ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 2271035468
Σημειακή Διαδικασία 0 T 1 T 2 T 3 T T k-1 T k Χρόνος μεταξύ δύο γεγονότων U k = T k T k-1 0 αριθμός γεγονότων : N(t) t
Στοχαστική Διαδικασία Μια διαδικασία περιγράφεται επίσης από τον αριθμό των γεγονότων Ν(t) που συμβαίνουν σε ένα χρονικό διάστημα Ν(t): ο αριθμός των γεγονότων στο χρ. διάστημα [0,t] Ν((α,β])=Ν(β)-Ν(α) N = 1 ( t) 1{ T t} = 1{ T1 t} + 1{ T2 t} + K+ { T t} 1 { N( t) = } = { T t < T+ 1 } Μέσος αριθμός γεγονότων πριν την στιγμή t: [ N ( )] m ( t) = E t
Στοχαστική Διαδικασία Θεωρείστε ένα σύστημα το οποίο εξελίσσεται τυχαία στο χρόνο και έστω ότι παρατηρούμε το σύστημα στους χρόνους = 0, 1, 2, 3,. Έστω X η (τυχαία) κατάσταση του συστήματος στο χρόνο. Η ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών {X 0, X 1, X 2, } ονομάζεται στοχαστική διαδικασία διακριτούχρόνου και γράφεται {Χ, 0} Αν με Ε συμβολίσουμε το σύνολο όλων των δυνατών τιμών που μπορεί να πάρει η X για όλα τα, τότε το Ε ονομάζεταιχώροςκαταστάσεων της στοχαστικής διαδικασίας {Χ, 0}
Στοχαστική Διαδικασία Παραδείγματα σ.δ.δ.χ. X : η θερμοκρασία στην πόλη της Χίου την ημέρα στις 12:00 το μεσημέρι. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε =(-20,50) X : το αποτέλεσμα της -οστής ρίψης ενός κανονικού ζαριού. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε = {1, 2, 3, 4, 5, 6} X : ο δείκτης του Χ.Α.Α. την ημέρα. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε = [0, ) X : ο αριθμός των εφημερίδων «ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ» που πουλάει ένα περίπτερο την ημέρα. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε = {0, 1, 2, 3,.} διακριτή σ.δ. με διακριτό χώρο καταστάσεων διακριτή σ.δ. με συνεχή χώρο καταστάσεων
Στοχαστική Διαδικασία Θεωρείστε ένα σύστημα το οποίο εξελίσσεται τυχαία στο χρόνο και έστω ότι παρατηρούμε το σύστημα σε όλες τις χρ. στιγμές t 0και έστω X(t) η κατάσταση του συστήματος χρ. στιγμή t. Το σύνολο των καταστάσεων στις οποίες μπορεί να βρεθεί το σύστημα σε οποιαδήποτε χρ. στιγμή t καλείται χώρος καταστάσεων και συμβολίζεται με Ε. Η διαδικασία {X(t), t 0} καλείται στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου με χώρο καταστάσεων Ε.
Στοχαστική Διαδικασία Παραδείγματα σ.δ.σ.χ. Έστω μια μηχανή η οποία μπορεί να λειτουργεί ή να μην λειτουργεί. Εάν θεωρήσουμε ως X(t) την κατάσταση της μηχανής στο χρόνο t τότε η {X(t), t 0} είναι μια σ.δ.σ.χ με χώρο καταστάσεων Ε =(λειτουργία, μη-λειτουργία) Έστω X(t) ο αριθμός των πελατών που μπαίνουν σε ένα εμπορικό κατάστημα στο χρόνο t τότε η {X(t), t 0} είναι μια σ.δ.σ.χ με χώρο καταστάσεων Ε =(0, 1, 2, } Έστω X(t) η θερμοκρασία στην πόλη της Χίου στο χρόνο t τότε η {X(t), t 0} είναι μια σ.δ.σ.χ με χώρο καταστάσεων Ε =(-20,50) συνεχής σ.δ. με διακριτό χώρο καταστάσεων συνεχής σ.δ. με συνεχή χώρο καταστάσεων
Στοχαστική Διαδικασία Μια διαφορετική προσέγγιση: Ορισμός: Η συνάρτηση Χ(ω,t) όπου ω το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και t ο χρόνος, λέγεται στοχαστική διαδικασία. Αν t = t 0 μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, τότε η Χ(ω,t 0 ) = Χ (ω) είναι τ.μ. Αν ζ = ζ 0 είναι ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα του πειράματος τύχης, τότε η Χ(ζ 0, t) = x(t) είναι μια συνάρτηση του χρόνου Χ(ζ 1, t) * Χ(ζ 1, t 0 ) Χ(ζ 2, t) Χ(ζ 3, t) * Χ(ζ 2, t 0 ) t 0 * Χ(ζ 3, t 0 )
Διαδικασία Poisso Ο αριθμός των γεγονότων Ν(t) ακολουθεί την κατανομή Poisso αν οι χρόνοι U i ακολουθούν εκθετική κατανομή { } { } 1 ) ( + > = t T t N { } { } 1 3 2 1 0 1 1 όπου ) ( + + + + + + + + = > = U U U U T T t T t N K ( ) ( ) ( ) t T t T t N > > = = + Pr Pr ) ( Pr 1 ( )! ) ( Pr e t N t λ λ = =
Διαδικασία Poisso Poisso λ 1 Υπέρθεση Poisso (λ 1 + λ 2 ) Poisso λ 2 Poisso λp Διαχωρισμός Poisso λ Poisso λ(1-p) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ανεξάρτητες τ.μ. Χ, Υ Pr k λ λ 1 λ 1 λ2 2 ( X = k) = e, Pr( Y = k) = e, Pr( X + Y = ) =? k! k k!
ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Μαρκοβιανές Αλυσίδες Δικριτού Χρόνου
Ορισμός (Μαρκοβιανή Αλυσίδα) Μια ακολουθία τ.μ. (X ) με τιμές στο Ε, είναι μια Μαρκοβιανή Αλυσίδα αν για οποιοδήποτε k > 0 και για οποιαδήποτε ακολουθία i, j, i 0, i 1,, i -1 στοιχείων του Ε, έχουμε: ( X + 1= j X0 = i0, X1= i1, X2 = i2, K, X = i) = Pr( X+ = j X = i) Pr 1 Μαρκοβιανή ιδιότητα Αν p ( ) = Pr( X j) τότε η δεσμευμένη συνάρτηση μάζας πιθανότητας j = p jk ( m,) = Pr( X = k X = j) 0 m ονομάζεται συνάρτηση πιθανοτήτων μετάβασης της ΜΑ Ομογενής ΜΑ m
Για μια ομογενή ΜΑ χρησιμοποιούμε την p jk = m+ m = ( ) Pr( X = k X j) και ονομάζεται πιθανότητα μετάβασης -βημάτων Λόγω της Μαρκοβιανής ιδιότητας μπορούμε να ορίσουμε την από κοινού πιθανότητα ( X0 = i0,x1= i1,x2 = i, K,X ) = i =... = p i (0) p i i K p 0 0 1 i 1 i Pr 2 Αυτό ουσιαστικά σημαίνει ότι μπορούμε να υπολογίσουμε οποιαδήποτε από κοινού πιθανότητα θέλουμε αρκεί να γνωρίζουμε την αρχική κατανομή ( α() ) p i ( 0) = Pr( X0= i) i και τις πιθανότητες μετάβασης μεταξύ των καταστάσεων
Δηλαδή: [ p (0) p (0) K ] ή [ a(0) (1) K] α= p( 0) = 1 p00 p01 K P = [ p ] ij = p 10 p 11 K M M M 0 a Το άθροισμα κάθε γραμμής του πίνακα P είναι j E p ij = Pr( X = 0 X 1 = i) + Pr( X = 1 X 1= i) + K= 1 Ένας τέτοιος τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται στοχαστικός Παραδείγματα 1-5
Πιθανότητα -βημάτων: Γνωρίζουμε ότι p ij = m+ m = ( ) Pr( X = j X i) Pr(η διαδικασία πάει στην κατάσταση k στοm-οστό βήμα, δοθέντος ότιχ 0 = i) = p ik (m) Pr(αν η διαδικασία φτάνει στην κατάσταση j μετά από (m+) βήματα, δοθέντος ότιχ m = k)=p kj () Η μαρκοβιανή ιδιότητα υποδεικνύει ότι τα δύο παραπάνω γεγονότα είναι ανεξάρτητα. Από το θεώρημα ολικής πιθανότητας: ij( m+ ) = k E p p ( m) p ( ) ik Chapma-Kolmogorov kj
Αν τώρα συμβολίσουμε με P() τον πίνακα με στοιχεία p ij (), τότε με βάση τα προηγούμενα προκύπτει : P ( ) = P P( 1) = P Μπορούμε ακόμα να υπολογίσουμε την περιθώρια σ.μ.π. της τ.μ.χχ, με βάση τις πιθανότητες -βημάτων και την αρχική κατανομή p Η περιθώρια σ.μ.π. της.χ σαν διάνυσμα: και με βάση τα προηγούμενα Παραδείγματα 6, 7 j( ) = Pr( X = j) = Pr( X0 = i) Pr( X = j X0 i E = i E a( i) p ij ( ) ή i E = i) a( i) p ( i,j) [ p ( ) p ( )...] p( ) = 1 0 p( ) = α P( ) p( ) = α P
Για πολλές περιπτώσεις αλλά όχι για όλες τις Μ.Α. ισχύει: π Ταξινόμηση Καταστάσεων j = p = j lim ( ) j 01,, 2 Ορισμός: Μια κατάσταση i ονομάζεται μεταβατική (ή μη-επαναληπτική) αν και μόνο αν υπάρχει θετική πιθανότητα η διαδικασία να μην ξαναγυρίσει σε αυτή Γενικά για μια πεπερασμένη Μ.Α. περιμένουμε ότι μετά από ένα μεγάλο αριθμό βημάτων, η πιθανότητα η αλυσίδα να βρεθεί σε μια μεταβατική κατάσταση τείνει στο 0, ανεξάρτητα από την αρχική κατάσταση. ΈστωΧ ji ο αριθμός των επισκέψεων στην i από την j. Τότε Αν η i είναι μεταβατική τότε E[ X ji ] = =0 p ji ( ) =0 p ji( ) < j και άρα p ( ) ji 0
