ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας Τηλ:

2 Κίνηση Brow Θα επιχειρήσουμε να μεταφράσουμε σε συνεχή χρόνο τα αποτελέσματα που προέκυψαν κατά τη μελέτη μοντέλων διακριτού χρόνου. Το πρώτο που πρέπει να περιγράψουμε είναι πως περίπου θα κινείται η τιμή του υποκείμενου τίτλου (π.χ. μετοχής) σε συνεχή χρόνο. Στο διωνυμικό μοντέλο περιόδων, αν συμβολίσουμε με την τιμή της μετοχής στο χρόνο, είχαμε υποθέσει ότι ( ) ( ) b, p a, Κάτι απλό που μπορούμε τώρα να κάνουμε είναι να πάρουμε το «πολύ μικρό» ώστε να προσεγγίσουμε ένα μοντέλο συνεχούς χρόνου -p

3 Κίνηση Brow Το παραπάνω μοντέλο είναι πολλαπλασιαστικό Αν θεωρήσουμε την στοχαστική διαδικασία (σ.δ.) = l τότε προκύπτει ένα απλούστερο προσθετικό μοντέλο, Χ = ( ) + la ή ( ) + lb. Έστω λοιπόν Χ, 0 μια στοχαστική διαδικασία για την οποία ισχύει ότι ( ) ( ) c, d, p -p Αν θέλουμε η Χ να μην παρουσιάζει «άλματα» θα πρέπει όταν 0 τότε και c,d 0. Επίσης είναι λογικό να υποθέσουμε ότι το p θα είναι «κοντά» στο 0.5

4 Κίνηση Brow Ένα αρκετά ενδιαφέρον μοντέλο προκύπτει αν υποθέσουμε ότι: ( 0 = 0 ή 0 ) για κάποιες σταθερές παραμέτρους μ, σ. Θέτοντας Υ = ή 0 ανάλογα με το αν η Χ αυξάνεται ή μειώνεται κατά το -οστό χρονικό διάστημα, θα ισχύει ότι.: p -p p,,,,,, ) ( ) ( ) ( p p ) ( p p Y p p Y Y Y

5 Κίνηση Brow Αν πάρουμε, τότε θα ισχύει: Y p N(0,) p ( p) p ( p) p και άρα η κατανομή της Χ (όταν 0) είναι ίδια με την κατανομή μιας τ.μ. που έχει την μορφή: Z όπου Ζ~Ν(0,) Δηλαδή ~ N(, )

6 Κίνηση Brow Δύο τυχαίες πραγματοποιήσεις της Χ s, s [0, ] (για = 00 και 000): Στα παραπάνω σχήματα δίνεται το γράφημα τυχαίων «διαδρομών» (pas) της Χ s, s [0, ]. Όπως έχουμε επισημάνει και παραπάνω, κάθε πραγματοποίηση της Χ s, s [0, ] μπορεί να θεωρηθεί ως η τυχαία συνάρτηση g ω (s) = s (ω), s [0, ] για κάποιο ω Ω

7 Κίνηση Brow Είναι ενδιαφέρον ότι για την διαδικασία που προκύπτει θεωρώντας 0: προσαυξήσεις = Χ +y Χ y σε κάθε χρονικό διάστημα, η αύξηση ή η μείωση της Χ είναι ανεξάρτητη από το παρελθόν, και άρα η τ.μ. Χ +y Χ y, > 0 θα είναι ανεξάρτητη από τις Χ u, 0 u y Χ ~ N(μ, σ ) και επομένως και Χ +y Χ y ~ N(μ, σ ) για κάθε y 0 Δηλαδή οι προσαυξήσεις Χ +y Χ y είναι ανεξάρτητες και κανονικές Αποδεικνύεται ότι πράγματι υπάρχει και μπορεί να οριστεί μια διαδικασία με τα συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. Ειδικότερα έχουμε τον ακόλουθο ορισμό που προκύπτει φυσιολογικά από τα παραπάνω

8 Κίνηση Brow Ορισμός : Μία στοχαστική διαδικασία Χ, 0 (με τιμές στο ΙR) καλείται κίνηση Brow με παραμέτρους μ ΙR (τάση - drf paramr) και σ > 0 (μεταβλητότητα - volaly) και συμβολίζουμε. ΒΜ(μ,σ ) αν ισχύει ότι, για κάθε y 0, > 0, ) Η τ.μ. Χ +y Χ y ~ N(μ, σ ) ) Η τ.μ. Χ +y Χ y, είναι ανεξάρτητη από τις Χ u, 0 u y (δηλ. ανεξ. της σ(χ u, u y)) Συνήθως λαμβάνεται Χ 0 = 0 (ή 0 ).

