ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΛΛΙΡΡΟΗ ΚΩΣΤΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ. 173

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΡΙΘΜΟΣ ΡΟΩΝ ΕΠΙΤΥΧΙΩΝ & ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΝΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΤΥΧΙΑΣ ΚΑΛΛΙΡΡΟΗ ΚΩΣΤΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ. 73 Επιβλέπουσα : Ε. Σ. Μακρή Επικ. Καθηγήτρια Πάτρα Νοέµβριος 27

Η διπλωµατική αυτή έγινε στα πλαίσια του µεταπτυχιακού προγράµµατος σπουδών «Μαθηµατικά των υπολογιστών και των αποφάσεων» υπό την επίβλεψη της Επίκουρου Καθηγήτριας Ευφροσύνης Μακρή. Θα ήθελα να ευχαριστήσω την κα. Μακρή για την πολύτιµη βοήθεια, τις συµβουλές και την καθοδήγησή της κατά τη διάρκεια εκπόνησης αυτής της διπλωµατικής εργασίας. 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή...4 Κεφάλαιο : Ο αριθµός των ροών επιτυχιών συγκεκριµένου µήκους σε δυαδικά πειράµατα.. ιωνυµική κατανοµή τάξης. Ανεξάρτητες και ισόνοµες δυαδικές ακολουθίες...6.2 Εµβάπτιση τυχαίας µεταβλητής σε πεπερασµένη Μαρκοβιανή αλυσίδα...3.3 Εύρεση της κατανοµής του αριθµού των ροών επιτυχιών συγκεκριµένου µήκους µε τη µέθοδο της εµβάπτισης τυχαίας µεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα...4 Κεφάλαιο 2: Ο αριθµός των ροών επιτυχιών µήκους τουλάχιστον σε δυαδικά πειράµατα. 2. Κατανοµή του αριθµού των ροών επιτυχιών µήκους τουλάχιστον σε ανεξάρτητα πειράµατα τύχης...25 2.2 Κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής Μ σε Μαρκοβιανή αλυσίδα δύο καταστάσεων...3 Κεφάλαιο 3: Συνεχόµενα- -από τα- : F συστήµατα Εισαγωγή...36 3. Αξιοπιστία ενός συνεχόµενου- -από τα- : F συστήµατος. Συνδυαστικές µέθοδοι-αναδροµικοί τύποι...39 3.2 Αξιοπιστία ενός συνεχόµενου- -από τα- : F συστήµατος, µε τη µέθοδο της εµβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα...5 3.3 Εφαρµογές εύρεσης της αξιοπιστίας µε τη µέθοδο της Μαρκοβιανής Εµβάπτισης...57 3.4 Αξιοπιστία ενός συνεχόµενου- -από τα- : F συστήµατος, συνιστωσών µε οµογενή Μαρκοβιανή εξάρτηση ενός βήµατος...65 3.5 Αξιοπιστία ενός συνεχόµενου- -από τα- : F συστήµατος, συνιστωσών µε Μαρκοβιανά εξαρτηµένες συνιστώσες βηµάτων...69 Κεφάλαιο 4: m -συνεχόµενα- -από τα- : F συστήµατα 4. Αξιοπιστία ενός m -συνεχόµενου- -από τα- : F συστήµατος. Συνδυαστικές µέθοδοι. Αναδροµικοί τύποι...73 4.2 Αξιοπιστία ενός m -συνεχόµενου- -από-τα- : F συστήµατος, µε τη µέθοδο της εµβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα...8 Αναφορές...85 3

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο αριθµός των ροών επιτυχιών σε µια ακολουθία από δοκιµές Beroull, έχει χρησιµοποιηθεί σε πολλές περιοχές. Λέγοντας ροή επιτυχιών εννοούµε µια S οι οποίες έπονται και ακολουθούνται από ακολουθία από επιτυχίες αποτυχίες ( F ) ή τίποτα (για την αρχή και το τέλος της ακολουθίας). Μήκος µιας τέτοιας ροής θα λέµε των αριθµό των επιτυχιών σε µια ροή. Επί έναν αιώνα και στην πιο απλή περίπτωση των ανεξάρτητων και ταυτοτικά κατανεµηµένων δοκιµών Beroull, οι ακριβείς κατανοµές πολλών τυχαίων µεταβλητών που αφορούσαν ροές ήταν άγνωστες. Η ιδέα των ροών έχει χρησιµοποιηθεί σε πολλές περιοχές. Για παράδειγµα, στις αρχές του 94 χρησιµοποιήθηκαν σε ελέγχους υποθέσεων (ru es) από τους Wald και Wolfowz (94) και στην περιοχή του στατιστικού ελέγχου ποιότητας από τους Moseller και Wolfowz (943). Πρόσφατα και µε πολλή µεγάλη επιτυχία, οι ροές έχουν χρησιµοποιηθεί και σε άλλες περιοχές, όπως στην αξιοπιστία µηχανικών συστηµάτων, σε ελέγχους ποιότητας, στην ψυχολογία, στην οικολογία, σε αστρονοµικά ραντάρ, σε µελέτες ουρανίου (Coover, Beme, και Ima 979). Στη µοριακή βιολογία επίσης η κατανοµή των ροών επιτυχιών βρίσκει πολλές σηµαντικές εφαρµογές (Mo, Krwood και Curow 99), γιατί δίνει την πιθανότητα αν ταιριάξουµε δύο ακολουθίες DNA, να παρατηρηθούν περιοχές όπου οι δύο ακολουθίες ταυτίζονται οπότε θα θεωρούµε ότι έχουµε ροές επιτυχιών. Ο αριθµός των ροών και το µέγιστο µήκος ροής επιτυχιών είναι δύο από τους πιο γνωστούς και πιο ευκολόχρηστους ελέγχους τυχαιότητας σε µια σειρά από παρατηρήσεις. Η εύρεση των κατανοµών αυτών των στατιστικών ελέγχων χρειάζεται µεγάλη προσπάθεια. Οι Wald και Wolfowz (94) πρότειναν ένα es το οποίο βασίστηκε στη δεσµευµένη κατανοµή του συνολικού αριθµού των ροών, δεδοµένου του αριθµού των επιτυχιών. Οι Rub, McCulloch, και Shapro (99), πρότειναν έναν έλεγχο τυχαιότητας έναντι της οµαδοποίησης, βασιζόµενοι στον αριθµό των ροών σε πολυωνυµικά δεδοµένα. Σχεδόν όλα τα παραπάνω που αναφέραµε χρησιµοποιούν συνδυαστική ανάλυση για τον υπολογισµό των ακριβών κατανοµών των ροών. Ο Schwager (983) πρότεινε µία αναδροµική µέθοδο για τον υπολογισµό της πιθανότητας ροών για µια ακολουθία από Μαρκοβιανά εξαρτηµένες δοκιµές. Οι Fu και Kouras (994), των οποίων τη µέθοδο θα αναπτύξουµε και εµείς, παρουσίασαν µία µέθοδο για την εύρεση της ακριβούς κατανοµής πέντε τυχαίων µεταβλητών, δίνοντας τη µέθοδο εµβάπτισης τυχαίων µεταβλητών, ακεραίων µη αρνητικών τιµών, σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Ανάµεσα σε αυτές τις πέντε τυχαίες µετραβλητές είναι και η τυχαία µεταβλητή N µε την οποία θα ασχοληθούµε λεπτοµερώς σε αυτή την εργασία Η τυχαία µεταβλητή Ν παριστάνει τον αριθµό των ροών επιτυχιών µήκους σε δοκιµές Beroull, δηλαδή τον αριθµό των µη επικαλυπτόµενων συνεχόµενων επιτυχιών σε δοκιµές Beroull. Η κατανοµή της N αποτελεί ( ) γενίκευση της γνωστής διωνυµικής κατανοµής Β (, p) ονοµάζεται διωνυµική κατανοµή τάξης Β (, p) συµπεριφορά της N µελετήθηκε από τον Feller (968). ( ), γι αυτό και. Η ασυµπτωτική 4

