(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής χρόνος y() = L{x()} διακριτός χρόνος y[i] = L{x[i]} Ένα γραμμικό σύστημα είναι ένα συνεχές σύστημα για το οποίο ισχύει η ιδιότητα Φυλλάδιο 2 (1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) Ένα γραμμικό σύστημα L περιγράφεται πλήρως από την κρουστική απόκριση h(, ) = L{δ( )} h[i, i ] = L{δ[i i ]} την οποία ονομάζουμε συνάρτηση συστήματος στο χρόνο. Πράγματι, εκφράζοντας την είσοδο x στη μορφή x() = δ( ) x( ) d x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) i = και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της γραμμικότητας, προκύπτει 1 y() = h(, ) x( ) d y[i] = i = h[i, i ] x[i ] (4) Παριστάνουμε με X(f) και Y (f) τους μετασχηματισμούς Fourier των σημάτων εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα. Ο μετασχηματισμός Fourier x X ορίζεται από τις σχέσεις X(f) = x() e j2πf d X(f) = x[i] e j2πif x() = X(f) e j2πf df x[i] = i= X(f) e j2πif df Θα ορίσουμε τη συνάρτηση συστήματος στη συχνότητα H(f, f ), έτσι ώστε να ισχύει η σχέση Y (f) = H(f, f ) X(f ) df Y (f) = (5) H(f, f ) X(f ) df (6) Η συνθήκη αυτή είναι ικανή και αναγκαία για να είναι το σύστημα γραμμικό, όπως μπορεί να δειχθεί από τη γραμμικότητα των μετασχηματισμών Fourier. Ο μετασχηματισμός Fourier του δεξιά μέλους της (4), αντικαθιστώντας το x με τον αντίστροφο μετασχηματισμό τού X(f), γίνεται Y (f)= h(, )e j2π(f f ) X(f ) dd df Y (f)= h[i, i ]e j2π(if i f ) X(f ) df i,i = Επομένως, η (6) ισχύει για κάθε X(f), αν θέσουμε H(f, f ) = h(, ) e j2π(f f ) dd H(f, f ) = i,i = h[i, i ] e j2π(if i f ) Η συνάρτηση H προκύπτει από την h με δύο μετασχηματισμούς Fourier. Εφαρμόζοντας τους αντίστροφους μετασχηματισμούς, παίρνουμε h(, ) = H(f, f ) e j2π(f f ) dfdf h[i, i ] = H(f, f ) e j2π(if i f ) dfdf (8) 1 Η υπόθεση της συνέχειας στον ορισμό του γραμμικού συστήματος, είναι αναγκαία για την επέκταση της ιδιότητας της γραμμικότητας από πεπερασμένο άθροισμα σε σειρά ή ολοκλήρωμα. (7)

2 2 ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Από την ομοιότητα της (6) με την (4), μπορούμε να δώσουμε την εξής ερμηνεία στη συνάρτηση συστήματος στη συχνότητα: η H(f, f ), σαν συνάρτηση του f, είναι η απόκριση του συστήματος στην κρουστική ως προς τη συχνότητα είσοδο e j2πf δ(f f ) e j2πif δ(f f k) Σύνθεση συστημάτων k= Έστω L 1 και L 2 δύο γραμμικά συστήματα με συναρτήσεις συστήματος h 1 και h 2 αντίστοιχα. Το σύνθετο σύστημα L = L 1 L 2 ορίζεται από τη σχέση L{x()} = L 1 L 2 {x()} L{x[i]} = L 1 L 2 {x[i]} (9) Χρησιμοποιώντας τις (4) και (6) δύο φορές, προκύπτει ότι το σύστημα L έχει συνάρτηση συστήματος στο χρόνο h(, ) = h 1 (, ) h 2 (, ) d h[i, i ] = h 1 [i, i ] h 2 [i, i ] (10) και στη συχνότητα H(f, f ) = H 1 (f, f ) H 2 (f, f ) df H(f, f ) = i = H 1 (f, f ) H 2 (f, f ) df (11) Η συνάρτηση h ονομάζεται σύνθεση των h 1, h 2 στο χρόνο και τη συμβολίζουμε με h 1 h 2, ενώ η συνάρτηση H ονομάζεται σύνθεση των H 1, H 2 στη συχνότητα και τη συμβολίζουμε με H 1 H 2. Στη συνέχεια, αντί της φράσης «το σύστημα με συνάρτηση συστήματος στο χρόνο h» θα χρησιμοποιούμε, για συντομία, τη φράση «το σύστημα h», και όμοια για τη συνάρτηση στη συχνότητα. Θεωρώντας το σήμα x και τη συνάρτηση συστήματος h σαν διάνυσμα και πίνακα, αντίστοιχα, ά- πειρης διάστασης, μπορούμε να εκφράσουμε πιο σύντομα, την (4) στη μορφή y = h x και την (10) στη μορφή h = h 1 h 2, και όμοια, την (6) στη μορφή Y = HX και την (11) στη μορφή H = H 1 H 2. Περιοδικό σύστημα