ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008
Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2
Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα σε κάθε επανάληψη του πειράματος μπορούν να εμφανισθούν δύο μόνο δυνατά αποτελέσματα τα οποία θα χαρακτηρίζουμε σαν επιτυχία (ε) ή αποτυχία (α) τα πειράματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους έτσι ώστε το αποτέλεσμα οποιουδήποτε πειράματος να μην επηρρεάζει τα αποτελέσματα των υπολοίπων η πιθανότητα επιτυχίας (και αποτυχίας) δεν μεταβάλλεται από πείραμα σε πείραμα. 3 Μια ακολουθία πειραμάτων με τις παραπάνω ιδιότητες λέγεται ακολουθία (ανεξάρτητων) δοκιμών Bernoulli. Η κοινή πιθανότητα επιτυχίας (αποτυχίας) των δοκιμών συμβολίζεται συνήθως με p (1-p) Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Κατανομή Bernoulli ΟΡΙΣΜΟΣ 4 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Ησυνάρτηση πιθανότητας της κατανομής Bernoulli ή ισοδύναμα 5 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Μέση τιμή και διακύμανση της κατανομής Bernoulli 6 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Άσκηση 1/Σελίδα 267 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας 7
Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 8
ΗΔιωνυμική κατανομή 'Οταν ένα πείραμα με δύο δυνατά αποτελέσματα (δοκιμή Bernoulli) εξαγόμενα επαναλαμβάνεται συγκεκριμένο αριθμό φορών εκείνο το οποίο συνήθως μας ενδιαφέρει είναι ο αριθμός των επιτυχιών ή αποτυχιών που εμφανίστηκαν. Η τυχαία μεταβλητή X που δίνει τον αριθμό επιτυχιών σε ν δοκιμές Bernoulli με κοινή πιθανότητα επιτυχίας p λέγεται Διωνυμική τυχαία μεταβλητή. 9 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
X ~ b( ν, p) ΗΔιωνυμική κατανομή ΟΡΙΣΜΟΣ Για ν1 1 παίρνουμε την κατανομή Bernoulli κατανομή την Bernoulli 10 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Ησυνάρτηση πιθανότητας της Διωνυμικής κατανομής f ( ) P( X ν ν ) p q 0,1,..., ν ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ 11 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
X ~ b( ν, p) Ησυνάρτηση πιθανότητας της Διωνυμικής κατανομής ΑΠΟΔΕΙΞΗ f ( ) P( X ) f ( ) P( X ν ) p q ν 12 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Θέματα εξετάσεων Σε μια κάλπη υπάρχουν α άσπρες και β μαύρες σφαίρες. Εξάγεται μια σφαίρα, σημειώνεται το χρώμα της και στη συνέχεια η σφαίρα επιστρέφεται στη κάλπη. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται ν φορές και συμβολίζουμε με Χ τον αριθμό των μαύρων σφαιρών που εξήχθησαν. Τότε η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή. Συμπληρώστε Σ ή Λ Σ Σε μια κάλπη υπάρχουν α άσπρες και β μαύρες σφαίρες. Εξάγεται μια σφαίρα, σημειώνεται το χρώμα της και στη συνέχεια η σφαίρα επιστρέφεται στη κάλπη. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται ν φορές και συμβολίζουμε με Χ τον αριθμό των άσπρων σφαιρών που εξήχθησαν. Τότε η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή. Συμπληρώστε Σ ή Λ Σ Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 13
Θέματα εξετάσεων Θεωρούμε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli με σταθερή πιθανότητα επιτυχίας p. Αν Χ είναι ο αριθμός των αποτυχιών σε 20 δοκιμές τότε η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί τη Διωνυμική κατανομή με παραμέτρους ν 20 και p. Συμπληρώστε Σ ή Λ Λ Θεωρούμε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli με σταθερή πιθανότητα επιτυχίας p. Αν Χ είναι ο αριθμός των αποτυχιών σε 10 δοκιμών τότε η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί τη Διωνυμική κατανομή με παραμέτρους ν 10 και 1 p. Συμπληρώστε Σ ή Λ Σ Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 14
Άσκηση 2/Σελίδα 267 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 15
Παράδειγμα 5.1.4/Σελίδα 263 ΛΥΣΗ 16 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Παράδειγμα 5.1.4/Σελίδα 263 17 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Παράδειγμα 5.1.5/Σελίδα 264 ΛΥΣΗ 18 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Παράδειγμα 5.1.5/Σελίδα 264 α. 19 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Παράδειγμα 5.1.5/Σελίδα 264 β. 20 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Μέση τιμή και διακύμανση της Διωνυμικής κατανομή ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Βλέπε βιβλίο (σελίδα 266) 21 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας
Άσκηση 2/Σελίδα 267 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 22
Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας 23 Σχέση της Διωνυμικής κατανομής με την κατανομή Bernoulli ν ν ν 0,1,..., ) ( ) ( q p X P f ν ν ν 0,1,..., ) ( ) ( q p X P f 0,1 1 ) ( ) ( 1 1 q p q p X P f 1 v ) (1, ~ p b ), ( ~ p b ν
Άσκηση 3/Σελίδα 267 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 24
Άσκηση 7/Σελίδα 268 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 25
Άσκηση 8/Σελίδα 268 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 26
Άσκηση 12/Σελίδα 268 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 27
Άσκηση 13/Σελίδα 268 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 28
Άσκηση 19/Σελίδα 269 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 29