ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE"

Ἁλκυόνη Ζάνος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου, ΠΑΤΡΑ Τηλ.: , Φαξ: , Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE DEPARTMENT: BUSINESS ADMINISTRATION (PATRAS) Address: M. Alexadrou, PATRA Greece Tel.: ,Fax: , Professor J. Mitropoulos Θέμα: Υπολογισμός Στατιστικών μέτρων - Ασκήσεις Επιμέλεια: Χρυσάνθη Παπαθανασοπούλου Ημερομηνία: 3/05/05

2 Α. Υπολογισμός Στατιστικών μέτρων σε Δείγμα: Αταξινόμητα Δεδομένα Άσκηση: Δίνεται η βαθμολογία του πρώτου εξαμήνου στα μαθηματικά ενός δείγματος 0 μαθητών συγκεκριμένου λυκείου: Χ: 6, 5, 4, 7, 4, 5, 8, 6, 3,. Να υπολογιστούν:. Ο μέσος αριθμητικός. Η διάμεσος 3. Το πρώτο τεταρτημόριο: Q 4. Το τρίτο τεταρτημόριο: Q3 5. Το ενδοτερτημοριακό εύρος: Q3- Q 6. Το ημιενδοτερτημοριακό εύρος: Q 3 Q 7. Η επικρατούσα τιμή 8. Το εύρος τιμών 9. Η Διασπορά 0. Η τυπική απόκλιση. Ο συντελεστής μεταβλητότητας Επίλυση:. Ο μέσος αριθμητικός του δείγματος δίνεται από τον παρακάτω τύπο: Χ = i= x i = x + x + + x 0 0 = = 49 0 = 4,9

3 . Η Διάμεσος: Αρχικά, τοποθετούμε τις παρατηρήσεις κατά αύξουσα τάξης μεγέθους:, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8 Η θέση της Διαμέσου Μ είναι: N+ = 0+ = = 5,5 N=0 άρτιος Επομένως, η διάμεσος περιλαμβάνεται μεταξύ του πέμπτου και του έκτου όρους της σειράς των παρατηρήσεων, και δίνεται από τον μέσο αριθμητικό των κεντρικών τιμών, δηλαδή:, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8 5 ος όρος 6 ος όρος Μ= 5+5 = 30 =5 3. Πρώτο τεταρτημόριο Q : Και για την εύρεση του Q συνεχίζουμε να δουλεύουμε με τις παρατηρήσεις κατά αύξουσα τάξης μεγέθους:, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8 Η θέση του Q είναι: N+ = 0+ = = 4 4 4,75 Άρα το Q βρίσκεται στα 3 4 = 0,75 της απόστασης μεταξύ της ης και της 3 ης παρατήρησης που είναι 3 και 4 αντίστοιχα, συνεπώς: Q = 3 +0,75 (4-3)= 3,75 3

4 4. Τρίτο τεταρτημόριο Q3: Και για την εύρεση του Q 3 συνεχίζουμε να δουλεύουμε με τις παρατηρήσεις κατά αύξουσα τάξης μεγέθους:, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8 Η θέση του Q 3 είναι: 3(N+) 4 = 3 4 = 33,4 4 = 8,5 Άρα το Q 3 βρίσκεται στο 4 = 0,5 της απόστασης μεταξύ της 8ης και της 9 ης παρατήρησης που είναι 6 και 7 αντίστοιχα, συνεπώς: Q 3 = 6 + 0,5 (7-6)= 6,5 5. Το ενδοτερτημοριακό εύρος: Q 3 - Q Q 3 - Q = 6,5-3,75 =,5 6. Το ημιενδοτερτημοριακό εύρος: Q 3 Q Q 3 Q = 6,5 3,75 =,5 7. Η επικρατούσα τιμή Να θυμηθούμε ότι η επικρατούσα τιμή ενός συνόλου δεδομένων είναι η τιμή που εμφανίζεται με τη μεγαλύτερη συχνότητα. Ένα σύνολο δεδομένων μπορεί να έχει μία επικρατούσα τιμή (ή επικρατούσα κλάση), ή δύο, ή περισσότερες. Στο συγκεκριμένο δείγμα υπάρχουν τρείς επικρατούσες τιμές: M 0 = 4, M 0 = 5, και M 0 = 6 8. Το εύρος τιμών Εύρος = Μέγιστη τιμή Ελάχιστη τιμή = 8 -= 7 9. Διασπορά 4

5 S X = ή i= ) i= X i ( X i S i=(x X= i X ) Για το υπολογισμό της διασποράς δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα με τους υπολογισμούς που συμπεριλαμβάνονται στους τύπους: X i X X i - X (X i - X ) X i 6 4,9,, ,9 0, 0, ,9-0,9 0, ,9, 4, ,9-0,9 0, ,9 0, 0, ,9 3, 9, ,9,, ,9 -,9 3,6 69 4,9-3,9 5, ΣΎΝΟΛΟ 49 36,9 57 Επισήμανση: Στον πίνακα τοποθετούμε της τιμές της μεταβλητής Χ i όπως δόθηκαν αρχικά στην εκφώνηση της άσκησης και όχι κατά αύξουσα τάξης μεγέθους. Η τοποθέτηση κατά αύξουσα σειρά γίνεται μόνο για τον υπολογισμό της διαμέσου και των τεταρτημορίων. S X = i= ) X i ( X i i= = 0 57 (49) 0 = 9 (49) 57 = 0 57 = [57 0,] = ,9 = 4, ή με τη χρήση του δεύτερου τύπου: 5