9 Κίνηση Brow Παρακάτω δίνονται 0 τυχαίες διαδρομές (πραγματοποιήσεις) μιας κίνησης Brow με μ =, σ = (για [0,]) π.χ. στο χρόνο = 0.5, η τιμή Χ 0.5 θα ακολουθεί Ν(0.5μ, 0.5σ ) = Ν(0.5, 0.5), στο χρόνο = η Χ θα ακολουθεί Ν(μ, σ ) = Ν(, ) κ.ο.κ.

10 Κίνηση Brow Αν Χ είναι μια κίνηση Brow τέτοια ώστε Χ 0 = 0 τότε Αν Χ είναι μια κίνηση Brow τέτοια ώστε Χ 0 = τότε Επίσης ισχύει ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ για μια κίνηση Brow που έχει αρχίσει από το σημείο d y f f E y ) ( d y f f E y ) ( d y f f E f E f E y 0 ) ( E

11 Κίνηση Brow Παράδειγμα: ένα μοντέλο για τις τιμές των χρεογράφων Ένα μοντέλο για τις τιμές των χρεογράφων, π.χ. τις τιμές των μετοχών, είναι ότι η τιμή μιας μετοχής την χρονική στιγμή δίνεται από τον τύπο όπου r και σ είναι θετικές πραγματικές σταθερές, 0 μια αρχική τιμή και Χ μια κίνηση Brow. Ποια είναι η μέση τιμή της τιμής της μετοχής την χρονική στιγμή ; Είναι η margal ως προς την F ; Δεν είναι, γιατί θα έπρεπε το αποτέλεσμα να είναι 0. Το αποτέλεσμα αυτό εξαρτάται από το μέτρο πιθανότητας P. Υπάρχουν όμως μέτρα πιθανότητας Q κάτω από τα οποία η είναι margal. r r r d d E r 0

12 Γεωμετρική κίνηση Brow Αν και η κίνηση Brow είχε χρησιμοποιηθεί στο παρελθόν για να περιγράψει την εξέλιξη τιμών αγαθών ή μετοχών, η συγκεκριμένη ανέλιξη δεν είναι κατάλληλη για την περιγραφή τέτοιων φαινομένων διότι:. μπορεί να λάβει και αρνητικές τιμές, κάτι που δεν είναι αποδεκτό, ενώ. η αύξηση ή μείωση μιας τιμής είναι, σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, ανεξάρτητη από την ίδια την τιμή (π.χ. είναι το ίδιο πιθανό το ενδεχόμενο «η τιμή 00 να κινηθεί στο 00+0=0 σε διάστημα μήκους» με το ενδεχόμενο «η τιμή 0 να κινηθεί στο 0+0=0 σε διάστημα μήκους») κάτι που δεν φαίνεται λογικό και δεν ταιριάζει σε πραγματικά δεδομένα. Αντίθετα, θα περίμενε κανείς η ποσοστιαία αύξηση ή μείωση της τιμής να είναι ανεξάρτητη από την τιμή (δηλαδή το 00 πάει στο 00.=0 με την ίδια πιθανότητα που το 0 πάει στο 0.=). Θα πρέπει λοιπόν, η σ.δ. να μην παίρνει αρνητικές τιμές και η ποσοστιαία αύξηση ή μείωση της τιμής / (-) να είναι ανεξάρτητη από την τιμή

13 Γεωμετρική κίνηση Brow Ορισμός : Μία στοχαστική διαδικασία, 0 καλείται γεωμετρική κίνηση Brow με παραμέτρους μ ΙR (τάση - drf) και σ > 0 (μεταβλητότητα - volaly) και συμβολίζουμε. GΒΜ(μ,σ ) αν ισχύει ότι, για κάθε y 0, > 0, y ) Η τ.μ. l ~ N, ( 0 = ) y y ) Η τ.μ. είναι ανεξάρτητη από τις u, 0 u y (δηλ. ανεξ. της σ(χ u, u y)) y

