EfarmogËc twn markobian n alus dwn

Kefàlaio 7 EfarmogËc twn markobian n alus dwn 7.1 Eisagwg Sto kefàlaio autï ja do me merikëc efarmogëc twn markobian n alus dwn stic s gqronec epist mec kai sthn teqnolog a. Ja do me giat h mhqan anaz thshc thc etaire ac Google kuriàrqhse sthn agorà, Ïtan emfan sthke, axiopoi ntac mia pol apl idëa empneusmënh apï markobianëc alus dec. Sth sunëqeia ja do me mia analog a metax markobian n alus dwn kai hlektrik n kuklwmàtwn. Ja gnwr soume a- kïma th mëjodo MCMC kai ton pol shmantikï algïrijmo Metropolis-Hastings pou Ëferan epanàstash sthn upologistik prosomo wsh. TËloc ja gnwr soume thn teqnik thc prosomoiwmënhc anïpthshc (simulated annealing) kaip cmporo menathqrhsimopoi soumegianaprosegg soumed skolaprobl mata beltistopo hshc, Ïpwc p.q. to diàshmo prïblhma tou planïdiou pwlht pou proërqetai apï thn plhroforik. 7.2 Mia katanom ax ac disekatommur wn Oi megal teroi se hlik a anagn stec ja jumo ntai Ïti prin thn emfànish thc Google oi mhqanëc anaz thshc den tan tïso akribe c. Sta apotelësmata pou epëstrefan up rqan pollëc sel dec pou den e qan kam a sqësh me thn anaz thsh kai Ëtsi suqnà qreiazïtan na dei kane c arketëc sel dec apotelesmàtwn gia na brei sel dec me qr simo perieqïmeno. 'Otan h Google emfan sthke sthn agorà (1997) kai eis gage th dik thc mhqan anaz thshc, ta apotelësmata tan entupwsiakà kal tera apï otid pote up rqe mëqri tïte. Pol s ntoma h suntriptik pleionïthta twn qrhst n tou diadikt ou qrhsimopoio se aut n, bàzontac Ëtsi tic bàseic gia na g nei h Google okolossïcpougnwr zoumes mera. To mustikï thc epituq ac thc sugkekrimënhc mhqan c tan Ënac algïrijmoc pou qrhsimopoio se gia na axiologe tic istosel dec kai na protàssei sta apotelësmata thc anaz thshc eke nec pou axiologo ntan wc pio shmantikëc. O algïrijmoc autïc e nai o PageRank TM kai parà tic tropopoi seic pou Ëqei uposte apï tïte h basik tou idëa e nai exairetikà apl kai paramënei ep kairh akïma kai s mera (2015). Fantaste te Ënan perihght tou diadikt ou pou se kàje tou b ma epilëgei tuqa a Ënan apï touc sundësmouc thc sel dac sthn opo a br sketai kai metaba nei eke. Mporo me na fantasto me thn peri ghsh 112

aut wc mia markobian alus da sto s nolo V twn istosel dwn tou diadikt ou me pijanïthtec metàbashc ( 1 v q(x, y) = o(x), an upàrqei s ndesmoc apï th sel da x proc th sel da y, 0, diaforetikà, Ïpou v o (x) e nai to pl joc twn sundësmwn apï th sel da x proc àllec sel dec. O q roc katastàsewn e nai teràstioc allà peperasmënoc. Ac upojësoume gia l go Ïti h alus da aut e nai mh upobibàsimh, opïte ja Ëqei monadik anallo wth katanom. Aut hupïjeshe naiisod namhmetoïtioperihght c mac mpore na ftàsei apï opoiad pote sel da tou diadikt ou se opoiad pote àllh mësa apï Ëna monopàti diadoqik n sundësmwn. Kàti tëtoio den e nai realistikï, afo l.q. upàrqoun sel dec qwr c exwteriko c sundësmouc, ja mac bohj sei Ïmwc na katalàboume giat to bàroc (x) pou apod dei sth sel da x h anallo wth katanom e nai Ënac pol kalïc de kthc shmantikïthtac thc sel dac x. Sth sunëqeia ja àroume ton periorismï thc mh upobibasimïthtac. Pràgmati, to ergodikï je rhma exasfal zei Ïti to posostï tou qrïnou ja xode ei o perihght c mac sth sel da x e nai asumptwtikà (x). SugkekrimËna,anN n (x) e nai to pl joc twn episkëyewn tou perihght sth sel da x sta pr ta n b matà tou, tïte h P lim n!1 N n (x) n i = (x), 8x 2 V =1. Me aut thn Ënnoia loipïn h katanom e nai Ënac de kthc shmantikïthtac. Mporo me ep shc na fantasto me Ïti h shmantikïthta (x) miac sel dac x prosdior zetai emmëswc apï th shmantikïthta twn sel dwn pou Ëqoun sundësmouc proc th x. AutÏe naidiaisjhtikàepijumhtï,afo Ënac s ndesmoc apï thn istosel da thc Yahoo endeqomënwc bar nei perissïtero ap' Ïti Ënac s ndesmoc apï kàpoio àgnwsto istolïgio. Ja jëlame ep shc h shmantikïthta miac sel dac na epimer zetai stic sel dec proc tic opo ec parëqei sundësmouc, ste shmantikëc sel dec me pollo c sundësmouc na bar noun sunolikà Ïso ex sou shmantikëc sel dec me l gouc exwteriko c sundësmouc. Tic prodiagrafëc autëc mporo me na tic gràyoume sunoptikà wc ex c: (x) = y!x (y), 8x 2 V. (7.1) v 0 (y) HparapànwsqËshmaclËeiapl cïtihshmantikïthtathcsel dacx prok ptei, an ajro soume tic shmantikïthtec twn sel dwn y pou parëqoun sundësmouc proc th x, mebàrhantistrïfwcanàlogatou pl jouc v 0 (y) twn sundësmwn touc. AutÏc o orismïc thc shmantikïthtac e nai autoanaforikïc, afo gia na or soume th shmantikïthta miac istosel dac qrhsimopoio me th shmantikïthta àllwn sel dwn. Den e nai loipïn ek twn protërwn fanerï giat oi exis seic (7.1) Ëqoun l sh. Mporo me Ïmwc na xanagràyoume tic exis seic autëc wc ex c (x) = y2v (y) q(y, x), 8x 2 V. An epiplëon jel soume na kanonikopoi soume th sunolik shmantikïthta Ïlwn twn istosel dwn sth monàda, dhlad (x) =1, x2v blëpoume Ïti autëc e nai akrib c oi exis seic pou or zoun th monadik anallo wth katanom thc markobian c alus dac mac. 'Ara Ïqi mïno Ëqoun l sh, allà h l sh aut e nai monadik kai e nai h. 113

