Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι"

Φωτινή Βασιλόπουλος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι 03/07/2013 ΘΕΜΑ Η δοκόσ του ςχόματοσ α ϋχει τη διατομό του ςχόματοσ β. Ζητούνται: a) Σα διαγρϊμματα Q και M.

1 1 Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι 03/07/2013 ΘΕΜΑ Η δοκόσ του ςχόματοσ α ϋχει τη διατομό του ςχόματοσ β. Ζητούνται: a) Σα διαγρϊμματα Q και M. b) Σο απαιτούμενο πϊχοσ t του ςχόματοσ β αν για το υλικό τησ δοκού δύνεται ότι ς =1.2ΜΡa ς =40ΜΡa καθώσ και το διϊγραμμα των ορθών τϊςεων ςτην κρύςιμη διατομό. c) Εςεύσ πωσ θα τοποθετούςατε τη διατομό όπωσ το ςχόμα β ό περιςτραμμϋνη κατϊ και γιατύ; Σι ποςοςτό οικονομύασ (υλικού) επιτυγχϊνεται με τη ορθό τοποθϋτηςη; d) Να υπολογιςτούν οι διατμητικϋσ τϊςεισ (ςτην κρύςιμη από ϊποψη τϋμνουςασ δύναμησ διατομόσ) ςυναρτόςει του (μεταβλητού ύψουσ) y τησ διατομόσ και να υπολογιςτεύ η τιμό τησ ςτο Κ.Β. Κ αυτόσ καθώσ και ςτην ευθεύα ΗΘ. Να ςχεδιαςτεύ το διϊγραμμα αυτόσ. e) Να υπολογιςτεύ η ςυνϊρτηςη του βϋλουσ κϊμψησ y(x) με την μϋθοδο των γενικευμϋνων ςυναρτόςεων καθώσ και η τιμό αυτού ςτο μϋςον C του ΒΓ. f) Ζητεύται η θϋςη και η τιμό του μϋγιςτου βϋλουσ με την ύδια μϋθοδο. g) Ποια η τιμό του βϋλουσ κϊμψησ ςτο C αποκλειςτικϊ με χρόςη Πινϊκων. h) Αν ςτο μϋςον C τοποθετηθεύ επιπλϋον κύλιςη να υπολογιςτούν οι αντιδρϊςεισ τησ προκύπτουςασ υπερςτατικόσ δοκού με όποια μϋθοδο επιθυμεύτε. Δύνονται: q=10kn/m P=20kN φ=10 0 Ε=200GPa Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια

2 2 Λύςη: a) Βρύςκω τισ εξωτερικϋσ αντιδρϊςεισ του φορϋα (βλ. ςχόμα αμϋςωσ παρακϊτω) F x=0 Γ x-20cos10=0 Γ x=19696kn 1 F y=0 B y+γ y=10*5+20sin10 B y+γ y=53473kn 2 Μ (Γ)=0 4B y-20sin10*5-10*5 =0 By=35591kN 3 Η 2 3 Γ y=17882kn 4 Εύρεςη ροπών ςτισ χαρακτηριςτικϋσ θϋςεισ του φορϋα M B=-20sin10-10*1*05=-8473kNm x max= = =1788m maxm BΓ=17882* =15988kNm Καταςκευό διαγραμμϊτων MQN του φορϋα Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια

3 b) ΕΤΡΕΗ ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΩΝ ΣΟΙΦΕΙΩΝ ΔΙΑΣΟΜΗ Φωρύζω την διατομό ςε δύο επιμϋρουσ τμόματα: 1 2 όπωσ φαύνεται ςτο διπλανό ςχόμα: Εμβαδόν διατομόσ A 1=13t*2t=26t 2 A 2=32t*t=32t 2 A ΟΛ=A 1+A 2 A ΟΛ=26t 2