Ένα γραμμικό σύστημα ονομάζεται περιοδικό όταν h( + T, + T ) = h(, ), T > 0 h[i + N, i + N] = h[i, i ], N > 0 (12) Για συνεχή χρόνο, η συνάρτηση h( +, ) ως προς έχει περίοδο T, ενώ για διακριτό χρόνο, η συνάρτηση h[i + i, i ] ως προς i έχει περίοδο N. Παριστάνοντας με h k τις σειρές Fourier αυτών των συναρτήσεων, παίρνουμε ή ισοδύναμα h( +, ) = h(, ) = k= k= h k () e j2πk /T h k ( ) e j2πk /T h[i + i, i ] = h[i, i ] = N 1 k=0 N 1 k=0 h k [i] e j2πi k/n h k [i i ] e j2πi k/n Από τις (7) και (13) και το μετασχηματισμό Fourier h k H k, παίρνουμε H(f, f ) = H k (f) δ(f f+ k N 1 T ) H(f, f ) = H k (f) δ(f f+ k N k ) (14) k= k=0 k = Αντίστροφα, αν η συνάρτηση συστήματος h είναι της μορφής (13) με αυθαίρετα h k, τότε το σύστημα είναι περιοδικό. Από τις σχέσεις (6) και (14), παίρνουμε Y (f) = k= H k (f) X(f k T ) (13) N 1 Y (f) = H k (f) X(f k N ) (15) k=0

3 Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα 3 Συζυγές σύστημα Το συζυγές (adjoin) ενός συστήματος h, το οποίο συμβολίζουμε με h a, είναι το σύστημα h a (, ) = h(, ) h a [i, i ] = h[i, i] (16) όπου με z συμβολίζουμε το συζυγή μιγαδικό του z (για ένα πραγματικό σύστημα είναι h = h). Αν το σύστημα h είναι αιτιατό, τότε το συζυγές σύστημα h a είναι αντιαιτιατό, δηλ., σε συνεχή χρόνο, αν h(, ) 0, τότε h a (, ) 0, και όμοια σε διακριτό χρόνο. Έστω y = h x και y a = h a x a. Χρησιμοποιώντας τις (4) και (16), προκύπτει η σχέση αμοιβαιότητας 2 x a () ȳ() d = y a () x() d x a [i] ȳ[i] = i= y a [i] x[i] (17) i= Από την (7) προκύπτει ότι η συνάρτηση του συστήματος h a στη συχνότητα, είναι και όμοια, αν Y = HX και Y a = H a X a, τότε ισχύει η σχέση Ευστάθεια X a (f) Ȳ (f) d = Y a (f) X(f) df Για ένα μέτρο (norm) σήματος 3 Για το μέτρο σήματος H a (f, f ) = H(f, f) (18) X a (f) Ȳ (f) d= Y a (f) X(f) df (19), το επαγώμενο μέτρο ενός γραμμικού συστήματος h, είναι h x h = sup x 0 x = sup h x = sup h x (20) x 1 x =1 x = sup x() το επαγώμενο μέτρο συστήματος είναι h = sup h(, ) d x = sup x[i] (21) i h = sup i i = h[i, i ] (22) Απόδειξη: Σε συνεχή χρόνο, για κάθε είσοδο με x() 1, είναι (h x)() h(, ) d, επομένως h x sup h(, ) d και h sup h(, ) d. Επιπλέον, για κάθε, η είσοδος x() = h(, )/ h(, ) είναι x() 1 και (h x)( ) = h(, ) d, επομένως h sup h(, ) d. Σε διακριτό χρόνο, η απόδειξη γίνεται όμοια. Ένα γραμμικό σύστημα h ονομάζεται φραγμένο όταν h <, δηλ., M < : x 1 h x M (23) και ευσταθές όταν είναι συνεχές ως προς το μέτρο, δηλ., ɛ > 0, δ(ɛ) > 0 : x < δ h x < ɛ (24) ή ισοδύναμα, για κάθε ακολουθία x n, είναι x n 0 h x n 0. Θεώρημα: Ένα γραμμικό σύστημα h είναι ευσταθές, αν και μόνο αν είναι φραγμένο. Απόδειξη: Αν h <, τότε h x h x, επομένως x n 0 h x n 0. Αν h =, τότε υπάρχει ακολουθία x n, τέτοια ώστε x n 1 και h x n, επομένως για την ακολουθία x n = x n / h x n είναι x n 0 και h x n = 1. 2 Η σχέση αυτή εκφράζεται πιο σύντομα σαν ισότητα εσωτερικών γινομένων (x a, h x) = (h a x a, x). Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz, προκύπτει η εξής βελτιστοποίηση: για ένα σύστημα h, η είσοδος x που μεγιστοποιεί την γραμμικά σταθμισμένη έξοδο (w, y), με τον περιορισμό ότι έχει καθορισμένη ενέργεια (x, x), είναι ανάλογη του h a w. 3 Το μέτρο ενός σήματος x είναι πραγματικός αριθμός (ή το + ), τον οποίο συμβολίζουμε με x, και από τον ορισμό του ικανοποιεί τα αξιώματα: x 0, x = 0 x = 0, ax = a x, x + y x + y. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σήμα x 0 με πεπερασμένο μέτρο, δηλ., με 0 < x <.