Θα µελετήσουµε τη µεταβλητή αυτή και θα προσδιορίσουµε τη κατανοµή της µέσω συνδυαστικών µεθόδων, αναδροµικών σχέσεων και µέσω της µεθόδου εµβάπτισης τυχαίας µεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Η µελέτη γίνεται για ανεξάρτητες και ισόνοµες και για ανεξάρτητες όχι κατ ανάγκην ισόνοµες δυαδικές ακολουθίες. Σκοπός µας είναι να παρουσιάσουµε εφαρµογές της τυχαίας µεταβλητής Ν στην αξιοπιστία συστηµάτων αποτυχίας. Πιο συγκεκριµένα, θα αναφερθούµε σε συνεχόµενα- -από-τα- συστήµατα αποτυχίας και κατ επέκταση σε m -συνεχόµενα- -από-τα- συστήµατα αποτυχίας. Θα παρουσιάσουµε ακριβείς εκφράσεις της αξιοπιστίας γραµµικών συνεχόµενων- -από-τα- συστήµατων αποτυχιών και m -συνεχόµενων- - από-τα- συστηµάτων αποτυχιών µέσω πολυωνυµικών συντελεστών, δυωνυµικών συντελεστών, αναδροµικών σχέσεων και της µεθόδου εµβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Η µελέτη γίνεται για συστήµατα µε ανεξάρτητες συνιστώσες, για συστήµατα µε οµογενή Μαρκοβιανή εξάρτηση ενός βήµατος και για συστήµατα µε Μαρκοβιανά εξαρτηµένες συνιστώσες βηµάτων. Ένα συνεχόµενο- -από τα- σύστηµα αποτυχίας το οποίο αποτελείται από συνιστώσες διατεταγµένες σε σειρά (ή κυκλικά), αποτυγχάνει, εάν και µόνο εάν υπάρχουν τουλάχιστον συνεχόµενες αποτυχηµένες συνιστώσες. Επιπλέον ένα γραµµικό ή κυκλικό m -συνεχόµενο- -από-τα- σύστηµα αποτυχίας το οποίο αποτελείται από συνιστώσες διατεταγµένες σε σειρά (ή κυκλικά), αποτυγχάνει, εάν και µόνο εάν υπάρχουν τουλάχιστον m µη επικαλυπτόµενες ροές από συνεχόµενες αποτυχηµένες συνιστώσες. Εκτός από τη τυχαία µεταβλητή N θα κάνουµε αναφορά και θα δοθεί ( ) έκφραση για την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής M, η οποία παριστάνει τον αριθµό των ροών επιτυχιών µήκους τουλάχιστον, σε δοκιµές Beroull και έχει επίσης εφαρµογή στην αξιοπιστία ενός συνεχόµενου- -απότα- συστήµατος αποτυχίας, Θα προσδιοριστεί η κατανοµή της, όπου σε αυτή την περίπτωση θα θεωρούµε ότι δύο συνεχόµενες ροές θα πρέπει να χωρίζονται από µία ή περισσότερες αποτυχίες. Τέλος παρουσιάζουµε αριθµητικά παραδείγµατα για περαιτέρω διευκρίνηση και σύγκριση των µεθόδων υπολογισµού της κατανοµής της N και της αξιοπιστίας των ανωτέρω συστηµάτων αποτυχιών. 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΡΟΩΝ ΕΠΙΤΥΧΙΩΝ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΣΕ ΥΑ ΙΚΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ. ιωνυµική κατανοµή τάξης. Ανεξάρτητες και ισόνοµες δυαδικές ακολουθίες Σε αυτό το κεφάλαιο θα δώσουµε τους ακριβείς τύπους της κατανοµής της τυχαίας µεταβλητήςν, έτσι όπως έχουν δοθεί µέχρι σήµερα. Κατά την ανάπτυξη αυτής της εργασίας θα χρησιµοποιήσουµε τον παρακάτω συµβολισµό. Έστω S ο συνολικός αριθµός των επιτυχιών, Ν ο αριθµός των ροών επιτυχιών µήκους ( ) και L το µέγιστο µήκος ροής επιτυχιών σε ( ) δοκιµές Beroull. Oι Phlppou και Mar (986) και Hrao (986) ανεξάρτητα, έδωσαν ακριβή τύπο για την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής Ν για ανεξάρτητα δυαδικά πειράµατα µε σταθερή πιθανότητα επιτυχίας p( p ) έδωσαν το παρακάτω Θεώρηµα: < <. Συγκεκριµένα Θεώρηµα. Έστω N µία τυχαία µεταβλητή η οποία παριστάνει τον αριθµό των ροών επιτυχιών µήκους ( ) σε ( ) ανεξάρτητες δοκιµές µε p < p<. Τότε, πιθανότητα επιτυχίας x+... + x x+... + x + x q, =,,... x,..., x = x,..., x, x p P N = x = p x. () όπου το εσωτερικό άθροισµα είναι πάνω σε όλους τους µη αρνητικούς ακεραίους x,, K x µε x+ 2 x2 +... + x = x και q ((< q< ). Απόδειξη: Θα συµβολίζουµε µε S την επιτυχία και F την αποτυχία. Ένα τυπικό στοιχείο του γεγονότος ( N = x ) είναι µία διάταξη που έχει την µορφή, aa2... ax +...+ x - + x SS 2K 3 S, τέτοιο ώστε x από τα a είναι e = F, x 2 από τα a είναι e2 = SF, K, x από τα a είνα e = SSK SF, x από τα a είναι e = SSK S µε x+ 2 x2+... + x + x+ = για σταθερά και x,..., x. 6

Τότε ο αριθµός των παραπάνω διατάξεων είναι: x+... + x + x, x,..., x, x και καθένα από αυτά έχει πιθανότητα, x x2 x x P aa2... ax ( { }) ( { }) ( { }) ( { }) +...+ x 2... + x SS 2K 3S = P e P e P e P e P SS2 K3 S ( ) x x2 x2... x x = q p q p q p p = = p q p x +... + x λόγω της ανεξαρτησίας των δοκιµών, τον ορισµό των P{ S}, q p x+ x2. +... + x ( x+ x2. +... + x ) e ( ), e και = p. Αλλά οι µη αρνητικοί ακέραιοι x,..., x ικανοποιούν τις σχέσεις x+ 2 x2 +... + x = x και. Έτσι, x+... + x x+... + x + x q =,,... x,..., x = x,..., x, x p. P N = x = p x Παρατήρηση: α) Για = ο παραπάνω τύπος µας δίνει τη γνωστή σε εµάς διωνυµική κατανοµή. Πράγµατι: x q x x P( N = x) = p = p q x=,,...,. x, x p x β) Επίσης ισχύει, x +... + x + x x +... + x + x! =. + + + x,..., x, x+ ( x)! = Ο Godbole (99) έδωσε έναν εναλλακτικό τύπο για την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής Ν αναλύοντας περαιτέρω τη µέθοδο των Phlppou και Mar (986). Αρχικά θα αναφερθούµε σε ένα Λήµµα που δίνει στην εργασία του, για τον αριθµό των αποτυχιών µε δεδοµένο ότι = x. N 7

Λήµµα. Έστω Y ο ελάχιστος αριθµός αποτυχιών που µπορεί να έχουµε σε µια ακολουθία από δοκιµές Beroull. Τότε, ο αριθµός των αποτυχιών ικανοποιεί τη σχέση ( ) / x Y x. Πιο συγκεκριµένα, και µόνο εάν ( ) / ικανοποιείται πάντα η σχέση P N = x, Y = y > εάν x y x, µε απαραίτητη προυπόθεση να N = x. Στην ουσία, στο παραπάνω Λήµµα ο Godbole (99) προσδιορίζει άνω και κάτω φράγµατα για τον αριθµό των αποτυχιών στην ακολουθία µε δεδοµένο ότι N = x. Παράδειγµα: Ας θεωρήσουµε ότι =, = 3 και x= 2. Τότε µε την υπόθεση ( 3) ότι N = 2 ο ελάχιστος αριθµός αποτυχιών θα είναι y 4. ύο από τις ακολουθίες των δοκιµών που µπορούµε να έχουµε είναι: SSSSSSSSFS ή SSSSSSFFFF Στο Θεώρηµα 2 (Godbole (99)) δίνεται η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής συναρτήσει διωνυµικών συντελεστών. ( ) Ν Θεώρηµα 2. Θεωρούµε δοκιµές Beroull µε πιθανότητα επιτυχίας p και έστω Ν ο αριθµός των ροών επιτυχιών µήκους. Τότε, ( ) ( ) y x y y + P N = x = q p ( x) / y x x (2) y+ x ( ), x=,,2,...,. y x y / Πριν περάσουµε στην απόδειξη του παραπάνω Θεωρήµατος θα δώσουµε δύο Λήµµατα. Λήµµα 2. Έστω S, L και Ν, όπως ορίστηκαν παραπάνω και αποτέλεσµα της δοκιµής. Τότε, X το (, X, S m m ) y+ x P N = x = p p P L = F = m y x m ( x / ) y x x όπου m = x και x=,,...,. 8

Απόδειξη: Σύµφωνα µε το Θεώρηµα και το Λήµµα έχουµε, όπου το άθροισµα ικανοποιώντας τις σχέσεις, Συνεπώς, (, S ) P N = x = P N = x = y = y 3 x+ L + x x + L + x + x q = p, y 3 x, x2, K, x, x p είναι πάνω σε όλους τους µη αρνητικούς ακεραίους x x y = και x = x = m. y x x y y y x m+ x+ y y ( ) + + + L + x P N = x = p q = p q y 3 x, x2, K, x, x y x 3 x, x2, K, x y+ x x x m y y x + L + = p p p q y x 3 x, x2, K, x x y+ x x y y x x = p p p q + L +. y x 3 x, x2, K, x Παρατηρώντας την απόδειξη για την κατανοµή της Mar (986), η ποσότητα να έχουµε α) L, β) m p x m y y + L + των SSSSL SS στο τέλος της ακολουθίας, γ) Ν των Phlppou και ( ) x q είναι ίση µε την πιθανότητα 3 x, x2, K, x S = m y και έτσι δεν επιτρέπεται καµία ροή m X m = F. Λήµµα 3. Έστω m,, y Lm, X m = F, Sm = m y, όπου S, L και X όπως ορίστηκαν παραπάνω για κάθε m έχουµε: A το γεγονός y m = y. y m y ( m,, y) q p ( ) P A m y / 9

Απόδειξη: Θεωρούµε ότι κάθε στοιχείο του παραπάνω γεγονότος είναι µία ακολουθία SSSL SSF SSSL SSF L SSSL SSF, που έχει a πριν από την αποτυχία ( y). Άρα, a επιτυχίες ( m,, y) = ( m =, m = ) ( m =, m =, m ) P A P S m y X F P S m y X F L m = q p P U A, y m y y y όπου A { Sm m y, X m F, a } = = =, µε a όπως ορίστηκε παραπάνω. ηλαδή, A είναι το γεγονός που ορίζεται ως εξής: Sm = m y, δηλαδή ο αριθµός των επιτυχιών σε m δοκιµές Beroull να είναι m y, το αποτέλεσµα της m δοκιµής να είναι αποτυχία και ο αριθµός των επιτυχιών πριν από κάθε αποτυχία να είναι. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν y κάλπες, µία για κάθε αποτυχία F. ηλαδή έχουµε τόσες κάλπες όσες είναι και οι αποτυχίες. Σε αυτές τις κάλπες πρέπει να τοποθετήσουµε τις επιτυχίες S µε όλους τους δυνατούς τρόπους. Αυτό που πρέπει να κάνουµε είναι να τοποθετήσουµε m y όµοιες µπάλες (τα S ) σε αυτές τις κάλπες, έτσι ώστε οι διακεκριµένες κάλπες, οι, 2, K,, να περιέχουν τουλάχιστον µπάλες (επιτυχίες) η κάθε µία. Υπάρχουν τώρα m y µπάλες που πρέπει να τοποθετηθούν σε y κάλπες χωρίς κανένα περιορισµό. Αυτό µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε, m y + y m = y y τρόπους. Αυτός ο αριθµός είναι ο ίδιος για κάθε σύνολο πληθικότητας. Χρησιµοποιώντας την αρχή εγκλεισµού-αποκλεισµού, η οποία είναι η, P A = P A A A + P A A A = = < προκύπτει ότι: m y m y m y + P Am,, y = q p y = y y U ( ) ( I ) L ( ) ( I 2I L I ), y m y y m = q p y y ( ),

