ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 7

Transcript

1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 1/ 12 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 7 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος Για χρήση των ϕοιτητών του Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστηµίου Αθηνών Να µην αναπαραχθεί από τρίτους για εµπορικούς λόγους

2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 2/ 12 Περιεχόµενα 7ης ενότητας Χρονικά ανεξάρτητη θ.δ. ιορθώσεις πρώτης τάξης ιορθώσεις ανώτερης τάξης

3 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 3/ 12 Προσεγγιστικές µέθοδοι

4 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 4/ 12 Χρονικά ανεξάρτητη θ.δ. Επιλύσιµο πρόβληµα Ιδιοσυναρτήσεων - Ιδιοτιµών της Χαµιλτωνιανής Ĥ 0 Ĥ 0 ψ 0 (0) = E ψ 0 = 1, 2 Μη επιλύσιµο πρόβληµα Ιδιοσυναρτήσεων - Ιδιοτιµών της Χαµιλτωνιανής ĤĤĤ Ĥ = Ĥ 0 + g Ĥ 1 Ο πρόσθετος όρος g Ĥ 1 ϑεωρείται µικρή διαταραχή της Ĥ 0 και διορθώνει τις ενέργειες και τα ιδιοανύσµατα της Μπορεί να επιδιωχθεί διαταρακτική προσέγγιση του προβλήµατος Ĥ ψ = E ψ = 1, 2 Η αδιάστατη παράµετρος g καθορίζει την τάξη προσέγγισης της διαταραχής!

5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 4/ 12 Χρονικά ανεξάρτητη θ.δ. Επιλύσιµο πρόβληµα Ιδιοσυναρτήσεων - Ιδιοτιµών της Χαµιλτωνιανής Ĥ 0 Ĥ 0 ψ 0 (0) = E ψ 0 = 1, 2 Μη επιλύσιµο πρόβληµα Ιδιοσυναρτήσεων - Ιδιοτιµών της Χαµιλτωνιανής ĤĤĤ Ĥ = Ĥ 0 + g Ĥ 1 Ο πρόσθετος όρος g Ĥ 1 ϑεωρείται µικρή διαταραχή της Ĥ 0 και διορθώνει τις ενέργειες και τα ιδιοανύσµατα της Μπορεί να επιδιωχθεί διαταρακτική προσέγγιση του προβλήµατος Ĥ ψ = E ψ = 1, 2 Η αδιάστατη παράµετρος g καθορίζει την τάξη προσέγγισης της διαταραχής!

6 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 4/ 12 Χρονικά ανεξάρτητη θ.δ. Επιλύσιµο πρόβληµα Ιδιοσυναρτήσεων - Ιδιοτιµών της Χαµιλτωνιανής Ĥ 0 Ĥ 0 ψ 0 (0) = E ψ 0 = 1, 2 Μη επιλύσιµο πρόβληµα Ιδιοσυναρτήσεων - Ιδιοτιµών της Χαµιλτωνιανής ĤĤĤ Ĥ = Ĥ 0 + g Ĥ 1 Ο πρόσθετος όρος g Ĥ 1 ϑεωρείται µικρή διαταραχή της Ĥ 0 και διορθώνει τις ενέργειες και τα ιδιοανύσµατα της Μπορεί να επιδιωχθεί διαταρακτική προσέγγιση του προβλήµατος Ĥ ψ = E ψ = 1, 2 Η αδιάστατη παράµετρος g καθορίζει την τάξη προσέγγισης της διαταραχής!