4 4 ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Μετασχηματισμός Fourier δύο μεταβλητών Για συναρτήσεις δύο μεταβλητών ορίζουμε το μετασχηματισμό Fourier x X από τις σχέσεις X(f, f ) = x(, ) e j2π(f f ) dd X(f, f ) = x[i, i ] e j2π(if i f ) x(, ) = X(f, f ) e j2π(f f ) dfdf x[i, i ] = Με αλλαγή της σειράς των μεταβλητών, προκύπτει i,i = X(f, f ) e j2π(if i f ) dfdf (25) x(, ) X(f, f) x[i, i] X(f, f) (26) Χρησιμοποιώντας τις (10) και (11), παίρνουμε x 1 x 2 X 1 X 2, ή αναλυτικότερα x 1 (, ) x 2 (, ) d Από τις (26) και (27) προκύπτει X 1 (f, f ) X 2 (f, f ) df x 1 (, ) x 2 (, ) d X 1 (f, f ) X 2 (f, f ) df i = i = x 1 [i, i ] x 2 [i, i ] X 1 (f, f ) X 2 (f, f ) df (27) x 1 [i, i ] x 2 [i, i ] Θέτοντας f = f στην πρώτη των (25) και χρησιμοποιώντας τη σχέση παίρνουμε x(, ) d = e j2πf df = δ() Από τις (28) και (29) προκύπτει x 1 (, ) x 2 (, ) dd X(f, f) df = X 1 (f, f ) X 2 (f, f ) dfdf = X 1 (f, f ) X 2 (f, f ) df (28) e j2πif df = δ[i] x[i, i] = i= i,i = x 1 [i, i ] x 2 [i, i ] X(f, f) df (29) X 1 (f, f ) X 2 (f, f ) dfdf (30) Έστω οι μετασχηματισμοί Fourier μιας μεταβλητής x 1 X 1 και x 2 X 2. Από τις (25), με διαχωρισμό όρων προκύπτει x 1 () x 2 ( ) X 1 (f) X 2 (f ) x 1 [i] x 2 [i ] X 1 (f) X 2 (f ) (31) ενώ με αλλαγή μεταβλητής και διαχωρισμό όρων, προκύπτει x 1 () x 2 ( ) X 1 (f f ) X2 (f ) x 1 [i] x 2 [i i] X 1 (f f ) X2 (f ) (32) Από την (31) βλέπουμε ότι η συνάρτηση x είναι διαχωρίσιμη (δηλ. μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο μιας συνάρτησης της πρώτης μεταβλητής και μιας συνάρτησης της δεύτερης μεταβλητής), αν και μόνο αν η συνάρτηση X είναι διαχωρίσιμη. Θέτοντας x 2 = δ στις (31) και (32), παίρνουμε x() δ( ) X(f) x[i] δ[i ] X(f) x() δ( ) X(f f ) x[i] δ[i i] X(f f ) (33)

5 Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα 5 Σύστημα κατάστασης Ένα αιτιατό χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα κατάστασης, το οποίο συμβολίζουμε με {A, b, c}, περιγράφεται από τις εξισώσεις Dv() = A() v() + b() x() y() = c() v() v[i+1] = A[i] v[i] + b[i] x[i] y[i] = c[i] v[i] (34) όπου x η είσοδος, y η έξοδος, v το διάνυσμα (στήλη) κατάστασης διάστασης n, και A, b, c τετραγωνικός πίνακας, στήλη και γραμμή, αντίστοιχα, διάστασης n. Υποθέτουμε ότι η διαφορική εξίσωση στο συνεχή χρόνο, ικανοποιεί τις αναγκαίες συνθήκες ώστε να έχει μοναδική λύση. Ο πίνακας μετάβασης Φ, ορίζεται από τη λύση των εξισώσεων DΦ(, ) = A() Φ(, ) Φ[i+1, i ] = A[i] Φ[i, i ], Φ(, ) = I i i, Φ[i, i ] = I (35) και έχει τις μεταβατικές ιδιότητες Φ(, ) = I, Φ(, ) = Φ(, ) Φ(, ) Φ[i, i] = I, Φ[i, i ] = Φ[i, i ] Φ[i, i ] (36) Αν ο πίνακας μετάβασης με αρχικό χρόνο ή i 0, ο οποίος ορίζεται από τη σχέση Φ() = Φ(, ), Φ[i] = Φ[i, i 0 ], i i 0 (37) είναι αντιστρέψιμος (η ορίζουσά του υπολογίζεται αργότερα), από την (36) παίρνουμε Φ(, ) = Φ() Φ 1 ( ) Φ[i, i ] = Φ[i] Φ 1 [i ] (38) Με τη σχέση αυτή ορίζουμε τον πίνακα μετάβασης για, ή i, i i 0. Με τον ορισμό αυτό, η μεταβατική ιδιότητα (36) ισχύει χωρίς τον περιορισμό ή i i i, και επιπλέον Φ(, ) = Φ 1 (, ) Φ[i, i ] = Φ 1 [i, i] (39) Θεώρημα (μετάβαση