Ορισμός: Μια κατάσταση i ονομάζεται επαναληπτική αν και μόνο αν ξεκινώντας από την i η διαδικασία θα επιστρέψει κάποια στιγμή σε αυτή με πιθανότητα 1. Για τις επαναληπτικές καταστάσεις είναι σημαντικός ο χρόνος επιστροφής σε αυτές Έστω f ij ()=Pr(ηπρώτηεπίσκεψηαπότην iστην jγίνεταιμεακριβώς βήματα) τότε p ij ( ) = k= 1 f ij ( k) p jj ( k) 1
Έστω f ij = Pr(ξεκινώνταςαπότην iναφτάσωκάποιαστιγμήστην j) τότε f ij = =1 f ij ( ) Αν f ii = 1 τότε η i είναιεπαναληπτική* Αν f ii <1 τότε η i είναιμεταβατική* Έστω f ii = 1 τότε ορίζεται ομέσοςχρόνοςεπανάληψης της i (µ i ή m i ή v i ) µ i = fii( ) = 1 Αν µ i = τότε η i είναιμηδενικάεπαναληπτική Αν µ i < τότε η i είναιθετικάεπαναληπτική*
Ορισμός: Για μια επαναληπτική κατάσταση i ισχύει p ii () > 0 για κάποιο 1. Ορίζουμε ως περίοδο της i και συμβολίζουμε με d i, το μέγιστο κοινό διαιρέτη των θετικών ακεραίων για τους οποίους p ii () > 0 Ορισμός: Μια επαναληπτική κατάσταση i είναι απεριοδική αν d i = 1 και περιοδική αν d i > 1* Ορισμός: Μια κατάσταση i είναιαπορροφητική αν p ii = 1 i μεταβατική επαναληπτική μηδενικά θετικά περιοδική απεριοδική περιοδική απεριοδική
Ορισμός: Δύο καταστάσεις i και j λέμε ότι επικοινωνούν, αν υπάρχει τουλάχιστον ένα μονοπάτι που οδηγεί από την i στην j και αντίστροφα. Ορισμός: Ένα σύνολο C από καταστάσεις που επικοινωνούν είναι ένα κλειστό σύνολο αν καμία κατάσταση έκτος του C δεν είναι προσβάσιμη από καμία κατάσταση εντός τουc.* Ορισμός: Μια Μ.Α. ονομάζεται μη-διαχωρίσιμη (ή μη-αναγωγίσιμη ή αμετάπτωτη) αν κάθε κατάστασή της είναι προσβάσιμη από οποιαδήποτε άλλη σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Αν μια κατάσταση μιας μη-διαχωρίσιμης Μ.Α, είναι απεριοδική τότε όλες της οι καταστάσεις είναι απεριοδικές και η Μ.Α. λέγεται απεριοδική. Ομοίως περιοδικη, μεταβατική, επαναληπτική. Παράδειγμα 8
Οριακή Κατανομή Οι πιθανότητες μετάβασης -βημάτων μιας πεπερασμένης, μη διαχωρίσιμης και απεριοδικής Μ.Α. (εργοδικής) γίνονται ανεξάρτητες από την κατάσταση i και από το όταν ö Όταν ö η οριακή πιθανότητα είναι: π j = lim pj( ) = lim α( i) pij ( ) = ( i) α i i = 1 ( ) lim p ( ) = lim p ( ) ij ( ) lim p ( ) Αυτό σημαίνει ότι όταν ö ο P συγκλίνει σε έναν πίνακα Π με όμοιες γραμμέςπ=[π 0 π 1 ] Αν ισχύει και τότε το π ονομάζεται οριακή κατανομή j E π = 1 j ij ij
Από το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας έχουμε ότι : και αφού παίρνουμε π lim j p j ( ) = π = lim p ( 1) = π p ή i i ij j Προκύπτει λοιπόν το σύστημα γραμμικών εξισώσεων: j π= π P j = i p ( ) p ( -1) p π= π P π = 1 i i i ij Οποιοδήποτε διάνυσμα x ικανοποιεί το σύστημα ονομάζεται στάσιμη κατανομή
Θεώρημα: Για μια απεριοδική Μ.Α. το lim p υπάρχει Θεώρημα : Για οποιαδήποτε μη-διαχωρίσιμη και απεριοδική Μ.Α. οι οριακές πιθανότητες π j = lim p j π j = ( ) = lim p ( ) ij j () υπάρχουν και είναι ανεξάρτητες από την αρχική κατανομή α Θεώρημα : Για μια εργοδική Μ.Α. η οριακή κατανομή πιθανοτήτων ονομάζεταιπ=[π 0 π 1 ] είναι η μοναδική στάσιμη κατανομή. Παραδείγματα 9-12