3 3 b) ΕΤΡΕΗ ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΩΝ ΣΟΙΦΕΙΩΝ ΔΙΑΣΟΜΗ Φωρύζω την διατομό ςε δύο επιμϋρουσ τμόματα: 1 2 όπωσ φαύνεται ςτο διπλανό ςχόμα: Εμβαδόν διατομόσ A 1=13t*2t=26t 2 A 2=32t*t=32t 2 A ΟΛ=A 1+A 2 A ΟΛ=26t 2 +32t 2 A ΟΛ=58t 2 Εύρεςη κϋντρου βϊρουσ διατομόσ Ορύζω βοηθητικό ςύςτημα αξόνων το Οxy όπωσ δεύχνεται ςτο παραπϊνω ςχόμα. Σότε: y G= y G= y G= y G=10379t Εύρεςη ροπήσ αδράνειασ διατομήσ = = +26t 2 (10379t-t) t 2 (23621t-16t) 2 =688499t 4 ΕΚΛΟΓΗ ΠΑΦΟΤ t ΔΙΑΣΟΜΗ Κρύςιμη διατομό εύναι ςτην θϋςη τησ μϋγιςτησ ροπόσ του ανούγματοσ αφού εκεύ ϋχω ςυγχρόνωσ maxm και maxn και ομόςημεσ θλιπτικϋσ τϊςεισ με την μεγαλύτερη δυνατό τιμό τησ ορθόσ λόγω Μ ςτην ακραύα ύνα η οπούα ϋχει την μικρότερη επιτρεπόμενη τϊςη. Θα πρϋπει λοιπόν για την ακραύα θλιβόμενη ύνα να τηρεύται η ανύςωςη αςφαλεύασ (βλϋπε ςχόμα επόμενησ ςελύδασ) : ς ς 12* * * =00384m =0039m Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια

4 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΟΡΘΩΝ ΣΑΕΩΝ ΣΗΝ ΚΡΙΙΜΗ ΔΙΑΣΟΜΗ c) Περιςτρϋφοντασ την διατομό μου κατϊ 180 0 οι νϋεσ τϊςεισ θα εύναι: ς ς - 40*10 3 40*10 3 t+03395t-005485=0 =00109m =0011m ς ς = ς + 12*10 3 1200-03396

4 4 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΟΡΘΩΝ ΣΑΕΩΝ ΣΗΝ ΚΡΙΙΜΗ ΔΙΑΣΟΜΗ c) Περιςτρϋφοντασ την διατομό μου κατϊ οι νϋεσ τϊςεισ θα εύναι: ς ς - 40* *10 3 t+03395t =0 =00109m =0011m ς ς = ς + 12* =0 =00306 =0031m Εκλϋγω το μϋγιςτο των δυο παραπϊνω λύςεων. Δηλαδό: t=max{ }=0031m ΤΜΠΕΡΑΜΑ: Σελικϊ ςτην πρώτη περύπτωςη (ανεςτραμμϋνο ταυ) θα ϋχω t=0039m ενώ ςτην δεύτερη περύπτωςη (κανονικό ταυ) θα ϋχω t=0031m. Επιλϋγω την 2 η περύπτωςη (του κανονικού ταυ) να τοποθετόςω την διατομό μου ςτον φορϋα αφού εύναι και η πιο οικονομικό(λιγότερο βϊροσ ςημαύνει μεγαλύτερη οικονομύα). ΠΟΟΣΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Για την 1η περύπτωςη το βϊροσ τησ δοκού θα εύναι: Β=008822Lγ ΤΛ Για την 2η περύπτωςη το βϊροσ τησ δοκού θα εύναι: Β= Lγ ΤΛ Η διαφορϊ βϊρουσ ςτισ δυο περιπτώςεισ εύναι: ΔΒ=( )Lγ ΤΛ=00325Lγ ΤΛ Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια

5 Σο ζητούμενο ποςοςτό οικονομύασ εύναι: =03682=3682% d) Oι διατμητικϋσ τϊςεισ δύνονται από την κϊτωθι ςχϋςη (με βϊςη το τροποποιημϋνο ςύςτημα αναφορϊσ). ς zy=- 5 Διακρύνω τισ κϊτωθι περιπτώςεισ: 1.

5 5 Σο ζητούμενο ποςοςτό οικονομύασ εύναι: =03682=3682% d) Oι διατμητικϋσ τϊςεισ δύνονται από την κϊτωθι ςχϋςη (με βϊςη το τροποποιημϋνο ςύςτημα αναφορϊσ). ς zy=- 5 Διακρύνω τισ κϊτωθι περιπτώςεισ: t y<-8379t Σότε x=f(y)=65t 6 Η ςτατικό ροπό αδρανεύασ θα εύναι: = 5 = 65 =65t =325t(y t 2 ) = (y ) 7 Ι xx= t 4 = * =63584*10-3 m 4 8 x(r)=65t=65*0031=02015m 9 Q(z)=22118kN 10 Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια

6 6 Mε βϊςη τα παραπϊνω οι διατμητικϋσ τϊςεισ θα εύναι: Η ς zy=- = y t< Tότε x=f(y)=05t 12 Η ςτατικό ροπό αδρανεύασ θα περιλαμβϊνει και το προηγούμενο τμόμα δηλαδό: Θϋτω ςτην 7 όπου y=-8379t και αυτό γύνεται: 1 =010075[(-8379t) )]=-3632*10-3 m 3 2 = = 05 =05t =025t(y t 2 ) Άρα: = =025t[y t 2 ]-3632*10-3 =775*10-3 y * x(r)=05t=05*0031=00155m 14 Mε βϊςη τα παραπϊνω οι διατμητικϋσ τϊςεισ θα εύναι: Η ς zy=- ( ) = y υνολικϊ θα ϋχω με βϊςη τα παραπϊνω για τον υπολογιςμό των διατμητικών τϊςεων: y αν y< ς zy= y αν <y Η διατμητικό τϊςη ςτο Κ.Β. θα εύναι: ς zy(y=0)= kn/m 2 Η διατμητικό τϊςη ςτην ευθεύα ΗΘ θα εύναι: ς zy(y= )=62746kN/m 2 και ς zy(y= )=815212kN/m 2 Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια

7 Παρακϊτω παρουςιϊζεται η κατανομό των διατμητικών τϊςεων ς zy καθ'ύψοσ τησ διατομόσ. e) ΕΤΡΕΗ ΓΕΝΙΚΕΤΜΕΝΗ ΤΝΑΡΣΗΗ Μ(x) Βρύςκω την γενικευμϋνη ςυνϊρτηςη τησ ροπόσ κϊμψησ για το Δ.Ε.. που παρουςιϊζεται ςτο διπλανό ςχόμα.

7 7 Παρακϊτω παρουςιϊζεται η κατανομό των διατμητικών τϊςεων ς zy καθ'ύψοσ τησ διατομόσ. e) ΕΤΡΕΗ ΓΕΝΙΚΕΤΜΕΝΗ ΤΝΑΡΣΗΗ Μ(x) Βρύςκω την γενικευμϋνη ςυνϊρτηςη τησ ροπόσ κϊμψησ για το Δ.Ε.. που παρουςιϊζεται ςτο διπλανό ςχόμα. M(x)-Γ y x -B y x =0 34 M(x)=17882 x x ΕΤΡΕΗ ΕΞΙΩΗ ΕΛΑΣΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ Από τον οριςμό τησ ελαςτικόσ γραμμόσ θα ϋχω: ΕΙ =-M(x) ΕΙ = x x-4 +5 x 2 17 Ολοκληρώνω την παραπϊνω ςχϋςη δυο φορϋσ: 1 η ολοκλόρωςη ΕΙ = C 1 ΕΙ =-8941 x C 1 18 Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια

8 8 2 η ολοκλόρωςη ΕΙy(x)= C 1 x +C 2 y(x)= 19 ΕΤΡΕΗ ΣΑΘΕΡΩΝ C 1 C 2 Οι ςταθερϋσ C 1 C 2 βρύςκονται από τισ κινηματικϋσ ςυνθόκεσ του φορϋα. 1 η ςυνθόκη την θϋςη τησ ϊρθρωςησ ςτο ςημεύο Γ η βύθιςη εύναι μηδϋν. Δηλαδό: y(x=0)=0 19 C 2= η ςυνθόκη την θϋςη τησ κύλιςησ ςτο ςημεύο Β η βύθιςη εύναι μηδϋν. Δηλαδό: y(x=4)= * * *4 4 +4C 1+0=0 C 1=21005 Σελικϊ η εξύςωςη τησ ελαςτικόσ γραμμόσ του φορϋα εύναι: Η y(x)=.. EI=200*10 6 * * = kNm 2 ΕΤΡΕΗ ΒΤΘΙΗ ΣΟ ΗΜΕΙΟ C Η βύθιςη ςτο μϋςο του τμόματοσ ΒΓ με την βοόθεια τησ παραπϊνω ςχϋςησ θα εύναι : y(x=2)=.. y(x=2)=1953*10-5 m Επειδό εύναι θετικό ςημαύνει ότι η βύθιςη ϋχει φορϊ προσ τα κϊτω. Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια

9 9 f) Για να βρω το μϋγιςτο βϋλοσ κϊμψησ πρϋπει να βρω την θϋςη του τοπικού ακρότατου. Για τον λόγο μηδενύζω την 1 η παρϊγωγο τησ y(x). Θα ϋχω: y'(x)= =0-894x x =0 x=1910(>0και<4) Άρα y max=y(x=191) =.. y max=1958*10-5 m(προσ τα κϊτω) g) Βρύςκω το βϋλοσ κϊμψησ ςτο μϋςο του ΒΓ (ςημεύο C) με την βοόθεια πινϊκων. Τπενθυμύζεται ότι το ϋχουμε υπολογύςει ξανϊ ςτο ερώτημα e) και ϊρα τα αποτελϋςματα των δυο ερωτημϊτων θα πρϋπει να ταυτύζονται. Aπομακρύνω τον πρόβολο από τον αρχικό μου φορϋα και θα ϋχω με την βοόθεια τησ αρχόσ τησ επαλληλύασ: Από πύνακα για την (α) περύπτωςη: Δεν δύνει βύθιςη η (β) περύπτωςη: Δεν δύνει βύθιςη η (γ) περύπτωςη: Από πύνακα για την (δ) περύπτωςη: =w(x=2)= =w(x=2)=0 =w(x=2)=0 =w(x=2)= Σελικϊ w C= + = - wc= +(- )=1955*10-3 m (ταυτύζεται με την προηγούμενη λύςη) Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια

10 10 ημεύωςη λύτη: Η διαφορϊ ςτο τρύτο δεκαδικό ψηφύο των λύςεων οφεύλεται ςτην ςτρογγυλοπούηςη τησ πρώτησ λύςησ. h) Mε την απομϊκρυνςη του προβόλου ο νϋοσ φορϋασ θα εύναι: ΚΑΣΑΣΡΩΗ ΕΞΙΩΕΩΝ ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΥΟΡΕΑ F x=0 Γ x=1969kn ❶ F y=0 B y+c y+γ y=10* B y+c y+γ y=53473kn ❷ Μ (B)=0 2C y+4γ y *4*2=0 2C y+4γ y =71527kN C y+2γ y= ❸ ΕΤΡΕΗ ΓΕΝΙΚΕΤΜΕΝΗ ΤΝΑΡΣΗΗ Μ(x) Βρύςκω την γενικευμϋνη ςυνϊρτηςη τησ ροπόσ κϊμψησ για το Δ.Ε.. που παρουςιϊζεται ςτο διπλανό ςχόμα. Μ=0 Μ(x)-Γ y x -C y x =0 Μ(x)=-5 +Γ y x +C y x-2 ❹ ΕΤΡΕΗ ΕΞΙΩΗ ΕΛΑΣΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ Από τον οριςμό τησ ελαςτικόσ γραμμόσ θα ϋχω: ΕΙ =-M(x) EI =5 -Γ y x -C y x-2 ❺ Ολοκληρώνω την παραπϊνω ςχϋςη δυο φορϋσ: 1 η ολοκλόρωςη ΕΙ = Γ y -05C y x-2 2+C 3 ❻ Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια

11 11 2 η ολοκλόρωςη ΕΙy(x)= Γ y C y x-2 3+C 3 x +C 4 y(x)= ❼ ΚΑΣΑΣΡΩΗ ΕΞΙΩΕΩΝ ΑΠΟ ΣΙ ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΕ ΤΝΘΗΚΕ την θϋςη τησ ϊρθρωςησ ςτο ςημεύο Γ η βύθιςη εύναι μηδϋν. Δηλαδό: y(x=0)=0 ❼ C 4=0 ❽ την θϋςη τησ κύλιςησ ςτο ςημεύο C η βύθιςη εύναι μηδϋν. Δηλαδό: y(x=2)=0 ❼❽ 04168* Γ y*2 3 +2C 3= Γ y+2c 3=0 ❾ την θϋςη τησ κύλιςησ ςτο ςημεύο B η βύθιςη εύναι μηδϋν. Δηλαδό: y(x=4)=0 ❼❽ 04168* Γ y* C y*2 3 +4C 3= Γ y-1334c y+4c 3=0 ❿ Λύνοντασ το ςύςτημα των εξιςώςεων ❸ ❾ ❿ θα ϋχουμε: C y=18648 ➀ Γ y=8557kn ➁ C 3=2369 ➂ Η ❷ ➀➁ Β y=26268kn Ιωάννου Δροςοποφλου 252Άνω Πατήςια

Σχετικά έγγραφα

ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι. Ε.Μ.Π. - ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΨΝ

ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι. Ε.Μ.Π. - ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΨΝ 1 ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΔΟΑΣΑΠ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΑΣΕΙ ΕΜΠ - ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΨΝ 31/01/2011 ΘΕΜΑ 1 ο τον φορϋα του ςχόματοσ η οριζόντια δοκόσ ACD διατομόσ Σ (που φϋρει το ομοιόμορφο κατανεμημϋνο κατακόρυφο