Elp zw ta parapànw epiqeir mata na sac Ëqoun pe sei Ïti, an o tuqa oc per patoc sto diad ktuo pou perigràyame antistoiqo se se mia mh upobibàsimh alus da, tïte h anallo wth katanom thc ja tan Ënac pol kalïc de kthc shmantikïthtac. 'Opwc proe pame Ïmwc, autïc o periorismïc e nai pol isqurïc. Gia na ton àroume tropopoio me thn peri ghs mac wc ex c. Prin apï kàje mac b ma str boume Ëna kërma pou fërnei kefal me pijanïthta 2 (0, 1). An to kërma Ërjei kefal, tïte Ïpwc kai prin epilëgoume tuqa a m a apï tic istosel dec proc tic opo ec upàrqei s ndesmoc kai metaba noume se aut n. An to kërma Ërjei gràmmata, tïte epilëgoume tuqa a m a apï Ïlec tic sel dec tou diadikt ou kai metaba noume eke. An V e nai to pl joc twn istosel dwn tou diadikt ou, h parapànw peri ghsh antistoiqe se mia markobian alus da sto V me pijanïthtec metàbashc p(x, y) = q(x, y)+ (1 ), 8x, y 2 V. V Halus daaut e naimhupobibàsimhgiakàje <1 kai o de kthc PageRank TM e nai sthn ous a h anallo wth katanom aut c thc alus dac gia thn epilog =0, 85. 7.3 MarkobianËc alus dec kai hlektrikà kukl mata Se aut thn paràgrafo ja exereun soume mia analog a pou upàrqei anàmesa se qronikà antistrëyimec markobianëc alus dec kai se hlektrikà kukl mata. MËsa apï aut thn analog a ja katano soume thn proëleush thc orolog ac pou qrhsimopoi same sto Kefàlaio 3 kai ja apode xoume thn arq tou Rayleigh. Ac jewr soume Ëna hlektrikï k klwma pou apotele tai apï antistàseic, agwgo c kai m a phg suneqo c re matoc me diaforà dunamiko 1 anàmesa stouc d o pïlouc thc. Qwr c blàbh thc genikïthtac, ac upojësoume Ïti to dunamikï ston arnhtikï pïlo thc phg c e nai 0, en ston jetikï pïlo e nai 1. Ac sumbol zoume me to s nolo twn kïmbwn tou kukl matoc. 'Ena upos nolo A apï auto c touc kïmbouc e nai apeuje ac sundedemëno ston jetikï pïlo thc phg c, epomënwc to dunamikï (x) se kàje kïmbo x 2 A e nai 1. Ant stoiqa, Ëna upos nolo B twn kïmbwn tou kukl matoc e nai sundedemëno ston arnhtikï pïlo thc phg c, epomënwc to dunamikï (x) se kàje kïmbo x 2 B e nai 0. Den jëloume na braqukukl soume thn phg, opïte ja prëpei A \ B = ;. Poio e nai Ïmwc to dunamikï stouc upïloipouc kïmbouc; Anàmesa se d o kïmbouc x, y 2 upàrqei mia agwgimïthta c(x, y) =c(y, x). An oi kïmboi sundëontai mësw miac ant stashc, aut h agwgimïthta e nai aplà to ant strofo thc ant stashc. Diaforetikà, h metax touc agwgimïthta e nai mhdën. Oi nïmoi pou kajor zoun thn tim tou dunamiko se kàje kïmbo e nai d o. O NÏmoc tou Ohm or zei Ïti to re ma apï ton kïmbo y proc ton kïmbo x d netai apï th sqësh i(y, x) =c(x, y) (y) (x), gia kàje x, y 2. ONÏmoctouKircho or zei Ïti se kàje kïmbo x tou kukl matoc pou den e nai sundedemënoc me thn phg, to sunolikï re ma pou eisërqetai apï àllouc kïmbouc e nai mhdën, dhlad i(y, x) =0, gia kàje x/2 A [ B. y2 Sunduàzontac tic d o parapànw sqëseic, Ëqoume Ïti h sunàrthsh pou d nei to dunamikï l nei to PST 8> c(x, y) (y) (x) =0, an x/2 A [ B < y2 (x) =1, an x 2 A >: (x) =0, an x 2 B. se kàje kïmbo (7.2) 114

To parapànw prïblhma moiàzei me to PST (3.3) pou d nei tic pijanïthtec P x TA <T B,methdiaforà Ïti oi agwgimïthtec den e nai pijanïthtec metàbashc, afo den ajro zontai apara thta sth monàda. AutÏ Ïmwc mporo me na to diorj soume kanonikopoi ntac. An or soume c(x, y) p(x, y) = c(x, y) y2 = c(x, y) w(x), (7.3) tïte ta PST (3.3) kai (7.2) taut zontai kai màlista an to k klwma e nai sunektikï, an dhlad opoioid pote d o kïmboi epikoinwno n mësa apï Ëna monopàti me jetikëc agwgimïthtec, autà ta PST Ëqoun monadik l sh. EpomËnwc, to dunamikï ston kïmbo x 2 taut zetai me thn pijanïthta P x TA <T B gia mia markobian alus da, me pijanïthtec metàbashc pou d nontai apï thn (7.3). Parathr ste Ïti oi pijanïthtec metàbashc aut c thc alus dac br skontai se akrib isorrop a me touc paràgontec kanonikopo hshc w(x) = P y2 c(x, y). Pràgmati,apÏthn(7.3)blËpoumeÏti w(x)p(x, y) =c(x, y) =c(y, x) =w(y)p(y, x). EpomËnwc, an or soume (x) = w(x) Px2 w(x) = P y2 c(x, y) Pz,y2 c(z,y), to L mma 7 mac d nei Ïti h e nai anallo wth katanom thc markobian c alus dac me pijanïthtec metàbashc {p(x, y)} x,y2,poud nontaiapïthn(7.3)kaihalus daaut e naiqronikàantistrëyimh. Màlista, an to k klwma e nai sunektikï, h alus da aut e nai mh upobibàsimh kai h e nai h monadik anallo wth katanom thc. Ant strofa, se kàje qronikà antistrëyimh markobian alus da s' Ënan peperasmëno q ro katastàsewn, mepijanïthtecmetàbashc{p(x, y)} x,y2 kai anallo wth katanom, mporo menaantistoiq soume Ëna hlektrikï k klwma, jewr ntac Ëna kïmbo se kàje katàstash tou kai topojet ntac agwgimïthta c(x, y) = (x)p(x, y) = (y)p(y, x) anàmesa stouc kïmbouc pou antistoiqo n stic katastàseic x, y. Ant raen soumeënas nolokïmbwn A auto tou kukl matoc me ton jetikï pïlo miac phg c ki Ëna s nolo kïmbwn B (A \ B = ;) me ton arnhtikï pïlo thc phg c, tïte to dunamikï (x) se kàje kïmbo x auto tou kukl matoc ja taut zetai me thn pijanïthta P x TA <T B. Me àlla lïgia mporo me na metr soume autëc tic pijanïthtec m' Ëna pol metro. Hisq cpoukatanal netaisemiaagwgimïthtac(x, y) d netai se sqësh me th diaforà dunamiko sta àkra thc apï thn posïthta c(x, y) (y) (x) 2. To akïloujo je rhma exasfal zei Ïti h katanom tou dunamiko se kàje kïmbo enïc hlektriko kukl matoc g netai Ëtsi ste na elaqistopoie tai h sunolik isq c pou katanal netai sto k klwma. Je rhma 32 ApÏ Ïlec tic sunart seic sto s nolo F A,B = { :! R : (x) =1gia kàje x 2 A, (x) =0gia kàje x 2 B}, hl shtoupst(7.2)e naihmïnhpouelaqistopoie thn D( ) = 1 c(x, y) (y) (x) 2. (7.4) 2 x,y2 115