y όπου είναι όλοι οι δυνατοί τρόποι για να τοποθετήσουµε τις αποτυχίες και m είναι οι τρόποι για να τοποθετήσουµε τις επιτυχίες που απέµειναν. y Έτσι καταλήξαµε στο αποτέλεσµα που θέλαµε. Απόδειξη: (Θεωρήµατος 2) Από τα δύο παραπάνω Λήµµατα και χρησιµοποιώντας ότι m = x έχουµε, ( ) x y+ x m m y y y P N = x = p p q p ( ) x y ( κ) x / y x m y / y+ x y m = x y y y q p ( ). y ( x y) / Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα του τριγώνου του Pascal έχουµε, m x x x = = y y y y Αναπτύσσοντας το άθροισµα για όλες τις τιµές του έχουµε τελικό αποτέλεσµα, m y = x x. y y Οπότε έχουµε, ( ) y y y ( x y) / y+ x y x x P N = x = q p. x y y Στο εσωτερικό άθροισµα της παραπάνω σχέσης παρατηρούµε πως όταν = ( x y) / οι όροι του αθροίσµατος γίνονται ίσοι µε το µηδέν. Αυτό [ ] συµβαίνει γιατί προκύπτουν όροι της µορφής s συνδιασµός αυτής της µορφής ισούται µε το µηδέν. µε s>. Συνεπώς ένας

Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα του τριγώνου Pascal επανειληµµένως έχουµε, y y ( = ) = ( ) y ( x y) / P N x q p y+ x y+ x. x y Παρατήρηση: Ιδιότητα του Τριγώνου Pascal, = +. Πόρισµα. (Burr και Cae(96)). Έστω δοκιµές Beroull. Τότε, L το µέγιστο µήκος ροής επιτυχιών σε ( y)/ + y = = y y y P( L ) = q p ( ). y (3) Απόδειξη: Θέτοντας x= στη σχέση (2) του Θεώρηµατος 2, παίρνουµε ότι, / + y = = y y y ( ) y P( L ) = P N = = q p. y Στη συνέχεια θα αναλύσουµε την µέθοδο που ακολούθησαν οι Fu και Kouras (994) για να δώσουν τον τύπο της κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Ν, ακολουθώντας έναν διαφορετικό τρόπο από αυτόν που έδωσαν οι Phlppou και Mar (986) καθώς και ο Godbole (99). Όπως αναφέρθηκε και στην εισαγωγή, οι Fu και Kouras (994), παρουσίασαν ένα τρόπο εύρεσης της κατανοµής της µεταβλητής Ν χρησιµοποιώντας τη µέθοδο εµβάπτισης τυχαίων µεταβλητών, ακεραίων µη αρνητικών τιµών σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Τα αποτελέσµατα που έδωσαν καλύπτουν εξίσου τις ( ) ισόνοµες και µη δοκιµές Beroull. Εξέφρασαν την κατανοµή της µεταβλητής Ν που µελετάµε µέσω ενός πινάκα πιθανοτήτων µετάβασης της Μαρκοβιανής αλυσίδας. Πριν περάσουµε στον ακριβή τύπο της κατανοµής της µεταβλητής Ν, είναι σηµαντικό να δούµε την ιδέα της πεπερασµένης Μαρκοβιανής αλυσίδας. 2

.2 Εµβάπτιση τυχαίας µεταβλητής σε πεπερασµένη Μαρκοβιανή αλυσίδα Για δεδοµένο έστω {,, 2,..., } { α α α } Γ = ένα σύνολο δεικτών και Ω=, 2,..., m ένας πεπερασµένος χώρος καταστάσεων. ( Ορισµός (): Μια τυχαία µεταβλητή X ), ακεραίων µη αρνητικών τιµών µπορεί να εµβαπτιστεί σε Μαρκοβιανή αλυσίδα εάν : α) Υπάρχει µια πεπερασµένη Μαρκοβιανή αλυσίδα { Y : } πεπερασµένο χώρο καταστάσεων Ω. Γ ορισµένη στον β) Υπάρχει µία πεπερασµένη διαµέριση { Cx, x=,,..., l } στον πεπερασµένο χώρο καταστάσεων Ω µε l=, όπου [ x ] είναι το ακέραιο µέρος του x. γ) Για κάθε x=,,..., l, έχουµε ότι x P X = x = P Y C. Έστω ότι Λ ένας m m πίνακας πιθανοτήτων µετάβασης της πεπερασµένης ( :, ) Y Γ Ω. Θεωρούµε ότι U r είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα διάστασης m, το οποίο έχει τη µονάδα στη r -οστή συντεταγµένη και µηδέν οπουδήποτε αλλού και U είναι ο ανάστροφος του U. Τέλος για κάθε C, Μαρκοβιανής αλυσίδας { } ορίζεται ένα m διάνυσµα ' r U C x = U. r: αr C x r r x Θεώρηµα 3. Εάν η τυχαία µεταβλητή πεπερασµένη Μαρκοβιανή αλυσίδα, τότε : X µπορεί να εµβαπτιστεί σε µια ' ( = ) = π Λ ( x) P X x U C, (4) = (,,..., m ) όπου π P( Y α ) P( Y α ) P( Y α ) = = = = είναι η αρχική κατανοµή της 2 Μαρκοβιανής αλυσίδας. 3

Απόδειξη: Για κάθε κατάσταση ότι, αr Ω, από τις εξισώσεις Chapma-Kolmogorov, προκύπτει ' ( = α ) = π Λ U P Y. r r = Επειδή η τυχαία µεταβλητή µπορεί να εµβαπτιστεί σε πεπερασµένα Μαρκοβιανή αλυσίδα, είναι φανερό από τον ορισµό ότι για κάθε x ' ( = ) = ( x) = ( = αr) = π Λ ( x) α C P X x P Y C P Y U C r x = και αυτό συµπληρώνει και την απόδειξη. Παρατήρηση: Από τον παραπάνω ορισµό και το Θεώρηµα γίνεται φανερό ότι µιλάµε για µη οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα. Εάν είχαµε οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα, τότε ο πίνακας πιθανοτήτων µετάβασης Λ θα ήταν ίσος µε Λ για όλα τα Γ. Τότε η ακριβής κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής X εκφράζεται ως εξής: ' ( ) π ( x) P X = x = Λ U C, x=,,..., l. Γενικεύοντας, αυτό που χρειάζεται για να βρίσκουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής µε τη µέθοδο αυτή, είναι να κατασκευάζουµε κάθε φορά τρία πράγµατα: α) έναν κατάλληλο χώρο καταστάσεων Ω, β) µία κατάλληλη διαµέριση { } x C του χώρου καταστάσεων και γ) τον πίνακα πιθανοτήτων µετάβασης Λ, ο οποίος σχετίζεται µε την τεχνική εµβάπτισης τυχαίων µεταβλητών, ακεραίων µη αρνητικών τιµών σε Μαρκοβιανή αλυσίδα..3 Εύρεση της κατανοµής του αριθµού των ροών επιτυχιών συγκεκριµένου µήκους µε τη µέθοδο της εµβάπτισης τυχαίας µεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Σε µια σειρά από εργασίες πάνω στην αξιοπιστία, όπως των Fu (986), Fu και Hu ( ) (987) και Chao και Fu (989,99), έχει αποδειχθεί, ότι η πιθανότητα P Ν = µπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο P ' ( Ν = ) = π Λ U, (5) = 4

όπου π = (,,...,) και U = (,,...,, ) είναι διανύσµατα διάστασης ( ) Λ είναι ο πίνακας πιθανοτήτων µετάβασης διάστασης ( + ) ( + ), + και q p..... q p.... q p.... ' A pe Λ =........ = q.... p (6) όπου (,...,,) e = είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα διάστασης και A είναι πίνακας διάστασης, του οποίου τη µορφή θα δούµε παρακάτω. Η βασική ιδέα εύρεσης της κατανοµής των τ.µ που αφορούν ροές, είναι να δούµε τον τρόπο που µετράµε τις ροές επιτυχιών, σε µια ακολουθία µε δοκιµές Beroull, σαν µια πεπερασµένη Μαρκοβιανή αλυσίδα, µε κατάλληλο χώρο καταστάσεων και κατάλληλο πίνακα πιθανοτήτων µετάβασης. Για να γίνει κατανοητή η παραπάνω διαδικασία δίνεται το παρακάτω παράδειγµα. Παράδειγµα: Ας υποθέσουµε ότι έχουµε µία ακολουθία αποτελεσµάτων από =8 δοκιµές Beroull, FSSSFSSS και = 3. Θεωρούµε ότι x είναι η τιµή της τυχαίας µεταβλητής Ν και m ο αριθµός των συνεχόµενων επιτυχιών µήκους 3 µετά το τελευταίο F. Στη συγκεκριµένη περίπτωση m =3, και η τιµή της µεταβλητής (3) N =. Εάν τώρα η ένατη δοκιµή ήταν αποτυχία δηλ. είχαµε τα αποτελέσµατα 8 2 FSSSFSSSF, το m είναι µηδέν και πάλι N ( 3) =. Αλλά, εάν η ένατη δοκιµή ήταν 9 2 επιτυχία, τα αποτελέσµατα θα ήταν FSSSFSSSS m =4 και N ( 3) =. Στην ουσία το 9 2 x δηλώνει πόσες φορές συµβαίνει το συγκεκριµένο πρότυπο και το m δίνει πληροφορία σχετικά µε το σχηµατισµό της επόµενης ροής µήκους = 3. Ένα τυπικό στοιχείο του χώρου καταστάσεων Ω µπορεί να αναπαρασταθεί από µία x, και ο πίνακας πιθανοτήτων µετάβασης θα έχει τη µορφή δυάδα της µορφής Λ = ( p( y, ; x, ) ) ( ) όπου p ( y x ) = P Y = ( y ) Y = ( x ), ;,,,. 5

