2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών. Παρακάτω ακολουθούν οι λύσεις μερικών από αυτά. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να υπολογίσετε το x σε καθεμιά από τις περιπτώσεις. α) β) γ) δ) α) Ε = πx = 314 ή 3,14x = 314 ή x 314 = = 100 ή x = 100 = 10 m 3,14 β) x = δ ή x = (7 ) x = 49 ή x = 49 ή x = 7m γ) x(x+1) = 0 ή x + x 0 = 0 Δ = 1 4 1 ( 0) =1+80 = 81, άρα 1 ± 81 1 ± 9 x = = 1 + 9 8 1 9 10 x 1 = = = 4 m ή x = = = 5 H λύση x = 5 απορρίπτεται δ) (x+) +x =10 ή x +4x+4 +x = 100 x +4x +4 100=0 ή x +4x 96 = 0 Δ = 4 4 ( 96) = 16+768 = 784 4 ± 784 x = =. 4 + 8 x 1 = = 6 4 4 ± 8 4 άρα 4 8 ή x = = 8 4 α) Χρησιμοποιούμε τον τύπο του εμβαδού ενός κυκλικού δίσκου. Κατόπιν χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας. β) Χρησιμοποιούμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ένα από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που χωρίζει η διαγώνιος το τετράγωνο. γ) Χρησιμοποιούμε τον τύπο του εμβαδού ενός ορθογωνίου. Κάνουμε κατόπιν τις πράξεις και καταλήγουμε σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση την οποία λύνουμε με τον τύπο της δευτεροβάθμιας. δ) Χρησιμοποιούμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ένα από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που χωρίζει η διαγώνιος το ορθογώνιο. H λύση x = 8 απορρίπτεται

194 ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε ένα θετικό αριθμό, τέτοιο ώστε : α) Το μισό του τετραγώνου του να είναι ίσο με το διπλάσιό του. β)το γινόμενο του μ έναν αριθμό, που είναι κατά μικρότερος, να είναι 4. γ) Το διπλάσιο του τετραγώνου του, να είναι κατά 3 μεγαλύτερο από το πενταπλάσιό του. α) Εάν συμβολίσουμε με x τον ζητούμενο αριθμό τότε πρέπει : 1 x x = ή x =4x ή x 4x = 0 ή x(x 4 ) = 0, άρα πρέπει x = 0 ή x = 4. Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι ή το 0 ή το 4 Επειδή πρέπει ο αριθμός να είναι θετικός τότε x = 4. β) Εάν συμβολίσουμε με x τον ζητούμενο αριθμό τότε πρέπει : x(x ) = 4 ή x x 4 = 0 Είναι α = 1, β =, γ = 4 οπότε Δ = β 4αγ = ( ) 4 1 ( 4) = 4+96 = 100. ( ) ± 100 ± 10 = Άρα έχουμε + 10 1 10 8 x 1 = = = 6 ή x = = = 4 Επειδή πρέπει ο αριθμός να είναι θετικός τότε x = 6. γ) Εάν συμβολίσουμε με x τον ζητούμενο αριθμό τότε πρέπει : x = 5x + 3 ή x 5x 3 = 0. Είναι α =, β = 5, γ = 3 και Δ = β 4αγ = ( 5) 4 ( 3) = 5+4 = 49. ( 5) ± 49 5 ± 7 = Άρα έχουμε 4 4 5 + 7 1 5 7 1 x = = = 3 ή x = = = = 4 4 4 4 Επειδή πρέπει ο αριθμός να είναι θετικός τότε x = 3. ΑΣΚΗΣΗ 3 Η χωρητικότητα ενός δοχείου λαδιού είναι 10 λίτρα. Αν το δοχείο έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με ύψος 5 cm και βάση τετράγωνο, να βρείτε το μήκος της πλευράς της βάσης του.

ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 195 Εάν συμβολίσουμε με x το μήκος της πλευράς της βάσης του τετραγώνου τότε :,5 x = 10 ή x = 10 = 4 ή x = ± 4 = ± 1,5 Επειδή το x εκφράζει μήκος πρέπει x =. Άρα το μήκος της πλευράς της τετραγωνικής βάσης είναι dm ΑΣΚΗΣΗ 4 Ένα οικόπεδο έχει σχήμα ορθογωνίου με εμβαδόν 150 m. Αν το μήκος του είναι 5m μεγαλύτερο από το πλάτος του, να βρείτε πόσα μέτρα συρματόπλεγμα χρειάζονται για την περίφραξή του. Εάν συμβολίσουμε με x το πλάτος τότε το μήκος του είναι x + 5. Επομένως έχουμε : x(x + 5) = 150 ή x +5x 150 = 0 Είναι α = 1, β = 5, γ = 150 και Δ = β 4αγ = 5 4 1 ( 150) = 5+600 = 65. 5 ± 65 5 ± 5 = Άρα έχουμε: 5 + 5 0 5 5 30 x 1 = = = 10 ή x = = = = 15 Επειδή το x εκφράζει διάσταση πρέπει x = 10. Άρα το πλάτος είναι 10 m και το μήκος είναι 15m. Το μήκος του συρματοπλέγματος είναι 10m + 15m = 0m + 30m = 50m. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρείτε δύο διαδοχικούς περιττούς ακεραίους, που το άθροισμα των τετραγώνων τους να είναι 74. Εάν συμβολίσουμε με x 1 και x+1 τους δύο διαδοχικούς περιττούς αριθμούς, τότε πρέπει : (x 1) + (x+1) = 74 ή 4x 4x +1 + 4x + 4x +1 = 74

196 ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 8x + = 74 ή 8x = 74 ή 8x = 7 ή x = 7 = 9 ή x = ± 9 = ± 3 8.Εάν x = +3 τότε οι ζητούμενοι περιττοί αριθμοί είναι : 3 1 = 5 και 3+1 = 7 Εάν x = 3 τότε οι ζητούμενοι περιττοί αριθμοί είναι : ( 3) 1 = 7 και ( 3)+1 = 5 ΑΣΚΗΣΗ 6 O καθηγητής των Μαθηματικών πρότεινε στους μαθητές του να λύσουν ο- ρισμένες ασκήσεις για να εμπεδώσουν την ενότητα που διδάχτηκαν. Όταν αυτοί τον ρώτησαν σε ποια σελίδα είναι γραμμένες οι ασκήσεις, αυτός α- πάντησε : «Αν ανοίξετε το βιβλίο σας, το γινόμενο των δύο αντικριστών σελίδων μέσα στις οποίες είναι γραμμένες οι ασκήσεις, είναι 506».. Μπορείτε να βρείτε σε ποιες σελίδες είναι γραμμένες οι ασκήσεις ; Επειδή οι αριθμοί των σελίδων είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί εάν συμβολίσουμε με x,τον αριθμό της πρώτης από τις σελίδες τότε η επόμενη θα έχει αριθμό x+1.επομένως πρέπει : x(x+1) = 506 ή x + x 506 = 0 Είναι α = 1, β = 1, γ = 506 και Δ = β 4αγ = 1 4 1 ( 506) = 1+04 = 05. 1 45 1 ± 05 = ± Άρα έχουμε 1 + 45 44 1 45 46 x 1 = = = ή x = = = = 3 η οποία και ως αρνητικός αριθμός απορρίπτεται. Άρα οι σελίδες στις οποίες είναι οι ασκήσεις είναι αυτές που έχουν αύξοντα αριθμό και 3. ΑΣΚΗΣΗ 7 Στο πρωτάθλημα ποδοσφαίρου μιας χώρας κάθε ομάδα έδωσε με όλες τις υπόλοιπες ομάδες δύο αγώνες (εντός και εκτός έδρας). Αν έγιναν συνολικά 40 αγώνες, πόσες ήταν οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα ;

ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 197. Εάν συμβολίσουμε με x το πλήθος των ομάδων τότε : Στο πρώτο γύρο κάθε ομάδα παίζει με τις υπόλοιπες x-1 ομάδες ένα παιχνίδι. Επομένως θα γίνουν x(x-1) αγώνες. Άρα έχουμε = x( x 1) x( x 1) αγώνες και στους δύο γύρους. Η εξίσωση που θα προκύψει είναι x(x-1) = 40 ή x - x 40 = 0 Είναι α = 1, β = -1, γ = 40 και Δ = β 4αγ = (-1) 4 1 ( 40) = 1+969 = 961. 1 ± 961 1± 31 = Άρα έχουμε 1+ 31 3 1 31 30 x 1 = = = 16 ή x = = = = 15 η οποία και ως αρνητικός αριθμός απορρίπτεται. Άρα το πλήθος των ομάδων είναι 16. ΑΣΚΗΣΗ 8 Ένα τρίγωνο έχει πλευρές 4 cm, 6 cm και 8 cm. Αν κάθε πλευρά του ήταν μεγαλύτερη κατά x cm, τότε το τρίγωνο θα ήταν ορθογώνιο. Να βρείτε τον αριθμό x. Εάν αυξηθεί το μήκος κάθε πλευράς κατά x cm τότε τα μήκη θα γίνουν : 4+x, 6+x, και 8+x. Στο ορθογώνιο αυτό τρίγωνο υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη από τις πλευρές η οποία είναι αυτή που έχει μήκος 8+x. Επομένως από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε : (4+x) + (6+x) = (8+x) ή 16+8x+x +36+1x+x = 64+16x+x ή 16+8x+x +36+1x+x 64 16x x = 0 ή x +4x 1 = 0 Είναι α = 1, β = 4, γ = 1 και Δ = β 4αγ = 4 4 1 ( 1) = 16+48 = 64. 4 ± 64 4 ± 8 = Άρα έχουμε 4 + 8 4 4 8 1 x 1 = = = ή x = = = = 6 που ως αρνητικός αριθμός απορρίπτεται. Άρα κάθε πλευρά πρέπει να αυξηθεί κατά cm.

198 ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 9 Οι μαθητές μιας τάξης ρώτησαν τον καθηγητή τους πόσο ετών είναι και ποια είναι η ηλικία των παιδιών του. Εκείνος δεν έχασε την ευκαιρία και τους προβλημάτισε για μια ακόμη φορά, αφού τους είπε: «Αν πολλαπλασιάσετε την ηλικία που είχα πριν 5 χρόνια, με την ηλικία που θα έχω μετά από 5 χρόνια θα βρείτε 100. Όσον αφορά τα δύο παιδιά μου, αυτά είναι δίδυμα και αν πολλαπλασιάσετε ή προσθέσετε τις ηλικίες τους βρίσκετε τον ίδιο αριθμό». Μπορείτε να βρείτε την ηλικία του καθηγητή και των παιδιών του; Αν υποθέσουμε ότι η ηλικία του καθηγητή σήμερα είναι x τότε πριν 5 χρόνια ήταν x-5, ενώ μετά από 5 χρόνια θα είναι x+5. Επομένως σύμφωνα με τα λεγόμενα του θα είναι : x 5 x + 5 = 100 ή x 5 = 100 ή x = 100 + 5 ή x = 15 ( )( ) x = 15 = 35 Άρα ο καθηγητής σήμερα είναι 35 χρόνων.(η αρνητική ρίζα απορρίπτεται) Όσον αφορά τα δίδυμα παιδιά του αν υποθέσουμε ότι η ηλικία τους σήμερα είναι y τότε θα έχουμε πάντα σύμφωνα με τα λεγόμενα του. y.y = y + y ή y = y ή y y = 0 ή y y - = 0 ( ) y = 0 ή y = Άρα η ηλικία των παιδιών του σήμερα είναι χρόνων.(η αρνητική ρίζα α- πορρίπτεται) ΑΣΚΗΣΗ 10 Το μήκος κάθε φύλλου ενός βιβλίου είναι μεγαλύτερο από το πλάτος του κατά 6 cm. Αν διπλώσουμε ένα φύλλο ΑΒΓΔ, έτσι ώστε η πλευρά ΓΔ να πέσει πάνω στην ΑΔ, τότε το εμβαδόν του φύλλου μειώνεται κατά τα 3 8 του αρχικού εμβαδού του. Να βρείτε τις διαστάσεις κάθε φύλλου του βιβλίου. Εάν συμβολίσουμε με x το πλάτος τότε το μήκος είναι x+6. Το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΓΔ το οποίο αφαιρέθηκε από το αρχικό παραλληλόγραμμο κατά την αναδίπλωση είναι ισοσκελές με κάθετες πλευρές

ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 199 3 μήκους x, και το εμβαδόν του ισούται με τα του εμβαδού του 8 παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Άρα έχουμε : 3 1 x(x+6) = x 3 1 ή 8 x(x+6) = 8 x ή 3x(x+6) = 4x 8 8 3x +18x 4x = 0 ή x +18x = 0 ή x(x 18) = 0 Άρα πρέπει : x 1 = 0 ή x = 18. Επομένως το πλάτος του βιβλίου είναι 18cm και το μήκος 4cm. ΑΣΚΗΣΗ 11 Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα κυκλικό σιντριβάνι και γύρω από αυτό να στρώσουμε με πλακάκια ένα διάδρομο πλάτους 3 m. Αν ο διάδρομος πρέπει να έχει εμβαδόν τριπλάσιο από το εμβαδόν που καλύπτει το σιντριβάνι, να βρείτε την ακτίνα του σιντριβανιού. Εάν συμβολίσουμε με x την ακτίνα του σιντριβανιού τότε η ακτίνα του κυκλικού δίσκου που ορίζει το σιντριβάνι και ο διάδρομος είναι x+3. Το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου είναι : Ε δ = π(x+3) πx, ενώ το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που ορίζει το σιντριβάνι είναι : Ε σ = π(x+3) πx. Επειδή πρέπει Ε δ = 3 Ε σ, προκύπτει η εξίσωση : π(x+3) πx = 3 πx ή π[(x+3) x ] = π(3x ) (x+3) x = (3x ) ή x +6x+9 = 3x ή x +6x+9 3x = 3x +6x+9 = 0 ή 1( 3x +6x+9) = 0 ή 3x 6x 9 = 0 Είναι α = 3, β = 6, γ = 9 και Δ = β 4αγ = ( 6) 4 3 ( 9) = 36+108 = 144. ( 6) ± 144 6 ± 1 = Άρα έχουμε 6 6 6 + 1 18 6 1 6 x 1 = = = 3 ή x = = = = 1 η οποία ως αρνητική α- 6 6 6 6 πορρίπτεται. Άρα η ακτίνα του σιντριβανιού πρέπει να είναι 3m.

