Μαθηματικά Κεφάλαιο 42 Λύνω προβλήματα με ποσοστά: Βρίσκω την τελική τιμή Όνομα: Ημερομηνία: / / Θεωρία Τα ποσά στα ποσοστά είναι πάντα ανάλογα. Άρα μπορούμε να λύνουμε τα προβλήματα ποσοστών με τις μεθόδους που λύνουμε τα προβλήματα των ανάλογων ποσών (αναγωγή στη μονάδα, αναλογία, απλή μέθοδος των τριών). Και στις τρεις μεθόδους η μία από τις τιμές είναι το (ή το 0 αν πρόκειται για ποσοστό ). Πρόβλημα Ένας υπάλληλος έει μηνιαίο μισθό 900 και του γίνεται αύξηση 5%. Ποιος είναι ο νέος μισθός του; Στο πρόβλημα γνωρίζουμε: 1. Τον μισθό που είναι 900 (Αρική Τιμή) 2. Την αύξηση που είναι 5% (ποσοστό αύξησης) Ζητάμε το νέο μισθό, μετά την αύξηση (Τελική Τιμή) 1ος Τρόπος A. Πρέπει να βρούμε πόσα ρήματα ( ) θα είναι η αύξηση. 3. ΓΝΩΡΙΖΩ ΟΤΙ : 5% = 5/ = 0,05 4. Για να βρούμε το 5% στα 900 κάνουμε τον πολ/σμό: 900. 0,05 = 45 η αύξηση που θα πάρει. Β. Βρίσκω τον νέο μισθό. 5. Προσθέτω τον μισθό που έπαιρνε (900 ) με την αύξηση (45 ) 6. Τελική Τιμή = Αρική Τιμή + Αύξηση 7. 900 + 45 = 945 ο νέος μισθός Αποστόλης Αγγελόπουλος 1
2ος Τρόπος: Με πίνακα όπως στα ανάλογα ποσά. Αρική Τιμή (αρικός μισθός) 900 Αύξηση 5 Αφού τα ποσά είναι ανάλογα λύνουμε με τα σταυρωτά γινόμενα: = 5. 900 -> = 4500 -> = 4500 : -> = 45 η αύξηση Επομένως ο νέος μισθός θα είναι : 900 + 45 = 945 3ος Τρόπος: Με πίνακα πάλι, βρίσκοντας απευθείας την Τελική Τιμή (μισθό) ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ : Αν ο Αρικός μισθός ήταν, ο Νέος μισθός (μετά την αύξηση) θα είναι + 5 (αύξηση) = 105 Αρική Τιμή (αρικός μισθός) 900 Τελικός μισθός (μετά την αύξηση) 105 Αφού τα ποσά είναι ανάλογα λύνουμε με τα σταυρωτά γινόμενα: = 105. 900 -> = 94.500 -> = 94.500 : -> = 945 ο Τελικός μισθός (ο νέος, μετά την αύξηση) Πρόβλημα Ένα ποδήλατο που είε 170 πωλείται με έκπτωση 20%. Πόσο πωλείται το ποδήλατο, μετά την έκπτωση; Στο πρόβλημα γνωρίζουμε: 8. Την τιμή πώλησης που είναι 170 (Αρική Τιμή) 9. Την έκπτωση που είναι 20% (ποσοστό έκπτωσης, μείωσης) Ζητάμε τη νέα τιμή πώλησης, μετά την έκπτωση (Τελική Τιμή) Αποστόλης Αγγελόπουλος 2
1ος Τρόπος A. Πρέπει να βρούμε πόσα ρήματα ( ) θα είναι η έκπτωση. ΓΝΩΡΙΖΩ ΟΤΙ : 20% = 20/ = 0,20 Για να βρούμε το 20% στα 170 κάνουμε τον πολ/σμό: 170 0,20 = 34 η έκπτωση. Β. Βρίσκω τη νέα τιμή πώλησης, μετά την έκπτωση. Αφαιρώ από την Αρική Τιμή του ποδηλάτου (170 ) την έκπτωση (34 ) Τελική Τιμή = Αρική Τιμή - Έκπτωση 170-34 = 136 η νέα τιμή (Τελική τιμή - Τιμή μετά την έκπτωση) 2ος Τρόπος: Με πίνακα όπως στα ανάλογα ποσά. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ : Αν η Αρική Τιμή ήταν (πριν την έκπτωση) η έκπτωση θα ήταν 20 Τώρα που η Αρική Τιμή είναι 170 ποια είναι η έκπτωση; Αρική Τιμή (πριν την έκπτωση) 170 Έκπτωση 20 Αφού τα ποσά είναι ανάλογα λύνουμε με τα σταυρωτά γινόμενα: x = 20 170 -> x = 3.400 -> x = 3.400 : -> x = 34 η έκπτωση Αφαιρώ την έκπτωση (34 ) από την Αρική Τιμή για να βρω την Τελική Τιμή (μετά την έκπτωση). 170-34 = 136 η Τελική Τιμή (μετά την έκπτωση) 3ος Τρόπος: Με πίνακα πάλι, βρίσκοντας απευθείας την Τελική Τιμή (μετά την έκπτωση) ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ : Αν η Αρική Τιμή ήταν (πριν την έκπτωση) η Τελική Τιμή (μετά την έκπτωση) θα ήταν 80 (-20) Τώρα που η Αρική Τιμή είναι 170 ποια είναι η Τελική Τιμή; Αρική Τιμή (πριν την έκπτωση) 170 Τελική Τιμή (Μετά την έκπτωση) 80 λύνουμε με τα σταυρωτά γινόμενα: x = 80. 170 -> x = 13.600 -> x = 13.600 : -> x = 136 η Τελική Τιμή πώλησης Αποστόλης Αγγελόπουλος 3
Προβλήματα 1. Πέρυσι το ενοίκιο στο σπίτι που μένει η Ελένη ήταν 300. Φέτος αυξήθηκε κατά 20 %. Πόσο είναι τώρα το ενοίκιο που πληρώνει η Ελένη ; (Να λυθεί με πολ/σμό και με πίνακα) Αρική τιμή (παλιό ενοίκιο) Αύξηση Απάντηση::Το νέο ενοίκιο είναι 2. Σ ένα φόρεμα αξίας 60 γίνεται έκπτωση 25 %. Πόσο θα πληρώσω για να το αγοράσω ; (Με πίνακα υπολογίζοντας κατευθείαν την Τελική τιμή) Απάντηση:: Αποστόλης Αγγελόπουλος 4
3. Η τιμή ενός προϊόντος είναι 4.000 τον Αύγουστο. Στον Αλέξανδρο τέθηκε το ερώτημα: θα κοστίζει λιγότερο ή περισσότερο τον Νοέμβριο από την τιμή που είε τον Αύγουστο το προϊόν αν: α. Το Σεπτέμβριο η αρική του τιμή αυξήθηκε κατά 15%. β. Η νέα τιμή του τον Νοέμβριο μειώθηκε κατά 15%. Ο Αλέξανδρος απάντησε: θα είναι ακριβώς η τιμή που είε τον Αύγουστο δηλαδή 4.000. Είε δίκιο ή άδικο; (πίνακες υπολογισμού τελικών τιμών) Τιμή Σεπτεμβρίου Τιμή Νοεμβρίου 4. Απάντηση:: 4. Ο μηνιαίος μεικτός μισθός ενός εργάτη είναι 900 και σε αυτόν γίνονται κρατήσεις 23%. Πόσες είναι οι κρατήσεις και ποιος είναι ο καθαρός μισθός του εργάτη; Απάντηση:: Αποστόλης Αγγελόπουλος 5
5. Σε μια πόλη πληθυσμού 135.000 κατοίκων οι γεννήσεις το 2006 ήταν το 3 του συνόλου των κατοίκων. Πόσες γεννήσεις είαμε το 2006; (με πολ/σμό) 6. Η Μαίρη αγόρασε για το γιο της ένα μπουφάν αξίας 50, ένα παντελόνι 40 και μια μπλούζα 30. Στο ταμείο της έγινε έκπτωση 30 %. Πόσο θα πληρώσει ; (Α. με πίνακα υπολογισμού έκπτωσης και Β. πίνακα τελικών τιμών) Βοηθητική πράξη Α. Β. Απάντηση:: Αποστόλης Αγγελόπουλος 6
