Τρίγωνα -Κφρια και δευτερεφοντα στοιχεία τριγώνου Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ τόχοσ 1 : Κύρια ςτοιχεύα τριγώνου Αςκόςεισ 1. Να ςχεδιϊςετε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ. Να ορύςετε τα κύρια ςτοιχεύα του. Να βρεύτε την γωνύα που βρύςκεται απϋναντι από την πλευρϊ ΑΒ. Να βρεύτε τισ προςκεύμενεσ ςτην πλευρϊ ΑΓ γωνύεσ. Να βρεύτε ποια πλευρϊ εύναι απϋναντι από τη γωνύα Α. Να ςχεδιϊςετε την εξωτερικό γωνύα Γ. (Βαςικό ϊςκηςη) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Δεδομϋνο Ζητούμενο Ζητεύται να εντοπύςουμε κϊποια από τα κύρια του τριγώνου και να τα ςυςχετύςουμε μεταξύ τουσ. Διαδικαςύα Κϊθε τρύγωνο ΑΒΓ ϋχει τρεισ κορυφϋσ Α, Β, Γ, τρεισ πλευρϋσ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ και τρεισ γωνύεσ. Προςκεύμενεσ ςε μια πλευρϊ γωνύεσ εύναι οι γωνύεσ που ϋχουν αυτόν την πλευρϊ του τριγώνου κοινό Απϋνατντι από κϊθε γωνύα βρύςκεται η πλευρϊ που τα ϊκρα τησ δεν εύναι κορυφϋσ τησ τησ γωνύασ Παρατηρόςεισ Οι πλευρϋσ ςυμβολύζονται και με μικρϊ γρϊμματα ςε αντιςτοιχύα με τισ απϋναντι γωνύεσ
Λυμϋνεσ Αςκόςεισ 1. Να ςχεδιϊςετε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ. Να ορύςετε τα κύρια ςτοιχεύα του. Να βρεύτε την γωνύα που βρύςκεται απϋναντι από την πλευρϊ ΑΒ. Να βρεύτε τισ προςκεύμενεσ ςτην πλευρϊ ΑΓ γωνύεσ. Να βρεύτε ποια πλευρϊ εύναι απϋναντι από τη γωνύα Α. Να ςχεδιϊςετε την εξωτερικό γωνύα Γ (Βαςικό ϊςκηςη) Λύςη Η γωνύα που βρύςκεται απϋναντι από την πλευρϊ ΑΒ εύναι η ˆ. Οι προςκεύμενεσ ςτην πλευρϊ ΑΓ γωνύεσ εύναι οι γωνύεσ Α και Γ. Η πλευρϊ εύναι απϋναντι από τη γωνύα Α εύναι η ΒΓ = α. Η εξωτερικό γωνύα ˆ ςχηματύζεται από μια πλευρϊ τησ γωνύασ Γ και την προϋκταςη τησ ϊλλησ πλευρϊσ τησ γωνύασ Γ.
τόχοσ 2: Αναγνώριςη του εύδουσ του τριγώνου Αςκόςεισ 1. Με τη χρόςη γνώμονα ό μοιρογνωμονύου, να χαρακτηρύςετε το εύδοσ κϊθε τριγώνου ωσ προσ τισ γωνύεσ του. 2. ύμφωνα με τη δραςτηριότητα τησ παραγρϊφου Β 2.1 ςε ϋνα ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ η διϊμεςόσ του ΑΔ εύναι ϊξονασ ςυμμετρύασ. Με βϊςη