ApÏdeixh: 'Estw :! R mia sunàrthsh gia thn opo a (x) =1gia kàje x 2 A kai (x) =0gia kàje x 2 B. An e nai h l sh tou PST (7.2), tïte h h = mhden zetai sta A kai B. Arke loipïn na de xoume Ïti D( ) appled( + h) gia kàje sunàrthsh h :! R tëtoia ste h(x) =0gia kàje x 2 A [ B. 'Eqoume Ïmwc Ïti D( + h) = 1 2 x,y2 c(x, y) (y)+h(y) (x) h(x) 2 = D( ) + D(h)+ 1 2 = D( ) + D(h)+ 1 2 x,y2 x,y2 c(x, y) (y) (x) h(y) h(x) c(x, y) (y) (x) h(y) 1 2 x,y2 c(x, y) (y) (x) h(x). An enallàxoume ton rïlo twn x kai y sto pr to àjroisma thc teleuta ac Ëkfrashc kai qrhsimopoi soume Ïti h agwgimïthta e nai summetrik, dhlad c(x, y) =c(y, x) gia kàje x, y 2 pa rnoume Ïti D( + h) =D( ) + D(h) = D( ) + D(h) x,y2 c(x, y) (y) (x) h(x) x2 h(x) y2 c(x, y) (y) (x). ApÏ to PST (7.2) pou ikanopoie h Ëqoume Ïti, an x/2 A [ B, tïte P y2 c(x, y) (y) (x) =0. EpiplËon, an x 2 A [ B, tïteh(x) =0. Se kàje per ptwsh o teleuta oc Ïroc thc parapànw sqëshc mhden zetai, opïte D( + h) =D( ) + D(h) D( ), afo h D(h) e nai ex orismo mh arnhtik. Màlista, gia na Ëqoume isïthta sthn parapànw sqësh ja prëpei D(h) =0. EfÏson h D(h) e nai àjroisma mh arnhtik n Ïrwn, autï shma nei Ïti h(y) =h(x), Ïpote Ëqoume c(x, y) > 0. Mia kai to k klwma e nai sunektikï, mporo me na sundësoume opoiond pote kïmbo tou, y, me to A, mësw enïc monopatio katà m koc tou opo ou sunantàme jetikëc agwgimïthtec. 'Etsi h h prëpei na e nai stajer stouc kïmbouc auto tou monopatio kai efïson mhden zetai sto A, Ëqoume h(y) =0. 2 PÏrisma 11 (Arq tou Rayleigh)Angiad okukl matamekïmbouc kai agwgimïthtec {c(x, y)} x,y2 kai { c(x, y)} x,y2 ant stoiqa, Ëqoume Ïti c(x, y) apple c(x, y) gia kàje x, y 2, tïtehisq cpoukatanal netai sto pr to e nai pànta mikrïterh apï thn isq pou katanal netai sto de tero. ApÏdeixh: Gia 2 F A,B or zoume thn D( ) kat' analog a me thn (7.4), qrhsimopoi ntac tic agwgimïthtec c(x, y). ApÏthnupÏjeshÏtic(x, y) apple c(x, y) gia kàje x, y 2, Ëqoume D( ) apple D( ), gia kàje 2 F A,B. EpomËnwc inf 2F A,B D( ) apple inf 2F A,B D( ). ApÏ to Je rhma 32 Ïmwc, to aristerï mëloc aut c thc an swshc e nai h isq c pou katanal netai sto pr to k klwma, en to dex mëloc e nai h isq c pou katanal netai sto de tero. 2 EfÏson h posïthta C(A, B) =D( ) = inf D( ) 2F A,B 116

e nai h isq c pou katanal nei olïklhro to k klwma Ïtan sundësoume to s nolo kïmbwn A ston jetikï pïlo kai to s nolo kïmbwn B ston arnhtikï pïlo miac phg c pou dhmiourge diaforà dunamiko 1, aut hposïthtae naihisod namhagwgimïthta( qwrhtikïthta)toukukl matocanàmesastoa kai sto B. Màlista, e kola mpore na dei kane c Ïti C(A, B) =C(B,A), afo,anh l nei to PST (7.2), tïte h 1- l nei to ant stoiqo PST me ton rïlo twn A kai B enallagmëno, en D( ) = D(1 ). Entel c anàloga apotelësmata me thn dia akrib c apïdeixh Ëqoume gia mia qronikà antistrëyimh markobian alus da. Thn ant stoiqh posïthta C(A, B) = inf 2F A,B D( ) = D( A,B )= 1 2 x,y2 (x)p(x, y) A,B(y) A,B(x) 2 onomàzoume qwrhtikïthta (capacity) anàmesa sta s nola katastàsewn A kai B. Sumbol zontac gia aplïthta th sunàrthsh dunamiko A,B me, mporo me na xanagràyoume th qwrhtikïthta, wc ex c. C(A, B) = 1 2 x,y2 (x)p(x, y) (y) (x) (y) 1 2 x,y2 (x)p(x, y) (y) (x) (x). An enallàxoume ton rïlo twn x kai y sto pr to àjroisma kai qrhsimopoi soume th sunj kh akribo c isorrop ac, pa rnoume peraitërw C(A, B) = 1 2 = x,y2 (y)p(y, x) (x) (y) (x) 1 2 x,y2 x,y2 (x)p(x, y) (y) (x) (x) = x2 (x)p(x, y) (y) (x) (x) (x) (x)l (x). 'Omwc apï to PST (3.3) pou ikanopoie h Ëqoume Ïti L (x) =0gia x /2 A [ B kai (x) =0gia x 2 B. EpomËnwc, sto teleuta o àjroisma epizo n mïno oi Ïroi gia x 2 A, giatoucopo oucëqoume (x) =1.'Etsi, x2a C(A, B) = (x)l (x) = (x) p(x, y) (x) (y) x2a y2 = (x) p(x, y) 1 (y) = (x) p(x, y)p y TB <T A x2a y2 x2a y2 = (x)p x T + B <T+ A = (x)p x TB <T + A. (7.5) x2a x2a Sthn proteleuta a isïthta qrhsimopoi same anàlush pr tou b matoc kai th markobian idiïthta kai sthn teleuta a Ïti A \ B = ;. Sthneidik per ptwshpoua = {x} kai B = {y} Ëqoume Ïti C(x, y) = (x)p x Ty <T x +. Qrhsimopoi ntac t ra th summetr a thc qwrhtikïthtac, C(A, B) =C(B,A), ftànoumestokajïloute- trimmëno apotëlesma Ïti gia opoiesd pote katastàseic x, y 2 miac qronikà antistrëyimhc markobian c alus dac Ëqoume (x)p x Ty <T x + = (y)py Tx <T y +. Mpore te na diabàsete perissïtera gia thn analog a markobian n alus dwn kai hlektrik n kuklwmàtwn sto exairetikï bibl o [3]. Eke mpore te na bre te kai mia apïdeixh pwc o aplïc, summetrikïc tuqa oc per patoc sto Z d e nai epanalhptikïc Ïtan d =1 2allàparodikÏcÏtand>2, qrhsimopoi ntacaut thn analog a kai thn Arq tou Rayleigh. 117

