Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019

Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών

N = {1, 2, 3,...} το σύνολο των ϕυσικών αριθµών. Z το σύνολο των ακεραίων αριθµών. Q το σύνολο των ϱητών αριθµών. R το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. R = R {, + } το επεκταµένο σύνολο πραγµατικών αριθµών. Πρόταση Θεωρούµε n N, n 2 Για κάθε x,y ισχύει y n x n = (y x)(y n 1 + y n 2 x +... + yx n 2 + x n 1 ). Ισχύει nx n 1 (y x) y n x n ny n 1 (y x), 0 x y. ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΤΟΥ BERNOULLI Εστω n N, τότε (α + 1) n nα + 1, α 1.

Το Επεκταµένο Σύνολο των Πραγµατικών Αριθµών I Το επεκταµένο σύνολο πραγµατικών αριθµών ορίζεται ως εξής : R = R {, + }. Για κάθε πραγµατικό αριθµό x ισχύει : Ορίζονται τα αντίθετα : Ορίζουµε τα αντίστροφα : Ορίζουµε τις απόλυτες τιµές : < x, x < +, < +. (+ ) =, ( ) = +. 1 + = 0, 1 = 0. + = +, = +. Οσο αφορά τις πράξεις µεταξύ των στοιχείων του συνόλου R ισχύουν τα εξής :

Το Επεκταµένο Σύνολο των Πραγµατικών Αριθµών II Άθροισµα (+ ) + x = +, x + (+ ) = +, (+ ) + (+ ) = +, ( ) + x =, x + ( ) =, ( ) + ( ) =. ιαφορά (+ ) x = +, x (+ ) =, (+ ) ( ) = +, ( ) x =, x ( ) = +, ( ) (+ ) =. Γινόµενο (± )x = ±, x(± ) = ±, αν x > 0, (± )x =, x(± ) =, αν x < 0, (± )(± ) = +, (± )( ) =.

Το Επεκταµένο Σύνολο των Πραγµατικών Αριθµών III Λόγος ± = ±, αν x > 0, x ± =, αν x < 0, x x ± = 0. Επιπλέον, έχουµε τις παρακάτω απροσδιορίστες µορφες. Απροσδιόριστες Μορφές Αθροίσµατος (+ ) + ( ), ( ) + (+ ). Απροσδιόριστες Μορφές ιαφοράς (+ ) (+ ), ( ) ( ).

Το Επεκταµένο Σύνολο των Πραγµατικών Αριθµών IV Απροσδιόριστες Μορφές Γινοµένου (± ) 0, 0(± ). Απροσδιόριστες Μορφές Λόγου 1 0, x 0, ± 0, ± ±, ±.

Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών

Ορισµός Ακολουθία πραγµατικών αριθµών ονοµάζεται κάθε απεικόνιση του συνόλου των ϕυσικών αριθµών N στους πραγµατικούς αριθµούς R, δηλαδή f : N R. Για κάθε n N έχουµε f (n) = α n. Την ακολουθία τη συµβολίζουµε α 1, α 2,..., α n,... ή (α n ) n N ή (α n ) Ο όρος α n καλείται γενικός όρος της ακολουθίας, ενώ οι τιµές α 1, α 2,... καλούνται όροι της ακολουθίας.

Παρατηρήσεις Τρόποι γραφής µιας ακολουθίας Να δίνεται ο νιοστός όρος της ακολουθίας συναρτήσεως του n π.χ. α n = 1 n Να δίνεται ο αναδροµικός τύπος της ακολουθίας, δηλαδή δίνεται ο πρώτος όρος της ακολουθίας και ένας κανόνας µέσω του οποίου µπορεί να υπολογισθεί ο τυχαίος όρος της ακολουθίας από τον προηγούµενο του, π.χ. α 1 = 1 2 και α n+1 = 2α n + 4. Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας αποτελείται από µεµονωµένα σηµεία πάνω στο καρτεσιάνο επίπεδο.

Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών

Ορισµός Μια ακολουθία (α n ) καλείται γνησιώς αύξουσα αν και µόνο αν Ορισµός α n+1 > α n, για κάθε n = 1, 2,... Μια ακολουθία (α n ) καλείται γνησίως ϕθίνουσα αν και µόνο αν α n+1 < α n, για κάθε n = 1, 2,... Παρατήρηση: Στις δυο παραπάνω περιπτώσεις η ακολουθία (α n ) χαρακτηρίζεται ως γνησίως µονότονη.