κατάστασης): Αν το διάνυσμα v ικανοποιεί την ομογενή εξίσωση τότε Dv() = A() v() v[i+1] = A[i] v[i] (40) v() = Φ(, ) v( ) v[i] = Φ[i, i ] v[i ] (41) Αν ο πίνακας Φ είναι αντιστρέψιμος, από την (39) προκύπτει επιπλέον ότι η (41) ισχύει χωρίς τον περιορισμό ή i i. Στην περίπτωση αυτή, ο πίνακας μετάβασης δείχνει τη μετάβαση του διανύσματος κατάστασης, στο ομογενές σύστημα, προς το μέλλον και προς το παρελθόν. Απόδειξη: Πολλαπλασιάζοντας την (35) από δεξιά με v( ) ή v[i ], προκύπτει ότι το Φ(, ) v( ) ή Φ[i, i ] v[i ] ικανοποιεί την (40), επομένως είναι η μοναδική λύση της με αρχική τιμή v( ) ή v[i ]. Η ορίζουσα του πίνακα μετάβασης με αρχικό χρόνο ή i 0, είναι Φ() = exp r{a( )} d Φ[i] = i 1 i =i 0 A[i ] (42) Σε συνεχή χρόνο, ο πίνακας Φ() είναι αντιστρέψιμος για κάθε, ενώ σε διακριτό χρόνο, ο πίνακας Φ[i] είναι αντιστρέψιμος για κάθε i, αν και μόνο αν οι πίνακες A[i] είναι αντιστρέψιμοι. Απόδειξη: Σε συνεχή χρόνο, αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει η εξίσωση D Φ() = Φ() r{a()}, ό- που r{a} = k A kk είναι το ίχνος του πίνακα A. Το D Φ είναι άθροισμα n οριζουσών, η k-οστή από τις οποίες περιέχει τη γραμμή k του πίνακα DΦ και τις υπόλοιπες γραμμές του πίνακα Φ, και από τη σχέση DΦ = AΦ και τις ιδιότητες των οριζουσών, προκύπτει ότι είναι ίση με A kk Φ. Σε διακριτό χρόνο, είναι Φ[i] = A[i 1] A[i 0 ] και η (42) προκύπτει από την ιδιότητα AB = A B.

6 6 ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Σε συνεχή χρόνο, εφαρμόζοντας στην (34) την είσοδο x() = δ( ), για v( ) = 0 παίρνουμε v( +) = b( ), ενώ σε διακριτό χρόνο, εφαρμόζοντας την είσοδο x[i] = δ[i i ], για v[i ] = 0 παίρνουμε v[i +1] = b[i ]. Από την (41), η συνάρτηση του συστήματος (34) στο χρόνο, είναι h(, ) = c() Φ(, ) b( ), > h[i, i ] = c[i] Φ[i, i +1] b[i ], i > i (43) και στην περίπτωση που ο πίνακας μετάβασης είναι αντιστρέψιμος, είναι h(, ) = h c () h b ( ), > h[i, i ] = h c [i] h b [i ], i > i h c () = c() Φ(), h b () = Φ 1 () b() h c [i] = c[i] Φ[i], h b [i] = Φ 1 [i+1] b[i] (44) Η απόκριση του συστήματος με μηδενική αρχική κατάσταση, από τις (4) και (43), είναι y 0 () = c() Φ(, ) b( ) x( ) d y 0 [i] = i 1 i =i 0 c[i] Φ[i, i +1] b[i ] x[i ] (45) και στην περίπτωση που ο πίνακας μετάβασης είναι αντιστρέψιμος, από την (44), είναι y 0 () = h c () h b ( ) x( ) d y 0 [i] = h c [i] i 1 i =i 0 h b [i ] x[i ] (46) Η απόκριση του συστήματος με μη-μηδενική αρχική κατάσταση, είναι y() = y 0 () + c() Φ() v( ) y[i] = y 0 [i] + c[i] Φ[i] v[i 0 ] (47) Σημείωση: Ο υπολογισμός του πίνακα μετάβασης, εκτός από ειδικές περιπτώσεις, γίνεται λύνοντας (συνήθως αριθμητικά) τις εξισώσεις κατάστασης, επομένως δεν διευκολύνει την επίλυση των εξισώσεων. Βοηθάει όμως στην κατανόηση της συμπεριφοράς του συστήματος. Επιπλέον, αν είναι επιθυμητή η επίλυση των εξισώσεων κατάστασης για διάφορες εισόδους, η επίδραση του πίνακα A προκύπτει ισοδύναμα από τον πίνακα μετάβασης, ο οποίος υπολογίζεται μία φορά. Από τη δεύτερη των (33), προκύπτει ότι πολλαπλασιασμός με x() στο χρόνο μετασχηματίζεται σε συνέλιξη (ως προς f) με X(f) στη συχνότητα, ενώ πολλαπλασιασμός