00 ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Για την κατασκευή μιας κλειστής κυλινδρικής δεξαμενής καυσίμων ύψους 6 m, χρειάστηκαν 51, m λαμαρίνας. Να υπολογίσετε την ακτίνα της βάσης της δεξαμενής. Εάν συμβολίσουμε με x την ακτίνα του κυκλικού δίσκου της βάσης της δεξαμενής τότε η ολική επιφάνεια της δεξαμενής είναι : Ε ολ = πx + πxυ, άρα πρέπει 3,14 x + 3,14 x 6 = 51, ή 6,8x + 6,8(6x) 51, = 0 ή 6,8(x + 6x 40) = 0ή x + 6x 40 = 0 Είναι α = 1, β = 6, γ = 40 και Δ = β 4αγ = 6 4 1 ( 40) = 36+160 = 196. 6 ± 196 6 ± 14 = Άρα έχουμε 6 + 14 8 x 1 = = = 4 ή 6 14 0 x = = = 10 η οποία ως αρνητική απορρίπτεται. Άρα η ακτίνα του κυκλικού δίσκου της βάσης της δεξαμενής είναι x = 4m ΑΣΚΗΣΗ 13 Παρατηρώντας την πτώση ενός σώματος, που αφέθηκε να πέσει από την κορυφή Κ ενός ουρανοξύστη, διαπιστώνουμε ότι στα δύο τελευταία δευτερόλεπτα της κίνησής του διάνυσε μια απόσταση ΠΕ ίση με τα 5/9 του ύψους του ουρανοξύστη. Να βρείτε πόσο χρόνο διήρκεσε η πτώση του σώματος και ποιο ήταν το ύψος του ουρανοξύστη (g = 10m/sec ). Έστω ότι για να πέσει το σώμα από το Κ στο Π χρειάστηκαν x sec. Για να πέσει από το Κ στο Ε χρειάστηκαν (x+) sec(x>0). Από τον τύπο της φυσικής έχουμε h = gt h = 5( x + ). Το ΚΠ=5x και το 1 ΠΕ=ΚΕ-ΚΠ=0x+0. 5 4 Οπότε ΠΕ = h 5x 16x 16 = 0 x = 4 ή x = η οποία απορρίπτεται ως αρνητική άρα x=4.επομένως η πτώση διήρκεσε 4+=6sec και το 9 5 ύψος του ουρανοξύστη είναι h = 5( x + ) = 5( 4 + ) = 5.36 = 180m

ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 01 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Β ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΜΑ 1 0 Α. Να συμπληρώσετε τα κενά στην παρακάτω πρόταση. Η εξίσωση x ( 1) 3 x 5 = 0 είναι της μορφής αx +βx+γ=0 με α=,β=..,γ=.. Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Ο αριθμός -1 είναι λύση της εξίσωσης 3x + 5x + 8 = 0. x 1 = 4x x + είναι ου βαθμού. β) Η εξίσωση ( ) ( ) ΘΕΜΑ 0 Α. Να βρείτε πόσες λύσεις έχει καθεμία από τις παρακάτω εξισώσεις: α) x 10x + 5 = 0 β) x + 3x + 5 = 0 Β. Να λύσετε την εξίσωση 3x 7x + 4 = 0. ΘΕΜΑ 3 0 Από ένα γωνιακό οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις 40 m και 4 m αποκόπτονται δύο λωρίδες ίσου πλάτους προκειμένου να γίνει διαπλάτυνση του υπάρχοντος δρόμου. Αν η τελική επιφάνεια του οικοπέδου είναι β 836 m, να υπολογίσετε το πλάτος κάθε λωρίδας. Δ Ρ Ο Μ Ο Σ Χ Λ Ω Ρ Ι Δ Α ΛΩΡΙΔΑ ΔΡΟΜΟΣ 40 m ΤΕΛΙΚΟ ΟΙΚΟΠΕΔΟ Χ 4 m

0 ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Β ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΜΑ 1 0 Α. Να συμπληρώσετε τα κενά στην παρακάτω πρόταση. Η εξίσωση 3x ( ) 5 + 4 x + 3 = 0 είναι της μορφής αx +βx+γ=0 με α=,β=..,γ=.. Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Ο αριθμός - είναι λύση της εξίσωσης x = 4 β) Μία λύση της εξίσωσης x + 9 = 0 είναι η x=3. ΘΕΜΑ 0 Α. Να βρείτε πόσες λύσεις έχει καθεμία από τις παρακάτω εξισώσεις: α) x 1x + 36 = 0 β) x 5x + 3 = 0 Β. Να λύσετε την εξίσωση x ( ) 3 x 6 = 0. ΘΕΜΑ 3 0 Να βρεθούν δύο διαδοχικοί φυσικοί περιττοί αριθμοί που το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 130.