=, το γεγονός Y ( x,) Για =, δηλώνει ότι σε µια ακολουθία από αποτελέσµατα µέχρι την δοκιµή, έχουν συµβεί x εµφανίσεις του προτύπου στο οποίο αναφερόµαστε (δηλ. συνεχόµενες επιτυχίες) και το τελευταίο αποτέλεσµα είναι αποτυχία ή αρχίζουµε να µετράµε για το επόµενο πρότυπο. Μια σηµαντική ιδιότητα της τυχαίας µεταβλητής είναι ότι εάν το σύστηµα είναι x, µετά την δοκιµή και στην δοκιµή έχουµε αποτυχία, στη κατάσταση τότε το σύστηµα φτάνει στη κατάσταση ( x,). Αυτό συµβαίνει γιατί οποτεδήποτε έχουµε αποτυχία πρέπει να αρχίζουµε να µετράµε το επόµενο πρότυπο από την αρχή. Έτσι η πιθανότητα µετάβασης είναι: (,;, ) Για να συµπληρώσουµε τον πίνακα µετάβασης p x x = q (7) Λ, αυτό που χρειάζεται µόνο είναι να δούµε τις πιθανότητες µετάβασης όταν στην δοκιµή συµβαίνει επιτυχία ( S ). Φυσικά αυτές οι πιθανότητες µετάβασης βασίζονται στην κατασκευή των τ.µ που αφορούν ροές. Για ευκολία θεωρούµε ότι P( Y = (,) ) = και ότι η τελευταία κατάσταση της Μαρκοβιανής αλυσίδας είναι µια απορροφητική κατάσταση, έτσι η τελευταία γραµµή του πίνακα,,...,,. Λ είναι η Παρατήρηση: Όλα τα αποτελέσµατα που θα δοθούν αναφέρονται σε ανεξάρτητες αλλά όχι απαραίτητα ταυτοτικά κατανεµηµένες δοκιµές Beroull. Ας θεωρήσουµε τον χώρο καταστάσεων, { } Ω=Ω N = x, : x=,,..., l =,,...,, l= Y : Γ ορισµένη στον Ω ως εξής: και την πεπερασµένη Μαρκοβιανή αλυσίδα { } Για κάθε ακολουθία αποτελεσµάτων µήκους, } m SFS 44... 2F 4SS 43... S ας είναι m ο αριθµός των συνεχόµενων S µετρώντας από το τέλος ( m = εάν το αποτέλεσµα Y = x,, εάν υπάρχουν x µη επικαλυπτόµενες είναι F ). Ορίζουµε συνεχόµενες επιτυχίες και m= ( mod ). Θεωρούµε το υποσύνολο του Ω x ( x l). Το σύνολο { C : x,,..., l} καταστάσεων ( N ) Ω και x {, :,,..., } C = x = για δεδοµένο x = αποτελεί µια διαµέριση του χώρου x P N = x = P Y C. Όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως η περιγραφή του µοντέλου θα ολοκληρωθεί εάν διευκρινιστούν οι πιθανότητες µετάβασης από την - στην, όταν έχουµε επιτυχία στην -οστή δοκιµή Beroull. 6

Επειδή µετρώνται µη επικαλυπτόµενες εµφανίσεις από συνεχόµενα επιτυχηµένες ροές, είναι φανερό ότι όταν συµβαίνει επιτυχία στην -οστή δοκιµή, τότε είναι δυνατόν να συµβαίνουν τα εξής:, x, + για x l α) Μετάβαση από την κατάσταση ( x ) στην κατάσταση και 2, και β) Μετάβαση από την κατάσταση ( x, ) στην κατάσταση (,) x l. x+ για Ωστόσο, (, ;, ) p x + x = p για x l, 2 και (,;, ) p x+ x = p για x l. (8) Όλα τα µη µηδενικά στοιχεία του πίνακα πιθανοτήτων µετάβασης ( N ) p ( y, ; x, ) Λ =Λ = δίνονται από τις σχέσεις (7), (8), µε την τελευταία του γραµµή να είναι. Με βάση τις σχέσεις (7) και (8), ο πίνακας πιθανοτήτων µετάβασης µπορεί να γραφτεί σαν ένας διδιαγώνιος πίνακας της µορφής: Λ ( N ) A Λ ( N ) = B A B A B A B A * C x x l. = l του οποίου η διάσταση είναι = ( + ) A είναι ένας πίνακας διάστασης, ίδιος µε αυτόν που ορίσαµε στη σχέση (6) και B είναι ένας πίνακας διάστασης, που έχει πιθανότητα p στην είσοδο (,) και κάθε άλλο στοιχείο του είναι µηδέν. Ο * A είναι ένας πίνακας ίδιου τύπου µε τον A που ορίσαµε στη σχέση (6) εκτός από την τελευταία του γραµµή που αντικαθίστανται από την (,...,, ). Τελικά από το Θεώρηµα 3 καταλήγουµε στο βασικό αποτέλεσµα για την Ν, ( ) ( = ) = π Λ ' P N x N U Cx, x=,,..., l. (9) = 7

Γενικεύοντας, µπορούµε να πούµε ότι ο A είναι ένας πίνακας της µορφής, A ( x) = ( x, ) ( x, ) L ( x, -) q p L q p L M q L p q L και ο B είναι ένας πίνακας της µορφής, B x = ( x+, ) ( x+, ) L ( x+, -) L L M L p L και * A είναι ένας πίνακας της µορφής, A * ( x) = ( x, ) ( x, ) L ( x, -) q p L q p L M q L p L Ας δούµε αρχικά πως κατασκευάζεται ο χώρος καταστάσεων Ω µέσω ενός παραδείγµατος. Παράδειγµα: Έστω =2 και =2. Τότε l= 2 = 6, x=,,...,6, =,. 2 Έστω ότι έχουµε εκτελέσει ένα πείραµα και µας έχει δώσει τα παρακάτω αποτελέσµατα: F S F S S F S F F S S F (, )(,)(,)(,)(, )(,)(,)(,)(, )(,)( 2, )( 2, ) 8

όπου οι τιµές που βρίσκονται κάτω από τα F, S είναι της µορφής ( x, m ) όπου m= ( mod ) και το m δείχνει τον αριθµό των συνεχόµενων επιτυχιών ( S ) µετρώντας από το τέλος. Άρα ο χώρος καταστάσεων Ω είναι ο παρακάτω: Ω=,,,,,,,, 2,, 2,, 3,, 3,, 4,, 4,, 5,, 5,, 6,, 6, { } Για να γίνει πιο κατανοητό πως κατασκευάζεται ο πίνακας δίνεται ένα παράδειγµα. Λ ( N ), παρακάτω Παράδειγµα: Θεωρούµε = 5, = 2, l= 5 = 2, x=,, 2 και =,. 2 Ω=,,,, 2, 2,. { } Ο χώρος καταστάσεων είναι Ο πίνακας ( 2) Λ θα είναι ο εξής: N 5 ( 2) ( N ) 5 Λ = (, ) (, ) (, ) (, ) ( 2, ) ( 2,) q p q p q p q p q p Τώρα µπορούµε να δώσουµε ένα απλό παράδειγµα όπου θα υπολογίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής N. Θα θεωρήσουµε ότι έχουµε ανεξάρτητες και ταυτοτικά κατανεµηµένες δοκιµές Beroull. Παράδειγµα: Τα δεδοµένα είναι τα, που είχαµε προηγουµένως. ηλαδή, = 5, =2, l 5 = = 2, x=,, 2 και =, και p= q=. 2 2 Ω=,,,, 2, 2,. { } Ο χώρος καταστάσεων Ω είναι, Έχουµε ότι Ο πίνακας p = p και q ( N ) = q για κάθε. ( N ) Λ = Λ ισούται µε, 9

( N ) Λ = (, ) (, ) (, ) (, ) ( 2, ) ( 2,) q p q p q p q p q p Η διαµέριση του χώρου καταστάσεων είναι συγκεκριµένο παράδειγµα έχουµε ότι, { } x {, :,,..., } C = x = και για το { } { } C =,,,, C =,,,, C = 2,, 2,. 2 ' Γνωρίζουµε ότι, P N = x = π Λ N U Cx, x=,,..., l. = Επειδή έχουµε ανεξάρτητες και ταυτοτικά κατανεµηµένες δοκιµές Beroull δεν έχουµε να υπολογίσουµε το 5 = Λ ( 2) ( N ) 5. Μετά από πράξεις προκύπτει ότι, 5 Λ = 5 5 5 5 5 5 8 p 5 p p 5 p 3 p p 5 5 5 5 5 4 2 2 5 p 3 p p 5 p 5 p p p p p p 8 p 5 p 7 p p p p p p p p p p p p 5 5 5 2 2 2 4 2 2 5 p 3 p 5 p p p+ p p p p p p p p p p 5 p+p p+p 2 p 2 p p 2 ( + ( + )) + ( + ) + + + ( + ) ( ) ( + ( + ) + ( + ( + ))) ( + ( + )) 5 5 5 4 2 2 2 4 2 2 Αυτό που θέλουµε να υπολογίσουµε εδώ είναι το, ' ( ) π ( x) P Ν = x = Λ U C, x=,,..., l όπου =5, l =2 και x =,,2. Θα υπολογίσουµε την περίπτωση όπου το x =2. Κάνοντας αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο, 2