αυτό την ιδιότητα τησ διαμϋςου α. να δικαιολογόςετε ότι η διϊμεςοσ εύναι ύψοσ και διχοτόμοσ του τριγώνου. β. Να δικαιολογόςετε ότι προςκεύμενεσ ςτη βϊςη γωνύεσ Β και Γ εύναι ύςεσ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Δεδομϋνο Ζητούμενο Δύνονται τρύγωνα και ζητεύται να βρούμε το εύδοσ τουσ ωσ προσ τισ πλευρϋσ ό τισ γωνύεσ ό/και να δικαιολογόςουμε κϊποιεσ ιδιότητεσ τουσ. Διαδικαςύα
Ένα τρύγωνο ωσ προσ τισ γωνύεσ μπορεύ να εύναι: (α) οξυγώνιο ό (β) αμβλυγώνιο ό (γ) ορθογώνιο. Ένα τρύγωνο ωσ προσ τισ πλευρϋσ μπορεύ να εύναι: (α) ιςοςκελϋσ ό (β) ιςόπλευρο ό (γ) ςκαληνό. Παρατηρόςεισ Ωσ προσ τισ γωνύεσ αν ανόκει ςε μια κατηγορύα δεν μπορεύ να ανόκει ςε μια ϊλλη κατηγορύα. Ένα ιςόπλευρο εύναι και ιςοςκελϋσ ενώ ϋνα ιςοςκελϋσ δεν εύναι ςύγουρα ιςόπλευρο Λυμϋνεσ Αςκόςεισ 1. Με τη χρόςη γνώμονα ό μοιρογνωμονύου, να χαρακτηρύςετε το εύδοσ κϊθε τριγώνου ωσ προσ τισ γωνύεσ του. Λύςη Μπορούμε εύκολα να με ϋνα μοιρογνωμονύο ό με ϋνα γνώμονα (όργανο που ελϋγχει αν μια γωνύα εύναι ορθό) θα βρούμε ότι η γωνύα A ό ΒΑΓ εύναι ορθό ϊρα το τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ορθογώνιο. Η γωνύα Δ ό ΕΔΖ εύναι μεγαλύτερη από μια ορθό ϊρα το τρύγωνο ΔΕΖ εύναι αμβλυγώνιο.
Η γωνύεσ του τριγώνου ΘΗΙ εύναι οξεύεσ ϊρα το τρύγωνο ΘΗΙ εύναι οξυγώνιο. 2. ύμφωνα με τη δραςτηριότητα τησ παραγρϊφου Β 2.1 ςε ϋνα ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ η διϊμεςόσ του ΑΔ εύναι ϊξονασ ςυμμετρύασ. Με βϊςη αυτό την ιδιότητα τησ διαμϋςου α. να δικαιολογόςετε ότι η διϊμεςοσ εύναι ύψοσ και διχοτόμοσ του τριγώνου. β.να δικαιολογόςετε ότι προςκεύμενεσ ςτη βϊςη ΒΓ γωνύεσ ˆ και ˆ εύναι ύςεσ. Λύςη α. Σα τρύγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ εύναι ςυμμετρικϊ ωσ προσ ϊξονα ςυμμετρύασ την ευθεύα ΑΔ ό ε, ϊρα εύναι ύςα. Επομϋνωσ η γωνύα ΒΑΔ εύναι ύςη με την γωνύα ΓΑΔ. Άρα η ΑΔ εύναι διχοτόμοσ τησ γωνύασ Α του τριγώνου ΑΒΓ. Επύςησ η γωνύα ΒΔΑ εύναι ύςη με την γωνύα ΓΔΑ. Όμωσ ˆ ˆ 180 Οπότε ˆ 2 180 ˆ 90 ϊρα ˆ ˆ 90 που ςημαύνει ότι η ΑΔ εύναι κϊθετη ςτη ΒΓ ϊρα η ΑΔ εύναι και ύψοσ.
