Γ ΓΕΛ / 0 / 09 ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π ΘΕΜΑ Α Α.δ, Α.γ, Α.β, Α.δ, Α5. α. Σ, β. Λ, γ. Λ, δ.λ, ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β. Σωστ απάντηση είναι η γ. μονάδες ανεξαρττως δικαιολόγισης Έστω το μέτρο της ταχύτητας με την οποία εκρέει το νερό από την οπ στον πυθμένα του δοχείου. h h Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου Κ που βρίσκεται στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού στο δοχείο και ενός σημείου που βρίσκεται αμέσως έξω από την οπ, θεωρώντας ως στάθμη αναφοράς για τη μέτρηση των υψών τον πυθμένα του δοχείου. Συνεπώς έχουμε: () μόριο Επειδ το εμβαδόν της ελεύθερης επιφάνειας του νερού στο δοχείο είναι πολύ μεγαλύτερο από το εμβαδόν της οπς ισχύει:. Συνεπώς η σχέση () γράφεται. Σελίδα από
Έστω το μέτρο της ταχύτητας του νερού σε ένα σημείο Μ που βρίσκεται σε απόσταση κάτω από την οπ και το εμβαδόν της φλέβας του νερού στη θέση αυτ. Επειδ η ταχύτητα ρος του νερού στη θέση Μ είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα ρος του νερού στη θέση Λ το εμβαδόν διατομς της φλέβας του νερού έχει μειωθεί. Εφαρμόζοντας την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ των σημείων Λ και Μ, θεωρώντας ως στάθμη αναφοράς για τη μέτρηση των υψών το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Μ, έχουμε: με τη βοθεια της σχέσης () gh gh υ Μ υ Μ 8gh () μόριο Από την εξίσωση της συνέχειας για τα σημεία Λ και Μ προκύπτει: Α υ Α υ Λ Λ Μ Μ ΑΜ υλ Α από τις σχέσεις () και () gh AΛ υμ AΛ 8gh μόριο 0,5μόρια Α A Λ Α A Λ A A Λ Παρατρηση: το ερώτημα μπορεί να απαντηθεί και με εφαρμογ της αρχς διατρησης της ενέργειας Β. Α. Σωστ απάντηση είναι η α. μονάδα ανεξαρττως δικαιολόγησης Η ροπ αδράνειας του συστματος την κοπ του νματος είναι ίση με: ράβδου,zz δακτυλίου, zz r 6 μόριο 8 () Σελίδα από
Αντίστοιχα, για τη ροπ αδράνειας του συστματος την κοπ του νματος ισχύει: ράβδου,zz δακτυλίου, zz () Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων () και () προκύπτει: 8 Β. Σωστ απάντηση είναι η γ. μόριο ανεξαρττως δικαιολόγησης Έστω η ροπ αδράνεια του συστματος ως προς τον άξονα zz. Κατά τη διάρκεια της κίνησης του συστματος το αλγεβρικά άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων που δέχεται είναι μηδέν, συνεπώς ισχύει η αρχ διατρησης της στροφορμς. Επομένως L L L L L () Για τη κινητικ ενέργεια του συστματος ισχύει: ω ω L μόρια Συνεπώς : L πρiν με τη βοθεια της σχέσης () L πιρν Σελίδα από
Β. Α. Σωστ απάντηση είναι η γ. μόριο ανεξαρττως διακιολόγησης Έστω η ορμ της σφαίρας Α την κρούση και οι ορμές των σφαιρών Α και Β αντίστοιχα την κρούση. p p p Η ορμ του συστματος των δύο σφαιρών διατηρείται κατά την κρούση. Συνεπώς ισχύει: (). Από τη σχέση () φαίνεται ότι από το διανυσματικό άθροισμα των ορμών των σφαιρών την κρούση προκύπτει η ορμ της σφαίρας Α την κρούση. Συνεπώς για τα μέτρα τους ισχύει: p p p p p συνφ p p p p p συνφ (). Αφού η κρούση είναι ελαστικ ισχύει: (). Από τις σχέσεις () και () με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει:. Σελίδα από