7 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 5/ 12 Χρονικά ανεξάρτητη θ.δ. ιαταρακτική επίλυση Οι διορθώσεις στην οστή ενέργεια και ιδιοκατάσταση ψ = ψ 0 + δ ψ, E = E (0) + δ E Οι διορθώσεις δ E, δ ψ είναι µικρές και αιτιολογείται ανάπτυγµα στην αδιάστατη σταθερά g δ ψ = g ψ 1 + g 2 ψ 2 + g 3 ψ 3 + δ E = g E (1) + g 2 E (2) + g 3 E (3) + Οι διορθώσεις υπολογίζονται διαδοχικά τάξη προς τάξη αρχίζοντας από την πρώτης τάξης προσέγγιση

8 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 6/ 12 ιορθώσεις πρώτης τάξης Πρώτης τάξης προσέγγιση Πρώτης τάξης διόρθωση στην οστή ενέργεια και ιδιοκατάσταση ψ = ψ 0 + g ψ 1, E = E (0) + g E (1) Από την εξίσωση ιδιοτιµών Ĥ ψ = E ψ προκύπτει Ĥ 1 ψ 0 + Ĥ 0 ψ 1 (1) = E ψ 0 (0) + E ψ 1 Η πρώτης τάξης διόρθωση στην ενέργεια είναι δ E = g ψ 0 Ĥ 1 ψ 0

9 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 6/ 12 ιορθώσεις πρώτης τάξης Πρώτης τάξης προσέγγιση Πρώτης τάξης διόρθωση στην οστή ενέργεια και ιδιοκατάσταση ψ = ψ 0 + g ψ 1, E = E (0) + g E (1) Από την εξίσωση ιδιοτιµών Ĥ ψ = E ψ προκύπτει Ĥ 1 ψ 0 + Ĥ 0 ψ 1 (1) = E ψ 0 (0) + E ψ 1 Η πρώτης τάξης διόρθωση στην ενέργεια είναι δ E = g ψ 0 Ĥ 1 ψ 0

10 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 6/ 12 ιορθώσεις πρώτης τάξης Πρώτης τάξης προσέγγιση Πρώτης τάξης διόρθωση στην οστή ενέργεια και ιδιοκατάσταση ψ = ψ 0 + g ψ 1, E = E (0) + g E (1) Από την εξίσωση ιδιοτιµών Ĥ ψ = E ψ προκύπτει Ĥ 1 ψ 0 + Ĥ 0 ψ 1 (1) = E ψ 0 (0) + E ψ 1 Η πρώτης τάξης διόρθωση στην ενέργεια είναι δ E = g ψ 0 Ĥ 1 ψ 0

11 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 7/ 12 ιορθώσεις πρώτης τάξης Η πρώτης τάξης διόρθωση στην ιδιοκατάσταση της ενέργειας ψ 0 m Ĥ 1 ψ 0 δ ψ = g E (0) E (0) m m ψ 0 m Για την διόρθωση αυτή : Υποτίθεται ότι το ενεργειακό ϕάσµα δεν είναι εκφυλισµένο! Σε πρώτη τάξη στην g η κανονικοποιηµένη στην µονάδα διορθωµένη κατάσταση είναι ψ = ψ 0 + δ ψ

12 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 7/ 12 ιορθώσεις πρώτης τάξης Η πρώτης τάξης διόρθωση στην ιδιοκατάσταση της ενέργειας ψ 0 m Ĥ 1 ψ 0 δ ψ = g E (0) E (0) m m ψ 0 m Για την διόρθωση αυτή : Υποτίθεται ότι το ενεργειακό ϕάσµα δεν είναι εκφυλισµένο! Σε πρώτη τάξη στην g η κανονικοποιηµένη στην µονάδα διορθωµένη κατάσταση είναι ψ = ψ 0 + δ ψ

13 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 8/ 12 ιορθώσεις πρώτης τάξης Για µικρή διαταραχή ˆVˆVˆV στην αρχική Χαµιλτωνιανή Ĥ 0 : Ĥ = Ĥ 0 + ˆV Η πρώτης τάξης προσέγγιση στην ενέργεια : E = E (0) + V Η κανονικοποιηµένη κατάσταση πρώτης τάξης : ψ = ψ 0 + m V m E (0) m E (0) ψ 0 m όπου V i j = ψ i 0 ˆV ψ 0 j