με x( ) στο χρόνο μετασχηματίζεται σε συνέλιξη (ως προς f ) με X( f ) στη συχνότητα 4, ή συμβολικά x() = x() δ( ) X(f f ) = X(f) x( ) = x() δ( ) X(f f ) = X( f ) (48) όπου με και συμβολίζουμε τη συνέλιξη ως προς f και f, αντίστοιχα. Από τις (43) και (44), και τους μετασχηματισμούς Fourier μιας μεταβλητής 5 c c, b b, h c H c, h b H b και δύο μεταβλητών 6 ( Φ(, ) ή Φ[i, i +1] ) Φ(f, f ) και ( U( ) ή U[i i 1] ) U(f, f ), η συνάρτηση του συστήματος (34) στη συχνότητα, είναι H(f, f ) = c(f) Φ(f, f ) b( f ) (49) και στην περίπτωση που ο πίνακας μετάβασης είναι αντιστρέψιμος, είναι H(f, f ) = H c (f) U(f, f ) H b ( f ) (50) 4 Η διαφορά στο πρόσημο οφείλεται στη διαφορά προσήμου στο μετασχηματισμό Fourier δύο μεταβλητών. 5 Χρησιμοποιούμε (καταχρηστικά) το ίδιο σύμβολο για κάποιες συναρτήσεις στο χρόνο και τη συχνότητα, επειδή με μικρό γράμμα παριστάνουμε διανύσματα και με κεφαλαίο γράμμα παριστάνουμε πίνακες. 6 Η συνάρτηση Φ δύο μεταβλητών στο χρόνο είναι αιτιατή, δηλ., έχει μη-μηδενικές τιμές μόνο για > ή i > i.

7 Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα 7 Περιοδικό σύστημα Το σύστημα κατάστασης {A, b, c} ονομάζεται περιοδικό όταν τα A, b, c είναι περιοδικές συναρτήσεις του χρόνου, με περίοδο έστω T ή N. Από την περιοδικότητα του πίνακα A, προκύπτει ότι ο πίνακας Φ(+T ) ή Φ[i+N] ικανοποιεί την (35) πολ/σμένη από δεξιά με Φ(T ) ή Φ[N], ενώ ο πίνακας Φ(+T, +T ) ή Φ[i+N, i +N] ικανοποιεί την (35), επομένως Φ( + T ) = Φ() Φ(T ) Φ[i + N] = Φ[i] Φ[N] Φ( + T, + T ) = Φ(, ) Φ[i + N, i + N] = Φ[i, i ] (51) Από την (43), τη δεύτερη των (51), και την περιοδικότητα των b και c, προκύπτει ότι h( + T, + T ) = h(, ), > h[i + N, i + N] = h[i, i ], i > i (52) Αν ο πίνακας μετάβασης είναι αντιστρέψιμος, ορίζοντας τους πίνακες A και Ψ από τις σχέσεις 7 e AT = Φ(T ), Ψ() e A = Φ() A N = Φ[N], Ψ[i] A i = Φ[i] (53) όπου ο A είναι σταθερός και ο Ψ περιοδικός, η (44) γίνεται h(, ) = h c () e A( ) h b ( ), > h[i, i ] = h c [i] A i i 1 h b [i ], i > i h c () = c() Ψ(), h b () = Ψ 1 () b() h c [i] = c[i] Ψ[i], h b [i] = Ψ 1 [i+1] b[i] (54) όπου τα h b και h c είναι περιοδικά. Με το μετασχηματισμό v = Ψw, παίρνουμε το σύστημα Dw() = A w() + h b () x() y() = h c () w() w[i+1] = A w[i] + h b [i] x[i] y[i] = h c [i] w[i] (55) Επομένως, το σύστημα κατάστασης συμπεριφέρεται σαν χρονικά αμετάβλητο, με περιοδικούς πολλαπλασιαστές στην είσοδο και την έξοδο. Συζυγές σύστημα Το συζυγές (adjoin) ενός συστήματος κατάστασης L = {A, b, c}, το οποίο συμβολίζουμε με L a, είναι το αντιαιτιατό σύστημα κατάστασης 8 Dv() = A () v() + c () x() y() = b () v() v[i 1] = A [i] v[i] + c [i] x[i] y[i] = b [i] v[i] (56) Αν ο πίνακας μετάβασης του συστήματος L είναι αντιστρέψιμος, ικανοποιεί τις σχέσεις DΦ (, ) = A () Φ (, ), Φ (, ) = I Φ [i +1, i] = A [i] Φ [i +1, i+1] i i, Φ[i +1, i +1] = I (57) Απόδειξη: Σε συνεχή χρόνο, παραγωγίζοντας 9 την εξίσωση Φ(, ) = Φ(, ) Φ(, ) ως προς, παίρνουμε DΦ(, ) = Φ(, ) DΦ(, ) Φ 1 (, ) = Φ(, ) A(), ενώ σε διακριτό χρόνο, από τη σχέση Φ[i +1, i] Φ[i, i ] = Φ[i +1, i+1] Φ[i+1, i ], παίρνουμε Φ[i +1, i] = Φ[i +1, i+1] A[i]. Από την (57), προκύπτει ότι ο πίνακας μετάβασης του συστήματος L a, είναι Φ a (, ) = Φ (, ), Φ a [i, i ] = Φ [i +1, i+1], i i (58) Σε συνεχή χρόνο, εφαρμόζοντας στην (56) την είσοδο x() = δ( ), για v( +) = 0 παίρνουμε v( ) = c ( ) και y() = b () Φ a (, ) c ( ). Σε διακριτό χρόνο, εφαρμόζοντας στην (56) την είσοδο x[i] = δ[i i ], για v[i ] = 0 παίρνουμε v[i 1] = c [i ] και y[i] = b [i] Φ a [i, i 1] c [i ]. Επομένως, η συνάρτηση του συστήματος L a στο χρόνο, είναι h a (, ) = h(, ), < h a [i, i ] = h[i, i], i < i (59) 7 Ο πίνακας A μπορεί να θεωρηθεί σαν ο λογάριθμος διαιρεμένος με T του Φ(T ) ή η N-οστή ρίζα του Φ[N]. 8 Ο (ανάστροφος) συζυγής ενός πίνακα A, είναι ο πίνακας (A ) ij = A ji. 9 Η παράγωγος γινομένου πινάκων είναι D(AB) = DA B + A DB, όπου η σειρά των όρων γινομένου έχει σημασία.

8 8 ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ευστάθεια Για ένα μέτρο (norm) διανύσματος 10, και για το εσωτερικό γινόμενο (x, y) = n k=1 x kȳk, το συζυγές μέτρο ενός διανύσματος y, είναι y (x, y) = sup = sup (x, y) = sup (x, y) (60) x 0 x x 1 x =1 και το επαγώμενο μέτρο ενός τετραγωνικού πίνακα A, είναι Από τα μέτρα διανύσματος A x A = sup x 0 x = sup A x = sup A x (61) x 1 x =1 ( n x p = x k p) 1/p με p 1, x = lim x p = max x p k (62) k=1 προκύπτουν το συζυγές μέτρο και τα επαγώμενα μέτρα πίνακα A 1 = max j x p = x q i όπου A ij, A = max i k 1 p + 1 q = 1 (63) A ij (64) Απόδειξη: Από την ανισότητα x x p n 1/p x, για p παίρνουμε x p x. Από την ανισότητα του Minkowski, για p 1, είναι x+y p x p + y p. Από την ανισότητα του Hölder, για 1/p + 1/q = 1, είναι (x, y) x p y q, και για κάθε y υπάρχει x 0 ώστε να ισχύει η ισότητα. Το επαγώμενο μέτρο, είναι A = sup x =1 max i (x, Āi) = max i Āi 1, όπου A i είναι η γραμμή i του πίνακα A, και για 1/p + 1/q = 1, είναι A q = sup x q=1 Ax q = sup x q, y p=1 (Ax, y) = j sup A y p = A p y p=1 Θεώρημα (ισοδυναμία μέτρων διανύσματος): Για 1 p, q, η σύγκλιση διανυσμάτων ως προς τα μέτρα p και q είναι ισοδύναμη, δηλ., για την ακολουθία x n είναι x n p 0 x n q 0, ή ισοδύναμα, υπάρχει M <, ώστε x p 1 x q M. Απόδειξη: Από την ανισότητα x x p n 1/p x, παίρνουμε x p 0 x 0. Ένα σύστημα κατάστασης θα λέμε ότι έχει: ευσταθή ανάδραση κατάστασης όταν υπάρχει M <, ώστε 11 ( ) : v( ) 1 v() M (i i ) : v[i ] 1 v[i] M (65) ευσταθή έλεγχο κατάστασης όταν υπάρχει M <, ώστε ( > ) : v( ) = 0 και x 1 (i > i 0 ) : v[i 0 ] = 0 και x 1 v() M v[i] M (66) ευσταθή παρατήρηση κατάστασης για μηδενική είσοδο, όταν υπάρχει M <, ώστε ( ) : v( ) 1 y() M (i i ) : v[i ] 1 y[i] M (67) Πιο σύντομα, οι γραμμικοί τελεστές που δίνουν την κατάσταση v() από την κατάσταση v( ), την κατάσταση v() από την είσοδο x, και την έξοδο y() από την κατάσταση v( ), αντίστοιχα, είναι φραγμένοι, ομοιόμορφα ως προς το χρόνο (δηλ., το άνω φράγμα M δεν εξαρτάται από το χρόνο). 10 Το μέτρο ενός διανύσματος x είναι πραγματικός αριθμός (ή το + ), τον οποίο συμβολίζουμε με x, και από τον ορισμό του ικανοποιεί τα αξιώματα: x 0, x = 0 x = 0, ax = a x, x + y x + y. 11 Το σύμβολο ( ) σημαίνει (, ), ή ισοδύναμα, (, : ).