B. Σωστ απάντηση είναι η β. μόριο ανεξαρττως δικαιολόγησης Από τη σχέση () προκύπτει: υ υ υ υ υ υ υ μόριο μόριο ΘΕΜΑ Γ Γ. Συγκρίνοντας τις δεδομένες εξισώσεις με τη γενικ εξίσωση του αρμονικού κύματος προκύπτει μόριο μόριο μόριο, και Επομένως η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι: μόριο μόριο Γ. Οι θέσεις των κοιλιών σε ένα στάσιμο κύμα δίνονται από τη σχέση: x κ λ κ κ Ζ μόριο Για τις ζητούμενες κοιλίες ισχύει: x x κ x Γ x κ x Δ 0,06 κ 0,06 0,7 κ,5 Γ x Δ μόριο μόριο Οι δεκτές τιμές που προκύπτουν για τον συντελεστ κ είναι : κ =, κ =, κ =, άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι τρεις κοιλίες, που βρίσκονται στις θέσεις 0, 0, 0, xκ 0,, x 0,8 κ, xκ 0,, αντίστοιχα. μόριο μόριο μόριο Σελίδα 5 από
Γ. Έστω οι διαδοχικές κοιλίες Α και Β του στάσιμου κύματος που φαίνονται στο παρακάτω σχμα κάποια χρονικ στιγμ που βρίσκονται σε ακραία θέση της ταλάντωσς τους. μόρια Όπως φαίνεται από το σχμα η ελάχιστη απόσταση δυο διαδοχικών κοιλιών σε ένα στάσιμο κύμα είναι ίση με: μόρια μόρια όταν τα σημεία διέρχονται από τη θέση ισορροπίας τους. Η μέγιστη μεταξύ τους απόσταση είναι : μόρια μόριο Γ. Η απομάκρυνση της κοιλίας στη θέση x=0 τη χρονικ στιγμ είναι μόρια Οι θέσεις των κοιλιών έχουν βρεθεί στο ερώτημα (β). Για την ταχύτητα της κοιλίας στη θέση x=0 τη χρονικ στιγμ ισχύει: Σελίδα 6 από
μόρια μόριο Το ζητούμενο στιγμιότυπο φαίνεται στο παρακάτω σχμα. μόρια 0,7 ΘΕΜΑ Δ Δ. Στο δίσκο ασκούνται το βάρος του w, η κάθετη δύναμη στριξης N, η στατικ τριβ T, από το οριζόντιο δάπεδο, η τάση Τ από το οριζόντιο νμα ΑΓ και η και τη δύναμη F από το ελατριο. Η τροχαλία δέχεται το βάρος της w, την τάση Τ από το οριζόντιο Τ από το κατακόρυφο νμα ΔΖ και τη δύναμη από τον άξονά της νμα ΑΓ, την τάση Στο σώμα Σ ασκούνται το βάρος του w και η τάση Τ από το νμα ΔΖ. F. Σελίδα 7 από
N Α Τ Τ Γ F. Λ Δ Ν F Ο T, w Τ Επειδ τα νματα είναι αβαρ ισχύει: T T () και T T () w Το σύστημα ισορροπεί, άρα Ζ Τ Για το σώμα Σ ισχύει: ΣF Σ 0 w Σ T 0 T g T 0N () Οι δυνάμεις w και F δεν δημιουργούν ροπ ως προς τον άξονα περιστροφς, άρα για την τροχαλία ισχύει: Στ (o) 0 T R T R 0 T R T R με τη w βοθεια των σχέσεων (), () και () προκύπτει: T T T 0N Στο δίσκο, οι δυνάμεις w, N και F δεν δημιουργούν ροπ ως προς τον άξονα περιστροφς, άρα ισχύει: Σ τ (Κ) 0 T R Tστ, R 0 Tστ, T T στ, 0Ν και ΣF x 0 T Tστ, - Fελ 0 Fελ T Tστ, F ελ 60N. Έστω Δ η παραμόρφωση του ελατηρίου από το φυσικό του μκος. Ισχύει: F ελ F ελ k Δ Δ Δ 0,. k Σελίδα 8 από
Συνεπώς για τη δυναμικ ενέργεια του ελατηρίου U ελ προκύπτει : U ελ k Δ U ελ J Δ. N Α Κ T a c, a T a, Ο Γ Δ T F. T, w a w Ζ T a Από τη στιγμ που αφαιρείται το ελατριο, οι τάσεις των νημάτων, η δύναμη που ασκείται από τον άξονα της τροχαλίας και η στατικ τριβ στο δίσκο αλλάζουν τιμές. Έτσι, στο δίσκο ασκούνται το βάρος του w, η κάθετη δύναμη στριξης N, η στατικ τριβ T, από το οριζόντιο δάπεδο και η τάση T από το οριζόντιο νμα ΑΓ. Η τροχαλία δέχεται το βάρος της w, την τάση T νμα ΔΖ και τη δύναμη από τον άξονά της η τάση T από το νμα ΔΖ. από το οριζόντιο νμα ΑΓ, την τάση T από το κατακόρυφο F. Στο σώμα Σ ασκούνται το βάρος του w και Επειδ τα νματα είναι αβαρ ισχύει: T T () και T T (5) Για το σώμα Σ ισχύει: ΣFΣ α g Τ α T g - a (6) w Σελίδα 9 από
