Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα ενός µιγαδικού αριθµού ; 4. Πότε λέµε ότι δύο µιγαδικοί αριθµοί είναι ίσοι ; 5. Ποιοι µιγαδικοί αριθµοί ονοµάζονται συζυγείς ;

2 6. Ποιες είναι οι δυνατές τιµές της φανταστικής µονάδας i µε εκθέτη τον φυσικό αριθµό ν ; Τι ονοµάζεται µέτρο ενός µιγαδικού αριθµού ; Τι εκφράζει το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών ; 9. Τι παριστάνουν στο µιγαδικό επίπεδο οι εξισώσεις: i. z = ρ, z C, ρ> ii. z z = ρ, z, z C, ρ> z z = z z, z, z, z iii..... C

3 . Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε σχέση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z που βρίσκεται στη στήλη Β. σχέση που ικανοποιεί ο µιγαδικός αριθµός z γεωµετρική περιγραφή των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο Α. το πραγµατικό µέρος του z είναι Β. το πραγµατικό µέρος του z είναι ίσο µε το φανταστικό µέρος του Γ. το πραγµατικό µέρος του z είναι αντίθετο του φανταστικού µέρους του. ο άξονας. η ευθεία = 3. η ευθεία = - 4. η ευθεία = 5. η ευθεία = - Α Β Γ. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε δύναµη του i που υπάρχει στη στήλη Α να αντιστοιχεί στην τιµή της που βρίσκεται στη στήλη Β. δύναµη του i Α. i 3 τιµή δύναµης. - i. i Β. i Γ. i i. i Α Β Γ 3

4 . Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο της στήλης Α να αντιστοιχεί στη σχέση που βρίσκεται στη στήλη Β. Γεωµετρική περιγραφή των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο Α. κύκλος κέντρου Κ (, ) και ακτίνας 3 Β. µεσοκάθετος του τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (, ), (, - ) Γ. κύκλος κέντρου Ο (, ) και ακτίνας 3 Σχέση που ικανοποιεί ο µιγαδικός αριθµός z. z i = 3. z = 3 3. z i = 3 4. z = z i 5. z = z i A B Γ 3. Στα σχήµατα της στήλης Α φαίνονται τόξα κύκλων στα οποία βρίσκεται η εικόνα του µιγαδικού αριθµού z στο µιγαδικό επίπεδο. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε σχήµα της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. M(z). z =, Im (z) και A Α. 4 Re (z) B. z - = και Im (z) Γ M(z) Β. 3. z - i = και Im (z) 4 4. z = και Re (z) Γ z = και Re (z) < M(z) 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Συναρτήσεις - Όριο - Συνέχεια. Τι ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο A R ;. Τι ονοµάζεται σύνολο τιµών µιας συνάρτησης ; 3. Τι ονοµάζουµε γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f και ποια είναι η εξίσωσή της ; 4. Πότε λέµε ότι δύο συναρτήσεις f : A R και g : B R είναι ίσες ; 5. Τι ονοµάζουµε σύνθεση της συνάρτησης f : A R µε την συνάρτηση g : B R ; Πότε ορίζεται η σύνθεσή τους ; Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της ; 6. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της ;

6 7. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι σταθερή σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της ; Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της ; 9. α. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει ολικό µέγιστο στο A ; β. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο A ;..... Τι ονοµάζουµε (ολικά)ακρότατα µιας συνάρτησης f ; Πότε µια συνάρτηση f : A R λέγεται - ;. Να διατυπώσετε το κριτήριο της παρεµβολής ; 3. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες µε την σωστή τιµή του ορίου: ν α. lim =... β. lim =... γ. lim =... δ. lim =... ε. ν ν lim =... lim =... lim =... lim = ν { 6 ν lim =... ν lim =... ν

7 ν ν 4. Με τι είναι ίσο το όριο µιας πολυωνυµικής συνάρτησης P( ) = αν αν α µε α στο ± ;.. 5. Με τι είναι ίσο το όριο µιας ρητής συνάρτησης ± ; f ( ) α α ν ν ν ν = κ κ βκ βκ α α β β ν α, ν β στο Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες µε την σωστή τιµή του ορίου: - Αν α >, τότε lim α =... και lim α =... - Αν < α <, τότε lim α =... και lim α =... κ - Ισχύει lim ln =... και lim ln = Τι ονοµάζουµε ακολουθία ; Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της ; Πότε µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της ; Πότε µια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα διάστηµα Α ; 7