Απαντήσεις 1. Α. Με πολ/σμό Για να βρούμε το 20% στα 300 κάνουμε τον πολ/σμό: 300. 0,20 = 60 η αύξηση Προσθέτω το ενοίκιο που πλήρωνε (300 ) με την αύξηση (60 ) 300 + 60 = 360 το νέο ενοίκιο Β. Με πίνακα Αρική τιμή (παλιό ενοίκιο) 300 Αύξηση 20 λύνουμε με τα σταυρωτά γινόμενα: = 20 300 -> = 6.000 -> = 6.000 : -> = 60 η αύξηση Προσθέτω το ενοίκιο που πλήρωνε (300 ) με την αύξηση (60 ) 300 + 60 = 360 το νέο ενοίκιο 2. Αν η Αρική Τιμή ήταν (πριν την έκπτωση) η Τελική Τιμή (μετά την έκπτωση) θα ήταν 75 (-25) Τώρα που η Αρική Τιμή είναι 60 ποια είναι η Τελική Τιμή; Αρική Τιμή (πριν την έκπτωση) 60 Τελική Τιμή (Μετά την έκπτωση) 75 λύνουμε με τα σταυρωτά γινόμενα: x = 75 60 -> x = 4.500 -> x = 4.500 : -> x = 45 η Τελική Τιμή πώλησης Αποστόλης Αγγελόπουλος 7
3. ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ Αν η Αρική Τιμή ήταν (του Αυγούστου) η Τελική Τιμή (μετά την αύξηση του Σεπτεμβρίου) θα ήταν 115 (+15) Τώρα που η Αρική Τιμή είναι 4.000 ποια είναι η Τελική Τιμή; Αρική Τιμή (Αυγούστου) 4.000 Τελική Τιμή Σεπτεμβρίου (Μετά την αύξηση) 115 λύνουμε με τα σταυρωτά γινόμενα: x = 115 4.000 -> x = 460.000 -> x = 460.000 : -> x = 4.600 η Τιμή του Σεπτεμβρίου ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ Αν η Αρική Τιμή ήταν (του Σεπτεμβρίου) η Τελική Τιμή (μετά την μείωση του Νοεμβρίου) θα ήταν 85 (-15) Τώρα που η Αρική Τιμή είναι 4.600 ποια είναι η Τελική Τιμή; Αρική Τιμή (Σεπτεμβρίου) 4.600 Τελική Τιμή Νοεμβρίου (Μετά την μείωση) 85 x = 85 4.600 -> x = 391.000 -> x = 391.000 : -> x = 3.910 η Τιμή του Νοεμβρίου Επομένως ο Αλέξανδρος είε άδικο αφού η τιμή τον Νοέμβριο θα είναι αμηλότερη κατά 90 4. Κρατήσεις: 900 0,23 = 207 Καθαρός μισθός : 900 207 = 693 5. Γεννήσεις: 0,005 135.000 = 675 γεννήσεις Αποστόλης Αγγελόπουλος 8
6. Η Μαίρη αγόρασε για το γιο της ένα μπουφάν αξίας 50, ένα παντελόνι 40 και μια μπλούζα 30. Στο ταμείο της έγινε έκπτωση 30 %. Πόσο θα πληρώσει ; (Α. με πίνακα υπολογισμού έκπτωσης και Β. πίνακα τελικών τιμών) Βοηθητική πράξη 50+40+30=120 Α. Αρική τιμή 120 Έκπτωση 30 x = 30 120 -> x = 3.600 -> x = 3.600 : -> x = 36 έκπτωση Επομένως θα πληρώσει: 120 36 = 84 ( τελική τιμή μετά την έκπτωση ) Β. Αν η Αρική τιμή ήταν η τιμή μετά την έκπτωση θα είναι 30 = 70 Αρική τιμή 120 Τελική τιμή (μετά την έκπτωση) 70 x = 70 120 -> x = 8.400 -> x = 8.400 : -> x = 84 η τελική τιμή μετά την έκπτωση Αποστόλης Αγγελόπουλος 9