7.4 O algïrijmoc Metropolis-Hastings kai to montëlo Ising Hklasik mëjodocmonte Carlo qrhsimopoie ton nïmo ton megàlwn arijm n gia na upolog sei th mësh tim bàsei kàpoiac katanom c wc Ëna mëso Ïro anexàrthtwn deigmàtwn. SugkekrimËna, an 1, 2,... e nai anexàrthtec, isïnomec tuqa ec metablhtëc me katanom, onïmoctwnmegàlwnarijm nexasfal zei Ïti h P lim N!1 f( 1 )+f( 2 )+ + f( N ) N = E f i =1. Sunhjwc qrhsimopoie kane c th mëjodo Monte Carlo gia na upolog sei thn anamenïmenh tim E f prosomoi nontac anexàrthta de gmata 1, 2,..., N apï thn katanom kai pa rnontac ton mëso Ïro twn f( i ).OnÏmoctwnmegàlwnarijm nmacexasfal zeiïtimepijanïthta1,ïtanton e nai megàlo, oi d o posïthtec e nai kontà, en to kentrikï oriakï je rhma mpore na mac d sei ektim seic gia to tupikï sfàlma thc prosëggishc. Se pollëc endiafërousec efarmogëc to na pàrei kane c de gmata apï thn katanom e nai exairetikà d skolo. AutÏ mpore na sumbe giat o q roc ston opo o Ëqei oriste h katanom e nai pol plokoc kai h katanom den e nai akrib c gnwst. H mëjodoc MCMC prosomoi nei thn wc thn katanom isorrop ac miac markobian c alus dac. H prosomo wsh thc markobian c alus dac e nai sun jwc pol e kolh, afo h desmeumënh katanom thc n+1 dedomënhc thc n d netai apï tic pijanïthtec metàbashc thc alus dac. 'Eqoume dh dei p c g netai autï sta arijmhtikà peiràmata. Qreiàzetai Ïmwc na kataskeuàsoume katàllhlec pijanïthtec metàbashc pou ja mac exasfal zoun Ïti h { n } Ëqei katanom isorrop ac thn. To prïblhma autï den Ëqei monadik l sh, allà m a apï tic pio epituqhmënec prosegg seic e nai oalgïrijmocmetropolis-hastings. OalgÏrijmocautÏcmpore naperigrafe wcex c. Qwr cblàbhthcgenikïthtacmporo menaupojësoume Ïti (x) > 0 gia kàje x 2. Jewro meënanper patosto me pijanïthtec metàbashc r(x, y) apï thn katàstash x sthn katàstash y. An kàpoia stigm briskïmaste sthn katàstash x 2 epilëgoume thn upoy fia epïmenh katàstash y me pijanïthta r(x, y). SthsunËqeiaapofas zoumeanja metabo me sthn y me pijanïthta na to kànoume sh me (y)r(y, x) (y)r(y, x) ^ 1=min (x)r(x, y) (x)r(x, y), 1. HpijanÏthtametàbashcapÏthnx sthn y 6= x e nai to ginïmeno thc pijanïthtac na epilëxoume thn y wc upoy fia epïmenh katàstash me thn pijanïthta na pragmatopoi soume th metàbash, dedomënou Ïti epilëxame thn y. SugkekrimËna, (y)r(y, x) p(x, y) =r(x, y) (x)r(x, y) ^ 1, y 6= x. (7.6) EpomËnwc, h pijanïthta na parame noume sthn katàstash x e nai p(x, x) =1 p(x, z) 1 r(x, z) =r(x, x). z6=x ApÏ thn parapànw anisïthta blëpoume Ïti, an r(x, x) > 0 gia kàpoio x 2, tïtehalus dapou kataskeuàsame e nai autïmata aperiodik. AkÏma Ïmwc ki an epilëxoume r(x, x) =0gia kàje x 2, an oi pijanïthtec metàbashc {r(x, y)} x,y2 den e nai se akrib isorrop a me thn, tïteupàrqounx, y 2 me (y)r(y, x) < (x)r(x, y). EpomËnwc, p(x, x) > 1 r(x, z) =r(x, x) 0 z6=x 118 z6=x

kai pàli h alus da me pijanïthtec metàbashc {p(x, y)} x,y2 e nai aperiodik. H katanom pou jëloume na prosomoi soume kai oi pijanïthtec metàbashc {p(x, y)} x,y2 br skontai se akrib isorrop a. Pràgmati, gia x 6= y Ëqoume (y)r(y, x) (x) p(x, y) = (x)r(x, y) (x)r(x, y) ^ 1 = (y)r(y, x) ^ (x)r(x, y) = (y) p(y, x). S mfwna me to L mma 1, h e nai anallo wth katanom thc alus dac { n } me pijanïthtec metàbashc {p(x, y)} x,y2. EpiplËon, h { n } e nai mh upobibàsimh, Ïtan o per patoc pou or zoun oi pijanïthtec metàbashc {r(x, y)} x,y2 e nai mh upobibàsimoc. EpomËnwc, Ïpwc e dame sto prohgo meno Kefàlaio 6, Ëqoume P n = x n!1! (x). Mporo me loipïn na pàroume de gmata apï thn katanom, prosomoi nontacthn{ n } n2n0 gia arketï qrïno ste na Ërjei kontà sthn katanom isorrop ac thc. 'Ena klasikï paràdeigma katanom n pou parousiàzoun megàlo endiafëron kai suqnà e nai d skolo na prosomoiwjo n e nai oi katanomëc Gibbs. AutËc emfan zontai fusikà se sust mata pou br skontai se katàstash jermodunamik c isorrop ac se jermokras a T,opÏtehpijanÏthtanabro meënatëtoio s sthma se mia katàstash x me enërgeia H(x) e nai (x) = 1 Z( ) e H(x). Sthn parapànw sqësh = 1 KT e nai o paràgontac Boltzmann. H Z( ), hopo asthbibliograf athc Fusik c anafëretai wc sunàrthsh epimerismo (partition function), e nai mia stajerà kanonikopo hshc pou d netai apï th sqësh Z( )= e H(x). x2 Hsunàrthshepimerismo e naiï,tija jelenaxëreiënacstatistikïcfusikïcgiatos sthmapou meletà. PollËc jermodunamikëc paràmetroi tou sust matoc, Ïpwc h ele jerh enërgeia, h entrop a h p esh, mporo n na upologisto n apï thn Z( ) kai tic parag gouc thc. Sun jwc Ïmwc e nai d skolo na upologiste to parapànw àjroisma. S' Ëna aplï montëlo magn tishc gia paràdeigma, stic korufëc enïc tetragwniko plëgmatoc L L topojeto me swmat dia pou Ëqoun spin +1-1. H katàstash tou sust matoc x perigràfetai apï to spin se kàje koruf tou plëgmatoc, epomënwc o q roc katastàsewn Ëqei plhjàrijmo 2 L2.GiaËnaplËgma100 100 atïmwn o arijme 2 10000 10 3000 katastàseic. AutÏc e nai Ënac teràstioc arijmïc. Ta àtoma sto s mpan ektimàtai Ïti e nai thc tàxhc tou 10 80. ParÏti loipïn h sunàrthsh enërgeiac tou sust matoc H mpore na e nai gnwst, e nai suqnà d skolo na pàrei kane c de gmata apï thn katanom giat den mpore na upolog sei to àjroisma ston orismï thc sunàrthshc epimerismo. Me ton algïrijmo Metropolis-Hastings Ëqoume to pleonëkthma Ïti den qreiàzetai na gnwr zoume th Z gia na prosomoi soume thn alus da. SugkekrimËna, epilëgontac gia aplïthta mia summetrik r, r(x, y) =r(y, x) gia kàje x, y 2, oipijanïthtecmetàbashce naigiax6= y p(x, y) =r(x, y) (y) (x) ^ 1 = r(x, y) e H(y) H(x) ^ 1 = r(x, y)e H(y) H(x) +. Mporo me na epilëxoume tic r(x, y) na e nai 0, ektïc an oi katastàseic x, y diafëroun mïno wc proc to spin m ac apï tic L 2 jëseic, opïte r(x, y) =1/L 2.Seaut thnper ptwshoalgïrijmocmetropolis-hastings ja efarmozïtan wc ex c: 119