Επειδ το νμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας, το μέτρο α ε της επιτρόχιας επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας της τροχαλίας είναι ίσο με το μέτρο α της επιτάχυνσης του σώματος Συνεπώς: a a a ε,τρ a aγων,τρ R a, (7) R Άρα για την τροχαλία ισχύει: Στ (o) c,τρ a γων,τρ a T R T R R με τη βοθεια των σχέσεων () και (5) R με τη βοθεια της σχέσης (7) Τ Τ α (8) Επειδ το νμα δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια του δίσκου το μέτρο α ε της επιτρόχιας επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας της τροχαλίας είναι ίσο με το μέτρο α Α της επιτάχυνσης του ανώτερου σημείου Α του κυλίνδρου.συνεπώς: a a A a (9) A a ε,τρ Όμως για το ανώτερο σημείο του δίσκου ισχύει: υα υ c, δ a aα a c,κυλ με τη βοθεια της σχέσης (9) ac, δ (0) Για τον κύλινδρο ισχύει: Στ α (Κ) c,δ γων,δ Τ R T - Tστ, ac,δ () και ΣFx Μ αc,δ T Tστ, Μ αc,δ () dυ dt T Α στ, dυc, δ dt Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων () και () προκύπτει: Μ Μ Μ T α c,δ T αc,δ με τη βοθεια της σχέσης (0) T α () 8 Από τη σχέση (8) με τη βοθεια των σχέσεων (6) και (), προκύπτει: Μ Μ g g - a α α g ( )α a 8 8 Μ 8 a Δ. Από τη σχέση (0) προκύπτει ότι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του δίσκου έχει μέτρο ίσο με αc,δ. Ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, συνεπώς για το μέτρο της αc,δ rad γωνιακς επιτάχυνσης του α γων,δ ισχύει αγων,δ 0 R R R a c,δ R Σελίδα 0 από
Για το μέτρο της ταχύτητας υ c, ισχύει: υ c, αc,δ Δt υ c, ( - 0) Για το μέτρο της γωνιακς ταχύτητας ω του κέντρου μάζας του δίσκου τη χρονικ στιγμ t =, υ c, του δίσκου τη χρονικ στιγμ t =, ισχύει: υc, rad ω ω R 0 Από τη χρονικ στιγμ t = και, στον δίσκο ασκούνται το βάρος του w, η κάθετη δύναμη στριξης N, και οι δυνάμεις F και F που αποτελουν ζεύγος δυνάμεων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχμα. N F a c. F, c. w Ισχύει: Στ (Κ) α c,δ γων,δ F R R a γων,δ F a γων,δ R rad a γων,δ 5, Άρα για το μέτρο της γωνιακς ταχύτητας ω του δίσκου τη χρονικ στιγμ t = ισχύει: ω ω αγων, δ Δt ω ω αγων,δ (t t ) ω 0 rad Σελίδα από
Επίσης ισχύει ΣF F F 0 άρα το κέντρο μάζας του δίσκου εκτελεί ευθύγραμμη x - ομαλ κίνηση με ταχύτητα μέτρου υc, υc, μόρια Συνεπώς για το πηλίκο της κινητικς ενέργειας του δίσκου λόγω της στροφικς κίνησης προς την κινητικ ενέργεια του δίσκου λόγω της μεταφορικς κίνησης, τη χρονικ στιγμ t = ισχύει: Ιω στρ μετ Μυc, Μ R ω R ω στρ μετ υ Μ υ μετ c, μετ c,,5 Δ. Στο χρονικό διάστημα από t o =0 έως και τη χρονικ στιγμ t = για τη στροφορμ του δίσκου ισχύει: L ω L R aγων,δ t L,6t (S.) Στο χρονικό διάστημα από t = έως και τη χρονικ στιγμ t = για τη στροφορμ του κυλίνδρου ισχύει: L ω L ( ω α Δ ) L ω α t - ) γων,κυλ ( L,6 0,8t (S.) γων,κυλ t t Σελίδα από
Με βάση τα παραπάνω, η στροφορμ του κυλίνδρου σε συνάρτηση με τον χρόνο παριστάνεται στο παρακάτω διάγραμμα. g L(,8, ) Σωστ αλλαγ κλίσης μόριο 0 t () Δ5. x a c,δ c, Α F, a, w N T, Θ.Ι Στην θέση ισορροπίας (Θ.Ι) της ταλάντωσης ισχύει: Στ 0 T 0 και στ Α Τ.Θ ΣF x 0 T F 0 F 0, άρα η Θ.Ι της ταλάντωσης ταυτίζεται με τη θέση φυσικού στ ε λ ελ μκους του ελατηρίου Στην τυχαία θέση ( Τ.Θ) της ταλάντωσης ισχύει: ΣF Μ Fελ Tστ, Μ α c, δ () και x α c,δ Σελίδα από
Στ α γων,δ Τ στ, R R a γων,δ λαμβάνοντας υπόψη ότι α c, δ α γων,δ R () προκύπτει a γων,δ (5). Τ στ, Απο τις σχέσεις () και (5) προκύπτει F ελ T T στ, στ, Fελ Tστ, (6) Άρα στην τυχαία θέση. ΣF x F ελ Tστ, F ελ λόγω της σχέσης (6) ΣF x Fελ ΣF x F ελ k ΣF x x Άρα, το κέντρο μάζας του κυλίνδρου εκτελεί απλ αρμονικ ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς k D 00 N Για την κυκλικ συχνότητα της ταλάντωσης ισχύει: D Μ ω D ω Μ 5 rad ω ενώ για το πλάτος της ταλάντωσης ισχύει Α Δ 0, Συνεπώς η μέγιστη τιμ της ταχύτητας ταλάντωσης του κέντρου μαζας του δίσκου είναι: υ ω Α ax υ ax Σελίδα από