ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες για την εργασία Η εργασία περιλαμβάνει επτά υποχρεωτικά θέματα. Οι απαντήσεις στις ερωτήσεις της εργασίας θα δίνονται σε δύο αρχεία σύμφωνα με τις αναλυτικές οδηγίες που ακολουθούν. Τα δύο αρχεία μαζί με το συμπληρωμένο δελτίο υποβολής αξιολόγησης εργασίας θα πρέπει να αποσταλούν ηλεκτρονικά με και σε έντυπη μορφή στον Καθηγητή Σύμβουλο. Ημερομηνία αποστολής της γραπτής εργασίας: Παρασκευή 7 Μαρτίου Καταληκτική ημερομηνία παραλαβής: Τρίτη 11 Μαρτίου Εργασίες που παραλαμβάνονται εκπρόθεσμα (μετά την Τρίτη 11/03/08) επισύρουν βαθμολογικές κυρώσεις (0,5 βαθμό για κάθε ημερολογιακή ημέρα καθυστέρησης). Εργασίες που υποβάλλονται με καθυστέρηση μεγαλύτερη από 7 ημέρες δεν γίνονται δεκτές. Αναλυτικές Οδηγίες Οι πλήρεις απαντήσεις στα θέματα της εργασίας θα πρέπει να δοθούν σε ένα αρχείο Word το οποίο θα ονομάσετε ΟnomaEponymo-GE03.doc (π.χ. AthinaDouka- GE03.doc). Για την πληκτρολόγηση μαθηματικών εκφράσεων μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον Επεξεργαστή Εξισώσεων - Equation Editor (Βλέπε οδηγίες στο συμπληρωματικό εγχειρίδιο Εισαγωγή στους Η/Υ στην ιστοσελίδα της ΔΕΟ13). Για απλές μαθηματικές εκφράσεις (π.χ. εκθέτες) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις επιλογές μορφοποίησης του Word. Οι πίνακες των αριθμητικών δεδομένων και οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις αφού γίνουν με την βοήθεια του Excel (βλέπε επόμενη παράγραφο) θα πρέπει να ενσωματωθούν στις απαντήσεις σας στο αρχείο Word. H επεξεργασία των αριθμητικών δεδομένων και οι γραφικές παραστάσεις θα γίνουν σε ένα αρχείο Excel το οποίο θα ονομάσετε ΟnomaEponymo-GE03.xls (π.χ. AthinaDouka-GE03.xls). Για κάθε ερώτημα, θα χρησιμοποιήσετε ένα ξεχωριστό φύλλο εργασίας το οποίο θα ονομάσετε ASKISI-1-erotima-a, ASKISI-1-erotimab,,ASKISI-5-erotima-a κ.ο.κ. Οι εργασίες πρέπει να είναι επιμελημένες και ευανάγνωστες. ΝΑ ΜΕΛΕΤΗΣΕΤΕ ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ ΤΙΣ ΔΙΕΥΚΡΙΝΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1

2 ΘΕΜΑ 1 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 30) α. O υπεύθυνος επιθεώρησης μίας τράπεζας υποστηρίζει ότι οι πελάτες που ασχολούνται στη βιοτεχνία έχουν καταθέσεις με μέση τιμή 3000 ευρώ και τυπική απόκλιση 300 ευρώ. Αν η τράπεζα έχει 1250 πελάτες που ασχολούνται στην βιοτεχνία 1. Να εκτιμήσετε τον αριθμό των πελατών που θα έχουν καταθέσεις από 2400 έως 3600 ευρώ. 2. Η τράπεζα αποφάσισε να στείλει μία ευχετήρια κάρτα σε όλους τους πελάτες που ασχολούνται στη βιοτεχνία και έχουν καταθέσεις από 2100 έως 3900 ευρώ. Ποιος είναι ο αριθμός