) * Συνάρτηση δαπανών: e(px,py,u)=xpx+ypy=,- ) * 0 1. / και x = &) *, - &) * 2/4 = M B) Συνάρτηση ζήτησης, έχουμε από τη σχέση MRS=Px/Py ότι (3+2Y)/2X=Px/Py και από τον εισοδηματικό περιορισμό XPx+YPy=M έχουμε Χ=Μ/2Px +3Py/4Px και Υ=Μ/2Py-3/4 Έμμεση συνάρτηση οφέλειας: V(Px,Py,M)=3(Μ/2Px +3Py/4Px)+2(Μ/2Px +3Py/4Px)(Μ/2Py-3/4). /

2 Αντισταθμισμένη συνάρτηση ζήτησης: Από την σχέση (3+2Y)/2X=Px/Py και U=3X+2XY έχουμε Χ=(uPy/2Px)^(1/2) και Υ=XPx/Py -3/2=(uPx/2Py)^(1/2)-3/2 Συνάρτηση δαπανών: e(px,py,u)=xpx+ypy=px(upy/2px)^(1/2)+py[(upx/2py)^(1/2)-3/2] Γ) H συνάρτηση είναι ισοδύναμη με την u(x,y)=x/y. Εδώ ο καταναλωτής θα επιλέξει το μέγιστο Χ και το ελάχιστο Υ, δηλαδή για τη συνάρτηση ζήτησης έχουμε Χ=Μ/Px και Υ=0. Αν η ελάχιστη δυνατή τιμή του Υ είναι μεγαλύτερη από μηδέν και είναι Ymin τότε Χ=(Μ-YminPy)/Px και Υ=Ymin. Έμμεση συνάρτηση οφέλειας: V(Px,Py,M) =(Μ-YminPy)/(YminPx) Αντισταθμισμένη συνάρτηση ζήτησης: Ορίζεται για Υ μη μηδενικό X=u/Ymin και Υ=Υmin Συνάρτηση δαπανών: e(px,py,u)=xpx+ypy= upx/ymin+yminpy

3 4. Έχουμε: Το γαλλικό και το φτηνό κρασί δεν είναι ούτε συμπληρωματικά ούτε υποκατάστατα, διότι όταν η τιμή του ενός αλλάζει, η ζήτηση του άλλου δεν μεταβάλλεται. (Αυτό είναι ιδιότητα της συνάρτησης χρησιμότητας

4 cobb-douglas). Αν η τιμή του γαλλικού κρασιού πέσει στα 10 ευρώ: 5. Α) Έχουμε μια συνάρτηση χρησιμότητας cobb-douglas με I=20, Px=2 και Py=1, οπότε από τους γνωστούς τύπους για την βέλτιστη επιλογή της cobb-douglas (η θέτοντας MRS=Px/Py) έχουμε Χ=(1/2)20/2=5 και Υ=(1/2)20/1=10 και U(5,10)=50. Β) Και πάλι αν Ι=20, Px=1 και Py=1 τότε έχουμε Χ=(1/2)20/1=10 και Υ=(1/2)20/1=10 και U(10,10)=100. Γ) Έστω Ζ το νέο εισόδημα. Τότε Χ=Ζ/2, Υ=Ζ/2 και U=Z^2/4. Θέλουμε το U να είναι όσο ήταν και πριν, δηλαδή 50, οπότε λύνοντας έχουμε Z= Άρα το εισόδημα του μπορεί να μειωθεί μέχρι και =5.86 ευρώ. Αυτό ονομάζεται compensating variation/αντισταθμιστική μεταβολή CV. Δ) Έστω Ζ το νέο εισόδημα. Τότε Χ=Ζ/4, Υ=Ζ/2 και U=Z^2/8. Αν θέλουμε το U να είναι ίσο με 100, τότε Ζ=28.28, οπότε θα χρειαστεί επιπλέον εισόδημα =8.28 για να έχει την ίδια χρησιμότητα. Αυτό ονομάζεται equivalent variation/ισοδύναμη μεταβολή EV. Ε) Έχουμε EV>CV. Εδώ ο καταναλωτής αυξάνει την χρησιμότητα από την μείωση της τιμής. Εφόσον το Χ είναι κανονικό αγαθό (normal good), αγοράζει περισσότερο Χ μετά την μείωση της τιμής. 6. Α) Αν αγοράσει G=20 με τιμή 1, τότε έχει διαθέσιμα R=980 για υπόλοιπα αγαθά και MRS = dr/dg=(0.05/g)/(0.95/r)=r/19g. Για (G,R)=(20,980), MRS=2.58 που είναι μεγαλύτερο απο ένα που είναι η τιμή της βενζίνης. Στο παρακάτω διάγραμμα, ο εισοδηματικός περιορισμός είναι το ABC και το σημείο Β είναι η βέλτιστη επιλογή.