Ορισµός Μια ακολουθία (α n ) καλείται αύξουσα αν και µόνο αν Ορισµός α n+1 α n, για κάθε n = 1, 2,... Μια ακολουθία (α n ) καλείται ϕθίνουσα αν και µόνο αν α n+1 α n, για κάθε n = 1, 2,... Παρατήρηση: Στις δυο παραπάνω περιπτώσεις η ακολουθία (α n ) χαρακτηρίζεται ως µονότονη.

Ορισµός Μια ακολουθία (α n ) καλείται σταθερή αν και µόνο αν όλοι οι όροι της είναι ίσοι µεταξύ τους, δηλαδή α n = c, n N. Ασκηση 1 Να εξεταστούν ως προς τη µονοτονία οι παρακάτω ακολουθίες α n = (1 + 1 n )n, β n = 1 + 1 2! +... + 1 n!.

Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών

Ορισµός Μια ακολουθία (α n ) καλείται άνω ϕραγµένη αν και µόνο αν M R : α n M, για κάθε n = 1, 2,... Ο αριθµός M καλείται άνω ϕράγµα της (α n ). Ορισµός Μια ακολουθία (α n ) καλείται κάτω ϕραγµένη αν και µόνο αν m R : α n m, για κάθε n = 1, 2,... Ο αριθµός m καλείται κάτω ϕράγµα της (α n ).

Ορισµός Μια ακολουθία (α n ) καλείται ϕραγµένη αν και µόνο αν m, M R : m α n M, n N. Ορισµός Μια ακολουθία (α n ) καλείται απόλυτα ϕραγµένη αν και µόνο αν A > 0 : α n A, n N. Πρόταση Η ακολουθία είναι ϕραγµένη αν και µόνο αν είναι απόλυτα ϕραγµένη.

Παρατηρήσεις Το άνω και το κάτω ϕράγµα αν υπάρχουν δεν είναι µοναδικά. Μια αύξουσα ακολουθία είναι κάτω ϕραγµένη από τον πρώτο όρο της. Μια ϕθινούσα ακολουθία είναι άνω ϕραγµένη από τον πρώτο όρο της.

Παραδείγµατα 1. Κάθε σταθερή ακολουθία είναι ϕραγµένη. 2. Η ακολουθία α n = 1 1 2 n είναι ϕραγµένη. 3. Η ακολουθία α n = sin 1 είναι απόλυτα ϕραγµένη. n 2 +1 4. Η ακολουθία α n = ( 1)n 1 είναι ϕραγµένη. n 5. Η ακολουθία α n = ( 1) n 1 n δεν είναι ούτε άνω ούτε κάτω ϕραγµένη.

Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών

Ορισµός Θεωρούµε µια ακολουθία (α n ) και µια γνησίως αύξουσα ακολουθία ϑετικών ακεραίων n 1 < n 2 <... < n k <... Τότε ορίζεται µια ακολουθία µε όρους β k = α nk. Η β k καλείται υπακολουθία της (α n ). Παράδειγµα Η υπακολουθία των άρτιων δεικτών της (α n ) είναι (α 2, α 4, α 6,...) = (α 2k ). Η υπακολουθία των περιττών δεικτών της (α n ) είναι (α 1, α 3, α 5,...) = (α 2k 1 ).

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Αν µια ακολουθία είναι ϕραγµένη, τότε κάθε υπακολουθία αυτής είναι ϕραγµένη. Σηµείωση : Η παραπάνω ιδιότητα ισχύει και αν η ακολουθία είναι άνω (κάτω) ϕραγµένη. Αν τουλάχιστον µια υπακολουθία µιας ακολουθίας δεν είναι ϕραγµένη, τότε και η ακολουθία δεν είναι ϕραγµένη. Σηµείωση : Η παραπάνω ιδιότητα ισχύει και αν µια υπακολουθία δεν είναι άνω (κάτω) ϕραγµένη. Αν µια ακολουθία είναι µονότονη (γνήσια µονότονη), τότε και κάθε υπακολουθία αυτής είναι µονότονη (γνήσια µονότονη).

Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών

Ορισµός Περιοχή ενός πραγµατικού αριθµού x 0 καλείται κάθε διάστηµα της µορφής (x 0 ɛ, x 0 + ɛ), όπου ɛ > 0. Το x 0 καλείται κέντρο της περιοχής και το ɛ ακτίνα. Ορισµός Μια ακολουθία (α n ) λέµε ότι συγκλίνει στο α R ή ότι η (α n ) τείνει στο α ή ότι ο α είναι το όριο της (α n ) αν και µόνο αν ɛ > 0, n 0 N : για κάθε n n 0 α n α < ɛ. Συµβολικά γράφουµε lim n + α n = α ή lim α n = α ή α n α.

Ορισµός Μια ακολουθία (α n ) καλείται µηδενική ακολουθία αν και µόνο αν ɛ > 0, n 0 N : για κάθε n n 0 a n < ɛ. Παρατήρηση : Αν α n α, τότε η ακολουθία α n α είναι µια µηδενική ακολουθία, δηλαδή είναι µια ακολουθία µε όριο 0. Ασκηση 2 Χρησιµοποιώντας τον ορισµό του ορίου να δειχθεί ότι α n = n2 n n 2 + n 1, β n = 1 n 0.

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΣΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ Πρόταση Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στο R έχει ένα και µόνο όριο. Πρόταση Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στο R είναι ϕραγµένη. Σηµείωση: Το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης δεν ισχύει. Πρόταση Αν µια ακολουθία συγκλίνει στο α, τότε και κάθε υπακολουθία αυτής συγκλίνει στο α.

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ Αν α n = α, για κάθε n = 1, 2,..., τότε α n α, δηλαδή κάθε σταθερή ακολουθά συγκλίνει. Αν α n α, τότε α n α. Αν α n α, τότε α n α. Αν α n α, β n β, τότε α n + β n α + β. Αν α n α, β n β, τότε α n β n αβ. Αν α n α, τότε cα n cα. Αν α n 0,για κάθε n και α n α µε α 0, τότε 1 α n 1 α. Αν β n 0,για κάθε n N και α n α και β n β µε β 0, τότε αn β n α β. Αν α n α µε α n 0 για κάθε n, τότε α n α.

Το όριο µιας πολυωνυµικής ακολουθίας είναι ίσο µε το όριο του µεγιστοβάθµιου όρου της lim(c k n k + c k 1 n k 1 +... + c 1 n + c 0 ) = lim(c k n k ). Το όριο µιας ϱητής ακολουθίας είναι ίσο µε το όριο του πηλίκου των µεγιστοβάθµιων όρων της c k n k + c k 1 n k 1 +... + c 1 n + c 0 lim( ) = lim c kn k d m n m + d m 1 n m 1 +... + d 1 n + d 0 d m n. m Αν ισχύει β n α n γ n και οι ακολουθίες (β n ), (γ n ) συγκλίνουν στο ίδιο όριο α, τότε και η ακολουθία (α n ) συγκλίνει στο α. Αν ισχύει β n α n για κάθε n m και α n α και β n β, τότε α β. Το γινόµενο µηδενικής ακολουθίας επί ϕραγµένη ακολουθία είναι µηδενικη ακολουθία.

Ασκηση 3 Να υπολογιστούν τα όρια των παρακάτω ακολουθιών α n = 2n2 + 1 n 2 + 3n + 2, β n = ( 1) n, γ n = n! n n, δ n = ( 1)n n 2n 2 1.

Μια ακολουθία που δε συγκλίνει, τότε λέµε ότι αποκλίνει. Αυτό σηµαίνει ότι η ακολουθία ϑα έχει ως όριο το ή το +. Πιο συγκεκριµένα έχουµε τους παρακάτω ορισµούς Ορισµός Μια ακολουθία (α n ) λέµε ότι αποκλίνει στο ή ότι η (α n ) τείνει στο ή ότι το είναι το όριο της (α n ) αν και µόνο αν M > 0, n 0 N : για κάθε n n 0 α n < M. Συµβολικά γράφουµε lim n + α n = ή lim α n = ή α n.

Ορισµός Μια ακολουθία (α n ) λέµε ότι αποκλίνει στο + ή ότι η (α n ) τείνει στο + ή ότι το + είναι το όριο της (α n ) αν και µόνο αν M > 0, n 0 N : για κάθεn n 0 α n > M. Συµβολικά γράφουµε lim n + α n = + ή lim α n = + ή α n +.

