ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ- ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑ Α. ΚΑΘΗΓ. ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΖΒ114 ΡΑΓΚΟΥΣΗ-ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ E-mil: zchri@niw.gr
Βιβλιογραφία SERWAY, PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS YOUNG H.D., UNIVERSITY PHYSICS, BERKELEY PHYSICS COURSE
Μελέτη κίνησης με ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΣΗ σώματος Η γραφική παράσταση θέσης-χρόνου εξαρτάται από τον παρατηρητή Διότι αλλάζει η διεύθυνση του άξονα χ-θέσης και θέσης καθώς και η αρχή μέτρησης του χρόνου Ορίζουμε πάντα ένα σύστημα αναφοράς
Ευθύγραμμη ΟΜΑΛΗ κίνηση θέση χ Δ A A Εξίσωση ευθείας: ακλίση της ευθείας A κλ ίση σταθερη Δ Δ χρόνος η ταχύτητα είναι η κλίση της ευθείας Και είναι σταθερή ταχύτητα Δ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ υ
Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Y A B A επιτάχυνση υ χρόνος α α Εξίσωση ταχύτητας σώματος στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση o ΑΝ και μόνο ΑΝ η επιτάχυνση είναι σταθερή
Μέση ταχύτητα θέση χ Δ Α α Β 1 Δ 1 Δ χρόνος Mέση ταχύτητα : μέσος ρυθμός μεταβολής της θέσης Στιγμιαία ταχύτητα : στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της θέσης στα προσεχώς...
Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση-μέση ταχύτητα θέση χ Δ Α Β 1 Δ 1 α Δ χρόνος Δ Δ
Ευθύγραμμα ομαλή επιταχυνόμενη κίνηση Μέση επιτάχυνση ταχύτητα Δ Α Β α 1 Δ 1 Δ χρόνος Mέση επιτάχυνση : μέσος ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας Στιγμιαία επιτάχυνση: στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας στα προσεχώς...
Ευθύγραμμα ομαλή επιταχυνόμενη κίνηση Μέση επιτάχυνση ταχύτητα Δ Α Β 1 Δ 1 α Δ χρόνος Mέση επιτάχυνση : μέσος ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας Δ
Ευθύγραμμα ομαλή επιταχυνόμενη κίνηση Μέση επιτάχυνση Mέση ταχύτητα: Δ
Ευθύγραμμα ομαλή επιταχυνόμενη κίνηση Μέση επιτάχυνση Ταχύτητα συναρτήσει της θέσης στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση
Τρένο ξεκινά από ηρεμία και κινείται με σταθερή επιτάχυνση. Σε κάποια στιγμή ταξίδευε με ταχύτητα 3m/ και 16m πιο πέρα με ταχύτητα 5m/. Υπόλογίστε: Την επιτάχυνση 1 / 5 16 3 5 1 m Toν χρόνο που χρειάζεται το τρένο για να διανύσει τα 16m 4 1 1 Toν χρόνο που χρειάζεται το τρένο για να αναπτύξει την ταχύτητα 3m/ m m 6 / 5 / 3 1 1 Tην απόσταση που διένησε το τρένο από τη στάση μέχρι το σημείο που ανέπτυξε την ταχύτητα 3m/ m m 9 6 / 5 1 1
Παράδειγμα μέσης επιτάχυνσης Σωματίδιο έχει ταχύτητα 18m/. Mετά από.4 η ταχύτητά του είναι 3m/ στην αντίθετη κατεύθυνση. Ποιά η μέση επίτάχυνση του σωματιδίου κατά τη διάρκεια του διαστήματος.4 3m / 18m /.4 1 m /
