ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισµός

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισµός"

Μέγαιρα Καλαμογδάρτης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ f() τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, b) αν για κάθε κλειστό [c, d] (, b) η f() είναι ολοκληρώσιµη. πχ f() =e είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο [, ) f() = είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, ) ( ) Το γενικευµένο ολοκλήρωµα για µια τοπικά ολκληρώσι- µη συνάρτηση f() υπάρχει αν µπορούµε να ϐρούµε τα όρια για κάθε (,, b) ορ lim c c + lim d b πχ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Α ΕΙ ΟΥΣ = ή (και) b = f() =e είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο [, ) e = lim d e = lim ( e d ) = πχ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β ΕΙ ΟΥΣ στο ένα ή και στα δύο όρια της ολοκλήρωσης η συνάρτηση δεν ορίζεται. f() = ( ) είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, ) = ( ) ( 4 ) = sin t {}}{ = = π/ π/ cos t = π cos tdt ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Α ΕΙ ΟΥΣ Θεωρούµε ολοκληρώµατα το είδους f() τοπικά ολοκληρώριµη, F () = και lim F () ΚΡΙΤΗΡΙΟ Cchy Υπάρχει το γενικευµένο ολοκλήρωµα η συνάρτηση F () ικανοποιεί µια συνθήκη Cchy για ɛ >: > > F ( ) F ( ) = <ɛ Παράδειγµα: Ολοκλήρωµα sin sin = + + d cos sin = cos cos + cos cos + + ɛ = ɛ : > > sin <ɛ Απόλυτη σύγκλιση σύγκλιση f()

2 Αποδ.: f() ɛ >: > > f() <ɛ f() ɛ >: > > <ɛ ΠΡΟΣΟΧΗ Μπορεί να υπάρχει σύγκλιση αλλά όχι απόλυτη σύγκλιση sin sin πχ. το υπάρχει αλλά δεν υπάρχει το sin sin = cos = Κριτήριο σύγκρισης f() g() για > g() g() }{{} 3 cos } {{ } Αποδ.: Η απόδειξη στηρίζεται στην σύγκλιση Cchy και στο γεγονός ότι g() 4 πχτο ολοκλήρωµα δεν υπάρχει γιατί και (+ 3 ) /3 + (+ 3 ) /3 το δεν υπάρχει. + ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ Θα λέµε ότι η συνάρτηση f() είναι ολοκληρώσιµη στο αν f() για κάποιο > f() <C p e για µεγάλα Αποδ.: Ανp τότε για >> p e < } p {{ e } ολοκληρώσιµη στο [, ) οπότε f() C p e Αν p>τότε η συνάρτηση g() = p e / έχει µέγιστο για =p οπότε f() < (p) p e p e / }{{} ολοκληρώσιµη στο [, ) πχη sin e είναι ολοκληρώσιµη στο f() < C q, q > για µεγάλα Αποδ.: Η συνάρτηση C είναι ολοκληρώσιµη στο [, ) q = q q sin 5 πχη είναι ολοκληρώσιµη στο 3/ Οριακό κριτήριο σύγκλισης Αποδ.: f() και <g() για > f() lim g() = l () <l< g() () l = (3) l = g() g() = =

3 () Για µεγάλα >έχουµε l < f() g() < 3l εποµένως l g() <f() f() < 3l g() g() () Για µεγάλα >έχουµε f() < g() εποµένως f() < g() g() g() (3) Για µεγάλα >έχουµε < f() g() εποµένως g() <f() g() = ; = α πχαν <α<β τότε ( + ) β Ολοκληρωτικό κριτήριο Cchy Αν f() > συνεχής και ϕθίνουσα στο [m, ) τότε f(k) < m k m Αποδ.: f() > συνεχής και ϕθίνουσα k<<k+ f(k }{{ + } ) f() f(k) =l l=p+ l=q+ s υπάρ- Οπότε αν S n = k=n f(k) Cchy τότε F () = k=m m αντίστροφα. πχ. Η συγκλίνει για s> γιατί το ολοκλήρωµα k s k= χει. p f(l) q 5 f(t) dt Cchy και k=p f(k) k=q

4 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β ΕΙ ΟΥΣ f() τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, b) αν για κάθε κλειστό [c, d] (, b) η f() είναι ολοκληρώσιµη. πχ f() =e είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο [, ) f() = είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, ) ( ) Το γενικευµένο ολοκλήρωµα για µια τοπικά ολκληρώσι- µη συνάρτηση f() υπάρχει αν µπορούµε να ϐρούµε τα όρια για κάθε (,, b) ορ lim c c + lim d b πχ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Α ΕΙ ΟΥΣ = ή (και) b = f() =e είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο [, ) e = lim d e = lim ( e d ) = πχ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β ΕΙ ΟΥΣ στο ένα ή και στα δύο όρια της ολοκλήρωσης η συνάρτηση δεν ορίζεται. f() = ( ) είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, ) ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Β ΕΙ ΟΥΣ Θεωρούµε ολοκληρώµατα το είδους f() τοπικά ολοκληρώσιµη, F () = και lim F () (ή F () = και b lim F () ) Παράδειγµα: Ολοκλήρωµα F () = = ( ) και lim F () = = ( ) ( 4 ) = sin t {}}{ = = π/ π/ cos t = π cos tdt ΚΡΙΤΗΡΙΟ Cchy Υπάρχει το γενικευµένο ολοκλήρωµα η συνάρτηση F () ικανοποιεί µια συνθήκη Cchy για b ɛ δ>: b <δ και b <δ F ( ) F ( ) = <ɛ Απόλυτη σύγκλιση σύγκλιση f()

5 Αποδ.: f() ɛ δ>: b <δ και b <δ; f() ɛ δ>: b <δ και b <δ; f() <ɛ <ɛ ΠΡΟΣΟΧΗ Μπορεί να υπάρχει σύγκλιση αλλά όχι απόλυτη σύγκλιση Κριτήριο σύγκρισης f() g() για > g() g() Αποδ.: Η απόδειξη στηρίζεται στην σύγκλιση Cchy και στο γεγονός ότι πχ το ολοκλήρωµα και < sin και το g() δεν υπάρχει γιατί sin <για << sin δεν υπάρχει. 3 4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ Θα λέµε ότι η συνάρτηση f() είναι ολοκληρώσιµη για >> αν f() < f() για κάποιο b> C και p< για b f() ολοκληρώσιµη ( ) p Αποδ.: Αν >p τότε για > b ( ) p F () = = ( ) p p = (b ) p ( ) p p C γιατί p > οπότε η είναι ολοκληρώσιµη στο οπότε ( ) p C (b ) p p sin είναι ολοκληρώσιµη στο πχ η Οριακό κριτήριο σύγκλισης f() και <g() για > f() lim g() = l () <l< g() () l = g() Αποδ.: () Για µεγάλα κοντά στο έχουµε l < f() < 3l g() εποµένως l b g() <f() g() f() < 3l g() g() () Για κοντά στο έχουµε f() < g() εποµένως f() < b g() πχ Αν <β α +τότε g() α sin β (b ) p p f()

6 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση : 4 Ασκηση : 4 3 = π = π +rccosh

Σχετικά έγγραφα

lim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( )

lim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( ) ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Εστω {f n x), n N} µια ακολουθία συναρτήσεων ορισµένων στο διάστηµα I = [, b] ή, b] ή [, b) ή, b) ) ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει σηµειακά point wise convergence) στην συνάρτηση