5 Αυτό μπορούμε να το υπολογίσουμε επίσης παρατηρώντας ότι η συνάρτηση χρησιμότητας είναι cobb-douglas, οπότε το τμήμα του εισοδήματος που δαπανάται σε βενζίνη είναι 0.05/( )=0.05, οπότε ο οδηγός θα ήθελε G=0.05*1000/1=50 λίτρα βενζίνης, που είναι περισσότερο από τα 20 λίτρα, άρα η βέλτιστη επιλογή θα είναι η ακραία λύση G=20. B) Τώρα ο εισοδηματικός περιορισμός είναι το τμήμα ABD και επειδή το MRS στο σημείο Β είναι μεγαλύτερο από την τιμή στη μαύρη αγορά, η βέλτιστη επιλογή θα είναι η καμπύλη αδιαφορίας που εφάπτεται στο BD. Στο BD έχουμε R= (G-20)= G και αντικαθιστώντας στην συνάρτηση χρησιμότητας έχουμε U=0.05ln(G)+0.95ln( G). To U έχει μέγιστο όταν η παράγωγος ως προς G είναι μηδέν, που συμβαίνει όταν G=36>20. Άρα ο οδηγός αγοράζει 36-20=16 από την μαύρη αγορά 7. α) Η συνθήκη βελτιστοποίησης MRSxy=px/py δίνει Υ/Χ = 10/15, δηλαδή Χ=1,5Υ. Συνδυάζοντας τη σχέση αυτή με τον εισοδηματικό περιορισμό pxχ+pyυ=m, έχουμε ότι 10Χ+15Υ= Λύνοντας το σύστημα δύο εξισώσεων ως προς Χ και Υ, βρίσκουμε ότι Χ = 500 και Υ = 333,3. β) Για τις τελικές τιμές, αν εργαστούμε όπως παραπάνω, η συνθήκη βελτιστοποίησης MRSxy=px/py δίνει Υ/Χ = 15/15, δηλαδή Χ=Υ. Συνδυάζοντας τη σχέση αυτή με τον εισοδηματικό περιορισμό pxχ+pyυ=m, έχουμε ότι 15Χ+15Υ= Λύνοντας το σύστημα δύο εξισώσεων ως προς Χ και Υ, βρίσκουμε ότι Χ = Υ = 333,3. γ) Η ισοδύναμη μεταβολή κατά Hicks είναι το εισόδημα που πρέπει να δώσουμε στο άτομο, έτσι ώστε αυτό με τις αρχικές τιμές να βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο χρησιμότητας που θα βρεθεί με τις τελικές τιμές. Το τελικό επίπεδο χρησιμότητας είναι U = XY = (333,33)(333,33) = Στις