14 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 9/ 12 ιορθώσεις ανώτερης τάξης εύτερης τάξης προσέγγιση Μετά την εύρεση των διορθώσεων πρώτης τάξης µε παρόµοιους χειρισµούς µπορούν να ϐρεθούν οι ανώτερης τάξης διορθώσεις. Μέχρι δεύτερη τάξη οι διορθώσεις στην οστή ενέργεια και την αντίστοιχη ιδιοκατάσταση γράφονται ως ψ = ψ 0 + g ψ 1 + g 2 ψ 2 E = E (0) + g E (1) + g 2 E (2) όπου οι πρώτης τάξης διορθώσεις E (1), ψ 1 έχουν ήδη υπολογισθεί Από την εξίσωση ιδιοτιµών και ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας, µέχρι αυτήν την τάξη, ϐρίσκεται τελικά =

15 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 10/ 12 ιορθώσεις ανώτερης τάξης Μέχρι δεύτερη τάξη η προσέγγιση στην ενέργεια είναι: E = E (0) + V + m V m 2 E (0) E (0) m Η κανονικοποιηµένη κατάσταση σε δεύτερη τάξη: ψ = ( 1 + C ) ψ 0 + m k m V m E (0) m E (0) ψ 0 m + V m k V k V m V ( E (0) E (0) k ) ( E (0) E (0) ψ 0 m ) ( E (0) E (0) m ) 2 m όπου η σταθερά C είναι C = 1 2 m V m 2 ( E (0) E (0) m ) 2

16 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 11/ 12 Παραδείγµατα Αναρµονικός ταλαντωτής Το δυναµικό αναρµονικού ταλαντωτή είναι V(x) = m ω 2 x 2 + g x 4 2 Εισάγοντας αδιάσταστη διαταρακτική σταθερά g αντί της g g g ο αναρµονικός όρος γίνεται V(x) = g m 2 ω 3 x 4 Σε πρώτη τάξη στην g η διορθωµένη ενέργεια είναι E ( = ω + 1 ) g ω ( )

17 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 11/ 12 Παραδείγµατα Αναρµονικός ταλαντωτής Το δυναµικό αναρµονικού ταλαντωτή είναι V(x) = m ω 2 x 2 + g x 4 2 Εισάγοντας αδιάσταστη διαταρακτική σταθερά g αντί της g g g ο αναρµονικός όρος γίνεται V(x) = g m 2 ω 3 x 4 Σε πρώτη τάξη στην g η διορθωµένη ενέργεια είναι E ( = ω + 1 ) g ω ( )

18 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 11/ 12 Παραδείγµατα Αναρµονικός ταλαντωτής Το δυναµικό αναρµονικού ταλαντωτή είναι V(x) = m ω 2 x 2 + g x 4 2 Εισάγοντας αδιάσταστη διαταρακτική σταθερά g αντί της g g g ο αναρµονικός όρος γίνεται V(x) = g m 2 ω 3 x 4 Σε πρώτη τάξη στην g η διορθωµένη ενέργεια είναι E ( = ω + 1 ) g ω ( )

19 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 12/ 12 Παραδείγµατα Το διαταρακτικό αποτέλεσµα αξιόπιστο για τιµές 3 4 g << + 1/ που για µεγάλες ενέργειες ( µεγάλα ) ϑέτει τον ϕραγµό g << 2 3

20 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 12/ 12 Παραδείγµατα Το διαταρακτικό αποτέλεσµα αξιόπιστο για τιµές 3 4 g << + 1/ που για µεγάλες ενέργειες ( µεγάλα ) ϑέτει τον ϕραγµό g << 2 3 Εποµένως για δεδοµένη τιµή της σταθεράς g τα αποτελέσµατα αναξιόπιστα όταν ο κβαντικός αριθµός ( ενέργεια ) παίρνει τιµές που υπερβαίνουν τα πιο επάνω όρια! Για παράδειγµα όταν g = 1/10 µπορούµε να εµπιστευθούµε το διαταρακτικό αποτέλεσµα για τιµές < 6 ενώ όταν g = 1/100 πρέπει < 66 ( επιβεβαιώστε το! )