14 Γεωμετρική κίνηση Brow Αν Χ, 0 ~ BM(μ,σ ), τότε η, 0 ~ GBM(μ,σ ). Επομένως αν η, 0 ~GBM(μ,σ ) τότε η ακολουθεί τη λογαριθμοκανονική κατανομή, δηλαδή και και, ~ l N Var E k k k E

15 Γεωμετρική κίνηση Brow 0 πραγματοποιήσεις μιας κίνησης Brow Χ, [0,], μ = 0., σ = 0.8, και 0 πραγματοποιήσεων της αντίστοιχης γεωμετρικής κίνησης Brow =, [0,].

16 Γεωμετρική κίνηση Brow Παρακάτω δίνονται τα συγκριτικά γραφήματα των περιοχών που βρίσκονται οι τιμές μιας ~BM(μ = 0.5, σ = ) (αριστερό σχήμα) και μιας ~ GBM(μ = 0.5, σ = ) (δεξιό σχήμα). Συγκεκριμένα, για [0,], η (αντίστοιχα η ) βρίσκεται κάτω από τις καμπύλες στο αριστερό σχήμα (αντ. δεξιό) με πιθανότητες 0.05, 0.5, 0.5, 0.5, 0.75, 0.875, αντίστοιχα.

17 Γεωμετρική κίνηση Brow Σύμφωνα λοιπόν με τα παραπάνω, ένα σχετικά απλό μοντέλο που μπορεί να περιγράψει την εξέλιξη τιμών χρηματοοικονομικών τίτλων στο χρόνο είναι η γεωμετρική κίνηση Brow. Στην πράξη, πρόκειται για ένα αρκετά αποδεκτό θεωρητικό μοντέλο το οποίο, λόγω της απλότητάς του, χρησιμοποιείται ως βάση για τη θεωρητική μελέτη πολλών προβλημάτων που σχετίζονται με την εξέλιξη τιμών στο χρόνο. Στο μοντέλο διακριτού χρόνου αποδείξαμε ότι ένα παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν μπορεί να αποτιμηθεί, αρκεί να υπάρχει ένα μέτρο Q που κάνει margal την (προεξοφλημένη) διαδικασία των τιμών της μετοχής και επίσης μπορεί να κατασκευαστεί ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο εξασφάλισης (dgg porfolo), δηλαδή ένα χαρτοφυλάκιο που θα έχει τελική αξία (στο χρόνο T) ίση με την αξία του παραγώγου. Τα ίδια βήματα ακολουθούνται και στη συνεχή περίπτωση για αυτό και θα πρέπει να μεταφράσουμε όλες τις έννοιες που είδαμε στο διακριτό Αρκεί να ορίσουμε αυτοχρηματοδοτούμενα χαρτοφυλάκια σε συνεχή χρόνο.

18 Γεωμετρική κίνηση Brow Παράδειγμα (αναπαράσταση αυτοχρηματοδοτούμενου χαρτοφυλακίου σε συνεχή χρόνο). Στο διακριτό χρόνο, αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο καλούμε ένα δυναμικό χαρτοφυλάκιο που στο χρόνο έχει σύνθεση = (ψ, Δ ) με αντίστοιχη αξία τίτλων = ( r, ) και ικανοποιεί την ή ισοδύναμα την V,,,, V όπου V η αξία του χαρτοφυλακίου στο χρόνο.

19 Γεωμετρική κίνηση Brow Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί ισοδύναμα και με την μορφή (προσθέτουμε την παραπάνω κατά μέλη για =,,, k ), V k V k k 0 V V, k,,, Είναι σημαντική η παρατήρηση ότι για να είναι εφικτή η κατασκευή ενός τέτοιου χαρτοφυλακίου θα πρέπει οι, να είναι - μετρήσιμες. Δηλαδή στο χρόνο θα πρέπει η τιμή των διανυσμάτων αυτών να είναι γνωστή και όχι τυχαία μεταβλητή. F