9 Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα 9 Θεώρημα: Το σύστημα κατάστασης {A, b, c} με πίνακα μετάβασης Φ, έχει: ευσταθή ανάδραση κατάστασης, αν και μόνο αν υπάρχει M <, ώστε ( ) : Φ(, ) M (i i ) : Φ[i, i ] M (68) ευσταθή έλεγχο κατάστασης, αν και μόνο αν υπάρχει M <, ώστε > : Φ(, ) b( ) d M i > i 0 : i 1 ευσταθή παρατήρηση κατάστασης, αν και μόνο αν υπάρχει M <, ώστε i =i 0 Φ[i, i +1] b[i ] M (69) ( ) : c() Φ(, ) M (i i ) : c[i] Φ[i, i ] M (70) Ικανή (αλλά όχι αναγκαία) συνθήκη για ευσταθή έλεγχο ή παρατήρηση κατάστασης, είναι τα Φ(, ) d και b(), ή τα Φ(, ) και c(), αντίστοιχα, να είναι ομοιόμορφα φραγμένα. Απόδειξη: Η ισοδυναμία των (65) και (68), προκύπτει αμέσως από την (41) και τον ορισμό (61). Για τον έλεγχο κατάστασης σε συνεχή χρόνο, αν ισχύει η (69), για είσοδο x() 1, είναι v() = Φ(, ) b( ) x( ) d v() Φ(, ) b( ) x( ) d M ενώ αν δεν ισχύει η (69), τότε για μια τουλάχιστον γραμμή του πίνακα Φ(, ) b( ), την οποία συμβολίζουμε με a(, ), είναι a(, ) d για, επομένως, για x( ) = ā(, )/ a(, ), είναι x 1 και v() για. Σε διακριτό χρόνο, η απόδειξη γίνεται όμοια. Η ισοδυναμία της (67) με την (70) για το μέτρο, προκύπτει από την y() = c() Φ(, ) v( ) και τον ορισμό (60), και η ισοδυναμία με την (70) προκύπτει από την ισοδυναμία των μέτρων διανύσματος. Ένα σύστημα κατάστασης ονομάζεται ευσταθές όταν έχει ευσταθή ανάδραση, έλεγχο και παρατήρηση κατάστασης, και εξωτερικά ευσταθές όταν ισχύει η (23), δηλ., υπάρχει M <, ώστε ( > ) : v( ) = 0 και x 1 (i > i 0 ) : v[i 0 ] = 0 και x 1 y() M y[i] M Αν το σύστημα κατάστασης {A, b, c} με πίνακα μετάβασης Φ είναι ευσταθές, από την (69) με φράγμα M b και την (70) με = και φράγμα M c ως προς το μέτρο, παίρνουμε h = sup > c() Φ(, ) b( ) d sup > c() Φ(, ) b( ) d M c M b επομένως, το σύστημα είναι και εξωτερικά ευσταθές (το αντίστροφο όμως δεν ισχύει πάντα). Σημείωση: Η εσωτερική ή εξωτερική ευστάθεια ενός συστήματος κατάστασης έχει την παρακάτω ερμηνεία: μικρές διαταραχές στη διέγερση προκαλούν μικρές διαταραχές στην απόκριση. Ακριβέστερα, παριστάνοντας με τη διαταραχή ενός μεγέθους, από τη γραμμικότητα των εξισώσεων κατάστασης, και τους ορισμούς (65), (66), (67) και (71), προκύπτει ότι το σύστημα κατάστασης είναι ευσταθές, αν και μόνο αν ɛ > 0, δ(ɛ) > 0, ώστε ( ) : ṽ( ), x < δ ṽ(), ỹ() < ɛ και εξωτερικά ευσταθές, αν και μόνο αν ɛ > 0, δ(ɛ) > 0, ώστε ( > ) : v( ) = 0 και x < δ ỹ() < ɛ (i i 0 ) : ṽ[i 0 ], x < δ ṽ[i], ỹ[i] < ɛ (i > i 0 ) : v[i 0 ] = 0 και x < δ ỹ[i] < ɛ Στην περίπτωση που το σύστημα κατάστασης είναι περιοδικό, από την (53), υποθέτοντας ότι ο πίνακας Ψ είναι φραγμένος σε μια περίοδο, προκύπτει ότι το σύστημα έχει ευσταθή ανάδραση κατάστασης, αν και μόνο αν οι ιδιοτιμές του πίνακα Φ(T ) ή Φ[N] έχουν μέτρο 1. (71) (72) (73)

