Διασπορά Μέτρηση
Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6.
συνέχεια παραδείγματος Όμως αν δημιουργήσουμε τα σημειογράμματα τα για κάθε μία ομάδα χωριστά θα παρατηρήσουμε ότι διαφέρουν σημαντικά ως προς το πώς συγκεντρώνονται οι παρατηρήσεις γύρω από τον αριθμητικό μέσο.
συνέχεια παραδείγματος Ομάδα 1 Ομάδα 2 Ομάδα 3
Τι δείχνει η διασπορά; Η διασπορά δείχνει το πόσο συγκεντρωμένες (ή το πόσο διασκορπισμένες είναι οι παρατηρήσεις του δείγματός μας γύρω από τον αριθμητικό μέσο.
Μέτρα διασποράς 1. Εύρος (Range) 2. Ενδοτεταρτημοριακή απόκλιση (Quartile Deviation) 3. Μέση απόκλιση (Mean Deviation) 4. Διακύμανση (Variance) 5. Τυπική απόκλιση (Standard Deviation) 6. Συντελεστής μεταβλητότητας (Coefficient of Variation)
Εύρος (Range) Σύμβολο: R Τύπος: R=x max -x min με x max : η μέγιστη σε μέγεθος παρατήρηση x min : η ελάχιστη σε μέγεθος παρατήρηση Πλεονέκτημα: απλό στον υπολογισμό Μειονέκτημα: εξαρτάται μόνο από τις δύο ακραίες παρατηρήσεις του δείγματος x max και x min
Ενδοτεταρτημοριακή απόκλιση Σύμβολο: QD Τύπος: QD=Q 3 -Q 1 με Q 1 : το πρώτο τεταρτημόριο Q 3 : το τρίτο τεταρτημόριο Πλεονέκτημα: απλό στον υπολογισμό Μειονέκτημα: εξαρτάται μόνο από τα 2 τεταρτημόρια
Σύμβολο: MD Μέση απόκλιση n xi x fi xi x Τύπος: MD= i 1 i 1 ή MD= (για κλάσεις) n με x i : η παρατήρηση i x : ο αριθμητικός μέσος των παρατηρήσεων Πλεονέκτημα: λαμβάνει υπόψη όλες τις παρατηρήσεις. Μειονέκτημα: Εκτός της ελάχιστης τιμής που μπορεί να λάβει δεν έχει κάποιο άνω φράγμα. n n
Διακύμανση Σύμβολο: Var, s 2 (για το δείγμα), σ 2 (για τον πληθυσμό) n ( x Τύπος: s 2 i = ή s 2 i i = (για κλάσεις) i 1 n x) 2 k i 1 με x i : η παρατήρηση i x : ο αριθμητικός μέσος των παρατηρήσεων f i : η συχνότητα της παρατήρησης i Πλεονέκτημα: λαμβάνει υπόψη όλες τις παρατηρήσεις. Μειονέκτημα: Εκτός της ελάχιστης τιμής που μπορεί να λάβει δεν έχει κάποιο άνω φράγμα. Επίσης τετραγωνίζει τις μονάδες μέτρησης της. f ( x n x) 2
Τυπική απόκλιση Σύμβολο: s (για το δείγμα), σ (για τον πληθυσμό) n ( x i i i Τύπος: s= ή s= (για κλάσεις) i 1 n x) 2 με x i : η παρατήρηση i x : ο αριθμητικός μέσος των παρατηρήσεων f i : η συχνότητα της παρατήρησης i Πλεονέκτημα: λαμβάνει υπόψη όλες τις παρατηρήσεις. Αποτετραγωνίζει τις μονάδες μέτρησης.7 Μειονέκτημα: Εκτός της ελάχιστης τιμής που μπορεί να λάβει δεν έχει κάποιο άνω φράγμα. Επίσης τετραγωνίζει τις μονάδες μέτρησης της. k i 1 f ( x n x) 2
Συντελεστής μεταβλητότητας Σύμβολο: CV Τύπος: CV= με s: η τυπική απόκλιση : ο αριθμητικός μέσος x s x 100% Πλεονέκτημα: Δεν έχει μονάδες μέτρησης. Λαμβάνει τιμές από 1 ως 100. Μειονέκτημα: Προϋποθέτει τον υπολογισμό του μέσου και της τυπικής απόκλισης.
Ιδιότητες διακύμανσης 1. Αν σε κάθε παρατήρηση προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε την ίδια σταθερή τιμή, τότε η διακύμανση δεν μεταβάλλεται. s x c 2. Αν κάθε παρατήρηση πολλαπλασιαστεί ή διαιρεθεί με τον ίδιο αριθμό τότε η διακύμανση των νέων παρατηρήσεων πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται με το τετράγωνο του αριθμού αυτού. s x
συνέχεια ιδιοτήτων s x c c 2 s x 3. Αν όλες οι παρατηρήσεις είναι μεταξύ τους ίσες, τότε η διακύμανση είναι 0. Αν x 1 =x 2 = =x n =c, τότε s=0.
Συμμετρία κατανομής
Συμμετρική κατανομή μ=μ=τ 0
Θετικά ασύμμετρη κατανομή Τ 0 <Μ<μ
Αρνητικά ασύμμετρη κατανομή μ<μ<τ 0
Βασικό πλεονέκτημα συμμετρικότητας της κατανομής Μπορούμε να μελετήσουμε μόνο το ένα μέρος της κατανομής και να εκτιμήσουμε με ακρίβεια τι θα συμβεί για το άλλο. Παράδειγμα: Συμμετρική κατανομή με μέσο μ=5 και 1 ο τεταρτημόριο 3, θα έχει τρίτο τεταρτημόριο το 7
Άσκηση Πωλήσεις 400 επιχειρήσεων Πωλήσεις σε ευρώ Αριθμός Επιχειρήσεων 0-20000 50 20000-40000 70 40000-60000 160 60000-80000 70 80000-100000 50 Σύνολο 400
στην προηγούμενη άσκηση Να υπολογιστούν: 1. Μέσες πωλήσεις 2. Διάμεσες πωλήσεις 3. Επικρατούσες πωλήσεις 4. Μέση απόκλιση πωλήσεων 5. Διακύμανση πωλήσεων 6. Τυπική απόκλιση πωλήσεων 7. Συντελεστής μεταβλητότητας πωλήσεων 8. Να ελέγξετε τη συμμετρία των πωλήσεων