20 Γεωμετρική κίνηση Brow Αν σε συνεχή χρόνο θεωρήσουμε ότι ένα δυναμικό χαρτοφυλάκιο θα έχει σύνθεση = (ψ, Δ ) στο χρόνο, με αντίστοιχη αξία τίτλων = ( r, ) τότε η παραπάνω τελευταία σχέση θα γράφεται, και αν = k, 0, θα μπορούσε να γραφεί στη συμβολική μορφή k V V k k k k r r,,, 0 ] [0, T d d V V r

21 Γεωμετρική κίνηση Brow Επομένως, όπως και στο διακριτό χρόνο κάτω από συνθήκες o-arbrag, ένα call opo είναι ένα προϊόν που αντιγράφεται μέσα από ένα slf-facg porfolo άρα υπάρχει ένα μέτρο πιθανότητας υπό το οποίο η (προεξοφλημένη) τιμή κάθε χρεογράφου στην αγορά ακολουθεί μία διαδικασία margal

22 Κίνηση Brow - margals Θυμηθείτε: () Έστω (Ω, F, P) ένας χώρος πιθανότητας. Μια οικογένεια σ-αλγεβρών F, 0 (που περιέχονται στην F ) με την ιδιότητα F s F για κάθε s, με s καλείται φιλτράρισμα (flrao) ή μελλοντική ιστορία. () Μία στοχαστική διαδικασία Χ, 0 θα καλείται προσαρμοσμένη στην F 0 αν η Χ είναι F μετρήσιμη (δηλαδή σ(χ ) F ) () Μία στοχαστική διαδικασία Χ, 0 θα καλείται margal ως προς το φιλτράρισμα F, 0 (F margal) αν είναι προσαρμοσμένη στο φιλτράρισμα αυτό, Ε( Χ ) <, και E( F s ) = s, s με πιθ.

23 Κίνηση Brow - margals Στη συνέχεια θα λέμε ότι μία διαδικασία Χ, 0 είναι F -BΜ(μ,σ ) αν η διαδικασία αυτή είναι BΜ(μ,σ ), είναι προσαρμοσμένη στην F, 0 και κάθε τ.μ. Χ +s Χ s είναι ανεξάρτητη της F y με y s. Προφανώς μία BΜ(μ,σ ) είναι και F -BΜ(μ,σ ) με F = σ(χ s, s ), το φυσικό της φιλτράρισμα. Στο εξής θα συμβολίζουμε με W, 0, ή (Β, 0) μία στοχαστική διαδικασία που είναι τυπική κίνηση Brow, BΜ(0,). Πρόταση Αν η W, 0 είναι F BΜ(0,) τότε κάθε μία από τις διαδικασίες W (), 0, W (), 0, W (), 0. είναι F margal

24 Ασκήσεις στην Κίνηση Brow Άσκηση. Αν μια στοχαστική ανέλιξη Χ, 0 είναι κίνηση Brow με παράμετρο τάσης μ και μεταβλητότητα σ (και 0 = 0), ποια κατανομή ακολουθούν οι τυχαίες μεταβλητές Χ 3, Χ 6 Χ 4, Χ 7 Χ. Είναι κάποιες από αυτές ανεξάρτητες μεταξύ τους και γιατί; Άσκηση. Αν η ανέλιξη της αξίας μιας μετοχής, [0,T] στο χρονικό διάστημα [0,Τ], Τ > (ο χρόνος μετράται σε έτη), περιγράφεται από μια γεωμετρική κίνηση Brow με παραμέτρους μ = 0.3 (drf) και σ = 0. (volaly), να βρείτε την αναμενόμενη αξία της μετοχής στο χρόνο = 3/ (τρείς μήνες) και την πιθανότητα αξία της μετοχής να είναι μεγαλύτερη από 0 (σήμερα, = 0, έχει αξία 0 = 00). Άσκηση 3. Αν η ανέλιξη της αξίας μιας μετοχής, [0,T] στο χρονικό διάστημα [0,Τ], (ο χρόνος μετράται σε έτη), περιγράφεται από μια γεωμετρική κίνηση Brow με παραμέτρους μ = 0.5 (drf) και σ = 0. (volaly), να βρείτε την πιθανότητα να εξασκηθεί ένα δικαίωμα πώλησης ευρωπαικού τύπου επί της μετοχής αυτής με T=6/ και Κ = 05. (σήμερα, = 0, η μετοχή έχει αξία 0 = 00).