( 2) 5 ' 5 5 5 5 5 5 5 5 P( N5 = 2) = π Λ U ( C2) = (,,,,,) Λ = ( 8 p 5 p p 5 p 3 p p ) = 4 p =,25. Παρακάτω θα δώσουµε άλλο ένα παράδειγµα µέσω του οποίου θα υπολογίσουµε P L χρησιµοποιώντας τη µέθοδο που ανέπτυξε ο Godbole για την ανεξάρτητες και ισόνοµες δυαδικές ακολουθίες καθώς επίσης χρησιµοποιώντας τη µέθοδο εµβάπτισης τυχαίας µεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα σύµφωνα µε τον τύπο που έδωσαν οι Chao και Fu (989,99). Παράδειγµα: Έστω = 5, = 3 και p q,5 = = (έχουµε ανεξάρτητες και ισόνοµες δοκιµές Beroull). Ζητάµε να υπολογίσουµε την P( L5 2). α) Χρησιµοποιώντας τη σχέση (3) έχουµε, y 5 y ( 2) q p ( ) P L 5 y+ 5 3 = y y 5 5 y /3 4 2 5 3 2 3 3 5 3 = qp ( ) q p ( ) + 2 = = 3 2 4 5 4 5 5 5 + q p ( ) + q p( ) 6 5 + q p 3 4 5 4 2 3 3 2 4 5 5 = qp + 7q p + q p + 5q p+ q = 24,5 =, 75. β) Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο εµβάπτισης τυχαίας µεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα έχουµε σύµφωνα µε τη σχέση (5) ότι, ' π P( L ) = P N = = Λ U. = Σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση για να είναι το µέγιστο µήκος ροών επιτυχιών µικρότερο ή ίσο του αρκεί ο αριθµός των ροών µήκους σε δοκιµές Beroull να είναι ίσος µε το µηδέν. Με βάση τη θεωρία που αναπτύξαµε στο U =,,, και ο πίνακας πιθανοτήτων παράδειγµά µας,,, µετάβασης π = και Λ είναι ίσος µε, 2

q p ( 2) q p Λ ( N ) =. 5 q p Επειδή έχουµε ανεξάρτητες και ταυτοτικά κατανεµηµένες δοκιµές Beroull δεν έχουµε να υπολογίσουµε το 5 = Λ ( 2) ( N ) 5, αλλά το Λ 5 ( 2) ( N 5 ). Άρα, όπου, 2 3 4 5 6 7 ( 2) ( N5 ) A A A A A A A A 2 3 4 5 5 6 7 8 Λ = A 9 A A A2 A A A A 3 4 5 6 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 3 2 2 2 ( + ( + )) + ( + + ( + )) 3 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2, 2 A = p pq pq+ q + pq+ q + q p q + pq pq+ q + pq+ q, A = p p q pq pq q q p q p q pq pq q, A = p pq+ q + p q pq+ q, A = p p + p q + q p + p q, A = p pq+ q + q pq+ q + q p q + qp pq+ q + pq+ q, A = p p q + pq + q p q+ p q + pq pq+ q, A 8 9 2 3 4 5 6 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2, 3 3 3 p( p p q) q( p p q) 2 2 2 2 2 q( p q pq( pq q ) ( pq q ) ) 3 2 2 q( p q p q pq( pq q )) 2 2 p q( pq q ) 3 3 p q( p p q) = p q + p q pq+ q A = + + +, A = + + + +, A = + + +, A = +, A = + +, A =, A =, A =, A =. 22

Άρα, 2 =,,, Λ = A +A +A [ ] 5 P L 5 2 3 5 5 5 5 5 5 5 =6 +7 +3 +4 +2 +2 =24,5 =,75. p p p p p p Παρατηρούµε λοιπόν ότι και µε τις δύο µεθόδους καταλήξαµε στο ίδιο αποτέλεσµα. Παρακάτω δίνεται άλλο ένα παράδειγµα όπου αυξάνοντας το θα δούµε πως µεταβάλλεται η πιθανότητα που µελετάµε. Παράδειγµα: Για =, 3 P( L 2). Χρησιµοποιώντας τη σχέση (3) έχουµε: y y ( L 2) q p ( ) 3 y y /3 = και p= q=,5 ζητάµε να υπολογίσουµε την y+ 3 = y 2 2 3 7 4 3 4 6 5 3 = q p ( ) + q p ( ) = 3 = 4 6 3 5 5 6 4 7 3 + q p ( ) + q p ( ) = 5 = 6 7 3 8 3 8 2 9 + q p ( ) + q p ( ) = 7 8 9 + q p ( ) + q p ( ) 9 =,5 4 4 7 2 4 4 ( ) + ( ) + ( ) 3 3 2 3 5 5 7 5 4 4 4 2 4 ( ) + ( ) + ( ) 2 +,5 6 6 7 7 7 7 ( ) + ( ) +,5 ( ) + ( ) 5 5 6 6 +,5 8 8 7 +,5 ( ) + ( ) + 45,5 +,5 +,5 7 7 [ ] [ ] [ ] [ ] =,5 2-4+24 +,5 2-75+ +,5 +,5 2-49 +,5 2-8 +56,5 =54,5 =, 492. [ 252-26] 23

Παρατήρηση: Παρατηρούµε λοιπόν, πως όταν το αυξάνεται η πιθανότητα P L 2 µειώνεται. Αυτό συµβαίνει γιατί όταν το είναι µεγάλο υπάρχει µεγαλύτερη πιθανότητα το µέγιστο µήκος ροών επιτυχιών σε µια ακολουθία να είναι µεγάλο. Αναφέρουµε επίσης ότι εκτενής µελέτη της µεταβλητής στο βιβλίο Balarsha και Kouras (22). N εµφανίζεται επίσης 24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΡΟΩΝ ΕΠΙΤΥΧΙΏΝ ΜΗΚΟΥΣ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΣΕ ΥΑ ΙΚΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ 2. Κατανοµή του αριθµού των ροών επιτυχιών µήκους τουλάχιστον σε ανεξάρτητα πειράµατα τύχης Όπως είπαµε στην εισαγωγή, θα κάνουµε µια αναφορά στην τυχαία µεταβλητή M. Ο Musell (996) δίνει απλούς τύπους για την κατανοµή των ροών επιτυχιών µήκους τουλάχιστον σε δοκιµές Beroull. Αυτές οι εκφράσεις περιέχουν µία µόνο άθροιση διωνυµικών συντελεστών και αυτό επιτρέπει γρήγορους και αποδοτικούς υπολογισµούς. Σύµφωνα µε τον Feller (968) δύο συνεχόµενες ροές επιτυχιών συγκεκριµένου µήκους ίσως να µη χωρίζονται από καµία αποτυχία. Υπενθυµίζουµε ότι λέγοντας ροή εννοούµε τη µέγιστη υπακολουθία από όµοια συνεχόµενα αντικείµενα Ας δούµε ένα απλό παράδειγµα. Θεωρούµε µία ακολουθία από επιτυχίες SSSSSS. Παρατηρούµε ότι, έχουµε 3 επιτυχηµένες ροές µήκους 2, ή 2 επιτυχηµένες ροές µήκους 3. Στην ουσία, εάν ψάχνουµε για ροές µήκους, οι νέες συνεχόµενες επιτυχίες πρέπει να αρχίσουν να µετρώνται όταν πάρουµε την επιθυµητή τιµή (Feller, 968, p.35). Άρα από τον παραπάνω ορισµό καταλαβαίνουµε ότι οι ροές επιτυχιών σε µια ακολουθία από δοκιµές Beroull βασίζονται στο µήκος. Στη συγκεκριµένη εργασία ο Musell (996) στηρίζει τη µελέτη των ροών επιτυχιών σε δοκιµές Beroull όταν δύο συνεχόµενες ροές χωρίζονται από µία ή περισσότερες αποτυχίες. Υπολογίζει την P ( M x) = και την P( L ), όπου M είναι ο αριθµός των ροών επιτυχιών µε µήκος τουλάχιστον και L είναι το µέγιστο µήκος ροής επιτυχιών σε δοκιµές Beroull. Θεωρούµε ότι S, M και L είναι ο συνολικός αριθµός των επιτυχιών, ο αριθµός των επιτυχηµένων ροών µήκους τουλάχιστον και το µέγιστο µήκος ροής επιτυχιών σε δοκιµές Beroull αντίστοιχα, κάθε µια µε πιθανότητα p p. Η πιθανότητα να έχουµε αποτυχία είναι q= p. Θα ξεκινήσουµε την µελέτη της µεταβλητής της κατανοµής της. M µε ένα θεώρηµα που µας δίνει µια πρώτη έκφραση 25

Θεώρηµα 4. Εάν M είναι ο αριθµός των ροών επιτυχιών µήκους τουλάχιστον σε δοκιµές Beroull τότε, + + m m x m y+ m y y ( M ) ( ). () P = x = p q m= x x y= m m y όπου,, x είναι θετικοί ακέραιοι. Αν αλλάξουµε τη σειρά της άθροισης στη σχέση () προκύπτει ότι, y m y+, x y y ( M ) ( ) m x m y+ m P = x = p q y= x m= x x m y. () Η έκφραση που δίνει ο τύπος () για την κατανοµή της αυτή που δίνει στην εργασία του ο Godbole (99) για την P M είναι παρόµοια µε ( x) Ν =. Η αναλογία µεταξύ των δύο τύπων προκύπτει αν θέσουµε = m x στη σχέση (). Από το Θεώρηµα 4 µπορούµε να πάρουµε τη σχέση για την κατανοµή του µέγιστου µήκους ροής επιτυχιών L, σε δοκιµές Beroull. Λήµµα 5. Εάν και είναι θετικοί ακέραιοι, έχουµε, y m ( ) = για y<. (2) m= y+ m m y Θεώρηµα 5. Εάν Beroull έχουµε, L δηλώνει το µέγιστο µήκος ροής επιτυχιών σε δοκιµές y m + y m= m = y y y m P( L ) = p q ( ) y όπου, είναι θετικοί ακέραιοι.. (3) 26

Απόδειξη: Από τη σχέση του Θεωρήµατος 4, δηλαδή, + + m m x m y+ m y y ( M ) ( ) P = x = p q m= x x y= m m y προκύπτει ότι, + + ( ) + + + + m m x + y y m y m P( L ) = P M = x = ( ) p q x= x= m= x x y= m m y Αλλάζοντας τις αθροίσεις πάνω στα x και m προκύπτει ότι: ( ). + + m m m x m y+ m y y P L = p q m= x= x y= m m y Είναι φανερό ότι, + + m y+ m = p q m= y= m m y m y y ( ). Γνωρίζουµε ότι, m m m x x x m m m m x x x m m ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ). x= x= x= + + m m y+ m y y = = m= y= m m y ( ) ( ). P L P L p q Αλλάζοντας τη σειρά του αθροίσµατος έχουµε ότι, y m y+, m y m y y + P( L ) = p q ( ) y= m= m y Όµως ισχύει ότι,. y y m y, + y+ m y+ m m y m y m m ( ) = ( ). m= m= 27

