ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τµήµα Α Λαχανά) Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ : Θεωρήστε τις δύο περιπτώσεις όπου η κυµατική συνάρτηση ψx) που περιγράφει µονοδιάστατη κίνηση σωµατιδίου σε απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού µε τα τοιχώµατα αυτού στις ϑέσεις x και x, την χρονική στιγµή t, είναι i) ψx) ii) ψx) Α) Ποιά είναι η πιθανότητα να µετρηθεί ενέργεια µετρηθεί π m {, < x <, x, x, < x < / +, / < x <, x, x π m και ποιά η πιθανότητα να στις περιπτώσεις i) και ii) την χρονική αυτή στιγµή ; Γενικά ποιά η πιθανότητα να µετρηθεί ενέργεια E n n π στιγµή t > για τις δύο περιπτώσεις ; m, όπου n,, 3,, την χρονική Β) Ποιά η πιθανότητα να µετρηθεί ορµή µεταξύ p και p + dp την στιγµή t στην περίπτωση i) ; ΘΕΜΑ : Σωµατίδιο µάζας m και ϕορτίου q κινείται σε δυναµικό γραµµικού αρµονικού ταλαντωτή συχνότητας είναι ω υπό την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου έντασης E Η Χαµιλτωνιανή του Ĥ ˆp x m + mω ˆx qe ˆx Την χρονική στιγµή t το σωµατίδιο ϐρίσκεται στην ϑεµελειώδη κατάσταση ψ x) του ταλαντωτή µε το ηλεκτρικό πεδίο σβηστό E ) Ποιά είναι η πιθανότητα να ϐρεθεί στην ϑεµελειώδη στάθµη της Χαµιλτωνιανής Ĥ την χρονική στιγµή t > ; Σηµείωση: Η κανονικοποιηµένη στην µονάδα ιδιοκατάσταση της ϑεµελειώδους στάθµης του γραµµικού αρµονικού ταλαντωτη ψ x) είναι ψ x) πλ ) /4 exp x λ ) όπου λ / mω ) ΘΕΜΑ 3: έσµη σωµατιδίων ψ x) A exp i p x / ) µάζας m και καθορισµένης ενέργειας E p /m προσπίπτει εξ αριστερών x ) στο δυναµικό V x) g δx) Ο συντελεστής
διέλευσης για την δέσµη που προσπίπτει από τα αριστερά είναι T E) a όπου a E /mg + a Υποθέστε ότι συγχρόνως µε την δέσµη εξ αριστερών προσπίπτει και δέσµη ψ R x) A R exp i p x / ) εκ δεξιών προερχόµενη, ίδιας ενέργειας και πλάτους A R γ A όπου γ δοσµένη πραγµατική σταθερά Α) Πως τροποποιείται ο συντελεστής διέλευσης T E) για την δέσµη που προσπίπτει από τα αριστερά σε αυτην την περίπτωση ; Πως σχετίζεται µε τον συντελεστή T E) ; Β) Για τους συντελεστές ανάκλασης και διέλευσης της αριστερής δέσµης, RE) και T E) αντίστοιχα, ισχύει ότι RE) + T E) σε αυτήν την περίπτωση ; Αν όχι ποιά είναι η σωστή σχέση ; ικαιολογήστε πλήρως την απάντηση σας µε όποιο τρόπο επιθυµείτε ) ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ : Α) Περίπτωση i : Με δεδοµένες τις κυµατικές συναρτήσεις καθορισµένης ενέργειας του απειρόβαθου πηγαδιού δυναµικού το πλάτος πιθανότητας για την µέτρηση ενέργειας E n είναι sin nπx dx cosnπ) ) nπ Το c n είναι µηδέν για n άρτιο, όπως αναµενόταν γιατί οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας για άρτιο n είναι περιττές ως προς το σηµείο / ενώ η κυµατική συνάρτηση που µας δίνεται στην περίπτωση i είναι άρτια, ενώ για περιττό n δίνει /nπ Εποµένως η πιθανότητα µέτρησης ενέργειας E n είναι {, n, 4, 6, P n 8/n π, n, 3, 5 Η ενέργεια π m αντιστοιχεί σε n και η πιθανότητα µέτρησης αυτής είναι P 8/π, ενώ η ενέργεια π m αντιστοιχεί σε n και η πιθανότητα µέτρησης της είναι P Β) Περίπτωση ii : Σε αυτήν την περίπτωση το πλάτος πιθανότητας για την µέτρηση ενέργειας E n είναι είναι µηδέν για n περιττό, γιατί οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας για περιττό n είναι άρτιες ως προς το σηµείο / ενώ η κυµατική συνάρτηση που µας δίνεται στην περίπτωση ii είναι περιττή Για οποιοδήποτε n το πλάτος πιθανότητας είναι / sin nπx ) dx sin nπx dx ) αλλά για n άρτιο, λόγω της αρτιότητας των sin nπx /, αυτό ισούται µε / sin nπx / dx για άρτια n ως προς το σηµείο nπ cosnπ ) )