8 . Πότε µια συνάρτηση λέγεται συνεχής στο διάστηµα (α, β) ;. Πότε µια συνάρτηση λέγεται συνεχής στο διάστηµα [α, β] ; Να διατυπώσετε το Θεώρηµα Bolzano και να δώσετε τη γεωµετρική του ερµηνεία. 4. Να διατυπώσετε το Θεώρηµα Ενδιάµεσης Τιµής και να δώσετε τη γεωµετρική του ερµηνεία. 8

9 5. Να διατυπώσετε το Θεώρηµα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιµής. 6. Ποιο είναι το σύνολο τιµών µιας συνάρτησης f η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (α, β) ; 7. Ποιο είναι το σύνολο τιµών µιας συνάρτησης f η οποία είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (α, β) ; 8. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε γραφική παράσταση από τη στήλη Α τις σχέσεις που ισχύουν από τη στήλη Β.. Ο α. lim f () = - lim f () = και 3 β. lim f () f ( ) f( ). Ο γ. lim f () = f ( ) lim f () δ. lim f () = f ( ) lim f () 3. ε. lim f () = - και Ο lim f () = 9

10 9. Να αντιστοιχίσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που φαίνεται στη στήλη Α, µε κάποια ή κάποιες από τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Bolzano στο διάστηµα [α, β] που δεν ισχύουν στη στήλη Β.. α Ο β α. f (α) f (β) < β. f συνεχής στο. α Ο β γ. f συνεχής στο α 3. α Ο β δ. f (α) f (β) < και f συνεχής στο β ε. f συνεχής στο β 4. α Ο β 3 4

11 3. Να αντιστοιχίσετε κάθε γραφική παράσταση συνάρτησης της στήλης Α, στη σχέση που ισχύει από τη στήλη Β.. f( ) α. lim f () = f ( ) lim f () Ο β. lim f () f ( ). Ο f( ) γ. lim f () = - δ. lim f () = f ( ) 3. f( ) Ο ε. lim f () lim f () 3

12 Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 3 : ιαφορικός Λογισµός. Τι ορίζουµε ως στιγµιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγµή t ;. Τι ορίζουµε ως εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f στο σηµείο A (, ( )) Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτοµένης ; 3 f ; Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της ; Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού της ; 5. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα Α ; 6. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) ;

14 7. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β] ; 4 Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 8. Αν τα µεγέθη, συνδέονται µε τη σχέση = f ( ), τι ονοµάζουµε ρυθµό µεταβολής του ως προς όταν = ; 9. Να διατυπώσετε το Θεώρηµα Rolle και να δώσετε τη γεωµετρική του ερµηνεία.. Να διατυπώσετε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής και να δώσετε τη γεωµετρική του ερµηνεία.

15 5 Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο σηµείο του πεδίου ορισµού της A ;. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σηµείο του πεδίου ορισµού της A ; Ποια σηµεία λέγονται κρίσιµα σηµεία της συνάρτησης f στο διάστηµα ; 4. Έστω µία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστηµα και π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του. Πότε λέµε ότι; α. Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο ; β. Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο ; 5. Πότε λέµε ότι το σηµείο A (, ( )) f είναι σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f ; Πότε η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f ;

16 7. Πότε η ευθεία = lείναι οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο (ή ) ; Πότε η ευθεία = λ β λέγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο (ή ) ; Να αντιστοιχίσετε µία ή περισσότερες από τις γραφικές παραστάσεις που φαίνονται στη στήλη Α µε την εφαπτοµένη τους (αν υπάρχει) στο σηµείο (, ) που η εξίσωσή της γράφεται στη στήλη Β... α. = β. δεν υπάρχει 4. γ. = 5. 6

17 . H στήλη Α περιέχει γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων και τις εφαπτοµένες τους στο σηµείο µε τετµη- µένη =. Σε κάθε σχήµα της στήλης Α να αντιστοιχίσετε τη σχέση της στήλης Β, η οποία ερµηνεύει αλγεβρικά στο συγκεκριµένο σχήµα, τη θέση της εφαπτοµένης... c f ε α. f () = β. lim f () - f () = ε c f γ. f () > 3. ε c f δ. lim h f ( h) - f () h = 4. ε c f ε. f () < ζ. f () > f (). Nα αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση τη στήλης Α στις σχέσεις που ισχύουν γι αυτήν από τη στήλη Β.. α. f () > και f () > β. f () < και f () <. γ. f () > και f () < 3. δ. f () < και f () > ε. f () = 7