Αλλύωσ: Η ΑΔ εύναι ϊξονασ ςυμμετρύασ και του ΒΓ. Άρα η ΑΔ εύναι μεςοκϊθετη του ΒΓ. Επομϋνωσ το ΑΔ εύναι ύψοσ του ΑΒΓ. β. Επειδό οι γωνύεσ ˆ και ˆ με την περιςτροφό ςυμπτύπτουν, ϊρα ˆ ˆ Αλλιώσ: Σα τρύγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ εύναι ύςα ϊρα ˆ ˆ. τόχοσ 3: Σα δευτερύοντα ςτοιχεύα του τριγώνου. Κατανόηςη των οριςμών και των ιδιοτότων. Αςκόςεισ 1. Να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των x, y και θ. 2. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ. α. Φϋρε τισ διχοτόμουσ AM και ΒΝ και ονόμαςε με το γρϊμμα Θ το ςημεύο ςτο οπούο τϋμνονται, β. Μετϊ ςχεδύαςε την ευθεύα ΓΘ και ονόμαςε με το γρϊμμα Ρ το ςημεύο ςτο οπούο η ευθεύα ΓΘ τϋμνει την πλευρϊ ΑΒ. γ. ύγκρινε τισ γωνύεσ ΑΓΡ και ΒΓΡ. δ. Σι παρατηρεύσ;
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Δεδομϋνο Ζητούμενο Δύνονται τρύγωνα και ζητεύται να φϋρουμε ύψη, διαμϋςουσ ό/και διχοτόμουσ και να υπολογύςουμε κϊποια τμόματα ό γωνύεσ ό/και να δικαιολογόςουμε κϊποιεσ ιδιότητεσ τουσ. Διαδικαςύα Καταςκευϊζουμε φϋρουμε ύψη, διαμϋςουσ και διχοτόμουσ χρηςιμοποιώντασ χϊρακεσ, γνώμονεσ, μοιρογνωμό νια και διαβότεσ. Για τισ δικαιολογόςεισ χρηςιμοποιούμε κυρύωσ τουσ οριςμούσ αλλϊ και τισ ιδιότητεσ των τριγώνων. Παρατηρόςεισ Αν οι καταςκευϋσ γύνουν ςωςτϊ Θα πρϋπει και τα τρύα ομοειδό ςτοιχεύα (π.χ. και τα τρύα ύψη) να διϋρχονται από το ύδιο ςημεύο. Να προςϋχετε το εύδοσ του τριγώνου ςτο οπούο καλεύςθε να φϋρετε κϊποια από τα δευτερύοντα ςτοιχεύα. το οροθογώνιο τρύγωνο π.χ. τα δύο ύψη του εύναι οι κϊθετεσ πλευρϋσ του. Λυμϋνεσ Αςκόςεισ 1. Να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των x, y και θ.
Λύςη Διϊμεςοσ. λϋγεται το ευθύγραμμο τμόμα που ενώνει την κορυφό ενόσ τριγώνου με το μϋςο τησ απϋναντι πλευρϊσ. Άρα ΒΚ = ΚΓ επομϋνωσ x = 5 cm Διχοτόμοσ. λϋγεται το ευθύγραμμο τμόμα τησ διχοτόμου μιασ γωνύασ ενόσ τριγώνου που φϋρνουμε από μια κορυφό και καταλόγει ςτην απϋναντι πλευρϊ. Άρα ˆ ˆ επομϋνωσ y 41 Ύψοσ λϋγεται το ευθύγραμμο τμόμα που φϋρνουμε από μύα κορυφό ενόσ τριγώνου κϊθετο ςτην ευθεύα τησ απϋναντι πλευρϊσ, του τριγώνου. Άρα 90 2. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ. α. Φϋρε τισ διχοτόμουσ AM και ΒΝ και ονόμαςε με το γρϊμμα Θ το ςημεύο ςτο οπούο τϋμνονται, β. Μετϊ ςχεδύαςε την ευθεύα ΓΘ και ονόμαςε με το γρϊμμα Ρ το ςημεύο ςτο οπούο η ευθεύα ΓΘ τϋμνει την πλευρϊ ΑΒ. γ. ύγκρινε τισ γωνύεσ ΑΓΡ και ΒΓΡ. δ. Σι παρατηρεύσ; Λύςη
Με ϋνα μοιρογνωμονύο ό με χϊρακα και διαβότη φϋρνουμε τισ διχοτόμουσ ΑΜ και ΒΝ των γωνιών Α και Β. ημειώνουμε με Θ το ςημεύο τομόσ των ΑΜ και ΒΝ. Φϋρνουμε την ημιευθεύα ΓΘ που τϋμνει την ΑΒ ςτο ςημεύο Ρ. Μετρϊμε τισ γωνύεσ και παρατηρούμε (αν το ςχόμα εύναι ακριβϋσ) ότι οι γωνύεσ ˆ ˆ 1 και ˆ ˆ 2 εύναι γωνύεσ ύςεσ. Δηλαδό η ΓΡ εύναι διχοτόμοσ τησ γωνύασ Γ.
Παρατηρούμε ότι οι διχοτόμοοι ΑΜ, ΓΡ και ΒΝ των γωνιών Α, Γ και Β διϋρχονται από το ύδιο ςημεύο (ςυντρϋχουν). Σο ύδιο ςυμβαύνει ςε κϊθε τρύγωνο. Η καταςκευό μπορεύ να γύνει και ςτο ελϋυθερο λογιςμικό Geogebra