ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς

2 2

3 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή ( X, Y ) περιγράφεται από την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας f ( x, y) που είναι μια πραγματική συνάρτηση δύο μεταβλητών. Όπως και στη μονοδιάστατη περίπτωση η f ( x, y) δεν εκφράζει την πιθανότητα P ( X = x, Y = y) (η οποία στην πραγματικότητα είναι ίση με μηδέν), μπορεί όμως μέσω κατάλληλων ολοκληρώσεων να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό πιθανοτήτων που σχετίζονται με περιοχές στους διδιάστατους χώρους που δουλεύουμε. 3

4 Ανεξαρτησία δυο τυχαίων μεταβλητών ΟΡΙΣΜΟΣ Για διακριτές τ.μ. 4

5 Ανεξαρτησία δυο διακριτών τ.μ. Χ, Υ ανεξάρτητες? Χ, Υ ανεξάρτητες δηλαδή ισχύει 5

6 Ανεξαρτησία δυο διακριτών τ.μ. Χ, Υ ανεξάρτητες? Χ, Υ ανεξάρτητες δηλαδή ισχύει 6

7 Ανεξαρτησία δυο διακριτών τ.μ. Ισχύει Ισχύει και και για για συνεχείς συνεχείς τ.μ..? 7

8 8 Ανεξαρτησία δυο συνεχών τ.μ.

9 Ανεξαρτησία δυο συνεχών τ.μ. 9?

10 Έλεγχος της Ανεξαρτησίας δυο τ.μ. (διακριτών ήσυνεχών) Ισοδύναμες Ισοδύναμες συνθήκες συνθήκες 10

11 Έλεγχος της Ανεξαρτησίας δυο τ.μ. (διακριτών ήσυνεχών) Ισοδύναμες Ισοδύναμες συνθήκες συνθήκες Πολύ θεωρία έπεσε!!!! Καιρός για ασκήσεις 11

12 Άσκηση 2/Σελίδα 96 12

13 Θέμα εξετάσεων 1. Έστω ( X, Y ) μια δισδιάστατη Y 1 2 f (x) X X διακριτή τυχαία μεταβλητή με από κοινού συνάρτηση f Y (y) πιθανότητας f ( x, y) και περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας f X ( x) = P( X = x), f Y ( y) = P( Y = y). Αν για τις τυχαίες μεταβλητές Χ, Υ είναι γνωστό ότι είναι ανεξάρτητες, να συμπληρωθούν τα στοιχεία του διπλανού πίνακα διπλής εισόδου που αφορά την από κοινού συνάρτηση πιθανότητας f ( x, y). Να δοθούν λεπτομερώς οι υπολογισμοί που έγιναν. 13

14 Άσκηση 4/Σελίδα 96 14

15 Άσκηση 3/Σελίδα 96 15

16 Άσκηση 12/Σελίδα 97 16

17 Άσκηση 6/Σελίδα 97 17

18 Άσκηση 7/Σελίδα 97 18

19 Ερώτημα εξετάσεων 1. Η από κοινού συνάρτηση κατανομής της δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής (Χ, Y ) δίνεται από τον τύπο x y x y axy 1 e e + e, αν x 0 και y 0 F( x, y) = 0, αλλού. όπου α είναι μια δοσμένη πραγματική σταθερά με 0 a 1. α. Να βρεθούν οι περιθώριες αθροιστικές συναρτήσεις κατανομής FX ( x), FY ( y) των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ. β. Να δειχτεί ότι οι Χ και Υ είναι ανεξάρτητες αν και μόνο αν a = 0. 19

20 20 Μια ακόμη συνθήκη ανεξαρτησίας τ.μ.

21 21 Μια ακόμη συνθήκη ανεξαρτησίας τ.μ.