18 4. ζ. f () = και f () > Nα αντιστοιχίσετε κάθε γραφική παράσταση C f της στήλης Α στη µονοτονία της f από τη στήλη Β. C f α. µονοτονία της f σταθερή συνάρτηση. β. f γ. f δ. f ε. f στ. f - 8 κ

19 3. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε συνάρτηση της στήλης Α, το πλήθος των σηµείων καµπής που αναφέρεται στη στήλη Β.. f () = ln, >. g () = ηµ, R α. β. 3 4 γ h () = 5 3, R δ. άπειρα 4. t () = 4-3, R ε. στ Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α στις ασύµπτωτές της (αν υπάρχουν), στη στήλη Β.. f () = - 4 α. κατακόρυφη = οριζόντια = - 3. f () = β. δεν υπάρχουν γ. κατακόρυφη = οριζόντια = 4 3. f () = δ. πλάγια = 5 3 ε. πλάγια = f () = ln στ. κατακόρυφη = οριζόντια = 9

20 Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 4 : Ολοκληρωτικός Λογισµός. Ποια συνάρτηση ονοµάζεται αρχική ή παράγουσα της συνάρτησης f στο διάστηµα ; Πόσες αρχικές έχει µία συνάρτηση ;..... α. Τι ονοµάζουµε άθροισµα Riemann για τη συνάρτηση f στο διάστηµα [α, β] για τη διαµέριση σηµείων α β, µε επιλογή ενδιάµεσων σηµείων [ ] = < <... < ν = ξ,,,,..., κ= ν ; κ κ κ β. Τι ονοµάζουµε ορισµένο ολοκλήρωµα της συνεχούς συνάρτησης f στο διάστηµα [α, β] ; Από τι εξαρτάται το ορισµένο ολοκλήρωµα ; Αν f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστηµα [α, β] και λ, µ να συµπληρώσετε τις ισότητες : β λ f ( ) d= α. a... β a f ( ) g( ) d= β. ( )... β α λ f ( ) µ g( ) d= γ. ( )... δ. β f ( ) g( t) d= a... ε. β f ( ) g( t) dt= a...

22 3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα και α να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: i. F( ) = f ( t) dt ii. a g ( ) = f t dt iii. a G( ) ( ) = h( ) H ( ) f ( t) dt g ( ) Ποιο είναι το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται: α. από τη γραφική παράστασης της συνάρτησης f τον άξονα και τις ευθείες =α, =β. β. από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g και τις ευθείες =α, =β

23 6. Να αντιστοιχίσετε τις παράγουσες της στήλης Α µε τις συναρτήσεις τους, στη στήλη Β. Παράγουσα F Συνάρτηση f α. f() = 3 ηµ3. F() = 3 συν3 3 β. f() = ln. F() = εφ ln γ. f() = συν 3. F() = ln 3 - δ. f() = e 3 ε. f() = - ηµ3 4. F() = e 3 5. F() = ζ. f() = F() = ln η. f() = 3 - θ. f() = ι. f() = e

24 6. Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α µε την παράγωγό της, στη στήλη Β.. F () = ηµ (t ) dt - 3 α. f () = - ηµ ( ) β. f () = ηµ ( ). F () = ln (u ) du α γ. f () = ln ( ) 3. F () = tln (t ) dt δ. f () = ηµ ( 5) ε. f () = ln ( ) - 4. F () = ηµt dt ζ. f () = ln ( ) 5. F () = - ln (u ) du η. f () = ln ( ) θ. f () = ηµ ( 3)

25 7. Να αντιστοιχίσετε το εµβαδόν κάθε χωρίου που φαίνεται στη στήλη Α στον τύπο που το υπολογίζει και Υπάρχει, στη στήλη Β. C f C g. -α α α. Ε = (g () - f ()) d -α α (f () - g ()) d β. Ε = (f () - g ()) d -α α (g () - f ()) d. -α α C f γ. Ε = α -α (f () - g ()) d C g C f 3. -α α δ. Ε = α -α f () d C f C g ε. Ε = - -α f () d f()= α α ζ. Ε = f () d - -α α f () d 3 4 5