6 αρχικές τιμές, Χ = 1,5Υ, άρα U = 1,5Υ2 = , άρα οι ποσότητες των Χ και Υ που επιτυγχάνουν το τελικό επίπεδο χρησιμότητας είναι Χ = 408,25 και Υ = 272,17. Το εισόδημα που χρειάζεται το άτομο για να αγοράσει αυτές τις ποσότητες στις αρχικές τιμές είναι 10*408, *272, Το αρχικό εισόδημα του ατόμου είναι , άρα η ισοδύναμη μεταβολή κατά Hicks είναι Η ισοδύναμη μεταβολή κατά Slutsky είναι το επιπλέον εισόδημα που χρειάζεται το άτομο ώστε να μπορεί να αγοράσει με τις παλιές τιμές το νέο καλάθι αγαθών. Το εισόδημα που θα χρειαζόταν το άτομο είναι 10*333, *333, Επομένως η ισοδύναμη μεταβολή κατά Slutsky είναι = δ) Η συνολική μεταβολή στην κατανάλωση του αγαθού Χ είναι ( ,33) = 167,67. Η αντισταθμιστική μεταβολή κατά Hicks είναι το εισόδημα που πρέπει να δώσουμε στο άτομο, έτσι ώστε αυτό με τις τελικές τιμές να βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο χρησιμότητας που βρισκόταν στις αρχικές τιμές. Το αρχικό επίπεδο χρησιμότητας είναι U = XY = (333.33)(500) = Στις νέες τιμές, Χ = Υ, άρα U = ΧΥ = Χ2= , άρα οι ποσότητες των Χ και Υ που επιτυγχάνουν το αρχικό επίπεδο χρησιμότητας είναι Χ = Υ = ( )0,5 = 408,25. Το εισόδημα που χρειάζεται το άτομο για να αγοράσει αυτές τις ποσότητες στις νέες τιμές είναι 15*408, *408,25 = ,5. Το αρχικό εισόδημα του ατόμου είναι , άρα η ισοδύναμη μεταβολή κατά Hicks είναι 2.247,5. Στην περίπτωση αυτή το άτομο θα επιλέξει να καταναλώσει 408,25 μονάδες του αγαθού Χ. Επομένως η μεταβολή στη ζήτηση του Χ από την αρχική ποσότητα (500) στην ποσότητα αυτή (408,25) αντιπροσωπεύει το αποτέλεσμα υποκατάστασης (= ,25 = 91,75). Η περαιτέρω μείωση της ζήτησης (408,25-333,33 = 74,92) οφείλεται στο αποτέλεσμα εισοδήματος. Η αντισταθμιστική μεταβολή κατά Slutsky είναι το επιπλέον εισόδημα που χρειάζεται το άτομο ώστε να μπορεί να αγοράσει με τις νέες τιμές το αρχικό καλάθι αγαθών. Το εισόδημα που θα χρειαζόταν το άτομο είναι 15* *333,33= Επομένως η αντισταθμιστική μεταβολή κατά Slutsky είναι = Επομένως, σύμφωνα με την ανάλυση του Slutsky, αποτέλεσμα εισοδήματος δεν θα υπήρχε αν δίναμε στο άτομο επιπλέον εισόδημα ύψους Με συνολικό εισόδημα και με τιμές px = py = 15, το άτομο μεγιστοποιώντας την ωφέλειά του θα έθετε Χ = Υ και = 15Χ + 15Υ. Λύνοντας, βρίσκουμε ότι Χ = 416,67. Επομένως, το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι ( ,67) = 83,33, η υπόλοιπη μείωση στη ζήτηση του Χ (416,67-333,33 = 83,34) οφείλεται στο αποτέλεσμα εισοδήματος.

Σχετικά έγγραφα

Λύσεις Δεύτερου Πακέτου Ασκήσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Μάθηµα: Μικροοικονοµική Θεωρία Ι 2016-17 Λύσεις Δεύτερου Πακέτου Ασκήσεων Άσκηση 1 Άσκηση 2 Άσκηση 3 Έχουµε: Άσκηση 4 A) H συνάρτηση είναι ισοδύναµη µε την