καρτών που αναμένεται να στείλει η τράπεζα; Ο διευθυντής ενός υποκαταστήματος της τράπεζας στην προσπάθειά του να ελέγξει αν τα στοιχεία που αναφέρονται παραπάνω και που αφορούν ολόκληρη την τράπεζα ευσταθούν στην περίπτωση του δικού του υποκαταστήματος, συλλέγει ένα τυχαίο δείγμα από 60 πελάτες του υποκαταστήματος και καταγράφει το ποσό των καταθέσεών τους (σε ευρώ, στρογγυλοποιημένο στην πλησιέστερη δεκάδα). Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα δεδομένα αυτά Οι μετρήσεις δίνονται και στο επισυναπτόμενο αρχείο Excel, Φύλλο Askisi-1. β. Να υπολογιστούν ο αριθμητικός μέσος, το εύρος, το ενδοτεταρτημοριακό εύρος, η τυπική απόκλιση των δεδομένων καθώς και ο συντελεστής ασυμμετρίας (β 3 ) ο οποίος και να ερμηνευθεί. (Οι υπολογισμοί να γίνουν χρησιμοποιώντας και τις αντίστοιχες συναρτήσεις του Excel). (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) 2

3 γ. Να κατασκευασθεί το Θηκόγραμμα του ποσού των καταθέσεων και με βάση αυτό να εξαχθούν συμπεράσματα για τη μορφή της κατανομής του. δ. Στην περίπτωση που η πολιτεία προχωρήσει σε επιβολή φορολογίας των καταθέσεων η οποία ανέρχεται στο 10% του ύψους των καταθέσεων, καθώς επίσης και στην επιβολή πάγιου τέλους που ανέρχεται σε 50 ευρώ, να υπολογισθεί ο αριθμητικός μέσος, η διάμεσος, το εύρος και η τυπική απόκλιση του ύψους των καταθέσεων στο δείγμα μετά την επιβολή της φορολογίας και του πάγιου τέλους. (Οι υπολογισμοί να γίνουν με τη χρήση των ιδιοτήτων των αντιστοίχων μέτρων). (ΜΟΝΑΔΕΣ 4) ε. Να κατασκευασθεί Πίνακας Κατανομής Συχνοτήτων για το ποσό των καταθέσεων του υποκαταστήματος της τράπεζας χρησιμοποιώντας τάξεις εύρους 500 ευρώ, με κεντρική τιμή της πρώτης τάξης τα 2000 ευρώ. (Να δοθεί η λύση και με το Excel, χρησιμοποιώντας την κατάλληλη συνάρτηση). στ. Χρησιμοποιώντας τα ταξινομημένα δεδομένα να υπολογιστούν ο αριθμητικός μέσος, η επικρατούσα τιμή, το πρώτο τεταρτημόριο και η διακύμανση του ποσού καταθέσεων. (Να δημιουργηθεί στο Excel κατάλληλος Πίνακας στον οποίο να γίνουν οι προαπαιτούμενοι υπολογισμοί). (ΜΟΝΑΔΕΣ 4) ζ. Σε ποια από τις δύο περιπτώσεις (προ φόρου και μετά φόρου) μπορεί να παρατηρηθεί μεγαλύτερη μεταβλητότητα σε ότι αφορά το ποσό των καταθέσεων; 3

4 ΘΕΜΑ 2 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) Σε ένα διαγώνισμα κάποιος φοιτητής πρέπει να επιλέξει να απαντήσει σε 6 από 10 ερωτήσεις. α. Να βρεθεί με πόσους δυνατούς τρόπους μπορεί να επιλέξει τις 6 ερωτήσεις. β. Να βρεθεί με πόσους δυνατούς τρόπους μπορεί να επιλέξει τις 6 ερωτήσεις, αν πρέπει να απαντήσει οπωσδήποτε τις 2 πρώτες ερωτήσεις. γ. Θεωρείστε ότι οι 4 πρώτες ερωτήσεις αποτελούν