Παράδειγμα Βέλος επιταχύνθηκε σε απόσταση 6cm.Αν η ταχύτητά του τη στιγμή που άφησε το τόξο ήταν 6m/ ποιά είναι η μέση επιτάχυνση που του προσέδωσε το τόξο 1 / 3 m
Δύο τρένα που ταξιδεύουν με ταχύτητα 95Κm/h και 13Κm/h κατευθύνονται το ένα προς το άλλο πάνω σε επίπεδες και ευθύγραμμες τροχιές. Όταν απέχουν 3.Κm φρενάρουν με ρυθμό 1m/. Βρείτε αν θα γίνει σύγκρουση. 1 1 m Τα τρένα φρενάρουν και σταματούν Επιβράδυνση : α -α Aν 1 m m 3m τότε ΔΕΝ θα συγκρουστούν 1m m? 1 1 1m m 6.4m / 36.1m / 1 133m 6.4m / 1m / 697m ΔΕΝ θα συγκρουστούν
Ευθύγραμμη κίνηση σε μια διάσταση χ Mέση ταχύτητα Δ θέση Α α φ Β 1 κλίσητης γωνίας φ Δ 1 χρόνος Στιγμιαία ταχύτητα Δ lim Δ Δ d d παράγωγος Κλίση της εφαπτομένης Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της θέσης με το χρόνο d d
ος τρόπος υπολογισμού της στιγμιαίας ταχύτητας d d d d c d c Όπου η σταθερά c βρίσκεται από τις αρχικές συνθήκες Για
Υπολογίστε Σώμα κινείται κατά τον άξονα χ σύμφωνα με την εξίσωση: 5 1 τη μέση ταχυτητα κατά τη διάρκεια των 3 πρώτων δευτερολέπτων Τη στιγμιαία ταχύτητα τη χρονική στιγμή 3 και την στιγμιαία επιτάχυνση για 3 Μέση ταχύτητα: Δ 4 f f 3 8m / d d 5 3 5 3 11m / d m / d
υ υ χρόνος Εύθυραμμη μονοδιάσταση ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση α Στιγμιαία επιτάχυνση Y β Μέση επιτάχυνση lim d d d d d d d c d d ΑΝ και μόνο ΑΝ η επιτάχυνση είναι σταθερή d d
Eυθύγραμμη μονοδιάστατη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση d d d d 1 C 1 Με τις εξισώσεις κίνησης προβλέπουμε τη θέση και την ταχύτητα για κάθε χρονική στιγμή της κίνησης
Παράδειγμα ο Μια βαρειά πέτρα εκσφεντονίζεται προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 48 m/ και φτάνει σε ύψος 48-4.8 μέσα σε χρόνο ec Πόσο ψηλά φτάνει η πέτρα? Μέγιστο ύψος αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή που μηδενίζεται η ταχύτητα d d48 4.8 48 m 4.8 48 9.6 d d Συνεπώς η πέτρα φτάνει στο μέγιστο ύψος τη χρονική στιγμή: 48 5 9.6 m 5 485 4.85
Μια σφαίρα εκτοξεύεται προς τα πάνω από μια εξέδρα που βρίσκεται 3.48 μέτρα από το έδαφος με αρχική ταχύτητα 48.75 m/ και επιβράδυνση λόγω βαρύτητας ιση με 9.75 m/ Θεωρείστε ότι η σφαίρα εκτοξεύεται τη χρονική στιγμή ίση με μηδέν για να βρείτε τη θέση της σφαίρας κάθε χρονική στιγμή S U d d d d d d 9.75 m d 9.75m d m 9. 75 c.75m 48.75 d d d 9.75 d 48.75 d c d m m 9.75 48.75 3.48m Για c 48.75m/ 9 m
Χρήση ολοκληρωμάτων στην κινηματική Η ταχύτητα ενός κινητού δίδεται από τον τύπο: d k d κ είναι μια σταθερά Βρείτε τη θέση του σώματος κάθε χρονική στιγμή Θεωρώντας ότι τη χρονική στιγμή μηδέν το σώμα βρίσκεται στη θέση So Η σταθερή c της ολοκλήρωσης υπολογίζεται από τις αρχικές συνθήκες d d 3 k d k d Για ScSo 3 d k d k c 3 3 S k c k So 3 3