Επιπλέον από το Λήµµα 5 έχουµε ότι, οπότε, y m ( ) = για y m= y+ m m y y <, y y m y+ m P( L ) = p q ( ) y= m= m y y y y m y+ m = p q ( ) y m= m y =. Στην πραγµατικότητα η ανισότητα y m δίνει το άνω φράγµα y+ για το m, ενώ y m δίνει το m ( y). Αυτόν τον τύπο υπολογισµού της P( L ) αποδεικνύει και ο Godbole (99) (όπως είδαµε παραπάνω), καθώς και ο Cae (96) χρησιµοποιώντας άλλες µεθόδους. Παρατήρηση: Κατά τη διάρκεια της απόδειξης τύπος, της σχέσης (3) προκύπτει ο y m y+, m y m y y + P( L ) = p q ( ) y= m= m y. (4) Η σχέση (4) µπορεί να προκύψει από την εξίσωση () αν θέσουµε όπου x=. Με αυτό τον τρόπο µπορούµε να πάρουµε τη σχέση (3) πολύ ευκολότερα. Όµως, αυτό που πρέπει να τονίσουµε εδώ είναι ότι το Θεώρηµα 4 εφαρµόζεται µόνο για θετικές τιµές του x οπότε καταλαβαίνουµε ότι δεν είναι εφικτή η παραπάνω αντικατάσταση. Παρόλο που ο τύποι () και (3) είναι αρκετά απλοί, ο Musell (996) δίνει ακόµα πιο απλούς τύπους για την κατανοµή της M και του L. Το παρακάτω Θεώρηµα µας δίνει την κατανοµή της M. 28

Θεώρηµα 6. Εάν M είναι ο αριθµός των ροών επιτυχιών µήκους τουλάχιστον σε δοκιµές Beroull, έχουµε, + m x m m + ( M ) ( ) m m m P = x = p q q m= x x + m m. (5) όπου,, x είναι θετικοί ακέραιοι. Απόδειξη: Θέτω = m y y= m στη οπότε, + + m m x m y+ m y y ( M ) ( ) P = x = p q m= x x y= m m y + + m m x m m + m + m+ m ( M ) ( ) P = x = p q m= x x m = m m m + + m m+ m x + m+ m m m m = ( ) p q m= x x = m + + m m+ m m + m p = m= x x = m q m x m m ( ) p q. Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα του τριγώνου του Pascal στο άθροισµα, έχουµε, m m+ = m + m p m q m m+ = m + m p m q m m+ m m m p = + = m m q m m+ m m m p = + = m m+ m m q 29

m m+ m m m m = + m q m q. Η τελευταία σχέση προκύπτει από την ν r = ( + ) (Feller, 968), ν h h ν h ν r ν r η οποία ισχύει για r, h µη αρνητικούς ακεραίους και πραγµατικό αριθµό. Από τη σχέση (5) είναι εύκολο να πάρουµε µια πιο απλοποιηµένη έκφραση για τη κατανοµή του µέγιστου µήκους ροής επιτυχιών. Αυτός ο τύπος έχει ήδη αποδειχθεί από τους Lambrs και Papasavrds (985) και από τον Hwag (986) στη µελέτη των συνεχόµενων- -από τα - : F συστηµάτων. P L µέσω πιο Στη συνέχεια δίνεται ένα πόρισµα όπου υπολογίζεται η απλού τύπου από τον προηγούµενο που έδωσε στην εργασία του ο Musell (996) χρησιµοποιώντας ένα µόνο άθροισµα. Πόρισµα 2. Εάν L είναι το µέγιστο µήκος ροής επιτυχιών σε δοκιµές Beroull, έχουµε: ( ) ( ) + + m m m m m m= m m (6) P L = p q + q όπου και είναι θετικοί ακέραιοι. Απόδειξη: Χρησιµοποιώντας τη σχέση του Θεωρήµατος 6, + m x m m + ( M ) ( ) m m m P = x = p q q m= x x + m m έχουµε ότι, + + x= P L = P L = P M = x + + + + + + m x m m m m m = ( ) p q + q x= m= x x m m m m = ( ) p q + q m= m m m m m, 3

επειδή γνωρίζουµε ότι, m m m m x m x m x m m m ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ), x= x x= x x= x η παραπάνω σχέση γίνεται, + + + + m m m m m P( L ) = ( ) p q + q m= x m m m m = ( ) + m= m m m m m p q q. Οι απλοποιηµένοι τύποι (5) και (6) για την P ( M x) = και την P( L ) µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την εύρεση κατανοµών άλλων τυχαίων µεταβλητών µε ένα µόνο άθροισµα. 2.2 Κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής καταστάσεων M σε Μαρκοβιανή αλυσίδα δύο Ένα από τα θέµατα τα οποία θα µελετήσουµε στη εργασία µας είναι και ο αριθµός των ροών επιτυχιών συγκεκριµένου µήκους σε Μαρκοβιανή αλυσίδα δύο καταστάσεων. Πριν δούµε τη µελέτη των A και Hrao (993), θα υπενθυµίσουµε τους τρόπους µέτρησης των ροών επιτυχιών έτσι όπως τις ορίζει ο Feller (968) και ο Lg (988). Έστω, θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε. Η κατανοµή των ροών επιτυχιών µήκους έχει µελετηθεί εκτενώς από πολλούς και έχει παρατηρηθεί ότι κάποιοι εξ αυτών µετρούν τον αριθµό των ροών µε διαφορετικό τρόπο. Ο κλασσικός τρόπος είναι να έχουµε µια ακολουθία από ή τουλάχιστον συνεχόµενες επιτυχίες, που να µη διακόπτεται από αποτυχίες (Feller 968). Για παράδειγµα, όπως έχει προαναφερθεί, ο Feller (968) µετρά από την αρχή τον αριθµό των ροών µήκους, κάθε φορά που συµπληρώνεται µια ροή. Ας δούµε ένα παράδειγµα για να γίνει κατανοητό αυτό που περιγράφουµε. Έστω SSS SFSSS SSS F µία ακολουθία από δοκιµές Beroull. Στη συγκεκριµένη περίπτωση και σύµφωνα µε τον τρόπο που µετρά ο Feller (968) τις ροές επιτυχιών, έχουµε 3 ροές επιτυχιών µήκους 3. Ένας τρόπος µέτρησης των ροών είναι να θεωρούνται ροές επιτυχιών µήκους ή περισσότερο µέχρι την - οστή δοκιµή (πιθανόν) επικαλυπτόµενες. Ο Lg (988) θεωρεί στην παρακάτω ακολουθία SSSFSSSSSSF ότι υπάρχουν 5 ροές επιτυχιών µήκους 3. Στον συγκεκριµένο τρόπο µέτρησης έχουµε επικαλυπτόµενες ροές επιτυχιών. Οι A και Hrao (993) µελέτησαν τις ροές επιτυχιών σε Μαρκοβιανή αλυσίδα και πιο συγκεκριµένα υπολόγισαν την πυκνότητα πιθανότητας του αριθµού των ροών επιτυχιών (συµβόλισαν την επιτυχία µε ) µήκους τουλάχιστον σε µια 3

ακολουθία X, X 2,..., X.. Επίσης βρήκαν την κατανοµή του αριθµού των ροών επιτυχιών µήκους µε ένα διαφορετικό τρόπο µέτρησης των ροών επιτυχιών. Οι A και Hrao (993), λοιπόν, µελέτησαν την κατανοµή του αριθµού των ροών επιτυχιών µέχρι την -οστή δοκιµή σε µια χρονικά οµογενή δύο-καταστάσεων Μαρκοβιανή αλυσίδα. Έστω X, X, X 2,... µια οµογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα δύο καταστάσεων-{, } που ορίζεται ως εξής: ( = ) = ( < < ) και P X p p P X = = p =- p, ( + ), ( + ) P X = X = = p P X = X = = p ( + ), ( + ) P X = X = = p P X = X = = p για =,, 2... όπου p+ p= και p + p = και αυτό είναι το αυστηρά στατικό µοντέλο. Αν Ρ είναι ο πίνακας πιθανοτήτων µετάβασης τότε, p p Ρ= ( p) = p p Οι A και Hrao (993) µελέτησαν την κατανοµή του αριθµού των µη επικαλυπτόµενων ροών επιτυχιών µέχρι την -οστή δοκιµή βασιζόµενοι στη παραπάνω Μαρκοβιανή αλυσίδα. Βρήκαν δύο κατανοµές, η µια αναφέρεται στον αριθµό των ροών επιτυχιών µήκους τουλάχιστον µέχρι την -οστή δοκιµή και η άλλη στον αριθµό των ροών επιτυχιών µήκους ακριβώς µέχρι την -οστή δοκιµή µε τον τρόπο µέτρησης του Lg (988). Σε αυτό το κοµµάτι της εργασίας θα µελετήσουµε την κατανοµή του αριθµού των ροών επιτυχιών µήκους τουλάχιστον µέχρι την -οστή δοκιµή έτσι όπως µελετήθηκε από τους A και Hrao (993). Ο λόγος που αναφέρουµε την εργασία των A και Hrao (993) είναι ότι οι δοκιµές προέρχονται από Μαρκοβιανή αλυσίδα. Έστω X ο αριθµός των ροών επιτυχιών µήκους τουλάχιστον σε µια ακολουθία X, X,..., X. Αρχικά δίνεται η κατανοµή ευριστικά. 2 Θεώρηµα 7. Για x=,,2,..., ( + ) /( + ), ( ; ) ( ; ) P X = x = p p x + p p p p x + = ( ) + x = + p p p p x ; p p δ (7) 32