μια θεματική ενότητα Α και οι υπόλοιπες 6 ερωτήσεις αποτελούν μια άλλη θεματική ενότητα Β. Να βρεθεί με πόσους δυνατούς τρόπους μπορεί να επιλέξει τις 6 ερωτήσεις, αν πρέπει να απαντήσει σε 2 ερωτήσεις της ενότητας Α και σε 4 ερωτήσεις της ενότητας Β. δ. Να βρεθεί με πόσους δυνατούς τρόπους μπορεί να επιλέξει τις 6 ερωτήσεις, αν πρέπει να απαντήσει σε 2 τουλάχιστον ερωτήσεις της ενότητας Α. ΘΕΜΑ 3 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) Ένας φοιτητής απαντά σε ερωτήσεις ενός διαγωνίσματος πολλαπλής επιλογής με 4 απαντήσεις ανά ερώτηση, εκ των οποίων μόνο η μία είναι σωστή κάθε φορά. Η πιθανότητα να γνωρίζει ο φοιτητής την σωστή απάντηση μιας ερώτησης είναι 70%. Στις περιπτώσεις που ο φοιτητής δε γνωρίζει τη σωστή απάντηση, επιλέγει στην τύχη μία από τις 4 απαντήσεις. Σημειώστε ότι οι απαντήσεις σε διαφορετικές ερωτήσεις είναι ανεξάρτητες. α. Αν ο φοιτητής απάντησε σωστά σε μια ερώτηση, ποια η πιθανότητα να γνώριζε τη σωστή απάντηση; (ΜΟΝΑΔΕΣ 5) β. Αν το διαγώνισμα αποτελείται από 2 τέτοιες ερωτήσεις, ποια η πιθανότητα να απαντήσει σωστά και στις 2 ερωτήσεις; (ΜΟΝΑΔΕΣ 5) 4

5 ΘΕΜΑ 4 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) Ένας ασφαλιστής συνεργάζεται με κάποια αντιπροσωπεία αυτοκινήτων. Ο ασφαλιστής έχει ασφαλίσει 15 αυτοκίνητα της αντιπροσωπείας τα οποία έχουν το ίδιο έτος κατασκευής και προέρχονται από την ίδια κατασκευάστρια εταιρεία. Από παλιότερα δεδομένα που έχει συλλέξει η εταιρεία, έχει εκτιμηθεί ότι κάθε αυτοκίνητο με αυτά τα χαρακτηριστικά έχει πιθανότητα 5% να παρουσιάσει βλάβη σε ένα έτος. α. Ποια η πιθανότητα σε ένα έτος: i. να παρουσιάσουν βλάβη 2 αυτοκίνητα; ii. να μην παρουσιάσει βλάβη κανένα από τα 15 αυτοκίνητα; iii. να παρουσιάσουν βλάβη τουλάχιστον 2 αυτοκίνητα; (ΜΟΝΑΔΕΣ 5) β. Αν κάθε αυτοκίνητο που παρουσιάζει βλάβη μέσα στο έτος λαμβάνει αποζημίωση 500 ευρώ, ποιο είναι το συνολικό ποσό που αναμένεται να πληρώσει η ασφαλιστική εταιρεία; Ποια είναι η τυπική απόκλιση για τη συνολική αποζημίωση που θα πληρώσει η εταιρεία; (ΜΟΝΑΔΕΣ 5) ΘΕΜΑ 5 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) Σε ένα κατάστημα ηλεκτρονικών ειδών οι πελάτες φτάνουν σύμφωνα με την κατανομή Poisson με μέσο όρο 30 πελάτες την ώρα. α. Να υπολογιστεί ο συντελεστής μεταβλητότητας του αριθμού των πελατών που έρχονται στο κατάστημα από τις 10:30 έως τις 11:00. β. Ποια η πιθανότητα να μην έρθει στο κατάστημα κανένας πελάτης σε ένα 5λεπτο; γ. Ποια η πιθανότητα να έρθουν στο κατάστημα το πολύ 2 πελάτες σε ένα 5λεπτο; δ. Ποια η πιθανότητα σε κάθε ένα από δύο διαφορετικά 5λεπτα να μην εμφανιστεί πελάτης; 5