1. EpilËgoume tuqa a Ëna swmat dio sto plëgma. 2. Upolog zoume pïso metabàlletai h enërgeia tou sust matoc, an allàxoume to spin auto tou swmatid ou. An x e nai h paro sa katàstash kai y hkatàstashpouprok ptei,anallàxoumeto spin tou swmatid ou pou epilëxame sto b ma 1, upolog zoume th diaforà H = H(y) H(x). 3. An H apple 0, allàzoumetospintouswmatid oukaihnëakatàstashg netaihy. An H>0, tïte allàzoume to spin tou swmatid ou me pijanïthta e H,diaforetikàparamËnoumesthnkatàstash x. 4. EpistrËfoume sto b ma 1. Ston k dika ising.py ulopoio me se gl ssa Python ton algïrijmo gia to montëlo Ising, s mfwname to opo o h enërgeia tou sust matoc sthn katàstash x d netai apï th sqësh H(x) = i j x(i)x(j). Sthn parapànw sqësh x(i), x(j) 2 { 1, +1} e nai ta spin thc katàstashc x stic jëseic i, j ant stoiqa, en o sumbolismïc i j de qnei Ïti h àjroish ekte netai se zeugària swmatid wn pou geitniàzoun sto plëgma. To plëgma pou qrhsimopoio me ston k dika Ëqei L = 128, en oparàgontacboltzmann e nai =1/3. ProsËxte Ïti efïson >0, tomëtrogibbs apod dei megal terh pijanïthta se katastàseic pou Ëqoun qamhl enërgeia. Ston upologismï thc enërgeiac miac katàstashc x sto montëlo Ising kàje zeugàri geitonik n swmatid wn suneisfërei -1, an ta spin touc Ëqoun ton dio prosanatolismï, kai +1, an Ëqoun ant jeto. 'Ara katastàseic Ïpou geitonikà swmat dia Ëqoun to dio spin e nai pio pijanëc, gi' autï kai to montëlo Ising e nai Ëna montëlo sidhromagnhtismo. Parathr ste Ïti, epeid r(x, y) 6= 0mÏnoantaspintwnkatastàsewn x, y diafërounsem amïnojësh,den e nai anàgkh na upolog soume olïklhrh th sunàrthsh enërgeiac sto 2o b ma parapànw. SugkËkrimËna, an h y prok ptei apï th x allàzontac to spin tou swmatid ou pou br sketai sth jësh k, dhlad ( x(j) j 6= k y(j) = x(j) j = k, tïte H = H(y) H(x) = i j y(i)y(j)+ i j x(i)x(j) =2x(k) j: j k EpomËnwc, prokeimënou na upolog soume th metabol sthn enërgeia pou prok ptei apï thn allag tou spin enïc swmatid ou, arke na upolog soume to ajroistikï spin twn geitïnwn auto tou swmatid ou. Ac melet soume t ra ton rïlo tou paràgonta Boltzmann. Jumhje te Ïti H(x) e (x) = Py2 e H(y). Gia!1,dhlad Ïtanhjermokras at # 0, hkatanom te nei na sugkentrwje stic katastàseic me th mikrïterh dunat enërgeia. Sto montëlo Ising autëc e nai oi d o katastàseic x + kai x Ïpou Ïla ta spin Ëqoun ton dio prosanatolismï, Ïla +1 sthn katàstash x +, Ïla-1sthnkatàstashx. SugkekrimËna, (x + )! 1 2, (x )! 1 2 120 kaj c!1. x(j).

Sq ma 7.1: TupikËc diamorf seic twn spin s' Ëna plëgma diastàsewn 128 128 gia mia megàlh jermokras a (aristerà) kai gia mia jermokras a kontà sto 0 (dexià). Ant jeta gia = 0 (àpeirh jermokras a) Ïlec oi katastàseic Ëqoun thn dia pijanïthta (x) = L2. 1 = 2 BlËpoume loipïn Ïti, kaj c jerma noume to s sthma apï th jermokras a T = 0 sth jermokras a T = 1, to s sthma metaba nei apï mia katàstash pl rouc orgànwshc (Ïla ta spin prosanatolismëna) se mia katàstash pl rouc atax ac, Ïpou Ïlec oi diamorf seic spin e nai isop janec. Sto Sq ma 7.4 blëpoume de gmata apï thn katanom pou Ëqoume pàrei me th bo jeia tou algor jmou mac gia = 1/3 (aristerà) kai gia = 1 (dexià). Ta ma ra pixel antistoiqo n se swmat dia me spin +1 en ta àspra se swmat dia me spin -1. Epibebai noume arijmhtikà Ëtsi Ïti se qamhlëc jermokras ec (dexià) ta spin te noun na e nai se sumfwn a, en se uyhlëc jermokras ec (aristerà) ta spin fa nontai tuqa a prosanatolismëna. Sta arijmhtikà peiràmata ja exetàsoume p c pragmatopoie tai h metàbash apï th m a eikïna sthn àllh kaj c katebàzoume th jermokras a kai ja do me Ïti aut h metàbash sumba nei apïtoma, Ïtan h jermokras a pësei kàtw apï mia kr simh tim. PerissÏtera gia ton algïrijmo Metropolis-Hastings kai gia th mëjodo MCMC mpore te na diabàsete stic anaforëc [4] kai [5]. 7.5 ProsomoiwmËnh anïpthsh (simulated annealing) Sthn prohgo menh paràgrafo e dame Ïti kaj c! 1 (kaj c y qoume to s sthma), h katanom Gibbs te nei na sugkentrwje stic katastàseic eke nec Ïpou h enërgeia tou sust matoc elaqistopoie tai. Sto montëlo Ising oi katastàseic pou elaqistopoio n thn enërgeia e nai profane c. Upàrqoun Ïmwc parade gmata Ïpou to elàqisto thc sunàrthshc enërgeiac H e nai exairetikà d skolo na upologiste, Ïpwc gia paràdeigma sto prïblhma tou planïdiou pwlht pou prëpei na episkefte mia seirà apï pïleic kai jëlei na brei th seirà me thn opo a ja tic episkefte, ste na elaqistopoi sei th sunolik apïstash pou ja dian sei. H mëjodoc thc prosomoiwmënhc anïpthshc qrhsimopoie aut thn idiïthta twn katanom n Gibbs gia 121