Χρήση ολοκληρωμάτων στην κινηματική Η ταχύτητα ενός κινητού δίδεται από τον τύπο: d k d κ είναι μια σταθερά Βρείτε τη θέση του σώματος κάθε χρονική στιγμή Θεωρώντας ότι τη χρονική στιγμή μηδέν το σώμα βρίσκεται στη θέση So Η σταθερή c της ολοκλήρωσης υπολογίζεται από τις αρχικές συνθήκες d d 3 k d k d Για ScSo 3 d k d k c 3 3 S k c k So 3 3
Κίνηση στον χώρο d d d d d d iˆ d d d d d d ˆj dz d z dz d z dz d kˆ
Κίνηση στο χώρο χ z r rδ k z j i r ˆ ˆ ˆ k j i k j i d dr z d dz d d d d ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H ταχύτητα είναι σε κάθε χρονική στιγμή εφαπτόμενη της τροχιάς
k j i z ˆ ˆ ˆ Κατ αντιστοιχία, η επιτάχυνση στο χώρο είναι: k d d j d d i d d k j i z z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Αν για παράδειγμα ένα κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση στη διεύθυνση του άξονα χ, και ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη στον άξονα και κινείται σε επίπεδο, θα είναι: 1 ˆ ˆ ˆ j d d j c i
Παράδειγμα Η θέση ενός κινητού σε σύστημα αξόνων ΟΧYZ έχει συντεταγμένες : m z m m 3 3 4 6 3 Ποιά είναι η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος σε
Οι εξισώσεις κίνησης ενός σώματος είναι: Αποδείξτε ότι εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 5 1 1 3 Για να διαπιστώσω αν είναι ευθύγραμμη η κίνηση βρίσκω την τροχιά απαλείφοντας το χρόνο 1 5 1 1 1 3 5 1 Ευθύγραμμη κίνηση Σταθερή επιτάχυνση με μέτρο : 1
Παράδειγμα Σωματίδιο κινείται στο χώρο. Η διανυσματική συνάρτηση της θέσης του είναι: r iˆ 4 ˆj kˆ Βρείτε τη ταχύτητα, την επιτάχυνση και την τροχιά του σωματιδίου d d8j ˆ kˆ d d 8 ˆj Τροχιά: z 4 4z ki 1 Η τροχιά είναι παραβολή στο επίπεδο ΥΟΖ και διέρχεται από το χ1 χ z X1 υ
Ένα αντικείμενο κινείται στο επίπεδο χ ακολουθώντας την καμπύλη Παράδειγμα Η συνιστώσα της ταχύτητας είναι σταθερή: 3 3 Βρείτε τις διανυσματικές συυναρτήσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και τα μέτρα τους στη θέση χ3 dr d d iˆ ˆj ˆ i d d d ˆj 3 d 3 3 d 3 ˆ i dˆ i d ˆj ˆ j d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d 8
Ένα αεροπλάνο για να απογειωθεί πρέπει να αναπτύξει ταχύτητα 36Km/h. Υποθέστε ότι η επιτάχυνσή του είναι σταθερή και ότι ο διάδρομος απογείωσης έχει μήκος 1.8Km. Ποιά είναι η ελάχιστη επιτάχυνση που πρέπει να αναπτύξει προκειμένου να απογειωθεί? Αν γνωρίζω τη Επιτάχυνση σταθερή 1 Επειδή δεν γνωρίζω τη χρονική στιγμή απογείωσης απαλείφω τον χρόνο: Για χl, όπου L είναι το μήκος του διαδρόμου απογείωσης η παραπάνω σχέση δίδει L 1 χρονική στιγμή της απογείωσης τότε μπορώ να βρω την επιτάχυνση L 1 5.56 m