6 ΘΕΜΑ 6 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) Ο υπεύθυνος πωλήσεων ενός καφεκοπτείου γνωρίζει από την εμπειρία του ότι η ποσότητα καφέ (σε κιλά) που πωλείται κατά την διάρκεια του καλοκαιριού ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο 200 και τυπική απόκλιση 8. Ένα σημαντικό θέμα που απασχολεί τον υπεύθυνο πωλήσεων του καφεκοπτείου είναι η ποσότητα του καφέ που πρέπει να παραγγείλει για το ερχόμενο καλοκαίρι. Ο υπεύθυνος του καταστήματος θεωρεί ότι η ενδεδειγμένη ποσότητα x ε είναι αυτή για την οποία τα χρηματικά ποσά που θα χάσει κατά μέσο όρο αν παραγγείλει λιγότερη ποσότητα από την x ε ή περισσότερη ποσότητα από την x ε είναι ισόποσα. α. Να βρεθεί η ενδεδειγμένη ποσότητα καφέ x ε που πρέπει να παραγγείλει ο υπεύθυνος του καφεκοπτείου αν είναι γνωστό ότι η μείωση του κέρδους ανά κιλό καφέ είναι 0,25 ευρώ για παραγγελίες μικρότερες από την ενδεδειγμένη ποσότητα και 0,15 ευρώ για παραγγελίες μεγαλύτερες από την ενδεδειγμένη ποσότητα. Ποια είναι η πιθανότητα να πουληθεί όλη η ποσότητα καφέ; (ΜΟΝΑΔΕΣ 6) β. Να βρεθεί η ενδεδειγμένη ποσότητα καφέ x ε που πρέπει να παραγγείλει ο υπεύθυνος του καφεκοπτείου αν υπάρχει ίδια μείωση κέρδους για παραγγελίες μικρότερες από την ενδεδειγμένη ποσότητα και για παραγγελίες μεγαλύτερες από την ενδεδειγμένη ποσότητα. (ΜΟΝΑΔΕΣ 4) ΘΕΜΑ 7 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 20) Μεσιτικό γραφείο ενδιαφέρεται να εξετάσει την σχέση μεταξύ της τιμής πώλησης των διαμερισμάτων (Υ) σε μια μεγάλη πόλη και του μεγέθους των διαμερισμάτων (Χ). Για το σκοπό αυτό επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 10 διαμερισμάτων, από το αρχείο των πελατών του. Τα στοιχεία για τα διαμερίσματα αυτά παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα, όπου η τιμή πώλησης των διαμερισμάτων αναφέρεται σε χιλιάδες ευρώ και το μέγεθος των διαμερισμάτων σε τετραγωνικά μέτρα. Τιμή πώλησης Μέγεθος διαμερισμάτων ,5 6

7 , , , , , , ,5 Τα δεδομένα βρίσκονται και στο Αρχείο Excel, φύλο Askisi-7. Με βάση τα δεδομένα αυτά: (α) Να κατασκευαστεί στο Excel το Διάγραμμα Διασποράς των στοιχείων που αφορούν τις τιμές πώλησης των διαμερισμάτων και το μέγεθός τους. Πιστεύετε ότι υπάρχει γραμμική σχέση της τιμής πώλησης και του μεγέθους των διαμερισμάτων; Να υπολογίσετε κατάλληλο αριθμητικό μέτρο-συντελεστή ο οποίος μετράει την γραμμική σχέση των δύο μεταβλητών και να ερμηνευτεί. Ο υπολογισμός να γίνει και με το Excel, χρησιμοποιώντας κατάλληλη συνάρτηση. (β) Να εκτιμήσετε τους συντελεστές a και β του γραμμικού υποδείγματος Y = a+ β X + u με τη βοήθεια του Excel. Να περιγράψετε αναλυτικά τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τους τύπους που περιλαμβάνουν τις μεταβλητές σε αποκλίσεις από τους μέσους, καθώς και τους τύπους που δεν απαιτείται να εκφρασθούν οι μεταβλητές σε αποκλίσεις από τους μέσους. Επίσης να ερμηνεύσετε τον εκτιμητή του συντελεστή β. (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) 2 (γ) Να υπολογισθεί ο συντελεστής προσδιορισμού R και να ερμηνευθεί. Ο υπολογισμός να γίνει και με το Excel, χρησιμοποιώντας τα στοιχεία του Πίνακα που δημιουργήσατε στο ερώτημα (β). (δ) Αν το μέγεθος μιάς κατοικίας είναι 250 τετραγωνικά μέτρα ποια είναι η αναμενόμενη τιμή πώλησης σύμφωνα με το υπόδειγμα που εκτιμήσατε; (ΜΟΝΑΔΑ 1) (ε) Να υπολογίσετε τις προβλεπόμενες τιμές της παλινδρόμησης Yˆ ˆ ˆ i = α + β Xi και τα κατάλοιπα της παλινδρόμησης, u ˆ ˆi = Y i Y i, και να επιβεβαιώσετε ότι το άθροισμα των καταλοίπων ισούται με μηδέν. 7

8 (στ) Χρησιμοποιώντας την αντίστοιχη συνάρτηση του Excel να εκτιμηθεί το γραμμικό μοντέλο Y = a+ β X + u και να συγκριθούν τα αποτελέσματα με αυτά των ερωτημάτων (α)-(γ). ΔΙΕΥΚΡΙΝΙΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ερώτημα β. Οι υπολογισμοί των στατιστικών μέτρων θα γίνουν με δύο τρόπους: (i). Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Τυπολογίου. Στην περίπτωση αυτή οι υπολογισμοί των βοηθητικών στοιχείων (αθροίσματα κ.λ.π.) που απαιτούνται θα γίνουν με τη βοήθεια του Excel. Μαζί με τις λύσεις θα παραδοθεί και το σχετικό αρχείο του Excel που θα περιέχει τους υπολογισμούς των στοιχείων αυτών. (ii). Χρησιμοποιώντας τις αντίστοιχες συναρτήσεις του Excel. Για παράδειγμα, ο αριθμητικός μέσος βρίσκεται επιλέγοντας από το MENU Συναρτήσεις (Functions), εξειδικεύοντας Στατιστικές (Statistical) και τέλος τη συνάρτηση AVERAGE. Για διευκόλυνσή σας δίνεται το παρακάτω γλωσσάριο των εμπλεκομένων στην εργασία όρων: Ασυμμετρία Διακύμανση Διάμεσος Επικρατούσα τιμή Εύρος Θηκόγραμμα Κύρτωση Παλινδρόμηση Συντελεστής προσδιορισμού Συσχέτιση Skewness Variance Median Mode Range Box and Whisker Plot Kurtosis Regression Coefficient of Determination Correlation 8

9 Συχνότητα Τεταρτημόριο Τυπική απόκλιση Frequency Quartile Standard Deviation Ερώτημα γ. Για την δημιουργία του Θηκογράμματος προτείνεται να χρησιμοποιηθούν τα εργαλεία σχεδίασης του Word. Είναι ο ευκολότερος τρόπος. Ερώτημα ε. Ο Πίνακας Κατανομής Συχνοτήτων να κατασκευαστεί ακολουθώντας τη διαδικασία που περιγράφεται στο βιβλίο. Ερώτημα στ. Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Τυπολογίου. Στην περίπτωση αυτή οι υπολογισμοί των βοηθητικών στοιχείων (αθροίσματα κ.λ.