na upolog sei to elàqisto miac sunàrthshc. H idëa ofe lei to Ïnomà thc se mia teqnik epexergas ac metàllwn me stadiak y xh touc (anïpthsh) kai e nai pol apl. Qrhsimopoio me ton algïrijmo Metropolis-Hastings gia kàpoio arqikï >0. MetàapÏËnanarijmÏbhmàtwn stehalus damacnaëqei prosegg sei thn katàstash isorrop ac pou antistoiqe se aut n th jermokras a, anebàzoume thn tim tou (y qoume to s sthma). Sun jwc r qnoume th jermokras a katà Ënan pollaplasiastikï paràgonta y xhc (cooling factor). Sthn kaino rgia jermokras a af noume pàli thn alus da mac na prosegg sei thn isorrop a. H sunàrthsh r(, ) ston algïrijmo Metropolis-Hastings mpore na allàzei kaj c allàzoume th jermokras a. AutÏ sun jwc g netai epitrëpontac Ïlo kai pio entopismënec metabàseic Ïso h jermokras a kateba nei, ste o algïrijmoc na entop zei to elàqisto me megal terh akr beia. H epilog tou paràgonta y xhc kai thc r onomàzetai prïgramma y xhc (cooling schedule) kaiëqei,ïpwcjado mestic programmatistikëc ask seic, megàlh shmas a sthn apotelesmatik leitourg a tou algor jmou. Kaj c epanalambànoume th diadikas a, anebàzontac stadiakà thn tim tou,oikatastàseicmeqamhl enërgeia g nontai Ïlo kai pio pijanëc kai sto Ïrio kaj c!1halus damacjabr sketaimemegàlhpijanïthta se kàpoia apï tic katàstaseic me th qamhlïterh enërgeia. Pio sugkekrimëna, ac upojësoume qwr c blàbh thc genikïthtac (afo an metatop soume th sunàrthsh enërgeiac katà m a stajerà, to mëtro den allàzei) Ïti to elàqisto thc sunàrthshc H sto e nai to 0. Or zoume to stajmikï s nolo thc H E t = {x 2 : H(x) apple t}. To s nolo E 0 apotele tai apï ta shme a tou sta opo a h H lambànei thn elàqisth tim thc. 'Estw E 0 = M oplhjàrijmoctoue 0. Gia >0 to s nolo E c e nai eke nec oi katastàseic me enërgeia toulàqiston. Mporo menaektim soumethn E c wc ex c: E c = P x2e c e H(x) Px2E c e H(x) + P x2e e H(x) apple Px2E c e H(x) P x2e c e H(x) + M apple M e. BlËpoume loipïn Ïti, kaj c!1,h E c te nei sto 0 kai màlista ekjetikà gr gora. EpomËnwc, Ëqontac af sei thn alus da na isorrop sei se mia qamhl jermokras a, me pol megàlh pijanïthta aut ja breje se kàpoio shme o tou, pou d nei sth sunàrthsh H tim kontà sto elàqistï thc. OlÏgocpouy qoumestadiakàtos sthmae naigianamhnpagideuto mesetopikàelàqistathcsunàrthshc H. AutÏc e nai o kuriïteroc lïgoc pou o algïrijmoc thc prosomoiwmënhc anïpthshc doule ei pol kal tera apï klasikëc mejïdouc kl shc, sthn per ptwsh pou ta stajmikà s nola thc H, E t = {x 2 : H(x) apple t} Ëqoun pol plokh gewgraf a. Paràdeigma 50 Ac do me t ra th mëjodo thc prosomoiwmënhc anïpthshc mësa apï Ëna e kolo paràdeigma pou mporo me na l soume kai analutikà. H sunàrthsh V (x) = x4 4 + 7x3 15 4x 2 5 4x 5 +2 (7.7) Ëqei elàqisto sto x = 2 me V ( 2) = 2 3 kai topikï elàqisto sto x =+1me V (1) = 67/60. StoSq ma 7.2 fa netai h grafik paràstash thc sunàrthshc V ( ). Ok dikacpotential siman.py ulopoie se Python ton algïrijmo thc prosomoiwmënhc anïpthshc. H stajerà gamma ston k dika kajor zei ton paràgonta y xhc, afo Ïtan katebàzoume th jermokras a h nëa jermokras a T e nai h prohgo menh pollaplasiasmënh me 1-gamma. ToprÏgrammaepanalambàneiiter forëc ton algïrijmo kai upolog zei to posostï p twn for n pou epitugqànei na brei to olikï elàqisto, dhlad to -2. 122

V(x) 1 2 3 4 5-3 -2-1 0 1 2 x Sq ma 7.2: H grafik paràstash thc sunàrthshc V tou Parade gmatoc 50 Sta arijmhtikà peiràmata ja Ëqete thn eukair a na de te Ëna kino meno sqëdio sqetikà me to p c leitourge o algïrijmoc thc prosomoiwmënhc anïpthshc sto sugkekrimëno paràdeigma kai p c ephreàzetai h apotelesmatikïthta tou algor jmou sto na entop zei to elàqisto apï to prïgramma y xhc. Me ant stoiqo trïpo mporo me na epiqeir soume na bro me to elàqisto kai sthn per ptwsh tou probl matoc tou planïdiou pwlht. Me dedomënec tic jëseic twn pïlewn mporo me na pàroume wc q ro twn katastàsewn thc alus dac mac tic kuklikëc metajëseic twn pïlewn pou ja paristànoun th seirà me thn opo a o pwlht c episkëptetai tic pïleic. San enërgeia miac tëtoiac katàstashc mporo me na pàroume to sunolikï m koc tou monopatio pou dian oume gia episkepto me tic pïleic me th sugkekrimënh seirà. Me autï to prïblhma ja asqolhje te ekten c sta arijmhtikà peiràmata. Mpore te na bre te perissïterec plhrofor ec gia thn prosomoiwmënh anïpthsh sthn anaforà [5]. 123