Η εξίσωση δίνει µηδέν για n 4, 8,, δηλαδή για πολλαπλάσια του 4, και αποτέλεσµα ίσο µε 4 /nπ για n, 6, Εποµένως για την πιθανότητα εύρεσης ενέργειας E n έχουµε P n { 3/n π, n, 6,, για τα αλλα n π Στην περίπτωση αυτή η πιθανότητα µέτρησης της ενέργειας m είναι P, ενώ η πιθανότητα µέτρησης της ενέργειας π m είναι P 8/π Τα πλάτη πιθανοτήτων c n τα οποία αναφέρονται πιο πάνω ισχύουν για t Για την χρονική στιγµή t > είναι γνωστό ότι τα αντίστοιχα πλάτη σχετίζονται µε c n t) c n ) exp i E ) nt, και εποµένως c n t) c n ) στιγµή Β) Το πλάτος µέτρησης ορµής p είναι cp) φ p, ψ ) Η τετριµµένη ολοκλήρωση δίνει Εποµένως cp) π i p Αρα οι πιθανότητες είναι ίδιες οποιαδήποτε χρονική e i px/ ψx) dx π e i p/ ) cp) π i π p ) p p sin e i px/ dx π e i p/ i sin p ) και ϐεβαίως η πιθανότητα να µετρηθεί ορµή µεταξύ p και p + dp είναι cp) dp ΘΕΜΑ : Αν E η ενέργεια και φx) η ιδιοκατάσταση της, τότε γράφωντας το δυναµικό ως [ V x) m ω x qe ) ) ] qe m ω m ω και ορίζοντας την µεταβλητή y x x µε x qe/mω η εξίσωση Schr dinger γράφεται όπου d Ψ m d y + m ω y Ψ E Ψ E E + q E mω, Ψy) φx) x y+x Αυτή είναι εξίσωση γραµµικού αρµονικού ταλαντωτή, ως προς την µεταβλητή y αρα οι ιδιοτιµές και ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας είναι E n ω n + ), Ψ ny)
µε n,, Ψ n y) είναι οι ιδιοκαταστάσεις του ταλαντωτή στην µεταβλητή y Εποµένως για την Χαµιλτωνιανή είναι Ĥ οι ενέργειες και οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας E n ω n + ) q E, φ mω n x) Ψ n y) y x x όπου x qe Εποµένως η ϑεµελειώδης ιδιοκατάσταση της Χαµιλτωνιανής m ω Ĥ είναι ) φ n x) Ψ x x ) exp x x ) πλ /4 ) λ 3) Για κάθε κατάσταση ψx, t) που δεν ειναι ιδιοκατάσταση της ενέργειας έχουµε όπου ψx, t) c n t) φ n x) n c n t) c n ) exp i E ) nt Η πιθανότητα να µετρηθεί ενέργεια E n είναι P n c n t) c n ) Αρα αρκεί να ϐρούµε τον συντελεστή c n ) ο οποίος ισούται µε c n ) φ n, ψx, )) φ nx) ψx, ) dx Για το ερώτηµα του προβλήµατος αρχικά η κατάσταση είναι ψx, ) ψ x) και επειδή Ϲητάµε την πιθανότητα να ϐρεθεί στην ϑεµελειώδη στάθµη, n, πρέπι να υπολογισθεί το πλάτος c n ), c n ) φ x) ψ x) dx και η Ϲητουµένη πιθανότητα είναι ) / exp x /λ ) exp x x ) /λ ) dx ) / exp x /4λ ) exp x x / ) /λ ) dx ) / exp x /4λ ) exp y /λ ) dy ) / exp x /4λ ) exp x /4λ ) P c ) exp q E / m ω 3 )
ΘΕΜΑ 3 : Για τις περιοχές x < και x > το χρονικά ανεξάρτητο µέρος της λύσης µε καθορισµένη ενέργεια E > είναι A exp +i px/ ) + B exp i px/ ), x < Ψx) A R exp i px/ ) + B R exp +i px/ ), x > Αν δεν υπήρχε δέση από τα δεξιά τότε A R και ϑα ήταν το σύνηθες πρόβληµα µε συντελεστή διέλευσης T E) που δίνεται στην εκφώνηση Στην συγκεκριµµένη περίπτωση όµως έχουµε δέσµη από δεξιά µε πλάτος A R γ A Από τις συνθήκες για την κυµατοσυνάρτηση στο σηµείο x παίρνουµε A + B A R + B R m [ i k B R A R ) i k A B ) ] + g A R + B R ) 4) όπου k p/ Από τις δύο αυτές εύκολα προκύπτει για τον λόγο t B R /A t w i γ w + i όπου w η πραγµατική ποσότητα w k/mg Το ϱεύµα της δέσµης που προσπίπτει από τα αριστερά είναι J in A R p/m και αυτό που αντιστοιχεί στην δέσµη που οδεύει προε τα δεξιά για x > και το οποίο µπορεί να µετρηθεί από µία διάταξη που τοποθετείται στα δεξιά είναι J tr B R p/m Ο Ϲητούµενος συντελεστής διέλευσης είναι T E) J tr J in Από την σχέση 5 έχουµε εποµένως B R A t T E) w + γ a + γ + w + a T E) + γ R E) Για τον λόγο r B /A έχουµε από την πρώτη από τις σχέσεις 4 ότι Ο συντελεστής ανάκλασης είναι Από αυτή και το T E) προκύπτει ότι r t + γ γ w i w + i RE) r γ w + + w T E) + RE) + γ Το γεγονος οτι το δεξί µέλος είναι > δεν σηµαίνει ότι παραβιάζεται η διατήρηση του αριθµού των σωµατιδίων Απλα η δέσµη που µετρά µια διάταξη που τοποθετείται στα δεξία µετρά όχι µόνο τα σωµατίδια που προήλθαν απο τα αριστερά αλλά και αυτά που ανακλώνται από την δέσµη, πλάτους A R, που από τα δεξία προσπίπτει στο δυναµικό! 5)