6 S i=(x X= i X ) = 36,9 9 = 4, 0. Η τυπική απόκλιση s = s = 4, =,05. Ο συντελεστής μεταβλητότητας CV= S X =,05 4,9 = 0,36 6

7 Β. Υπολογισμός Στατιστικών μέτρων σε Δείγμα: Ταξινομημένα δεδομένα ομαδοποιημένα σε μορφή συχνοτήτων Άσκηση: Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή ενός δείγματος σχετικά με τον αριθμό των απουσιών των υπαλλήλων σε ένα υποκατάστημα του ΙΚΑ τον πρώτο μήνα του 05: Απουσίες Υπάλληλοι ΣΎΝΟΛΟ 0 Να υπολογιστούν:. Ο μέσος αριθμητικός. Η διάμεσος 3. Η Διασπορά και τυπική απόκλιση 4. Ο συντελεστής μεταβλητότητας 7

8 Επίλυση: Για την επίλυση της άσκησης συμπληρώνουμε τον παρακάτω πίνακα: Απουσίες Υπάλληλοι (f i ) Κεντρικές τιμές (X i ) f i X i F i ΣΎΝΟΛΟ 0 56 Όπου οι κεντρικές τιμές των τάξεων υπολογίζονται ως εξής: Για την τάξη -4: κεντρική τιμή: X = +4 = 3 Για την τάξη 4-6: κεντρική τιμή: X = 4+6 = 5, κ.ο.κ.. Ο μέσος αριθμητικός του δείγματος δίνεται από τον παρακάτω τύπο: Χ = i= f i x i i= f i = 56 = 5,6 μέρες 0 8

9 . Μεθοδολογία για τον υπολογισμό της διαμέσου: M= a i + δ f i F i a ι Απουσίες Υπάλληλοι (f i ) Κεντρικές τιμές (X i ) f i X i F i f i ΣΎΝΟΛΟ 0 56 F i- = 5.. Σχηματίζουμε την δεξιόστροφη αθροιστική σειρά των συχνοτήτων F i... Προσδιορίζουμε την τιμή, όπου: = το σύνολο των παρατηρήσεων, δηλαδή το σύνολο του δείγματος: = 0 = Η τιμή = 5 βρίσκεται ανάμεσα σε διαδοχικούς όρους της αθροιστικής σειράς F i, εδώ ανάμεσα στο και το 6. Ο προηγούμενος όρος, δηλαδή ο είναι ο F i- =..4. Ο επόμενος όρος, δηλαδή το 6, ανήκει στο διάστημα 4-6, το κατώτερο όριο του οποίου το συμβολίζουμε με a i, δηλαδή a i = Πηγαίνουμε στην τάξη από την οποία προσδιορίσαμε την τιμή a i και παρατηρούμε τη συχνότητα του διαστήματος αυτού, δηλαδή: f i = δ = το πλάτος της τάξης στην οποία ανήκει το a i, δηλαδή η τάξη 4-6, άρα δ=. Άρα από τον τύπο της διαμέσου: M= a i + δ F f i i = 4 + (5 ) = 4 +0,5 3 = 4 +,5 =5,5. 4 Επισήμανση: Όταν η κατανομή συχνοτήτων είναι ασυνεχής, δηλαδή όταν δεν έχουμε τάξεις άλλα τιμές τις μεταβλητής Χ i, η μεθοδολογία για τον υπολογισμό της διαμέσου είναι η εξής: Σχηματίζουμε την δεξιόστροφη αθροιστική σειρά των συχνοτήτων F i. 9

10 Προσδιορίζουμε την τιμή, όπου: = το σύνολο των παρατηρήσεων, δηλαδή το σύνολο του δείγματος. Η τιμή βρίσκεται ανάμεσα σε διαδοχικούς όρους της αθροιστικής σειράς F i, δηλαδή: F i- <. < F i. Η τιμή της μεταβλητής που αντιστοιχεί στην τιμή F i είναι η τιμή της διαμέσου, δηλαδή: Μ = Χ i 3. Η Διασπορά και τυπική απόκλιση Ο υπολογισμός της διασποράς στην περίπτωση ταξινομημένων δεδομένων ενός δείγματος μπορεί να γίνει με έναν από τους παρακάτω τύπους: s = f i (X i X ) ή s = ή f ix i ( f ix i ) (τύπος ) (τύπος ) s = ( f i X i X ) (τύπος 3) 0

11 Για την χρήση των παραπάνω τύπων απαιτείται η κατασκευή του παρακάτω πίνακα: Απουσίες Υπάλληλοι (f i ) Κεντρικές τιμές (X i ) f i X i X X i - X (X i - X ) fi (X i - X ) X i f i X i ,6 -,6 6,76 3, ,6-0,6 0,36, ,6,4,96 5, ,6 3,4,56, Σύνολο ,40 346,00 Σύμφωνα με τα σύνολα του πίνακα: (τύπος ): s = f i (X i X ) ή (τύπος ): s = 9 [346 33,6] = 9 = 3,40 = 3,40 = 3,6 0 9 f ix i ( f ix i ) 3,40 = 3,6 = (56) 0 = = ή (τύπος 3): s = ( f i X i X ) = 0 [346 0 (5,6) ] = [ ,36 ] = (346 33,6) = 3,40 = 3, Οπότε η τυπική απόκλιση είναι: s = s = 3,6 =, Ο συντελεστής μεταβλητότητας CV= S X =,897 5,6 = 0,339

Σχετικά έγγραφα

Θέμα: Ενδεικτικό Θέμα εξετάσεων: Μέτρα θέσης Παλινδρόμηση

Θέμα: Ενδεικτικό Θέμα εξετάσεων: Μέτρα θέσης Παλινδρόμηση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr TECHNOLOGICAL