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΚΛΙΝΟΥΣΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ Αν µια ακολουθία αποκλίνει στο +, τότε και κάθε υπακολουθία αυτής αποκλίνει στο +. Αντίστοιχα, αν µια ακολουθία αποκλίνει στο, τότε και κάθε υπακολουθία αυτής αποκλίνει στο. Αν α n +, τότε η α n δεν είναι άνω ϕραγµένη. Αν α n, τότε η α n δεν είναι κάτω ϕραγµένη.

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ ΑΠΟΚΛΙΝΟΥΣΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ Για τις πράξεις (άθροισµα, γινόµενο, πηλίκο) µεταξύ των ορίων αποκλίνουσων ακολουθιών ή µεταξύ µια συγκλίνουσας και µιας αποκλίνουσας ακολουθίας ισχύουν όσα έχουµε αναφέρει στην ενότητα µε τις εισαγωγικές έννοιες που αφορούν τις πράξεις στο επεκταµένο σύνολο πραγµατικών αριθµών. Τονίζουµε ότι µπορούµε να άρουµε την απροσδιοριστία αν η αντίστοιχη συνάρτηση f (x) της ακολουθίας (α n ) είναι παραγώγισιµη και εφαρµόζουµε τον κανόνα De Hospital και ισχύει lim α n = lim f (x). x + Αν ισχύει β n α n γ n και οι ακολουθίες (β n ), (γ n ) αποκλίνουν στο ίδιο όριο, τότε και η ακολουθία (α n ) αποκλίνει στο ίδιο όριο.

Αν α n β n, για κάθε n m τότε i) αν α n +, τότε β n +, ii) αν β n, τότε α n, Ασκήσεις 4. Να υπολογιστούν τα όρια των παρακάτω ακολουθιών 5. Να δειχθεί ότι α n = 2n3 3n + 2, β 5n 2 n = 2n + ( 1) n n. + 1 α n = α n +, αν α > 1 1, αν α = 1 0, αν 1 < α < 1 δεν έχει όριο, αν α 1

6. Να δειχθεί ότι n α 1, αν α > 0, n n 1.

Γνωστά Ορια { +, α n = n α αν α > 0 0, αν α < 0 { +, αν α > 1 α n = log α n, αν 0 < α < 1 (1 + 1 n )n e, (1 + 1 n )n+1 e

Τρόποι Υπολογισµού των Ορίων Κριτήριο του λόγου Πρόταση Εστω (α n ) µια ακολουθία και α n > 0 για κάθε n. Θέτουµε lim α n+1 α n = r, τότε αν r < 1, τότε α n 0. αν r > 1, τότε α n +.

Κριτήριο της ϱίζας Πρόταση Εστω (α n ) µια ακολουθία και α n 0 για κάθε n. Θέτουµε lim n α n = r, τότε έχουµε αν r < 1, τότε α n 0. αν r > 1, τότε α n +. Ασκηση 7: Να εξεταστεί αν συγκλίνουν οι παρακάτω ακολουθίες α n = αn n!, α > 0, β n = 2n n! n n.

Μονοτονία και Σύγκλιση Πρόταση Κάθε µονότονη ακολουθία έχει όριο, είτε πραγµατικό αριθµό ή + ή. Πιο συγκεκριµένα ισχύει Αν η ακολουθία (α n ) είναι αύξουσα και δεν είναι άνω ϕραγµένη, τότε η ακολουθία αποκλίνει στο +. Αν η ακολουθία (α n ) είναι ϕθίνουσα και δεν είναι κάτω ϕραγµένη, τότε η ακολουθία αποκλίνει στο. Αν η ακολουθία (α n ) είναι αύξουσα και είναι άνω ϕραγµένη, τότε η ακολουθία συγκλίνει σε κάποιο πραγµατικο αριθµό. Αν η ακολουθία (α n ) είναι ϕθίνουσα και είναι κάτω ϕραγµένη, τότε η ακολουθία συγκλίνει σε κάποιο πραγµατικο αριθµό.

Πρόταση Αν µια ακολουθία ειναι µονότονη και ϕραγµένη, τότε συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό Ασκηση 8: Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση οι παρακάτω ακολουθίες α n = 1 + 1 1! + 1 2! +... + 1 n!.

Πρόταση Εστω (α n ) µια ϕραγµένη ακολουθία. Η ακολουθία (α n ) συγκλίνει αν και µόνον αν για κάθε ɛ > 0 υπάρχει ϑετικός ακέραιος n 0 µε την ιδιότητα α n α m < ɛ για κάθε n, m n 0.