όπου, ( ; ) ( ) p x = P X = x X = x = x +... + x =... x,..., x m= x+ 2 x2... + x= m x+ +... + x= x + m= x+ 2 x2... + x= m x+ +... + x= x x x2 x ( p) ( p p) ( p p p) ( p p ) 2 m x+... + x x,..., x και δ x είναι το δέλτα τoυ Kroecer όπου, x x 2 2 x m p p p... p p p p p δ =, για =, διαφορετικα Ο παραπάνω τύπος δεν είναι εύχρηστος για υπολογισµούς γι αυτό οι A και Hrao (993) έδωσαν αναδροµικές σχέσεις για τις δεσµευµένες πιθανότητες της X. Έστω (, ) B x για =,, η δεσµευµένη πιθανότητα ο αριθµός των ροών επιτυχιών µήκους ή περισσότερο σε µια ακολουθία X, X 2,..., X να είναι x δοθέντος ότι X =, όπου X είναι η πρώτη συνιστώσα και η κατάσταση της. Πιο συγκεκριµένα, B(, x) = P( X = x X = ). Ορίζουµε B, x = για x>. Θεωρώντας πότε συµβαίνει η πρώτη αποτυχία () στην ακολουθία 2,,..., X X X έχουµε την ακόλουθη πρόταση. 33

Πρόταση. Οι παραπάνω δεσµευµένες πιθανότητες ικανοποιούν τις ακόλουθες αναδροµικές σχέσεις µε α = και β =. ) B, =,, 2) B, =, <, 2 m= m 3) B, = p B, + p p p B m 2,,, 2 m= m+ 4) B, = p B, + p p p B m 2,,, 2 m= m = ( ) + ( ) 5) B, x p B, x p p p B m 2, x 2 m + p p p B m 2, x m= ( α) + + p p B(, x β), και x=, 2,...,, + 2 m= m+ = ( ) + ( ) 6) B, x p B, x p p B m 2, x 2 m+ ( α) + p p B m 2, x m= ( β) + + + pb, x, και x=, 2,...,. Η απόδειξη στηρίζεται σε κατάλληλη διαµέριση του ενδεχοµένου ( M x X ) = =. Ενδεικτικά αποδεικνύουµε τη σχέση (3). Απόδειξη: Θεωρούµε τα ενδεχόµενα, A = {δεν υπάρχουν στην ακολουθία X, X 2,..., X }, A = { υπάρχει τουλάχιστον ένα στην ακολουθία X, X 2,..., X }, B= { M = X = }, Γ m = { το πρώτο στην ακολουθία X, X 2,..., X είναι στη m θέση, m=, 2,..., }. Τότε, 34

( ) ( ) ( ) ( ) B, = P M = X = = P B A + P B A = P B A ( Γm) ( Γ m) = ( Γm) ( Γm) = P B A P P B P. m= m= Είναι προφανές ότι P( B A m) Γ =, για m + (αφού αν το πρώτο εµφανιστεί π.χ. στη θέση + αυτό σηµαίνει ότι έχει δηµιουργηθεί ροή επιτυχιών... µήκους ). Για m=, 2,..., έχουµε ότι: ( ) ( ) P BΓ = P M = X =, Γ = P M = X = = B m,. m m m Παρατηρούµε επίσης ότι, m 2 ( m ) Γ = = και P P X p p p, m 2 Γ = p p. Τότε, 2 m= 2 m (,) = (,) + (,) B p p p B m p B 2 m= ( ) + ( ) = p p p B m 2, p B,. m Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες σχέσεις. Παρατήρηση: Στη συνέχεια της εργασίας θα δούµε πως σχετίζεται η παραπάνω πρόταση µε την εύρεση της αξιοπιστίας ενός συστήµατος. Σηµειώνουµε ότι η παραπάνω µεταβλητή µετρά των αριθµό των ροών µε µήκος µεγαλύτερο ή ίσο του, οπότε δεν προσφέρεται για την µελέτη των m - συνεχόµενων- -από τα- : F συστηµάτων. 35

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΤΥΧΙΩΝ ΣΥΝΕΧΟΜΕΝΑ- -ΑΠΟ-ΤΑ- : F ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αφού µελετήσαµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής Ν θα µελετήσουµε εκτενώς εφαρµογές της στην αξιοπιστία. Υπενθυµίζουµε ότι το σύµβολο R, ; p παριστάνει την αξιοπιστία ενός συνεχόµενου- -από-τα- : F συστήµατος. Θα αναφερθούµε σε γραµµικά m -συνεχόµενα- -από-τα- : F συστήµατα και θα δούµε ότι η µεταβλητή Ν έχει άµεση εφαρµογή και σε πιο γενικευµένα συστήµατα πέραν των συνεχόµενων- -από-τα- : F συστηµάτων. Εκτός από τα γραµµικά έχουν µελετηθεί και τα κυκλικά m -συνεχόµενα- -από τα : F συστήµατα τα οποία αποτελούνται από από συνιστώσες τοποθετηµένες σε κύκλο και το σύστηµα αποτυγχάνει εάν και µόνο εάν υπάρχουν τουλάχιστον m µη επικαλυπτόµενες ροές από συνεχόµενες αποτυχηµένες συνιστώσες. Στην εργασία αυτή δεν θα µελετήσουµε κυκλικά συστήµατα της παραπάνω µορφής. Τα παρακάτω σχήµατα είναι αναπαραστάσεις ενός συνεχόµενου- -από τα- : F συστήµατος και ενός κυκλικού- -από τα- : F συστήµατος αντίστοιχα. Το πρώτο σχήµα είναι ένα γραµµικό συνεχόµενο-3-από-τα-6: F σύστηµα. Όταν ο αριθµός των συνεχόµενων αποτυχιών είναι µικρότερος του 3, τότε το σύστηµα λειτουργεί, διαφορετικά αποτυγχάνει. συνεχόµενο-3-από τα-6: F σύστηµα 36

Το παρακάτω σχήµα είναι ένα κυκλικό συνεχόµενο-2-από-τα-8: F σύστηµα. Ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι διάφορες σχέσεις που έχουν αποδειχθεί για την εύρεση της αξιοπιστίας ενός m -συνεχόµενου- -από τα- : F συστήµατος. Ας θεωρήσουµε N µια τυχαία µεταβλητή η οποία να δηλώνει τον αριθµό των ροών αποτυχιών µήκους σε δοκιµές Beroull και αποτυχιών σε δοκιµές Beroull. Τότε, R, ; p = P N m. m Όπου Rm(, ; ) συστήµατος και R L είναι το µέγιστο µήκος ροής ( ) ( ) ( ) R, ; p R, ; p = P N = = P L. (8) p είναι η αξιοπιστία ενός m -συνεχόµενου- -από-τα- : F, ; p είναι η αξιοπιστια ενός συνεχόµενου- -από-τα- : F συστηµάτος για, ;, ;, οπότε καταλαβαίνουµε ότι για να υπολογίσουµε την αξιοπιστία ενός τέτοιου συστήµατος P L ή την m=. Ορίζουµε ότι R ( p) R( p) δεν έχουµε παρά να υπολογίζουµε κάθε φορά την ( ) ( ) P N =. Είναι φανερό ότι για m= έχουµε ένα συνεχόµενο- -από τα- : F σύστηµα. Πριν αναφερθούµε στα m -συνεχόµενα- -από τα - : F συστήµατα, θα µιλήσουµε για τα συνεχόµενα- -από τα - : F συστήµατα. Πολλοί µελετητές από τις αρχές του 98 έχουν ασχοληθεί µε συνεχόµενα- -από : F συστήµατα. Σήµερα απαιτείται τα διάφορα µηχανικά συστήµατα, όπως υπολογιστές, αεροπλανοφόρα, αυτοκίνητα, να έχουν υψηλή αξιοπιστία. Η εκτίµηση της αξιοπιστίας είναι πάρα πολύ σηµαντική στην κατασκευή, το σχεδιασµό και τη λειτουργία µηχανικών συστηµάτων. 37

Είναι αναµφισβήτητο ότι η αξιοπιστία ενός σειριακού συστήµατος είναι µικρή (και ιδιαίτερα σε µεγάλα σειριακά συστήµατα), ενώ ένα παράλληλο σύστηµα έχει υψηλή αξιοπιστία, αλλά είναι πολύ ακριβό. Ένα συνεχόµενο- -από-τα- : F σύστηµα είναι αντικείµενο µελέτης πολλών µελετητών και µηχανικών γιατί έχει υψηλή αξιοπιστία και χαµηλό κόστος. Οι Chag και Nu (98) χρησιµοποίησαν ένα συνεχόµενο- -από-τα- : F σύστηµα για τηλεπικοινωνίες και συστήµατα αγωγών πετρελαίου τα οποία έχουν παρόµοια περιγραφή. Επιπλέον ο Bollger (984) περιέγραψε πως ένα σύστηµα τηλεπικοινωνίας µπορεί να µετατραπεί σε αυτού του είδους τη δοµή, εάν η αξιοπιστία του πρέπει να αυξηθεί. Στην περίπτωση των ανεξάρτητων και ταυτοτικά κατανεµηµένων συνιστωσών, η αξιοπιστία του συστήµατος µπορεί να εκφραστεί µέσω αναδροµικών αλγορίθµων (Chag και Nu (98), Bollger και Salva(982)). Ορισµός: Έστω ότι έχουµε συνιστώσες οι οποίες είναι συνδεδεµένες γραµµικά. Το σύστηµα αποτυγχάνει εάν και µόνο εάν αποτύχουν τουλάχιστον συνεχόµενες συνιστώσες του. Ας δούµε δύο παραδείγµατα που έδωσαν οι Chag και Nu (98) και οι Chao και L (984), που βασίζονται στη λειτουργία ενός γραµµικού συνεχόµενου- -από τα- : F συστήµατος. Παράδειγµα : Έστω ότι έχουµε µια ακολουθία από σταθµούς µικροκυµάτων οι οποίοι µεταφέρουν πληροφορίες από ένα µέρος Α σε ένα µέρος Β. Οι σταθµοί µικροκυµάτων είναι τοποθετηµένοι µεταξύ των χώρων Α και Β σε ίσες αποστάσεις. Καθένας σταθµός µπορεί να µεταφέρει πληροφορίες σε απόσταση η οποία περιλαµβάνει σταθµούς µικροκυµάτων. Είναι προφανές ότι ένα τέτοιο σύστηµα αποτυγχάνει εάν και µόνο εάν τουλάχιστον συνεχόµενοι σταθµοί µικροκυµάτων δεν λειτουργούν. Οι αξιοπιστίες των σταθµών ίσως να είναι διαφορετικές επειδή είναι διαφορετικές και οι περιβαλλοντικές συνθήκες. Έτσι οι διαδικασίες λειτουργίας ή όχι των σταθµών θεωρούνται στατιστικά ανεξάρτητες, αλλά όχι κατ ανάγκην ισόνοµες. Παράδειγµα 2: Έχουµε ένα σύστηµα που µεταφέρει πετρέλαιο µε σωλήνες από ένα µέρος Α σε ένα µέρος Β και υπάρχουν σταθµοί τροφοδότησης. Οι σταθµοί τροφοδότησης είναι ισοδύναµα τοποθετηµένοι µεταξύ των χώρων Α και Β. Κάθε σταθµός τροφοδότησης µπορεί να µεταφέρει το πετρέλαιο σε µια απόσταση ίση µε σταθµούς τροφοδότησης. Εάν ένας σταθµός τροφοδότησης χαλάσει, η ροή του πετρελαίου δεν θα διακοπεί, επειδή οι επόµενοι σταθµοί µπορούν να µεταφέρουν το φορτίο. Ωστόσο, όταν χαλάσουν τουλάχιστον συνεχόµενοι σταθµοί τροφοδότησης, η ροή του πετρελαίου σταµατά και το σύστηµα αποτυγχάνει να εκπληρώσει το σκοπό για τον οποίο έχει κατασκευαστεί. Εδώ οι σταθµοί δεν λειτουργούν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον γιατί όταν χαλάσει ένας σταθµός το φορτίο του θα περάσει στο γειτονικό του οπότε το φορτίο του γειτονικού του σταθµού θα αυξηθεί. Για παράδειγµα, αν θεωρήσουµε ότι το παρακάτω σχήµα παριστάνει σταθµούς τροφοδότησης πετρελαίου, παρατηρούµε ότι αυτό το σύστηµα αποτυγχάνει αν αποτύχουν δύο συνεχόµενοι σταθµοί. 38