7.6 Ask seic 'Askhsh 111 Sto d ktuo tou diplano sq matoc upolog ste ton de kth shmantikïthtac pou kataskeuàsame sthn paràgrafo 7.2 gia kàje koruf tou. 'Askhsh 112 An diathro sate th sel da 1 tou diplano sq matoc p c ja mporo sate na aux sete ton de kth shmantikïthtàc thc ste na emfan zetai pio yhlà se sqetikëc anazht seic; 'Askhsh 113 Kataskeuàste mia markobian alus da ston q ro = {A, B, C, D, E, F, G}, stenaëqeikatanom isorrop ac = (A), (B), (C), (D), (E), (F ), (G) =(1/4, 1/8, 1/6, 1/16, 3/16, 1/12, 1/8). 'Askhsh 114 De xte Ïti an B 1 B 2,tÏteC(A, B 1 ) apple C(A, B 2 ). 'Askhsh 115 Ston algïrijmo Metropolis-Hastings pa rnoume tic proteinïmenec metabàseic {r(x, y)} x,y2 anexàrthtec apï thn katàstash afethr ac, dhlad r(x, y) = (y), x,y 2, Ïpou h ( ) e nai mia s.m.p. ston, tëtoia ste (x) > 0 gia kàje x 2. Or zoume w(x) = (x) (x). Me aut thn epilog oi pijanïthtec metàbashc thc alus dac tou algor jmou g nontai w(x) p(x, y) = (y) w(y) ^ 1. An taxinom soume tic katastàseic tou = {x 1,...,x N }, ste w(x 1 ) apple w(x 2 ) apple...apple w(x N ), de xte Ïti oi idiotimëc kai ta ant stoiqa idiodian smata tou p naka pijanot twn metàbashc P = {p(x, y)} x,y2 e nai 1 =1, v 1 =(1, 1,...,1) T kai gia k 2{1, 2,...,N 1} k+1 = N j=k+1 (x j ) w(x j ) w(x k ), v k+1 = 0,...,0, De xte Ïti 1= 1 > 2 =1 w(x 1 ) > 3 > > N. 7.7 Arijmhtikà peiràmata N j=k+1 (x j ), (x k ),..., (x k ) T. 'Askhsh 116 OalgÏrijmocMetropolis-Hastings mac epitrëpei na epilëxoume tuqa a Ëna shme o apï kàpoio qwr o D R n,anpàroumewcsunàrthshenërgeiacthn ( 0, an x 2 D H(x) = +1, an x/2 D. 124

O k dikac disc sampler.py qrhsimopoie ton algïrijmo Metropolis-Hastings gia na pàrei 1.000 de gmata apï mia tuqa a metablht me omoiïmorfh katanom ston monadia o d sko D 2 = {(x, y) 2 R 2 : x 2 + y 2 < 1}. Halus daxekinàapïtomhdën.hproteinïmenhmetatïpishe naiomoiïmorfhsto(-1,1)paràllhlhproc Ënan apï touc àxonec. Af noume thn alus da na kànei N = 100 b mata prin pàroume Ëna de gma. a) Allàxte ton k dika ste gia diàforec timëc tou na upolog zei poio posostï apï ta proteinïmena b mata pragmatopoi jhkan kai na kataskeuàzei to gràfhma twn deigmàtwn pou p rate apï ton d sko. Mpore te na exhg sete giat o algïrijmoc den d nei kalà apotelësmata an epilëxoume to pol kontà sto mhdën pol megàlo; b) Allàxte ton k dika ste na d nei 1.000 tuqa a de gmata apï th monadia a sfa ra D d stic d diastàseic. g) ProkeimËnou na pàroume Ëna tuqa o de gma apï ton k lindro S d+1 = {(x 1,...,x d+1 ) 2 R d+1 : (x 1,...,x d ) 2 D d, x d+1 < 1}, arke na epilëxoume to (x 1,...,x d ) omoiïmorfa apï th D d kai th x d+1 omoiïmorfa apï to (-1,1). Parathr ste Ïti S d+1 =2 D d (epifàneia bàshc ep yoc) kai xanakànete thn 'Askhsh 93, qrhsimopoi ntac aut th forà de gmata apï ton k lindro S d+1 kai metr ntac pïsa apï autà Ëpesan sth D d+1. E nai t ra ikanopoihtik h ekt mhs sac akïma kai se arketà megàlec diastàseic; 'Askhsh 117 Sthn àskhsh aut ja qrhsimopoi soume ton algïrijmo Metropolis-Hastings gia na kànoume deigmatolhy a apï thn anallo wth katanom tou montëlou Ising. Katabàste kai ano xte ton k dika ising.py. Ston k dikà mac jewro me L = 64, opïte o q roc twn dunat n diamorf sewn Ëqei plhjàrijmo 2 4096 > 10 1200. Katalaba nei kane c Ïti h deigmatolhy a apï Ënan tïso megàlo q ro e nai praktikà ad nath me sumbatikëc mejïdouc. O k dikac qrhsimopoie ton algïrijmo Metropolis-Hastings gia na prosomoi sei mia markobian alus da ston pou xekinà apï mia tuqa a arqik diamïrfwsh kai Ëqei katanom isorrop ac thn. a) TrËxte ton k dika gia th dosmënh jermokras a T = 30 kai de te th diamïrfwsh sthn opo a katal gei o algïrijmoc. Epanalàbete merikëc forëc. b) Allàxte ton k dika ste h arqik diamïrfwsh twn spin na e nai +1 panto. anatrëxte ton k dika merikëc forëc. Allàzoun ta poiotikà qarakthristikà thc diamïrfwshc pou epistrëfei o algïrijmoc; g) Arq ste t ra na katebàzete th jermokras a, jëtontac diadoqikà T = 10.0, 3.0, 1.0, 0.3, 0.1, 0.03 kai perigràyte ti parathre te. d) Exhg ste giat h gramm tou k dika if random.uniform(0.0,1.0) < math.exp(-deltae/temperature): Spin[k] *=-1 ulopoie ton algïrijmo Metropolis-Hastings. e) H magn tish tou sust matoc or zetai wc o mësoc Ïroc twn spin tou plëgmatoc, dhlad m( )= 1 k2 Exetàste p c sumperifëretai h m( ) gia tic katastàseic jermokras a, Ïpwc sto er thma (b). (k). pou d nei o algïrijmoc kaj c katebàzete th e) Gia th jermokras a T = 0.03 allàxte thn tim thc paramëtrou nsteps. P c moiàzoun ta endiàmesa stàdia apï ta opo a pernàei h alus da mëqri na katal xoume sthn eikïna pou p rame gia 125