10 10 ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ελεγξιμότητα και παρατηρησιμότητα Ένα σύστημα κατάστασης θα λέμε ότι είναι: ελέγξιμο στο διάστημα [, 1 ] ή [i 0, i 1 ] όταν η παρακάτω απεικόνιση είναι επί x([, 1 ]) v( 1 +) v(0 ) = 0 x([i 0, i 1 ]) v[i 1 +1] v[i0 ] = 0 (74) παρατηρήσιμο στο διάστημα [, 1 ] ή [i 0, i 1 ] όταν η παρακάτω απεικόνιση είναι ένα-προς-ένα v( ) y([, 1 ]) x = 0 v[i0 ] y([i 0, i 1 ]) x = 0 (75) Πιο σύντομα, το σύστημα είναι ελέγξιμο όταν η κατάσταση μπορεί να ελεγχθεί από την είσοδο, δηλ., υπάρχει είσοδος που οδηγεί το σύστημα σε οποιαδήποτε επιθυμητή κατάσταση, και παρατηρήσιμο όταν η κατάσταση μπορεί να παρατηρηθεί από την έξοδο, δηλ., η έξοδος καθορίζει με μοναδικό τρόπο την αρχική κατάσταση. Από τη γραμμικότητα της κατάστασης και της εξόδου ως προς την αρχική κατάσταση και την είσοδο, προκύπτει ότι οι παραπάνω ορισμοί παραμένουν ισοδύναμοι, αν η αρχική κατάσταση στην (74) και η είσοδος στην (75) γίνουν ίσες με οποιαδήποτε (γνωστή) παράμετρο. Θεώρημα: Το σύστημα κατάστασης {A, b, c} με αντιστρέψιμο πίνακα μετάβασης Φ, είναι: ελέγξιμο στο [, 1 ] ή [i 0, i 1 ], αν και μόνο αν έχει ομαλό πίνακα ελεγξιμότητας h b (, 1 ) = 1 h b () h b () d h b [i 0, i 1 ] = i 1 h b [i] h b [i] (76) i=i 0 παρατηρήσιμο στο [, 1 ] ή [i 0, i 1 ], αν και μόνο αν έχει ομαλό πίνακα παρατηρησιμότητας h c (, 1 ) = 1 h c() h c () d h c [i 0, i 1 ] = i 1 i=i 0 h c[i] h c [i] (77) Απόδειξη: Για την ελεγξιμότητα σε συνεχή χρόνο, για v( ) = 0, όπως στην απόδειξη της (44), παίρνουμε v( 1 ) = 1 Φ( 0 1, ) b() x() d = Φ( 1 ) 1 h 0 b () x() d. Αν ο πίνακας ελεγξιμότητας είναι αντιστρέψιμος, για x() = h b () x 0, παίρνουμε v( 1 ) = Φ( 1 ) h b (, 1 ) x 0, η οποία μπορεί να λυθεί ως προς x 0 για οποιοδήποτε v( 1 ), ενώ αν ο πίνακας ελεγξιμότητας δεν είναι αντιστρέψιμος, τότε υπάρχει διάνυσμα v 0, ώστε v h b (, 1 ) v = 0 1 v h 0 b () 2 2 d = 0 v h b () = 0, επομένως, v Φ 1 ( 1 ) v( 1 ) = 0 v( 1 ) Φ( 1 ) v, για κάθε είσοδο x(). Σε διακριτό χρόνο, παίρνουμε v[i 1 +1] = i 1 i=i0 Φ[i 1, i+1] b[i] x[i] = Φ[i 1 ] i 1 i=i0 h b [i] x[i], και η απόδειξη γίνεται όμοια. Για την παρατηρησιμότητα σε συνεχή χρόνο, για μηδενική είσοδο, παίρνουμε y() = h c () v( ) και 1 y() 2 d = v ( 0 0 ) h c (, 1 ) v( ). Αν ο πίνακας παρατηρησιμότητας είναι ομαλός, τότε είναι (αυστηρά) θετικά ορισμένος, επομένως y([, 1 ]) = 0 v( ) = 0, ενώ αν ο πίνακας παρατηρησιμότητας δεν είναι ομαλός, τότε υπάρχει v( ) ώστε y([, 1 ]) = 0. Σε διακριτό χρόνο, παίρνουμε y[i] = h c [i] v[i 0 ] και i 1 i=i0 y[i] 2 = v [i 0 ] h c [i 0, i 1 ] v[i 0 ], και η απόδειξη γίνεται όμοια. Επιπλέον ανάγνωση [1] L. Zadeh, Frequency analysis of variable neworks, Proc. IRE, vol. 38, pp , Mar [2] Lofi A. Zadeh and Charles A. Desoer, Linear Sysem Theory, McGraw-Hill, 1963 (Krieger 1979). (Ενότητες 6.2, 11.7). [3] Thomas Kailah, Linear Sysems, Prenice-Hall, (Κεφ. 9).