3. Αξιοπιστία ενός συνεχόµενου- -από τα - : F συστήµατος Συνδυαστικές µέθοδοι-αναδροµικοί τύποι Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ένα συνεχόµενα- -από- : F συστήµατα αποτυγχάνει εάν και µόνο εάν αποτύχουν συνεχόµενες συνιστώσες από τις. Στη συνέχεια, θα µελετήσουµε την αξιοπιστία ενός τέτοιου συστήµατος. Συµβολισµός: C(, ; F ) : ένα συνεχόµενο- -από-τα - : F σύστηµα p : πιθανότητα η επιτυχίας της συνιστώσας q : η πιθανότητα η αποτυχίας της συνιστώσας µε q = p : οι πιθανότητες µετάβασης, π : M : N : το αρχικό διάνυσµα πιθανότητας ο πίνακας πιθανοτήτων µετάβασης τυχαία µεταβλητή που δηλώνει τον αριθµό των µη επικαλυπτόµενων ροών αποτυχιών µήκους σε στοχαστικά ανεξάρτητες δοκιµές Beroull. N( a, r, ) : ο αριθµός των τρόπων να τοποθετηθούν a όµοιες µπάλες σε r διακριτές κάλπες, µε την προϋπόθεση ότι σε κάθε κάλπη µπορούν να τοποθετηθούν το πολύ µπάλες. Πρώτος ο Kooleo (978, 98, 98), µελέτησε την αξιοπιστία ενός C, ; F συστήµατος, όπου όλες οι συνιστώσες λειτουργούν στοχαστικά ανεξάρτητα και έχουν την ίδια πιθανότητα αποτυχίας, δηλαδή είναι ανεξάρτητες και ταυτοτικά κατανεµηµένες (ισόνοµες) δοκιµές Beroull, µε την ίδια πιθανότητα επιτυχίας p για όλες τις συνιστώσες. Από τις πρώτες µελέτες της αξιοπιστίας ενός C(, ; F ) έκαναν οι Derma, Leberma και Ross (982) και απέδειξαν την παρακάτω σχέση για να εκφράσουν την αξιοπιστία του συστήµατος. R, ; p = N,, p q. (9) Πιο συγκεκριµένα αποδεικνύουν τον τύπο αυτό για = 2 και = 3. Για = 2 : = + 2 + R( 2, ; p) = p q =, (2) p 39

και για = 3: + + + R( 3, ; p) = p q = = 2. (2) Απόδειξη: Υποθέτουµε ότι από τις συνιστώσες δεν λειτουργούν (αποτυγχάνουν). Το αν αποτυγχάνει ή όχι το σύστηµα εξαρτάται από τις θέσεις των αποτυχηµένων ή µη συνιστωσών του συστήµατος. Οι συνιστώσες που λειτουργούν θεωρούµε ότι δηµιουργούν + κάλπες. Η πρώτη κάλπη είναι στα αριστερά της πρώτης συνιστώσας που λειτουργεί και η τελευταία κάλπη είναι στα δεξιά της τελευταίας συνιστώσας που λειτουργεί. Μεταξύ δύο συνιστωσών που λειτουργούν και είναι δίπλα η µία στη άλλη υπάρχει διαφορετική κάλπη. Σε κάθε µία από τις + κάλπες ίσως υπάρχουν,, 2,..., αποτυχηµένες συνιστώσες. Για να λειτουργεί το σύστηµα ο αριθµός των αποτυχηµένων συνιστωσών σε κάθε κάλπη πρέπει να είναι µικρότερος του. Αυτό που πρέπει να υπολογιστεί είναι ο αριθµός των τρόπων να διανείµουµε όµοιες µπάλες σε αυτές τις κάλπες ώστε σε κάθε κάλπη να υπάρχουν λιγότερες από N, +, διατάξεις που ικανοποιούν αυτή τη µπάλες. Άρα υπάρχουν συνθήκη. Για συγκεκριµένο κάθε διάταξη έχει πιθανότητα p q. Για = 2 έχουµε: ( 2, ; ) = (, +,) R p N p q = + 2 + = p q. = r Πρέπει να σηµειωθεί ότι N( a, r,) =. Αυτό συµβαίνει γιατί θέλουµε να a τοποθετήσουµε a µπάλες σε r κάλπες σε κάθε µια από τις οποίες τοποθετείται µία µπάλα. για = 3 έχουµε: ( 3, ; ) = (, +, 2) R p N p q = + + = N( 2, +,) p q = = + + + = p q. = = 2 4

Έχουµε + κάλπες µε χωρητικότητα 2. Επιλέγουµε αυτές στις οποίες θα + βάλουµε 2 µπάλες. Αυτό µπορεί να γίνει µε τρόπους µε =,,..., +. Στις υπόλοιπες κάλπες που είναι + µοιράζουµε τις υπόλοιπες µπάλες που είναι 2 µε N( 2,, ) + τρόπους. Μια ίδια προσέγγιση δόθηκε και από τους Bollger και Salva (982). Οι Chag και Nu (98) είχαν αποδείξει τον ίδιο τύπο για την αξιοπιστία ενός C, ; F συστήµατος µε αυτόν που απέδειξαν οι Derma, Leberma, Ross (982). Θεώρησαν ότι Εάν > ( + ) 2, όπου [ ] είναι ο αριθµός των αποτυχηµένων συνιστωσών στο σύστηµα. x είναι το ακέραιο µέρος του x, θα υπάρχει ένα ζεύγος αποτυχηµένων συνιστωσών που θα είναι το ένα δίπλα στο άλλο. Για να λειτουργεί το σύστηµα πρέπει ( + ) 2. Εάν < ( + ) 2, το σύστηµα λειτουργεί εάν υπάρχει τουλάχιστον µία συνιστώσα που λειτουργεί µεταξύ δύο αποτυχηµένων συνιστωσών. Ο αριθµός των τρόπων να τοποθετηθούν αποτυχηµένες συνιστώσες και επιτυχηµένες συνιστώσες σε σειρά (γραµµή) ώστε δύο αποτυχηµένες συνιστώσες να µην είναι γειτονικές είναι +. Αυτό συµβαίνει γιατί οι συνιστώσες που λειτουργούν διαιρούν τη γραµµή που θέλουµε να τις τοποθετήσουµε σε + κάλπες. Κάθε κάλπη θα έχει µία ή καµία αποτυχηµένη συνιστώσα. Υπάρχουν αποτυχηµένες συνιστώσες και από τις + κάλπες θα έχουν ακριβώς µία συνιστώσα, ενώ οι εναποµείνασες κάλπες δεν θα έχουν καµία συνιστώσα. Ο αριθµός των τρόπων να + επιλέξουµε από τις + κάλπες είναι. Συνεπώς η αξιοπιστία ενός συνεχόµενου-2-από- : F συστήµατος θα δίνεται από τη σχέση (2). Η µέθοδος αυτή δε µπορεί να εφαρµοσθεί για > 2. Ο Hwag (982) ήταν και αυτός ένας από τους πρώτους που ασχολήθηκαν µε την αξιοπιστία ενός συνεχόµενου -από τα - : F συστήµατος. Έδωσε αναδροµικούς τύπους για τα συνεχόµενα -από τα - : F συστήµατα και πιο συγκεκριµένα µελέτησε την περίπτωση όπου οι συνιστώσες είναι ανεξάρτητες. Αξίζει να αναφερθεί ότι σκοπός του ήταν να δώσει γρήγορες λύσεις για τα συνεχόµενα - από-τα- : F συστήµατα γι αυτό µελετάει και το χρόνο υπολογισµού της αξιοπιστίας του συστήµατος. Ο Hwag (982) χρησιµοποιεί τον παρακάτω συµβολισµό για να εκφράσει την πιθανότητα επιτυχίας ή αποτυχίας µιας συνιστώσας, την αξιοπιστία του συστήµατος καθώς και γεγονότα που βοηθούν στην έκφραση της αξιοπιστίας του συστήµατος. Πιο αναλυτικά έχουµε τα εξής: 4