nsteps = 100 L L; st) H jewr a problëpei Ïti upàrqei mia apïtomh metabol fàshc apï thn paramagnhtik katàstash (uyhl jermokras a) sth sidhromagnhtik (qamhl jermokras a) Ïtan ' 0.44. Mpore te na epibebai sete arijmhtikà autï to gegonïc; 'Askhsh 118 Sthn àskhsh aut ja qrhsimopoi sete th mëjodo thc prosomoiwmënhc anïpthshc gia na bre te to elàqisto miac sunàrthshc V : R! R. O algïrijmoc Ëqei wc ex c. 'Ena swmat dio e nai arqikà topojethmëno tuqa a sto diàsthma (-3.5,+3.5) se jermokras a T = 128. Sekàjeb maepiqeire mia metatïpish pou akolouje omoiïmorfh katanom sto diàsthma (, + ) kai pragmatopoie th metatïpish s mfwna me ton algïrijmo Metropolis-Hastings. Kàje100b matar qnoumethjermokras akai epanalambànoume mëqri h jermokras a na pësei kàtw apï to T =0.01. Katebàste ton k dika sim annealing.py kai melet ste ton. H paràmetroc minima sac epitrëpei na epilëxete an ja elaqistopoi sete mia sunàrthsh me 1, 2 3 topikà akrïtata. H arqik epilog e nai 3. H paràmetroc gamma sac epitrëpei na elëgxete ton rujmï y xhc. H arqik epilog e nai na r qnoume th jermokras a sto misï kàje 100 b mata. H paràmetroc iterations sac epitrëpei na epanalàbete th diadikas a e reshc tou elaq stou Ïsec forëc jëlete. H arqik epilog thc e nai 1. H paràmetroc delta elëgqei to mëgejoc thc epiqeiro menhc metatïpishc se kàje b ma. H arqik thc epilog e nai 3. TËloc h logik paràmetroc animation elëgqei an jëloume na do me mia optik anaparàstash thc prosomoiwmënhc anïpthshc. H arqik thc epilog e nai True. a) TrËxte ton k dika. Parathr ste p c se megàlec jermokras ec to swmat dio kine tai sqetikà ele jera ston q ro kai p c kaj c y qoume to s sthma to swmat dio entop zetai kontà sto olikï elàqisto thc V.Allàxte thn paràmetro minima kai epanalàbete. b) Allàxte thn paràmetro iterations se 1000 kai thn paràmetro animation se False ste na epitaq nete thn ektëlesh tou progràmmatoc. Gia tic diàforec timëc thc paramëtrou minima bre te se ti posostï epitugqànei o algïrijmoc na entop sei to elàqisto thc V. g) Allàxte thn tim thc paramëtrou delta se 0.1 kai epanalàbete to prohgo meno er thma. Poio e- nai t ra to posostï epituqo c e reshc tou oliko elaq stou; Giat piste ete Ïti sumba nei autï; An jëlete na Ëqete mia eikïna tou ti sumba nei, allàxte thn paràmetro iterations se 1 kai thn paràmetro animation se True gia na de te p c kine tai to swmat dio kai trëxte ton k dika mëqri na de te to swmat dio na katal gei kontà se Ëna topikï elàqisto, diaforetikï apï to olikï. d) Allàxte ton k dika ste na br skei to elàqisto thc sunàrthshc V thc (7.7). e) Metabàlete to gamma kai de te p c sumperifëretai to posostï p twn epituqhmënwn prospajei n wc sunàrthsh tou gamma. -Epalhje steïtigiasqetikàmegàlectimëctougamma (p.q. > 1/2) ooalgïrijmocdenbr skeipànta to olikï elàqisto. -Po termat zeioalgïrijmocsticpeript seicpoudenbr skeitoolikïelàqisto;tiparathre te; -Parast stegrafikàthnpijanïthtap wc sunàrthsh tou gamma. -Epalhje steïtigiapol mikrëctimëctougamma Ëqoume p pol kontà sto 1. Dhlad gia katàllhla argï rujmï anïpthshc o algïrijmoc entop zei to olikï elàqisto me pijanïthta kontà sto 1. 'Askhsh 119 Sthn àskhsh aut ja qrhsimopoi soume ton algïrijmo thc prosomoiwmënhc anïpthshc gia na l soume to prïblhma tou planïdiou pwlht. Katebàste to arqe o eu.csv pou periëqei to gewrgafikï m koc kai plàtoc 27 eurwpaapplek n pïlewn. Katebàste touc k dikec siman tsp.py kai plot lib.py. Opr tocperilambàneithbasik rout napoujaqrhsimopoi soume,en ode teroceisàgetaiwcbiblioj kh kai qrhsimopoie tai gia ta diagràmmata pou ja kataskeuàsoume. O k dikac siman tsp.py diabàzei apï to arqe o eu.csv tic pïleic kai ta gewgrafikà m kh kai plàth touc kai qrhsimopoie th rout na geodesic distance gia na upolog sei th gewdesiak touc apïstash (thn apïstas touc pànw sth 126

g inh sfa ra). Sth sunëqeia qrhsimopoie ton algïrijmo thc prosomoiwmënhc anïpthshc gia na upolog sei mia proseggistik l sh gia to prïblhma tou planïdiou pwlht, dhlad me poia seirà prëpei na episkefte kane c autëc tic pïleic ste na elaqistopoi sei th sunolik apïstash pou ja dian sei. Sthn ËxodÏ tou o k dikac epistrëfei tr a diagràmmata. To pr to Ëqei Ëna monopàti Ïpou oi episkëyeic stic pïleic g nontai me tuqa a seirà. To de tero Ëqei to bëltisto monopàti pou upolog zei o algïrijmoc thc prosomoiwmënhc anïpthshc, en to tr to de qnei p c exel ssetai h sunolik apïstash gia to trëqon monopàti tou algor jmou (mple gramm ) kai gia to bëltisto monopàti pou Ëqei breje mëqri tïte (kïkkinh gramm ), kaj c katebàzoume th jermokras a. a) TrËxte ton k dika siman tsp.py kai de te to monopàti pou epistrëfei o algïrijmoc thc prosomoiwmënhc anïpthshc kai thn exëlixh thc sunolik c apïstashc kaj c y qoume to s sthma. Tup ste autà ta diagràmmata kai exhg ste thn eikïna pou blëpete sto de tero. b) Entop ste ston k dika tic entolëc pou ulopoio n ton algïrijmo Metropolis-Hastings kai exhg ste p c akrib c allàzei to monopàti se kàje b ma tou algor jmou. g) Allàxte ton k dika ste na diabàzei apï to arqe o europe.csv tic suntetagmënec 35 eurwpaapplek n pïlewn kai l ste to prïblhma tou planïdiou pwlht pou jëlei na episkefte kai tic 35 autëc pïleic. Sto diàgramma den tup nontai ta onïmata twn pïlewn gia na e nai pio eukrinëc to monopàti. d) PÏsa e nai ta dunatà monopàtia pou perno n apï Ïlec tic 35 pïleic m a mïno forà; An se Ënan u- pologist o qrïnoc pou apaite tai gia ton upologismï tou sunoliko m kouc enïc tëtoiou monopatio tan 1msec, pïso qrïno ja qreiazïmastan gia na bro me to bëltisto monopàti me Ënan exantlhtikï algïrijmo pou ja upolïgize th sunolik apïstash pou ja dian sei o planïdioc pwlht c katà m koc kàje monopatio kai ja epëstrefe to monopàti me thn elàqisth sunolik apïstash; 127