π.) που απαιτούνται θα γίνουν με τη βοήθεια του Excel. Μαζί με τις λύσεις θα παραδοθεί και το σχετικό αρχείο του Excel που θα περιέχει τους υπολογισμούς των στοιχείων αυτών. ΘΕΜΑ 7 ο Ερώτημα α. Θα δημιουργηθεί σε ξεχωριστό φύλλο εργασίας του αρχείου Excel το διάγραμμα διασποράς το οποίο στη συνέχεια θα ενσωματωθεί στο αρχείο Word. Οι υπολογισμοί του στατιστικού μέτρου θα γίνει με δύο τρόπους: i. Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Τυπολογίου. Στην περίπτωση αυτή οι υπολογισμοί των βοηθητικών στοιχείων (αθροίσματα κ.λ.π.) που απαιτούνται θα γίνουν με τη βοήθεια του Excel. Μαζί με τις λύσεις θα παραδοθεί και το σχετικό αρχείο του Excel που θα περιέχει τους υπολογισμούς των στοιχείων αυτών. ii. Χρησιμοποιώντας αντίστοιχη συνάρτηση του Excel. Ερωτήματα β, γ, δ και ε. Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Τυπολογίου όπου απαιτείται. Στην περίπτωση αυτή οι υπολογισμοί των βοηθητικών στοιχείων (αθροίσματα κ.λ.π.) που απαιτούνται θα γίνουν με τη βοήθεια του Excel. Μαζί με τις λύσεις θα παραδοθεί και 9

10 το σχετικό αρχείο του Excel που θα περιέχει τους υπολογισμούς των στοιχείων αυτών. Ερώτημα στ. Για την εκτίμηση της ευθείας γραμμικής παλινδρόμησης της Υ πάνω στη Χ με τη χρήση της Συνάρτησης Παλινδρόμησης του Excel προτείνεται να ακολουθηθούν τα παρακάτω βήματα. α. Από το μενού Εργαλεία (Tools) επιλέγουμε την Ανάλυση Δεδομένων (Data Analysis). Αν δεν υπάρχει, τότε από το μενού Εργαλεία επιλέγουμε Επιπρόσθετα (Add-ins), κάνουμε κλικ στις επιλογές Analysis Toolpak και Analysis Toolpak-VBA και μετά ΟΚ. Μετά από αυτό θα πρέπει να μας εμφανισθεί η επιλογή Ανάλυση Δεδομένων. β. Από εκεί επιλέγουμε Regression γ. Στο Input Y range βάζουμε την περιοχή των δεδομένων του Υ, πχ αν τα δεδομένα είναι στη στήλη C, θέσεις 2-11 βάζω C2:C11. Κάνω το ίδιο και για Input Χ range. δ. Στα output options επιλέγουμε New Workbook και πατάμε ΟΚ. Θα πρέπει να εμφανισθεί το output της παλινδρόμησης σε ξεχωριστό αρχείο. Tο αποτέλεσμα, στη συνέχεια θα ενσωματωθεί στο αρχείο Word. Αν χρειασθείτε βοήθεια, το Help του Regression είναι πολύ καλό. ΤΟ ΤΕΛΙΚΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ EXCEL ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΦΥΛΛΑ ΦΥΛΛΟ ΟΝΟΜΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ 1 Askisi-1 Τα δεδομένα του 1 ου Θέματος 2 Askisi-1-erotima-b Τους υπολογισμούς του ερωτήματος 1β 3 Askisi-1-erotima-e-st-z Τους υπολογισμούς των ερωτημάτων 1ε, 1στ, 1ζ 4 Askisi-7 Τα δεδομένα του 7 ου Θέματος 5 Askisi-7-erotima-a Το διάγραμμα διασποράς του ερωτήματος 7α 6 Askisi-7-erotima-b-e Τους υπολογισμούς των ερωτημάτων 7β έως και 7ε 7 Askisi-7-erotima-st Το output για το ερώτημα 7στ 10