Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Transcript

1 Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς Άσκηση 1. Ερευνούμε ένα δείγμα 50 καθηγητών του σχολείου μας, ως προς το χαρακτηριστικό: «Πόσες χώρες της Ευρώπης έχετε επισκεφθεί» και σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα: Να βρεθεί το Εύρος, η διακύμανση, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβλητότητας. Άσκηση 2. Οι βαθμοί των 11μαθητών μιας τάξης ενός ΤΕΕ σε ένα μάθημα είναι: 12, 12, 9, 15, 12, 16, 17, 7, 19, 18, 17 Για τα δεδομένα αυτά: Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων Να βρείτε τη μέση τιμή Να βρείτε την επικρατούσα τιμή Να βρείτε τη διάμεσο Να βρείτε τη διακύμανση. 1

2 Άσκηση 3. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι αναλυτικές βαθμολογίες στο πτυχίο που είχαν δύο μαθητές της Γ τάξης των ΤΕΕ Α. Να βρεθεί ο Γενικός βαθμός πτυχίου των δύο μαθητών Β. Να βρεθεί το Εύρος, η διακύμανση, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβλητότητας στις δυο παραπάνω κατανομές Άσκηση 4. Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές: 5, 3, 3ω, 3, 2ω, 3, 3ω, ω με ω>0 1. Αν η μέση τιμή τους είναι 4, να αποδείξετε ότι ω=2 2. Για ω=2 να βρείτε: Το εύρος των τιμών Την επικρατούσα τιμή Την τυπική απόκλιση Άσκηση 5. Το ύψος (σε εκατοστά) των 40 μαθητών της Γ τάξης του σχολείου μας έχει καταγραφεί στον παρακάτω πίνακα: Να συμπληρωθεί ο παραπάνω πίνακας Να εξετάσετε αν είναι ομοιογενής ο πληθυσμός του παραπάνω δείγματος; 2

3 Άσκηση 6. τα τελευταία 80 τροχαία ατυχήματα. Να βρεθεί η διακύμανση, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβλητότητας Άσκηση 7. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν 40 μαθητές κατά την διάρκεια των θερινών διακοπών. Να υπολογιστούν : Η μέση τιμή Η επικρατούσα τιμή Η διάμεσος Η τυπική απόκλιση και συντελεστής μεταβολής. Άσκηση 8. Σε ένα τεστ στο μάθημα της Στατιστικής με άριστα το 20 οι 57 μαθητές του 2ου ΤΕΕ πήραν τις παρακάτω βαθμολογίες: Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την επικρατούσα τιμή, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής 3

4 Κι άλλες ασκήσεις 1. Δίνονται οι βαθμολογίες στις εξετάσεις του σχολείου στα μαθηματικά 10 μαθητών: Να υπολογιστούν η διασπορά και η τυπική απόκλιση. 2. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές ενοικίασης σε δείγμα 115 δίκλινων δωματίων σε ένα παραθεριστικό μέρος το προηγούμενο καλοκαίρι (σε Eυρώ). Ενοίκιο fi Να υπολογιστούν η διασπορά και η τυπική απόκλιση της κατανομής. Ο υπολογισμός να γίνει και με τον έμμεσο τρόπο Σύνολο Δίνονται οι μετρήσεις όζοντος (σε μέρη ανά ) στο κέντρο της Αθήνας σε 45 χρονικές στιγμές. Όζον fi α) Να υπολογιστούν η διασπορά και η [1,1 2,3) 5 τυπική απόκλιση της κατανομής. β)να υπολογιστεί ο συντελεστής [2,3 3,5) 6 μεταβλητότητας. γ) Μετά από έκτακτα μέτρα που [3,5 4,7) 6 ελήφθησαν κατά του όζοντος, πραγματοποιήθηκαν εκ νέου μετρήσεις [4,7 5,9) 14 και βρέθηκαν όλες μειωμένες κατά 0,2 [5,9, 7,1) 11 μέρη ανά Μπορείτε να πείτε αν οι αλλαγές αυτές επηρεάζουν τη διασπορά ή [7,1, 8,3) 2 όχι της κατανομής; Ισχύει το ίδιο και για το συντελεστή μεταβλητότητας; [8,3, 9,5) 1 Σύνολο 45 4

5 4. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι χρόνοι αναμονής (σε λεπτά) στα εξωτερικά ιατρεία δυο Κέντρων Υγείας σε επαρχιακές περιοχές της χώρας. Κέντρο Υγείας Α Κέντρο Υγείας Β Χρόνος αναμονής (σε λεπτά) fiα fiβ < Σύνολο α) Να υπολογιστούν η διασπορά και η τυπική απόκλιση των δυο κατανομών χωριστά. β) Να συγκριθούν οι δυο κατανομές ως προς την ομοιογένειά τους με τη χρήση του συντελεστή μεταβλητότητας. Ποιο το συμπέρασμα που προκύπτει; Δείτε επίσης: Γ.Μαντζώλας Ασκήσεις Στατιστικής 5

6 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Μέτρα Διασποράς. 1. Εύρος R: είναι η διαφορά μεταξύ της ελαχίστης παρατήρησης από την μεγίστη. Δηλαδή R = Xmax Xmin 2. Ενδοτεταρτημοριακό εύρος N Q=Q3 Q1 Q1= L i + 4 F i 1 h i f i 3 N Q2 = L i + 4 F i 1 h i Li το κατώτερο όριο της κλάσης που περιέχει το αντίστοιχο τεταρτημόριο, fi η συχνότητα και hi το πλάτος της κλάσης αντίστοιχα, Fi 1 η αθροιστική συχνότητα της προηγούμενης κλάσης N το μέγεθος του δείγματος. f i 3. Διακύμανση ή Διασπορά s 2 (Second Moment or Variation): ορίζεται από την σχέση ο τύπος αυτός μπορεί να μετασχηματισθεί κάνοντας τις πράξεις και ως εξής: ή εάν οι παρατηρήσεις έχουν συχνότητες νi οι τύποι γράφονται ως εξής: 5. Τυπική απόκλιση s (Standard Deviation): είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς. Δηλαδή 6. Συντελεστής Μεταβλητότητας : CV = s x 100 Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές όταν ο CV είναι μικρότερος ή ίσος από το 10%. 6