22 Άσκηση 7/Σελίδα 97 22

23 23 Περιπτώσεις όπου γνωρίζουμε ότι οι τ.μ. είναι ανεξάρτητες (και το εκμεταλλευόμαστε φυσικά)

24 Άσκηση 14/Σελίδα 98 24

25 Ερωτήματα εξετάσεων 1. H από κοινού συνάρτηση πιθανότητας f ( x, y) των τυχαίων μεταβλητών X και Y δίνεται από τις σχέσεις 1 f ( 0,0) = f (0,1) = f (1,1) =. 3 Τότε οι τυχαίες μεταβλητές X, Y είναι ανεξάρτητες. Συμπληρώστε Σ ή Λ 2. H από κοινού συνάρτηση πυκνότητας f ( x, y) των τυχαίων μεταβλητών X και Y δίνεται από τον τύπο 4 f ( x, y) =, x 1, y x y Τότε οι τυχαίες μεταβλητές X, Y είναι ανεξάρτητες. Συμπληρώστε Σ ή Λ 3. Αν για δύο συνεχείς τυχαίες μεταβλητές X, Y με από κοινού συνάρτηση πυκνότητας f ( x, y) υπάρχουν δύο συναρτήσεις f 1( x, y), f 2( x, y) τέτοιες ώστε να ισχύει f ( x, y) = f1( x, y) f2( x, y) για κάθε x R, y R τότε οι τ.μ. X και Y είναι ανεξάρτητες. Συμπληρώστε Σ ή Λ 25

26 Ιδιότητες των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών? Απόδειξη 26 Ευτυχώς! Αυτή ισχύει

27 Δεν χρειάζεται Ιδιότητες των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών χρειάζεται οι g και h να έχουν κάποιες καλές ιδιότητες (π.χ 1-1, 1, συνεχείς κτλ) Ευτυχείς συνέπειες 27

28 Δεν χρειάζεται Ιδιότητες των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών χρειάζεται οι g και h να έχουν κάποιες καλές ιδιότητες (π.χ 1-1, 1, συνεχείς κτλ) Ευτυχείς συνέπειες Χ, Υ ανεξάρτητες 28 Z, W ανεξάρτητες

29 Ιδιότητες των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών Απόδειξη Λόγω της ανεξαρτησίας των X,Y 29

30 Ιδιότητες των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών 30 Προσοχή! Κανένας δεν είπε ότι ισχύει και το αντίστροφο (και αν το πείτε εσείς στις εξετάσεις θα πάρετε αρνητικές μονάδες)

31 Άσκηση 1/Σελίδα

32 Ανεξαρτησία και δεσμευμένες κατανομές Αν Χ, Υ ανεξάρτητες 32

33 Ερωτήματα εξετάσεων 1. Αν Χ, Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, τότε 2 2 α. οι τυχαίες μεταβλητές V = Χ και W =Υ θα είναι ανεξάρτητες. β. οι τυχαίες μεταβλητές V = Χ και W = 1/ Υ θα είναι ανεξάρτητες γ. ισχύει Ε ( Χ Υ ) = Ε ( Χ ) Ε ( Υ ). δ. ισχύει Ε ( ΧΥ ) = Ε ( Χ ) Ε ( Υ ). ε. ισχύουν όλα τα παραπάνω. Συμπληρώστε α, β, γ, δ ή ε 2. Αν για τις τ.μ. X και Y ισχύει η σχέση E ( XY) = E( X ) E( Y ) τότε οι τυχαίες μεταβλητές X και Y θα είναι ανεξάρτητες. Συμπληρώστε Σ ή Λ 3. Έστω X, Y δύο τυχαίες μεταβλητές για τις οποίες είναι γνωστό ότι E ( X ) = 1, E ( Y ) = 2 και E ( XY ) = 3. Τότε α. οι τυχαίες μεταβλητές X, Y δεν είναι ανεξάρτητες γ. E [ X ( Y 2)] = E[( X 1)( Y 2)] β. E [( X 1) Y ] = E( X ) δ. E [( Y 3) X ] = 0 ε. ισχύουν όλα τα παραπάνω Συμπληρώστε α, β, γ, δ ή ε 33

34 Άσκηση 7/Σελίδα

35 Άσκηση 6/Σελίδα

36 Άσκηση 2/Σελίδα

37 Άσκηση 9/Σελίδα