ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ. Παρϊδειγμα 1. Το κόςτοσ παραγωγόσ Κ(χ) και η τιμό πώληςησ Π(χ), χ μονϊδων ενόσ προώόντοσ δύνεται από τη ςυνϊρτηςη:
|
|
- Ιώ Αυγερινός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΟΡΙΜΟ Έςτω ότι ϋχουμε δύο μεγϋθη χ,ψ τα οπούα ςυνδϋονται με τη ςχϋςη ψ=f(χ) και η ςυνϊρτηςη f εύναι παραγωγύςιμη ςτο χ 0. Ονομϊζουμε ρυθμό μεταβολόσ του ψ ωσ προσ χ ςτο ςημεύο χ 0 την παρϊγωγο f (χ 0 ) Ο ρυθμόσ μεταβολόσ με τον ςυμβολιςμό Leibniz dy dx χ=χ0 Παρατηρόςεισ Ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ μετατόπιςησ(ςυνϊρτηςη θϋςησ) ενόσ κινητού εύναι η ταχύτητα του κινητού και ο ρυθμόσ μεταβολόσ τη ταχύτητασ υ(t) εύναι η επιτϊχυνςη α(t) του κινητού Αν το κινητό κινεύται πϊν ςε μια ευθεύα και η ςυνϊρτηςη θϋςησ εύναι χ(t) τότε χ (t) εύναι ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ μετατόπιςόσ του και η ταχύτητϊ του. Στην οικονομύα το κόςτοσ παραγωγόσ Κ, η εύςπραξη Ε και το κϋρδοσ Π εκφρϊζονται ςυναρτόςει μιασ ποςότητασ χ του παραγόμενου προώόντοσ. Ο ρυθμόσ μεταβολόσ του κϋρδουσ ωσ προσ χ λϋγεται οριακό κϋρδοσ και ςυμβολύζεται με Π (χ), το οριακό κόςτοσ με Κ (χ) και η οριακό εύςπραξη με Ε (χ) Όταν ϋνα μϋγεθοσ μειώνεται ο ρυθμόσ μεταβολόσ εύναι αρνητικόσ και όταν ϋνα μϋγεθοσ αυξϊνεται ο ρυθμόσ μεταβολόσ εύναι θετικόσ Όταν ϋνα κινητό (ςημεύο) απομακρύνεται από την αρχό των αξόνων, εύτε πϊνω ςτον χ χ, εύτε ςτον ψ ψ, ςτουσ θετικούσ ημιϊξονεσ ϋχουμε θετικούσ ρυθμούσ, ενώ όταν πληςιϊζει την αρχό των αξόνων, ςτουσ θετικούσ ημιϊξονεσ ϋχουμε αρνητικούσ ρυθμούσ. Τα αντύθετα ςυμβαύνουν όταν το κινητό κινεύται ςτουσ αρνητικούσ ημιϊξονεσ. ΓΕΝΙΚΑ τα προβλόματα ςτο ρυθμό μεταβολόσ διακρύνονται ςε δύο μεγϊλεσ κατηγορύεσ Η πρώτη κατηγορύα εύναι τα προβλόματα όπου μασ δύδεται η ςυνϊρτηςη του μεγϋθουσ του οπούου μασ ζητούν το ρυθμό μεταβολόσ, όπωσ παρϊδειγμα 2 Η δεύτερη κατηγορύα εύναι τα προβλόματα όπου δεν μασ δύδεται η ςυνϊρτηςη του μεγϋθουσ του οπούου μασ ζητούν το ρυθμό μεταβολόσ. Τότε πρϋπει να την βρούμε εμεύσ. Αυτϊ τα προβλόματα εύναι ενύοτε και πιο δύςκολα. Όπωσ παρϊδειγμα 1, και 4 Παρϊδειγμα 1. Το κόςτοσ παραγωγόσ Κ(χ) και η τιμό πώληςησ Π(χ), χ μονϊδων ενόσ προώόντοσ δύνεται από τη ςυνϊρτηςη: Κ(χ) = αχ + βχ 2 + γχ + δ με α, β, γ, δ θετικούς αριθμούς και Π(χ) = λχ, όπου λ σταθερϊ. Να βρεθεύ πότε ο ρυθμόσ μεταβολόσ του κϋρδουσ εύναι θετικόσ Το κϋρδοσ εύναι Τ(χ)=Π(χ)-Κ(χ) και επομϋνωσ ο ρυθμόσ μεταβολόσ του κϋρδουσ ό οριακό κϋρδοσ Τ (χ) = Π (χ) Κ (χ) = λ αχ 2 2βχ γ = αχ 2 2βχ γ + λ. Και επειδό το α < 0 το τριώνυμο γύνεται θετικό όταν η διακρύνουςα Δ > 0. Τότε όμωσ ϋχουμε δύο ρύζεσ ϋςτω τισ ρ 1, ρ 2 και θα πρϋπει ρ 1 < χ < ρ 2 Παρϊδειγμα 2 1
2 Η θϋςη ενόσ κινητού που κινεύται ςε μια ευθεύα δύνεται κϊθε χρονικό ςτιγμό από τη ςυνϊρτηςη θϋςησ: χ(t) = t 6t 2 + 9t 4 με t 0,5 και το t ςε min α. Να βρεθεύ η θϋςη του κινητού τη χρονικό ςτιγμό t = 0 β. Να βρεθεύ η ταχύτητϊ του για κϊθε χρονικό ςτιγμό,καθώσ και η επιτϊχυνςό του γ. Να βρεθούν οι χρονικϋσ ςτιγμϋσ κατϊ τισ οπούεσ αλλϊζει φορϊ το κινητό δ. Ποια χρονικϊ διαςτόματα το κινητό κινεύται προσ τα δεξιϊ και ποια προσ τα αριςτερϊ ε. Να βρεθεύ το ςυνολικό διϊςτημα ςτ. Να βρεθεύ η μϋςη ταχύτητα του κινητού α. Θα πρϋπει να θϋςουμε t=0. Οπότε χ(0)=-4 β. υ(t) = χ (t) = t 2 12t + 9 εύναι η ταχύτητα για κϊθε χρονικό ςτιγμό α(t) = υ (t) = 6t 12 εύναι η επιτϊχυνςη του κινητού ςε κϊθε χρονικό ςτιγμό γ. Αλλϊζει φορϊ τισ χρονικϋσ ςτιγμϋσ που ταχύτητα εύναι 0και αλλϊζει και το πρόςημο τησ ταχύτητασ. Επομϋνωσ t 2 12t + 9 = 0 t = 1 ό t = Άρα ςτισ χρονικϋσ ςτιγμϋσ t=1 και t= αλλϊζει φορϊ το κινητό δ. t υ(t) Προσ τα δεξιϊ κινεύται όταν υ(t)>0 t 0,1)U(,5 και προσ τα αριςτερϊ κινεύται όταν υ(t)<0 t (1,) ε. χ(0)=-4, χ(1)=0, χ(2)=-2, χ()=-4, χ(4)=0 και χ(5)=16 Το ςυνολικό διϊςτημα εύναι ύςο με χ(1) χ(0) + χ() χ(1) + χ(5) χ() = 28 ςτ. υ = Δχ Δt = 28 5 = 5,6 2
3 Χρόςιμοι τύποι που εύναι απαραύτητοι για την επύλυςη των προβλημϊτων του ρυθμού μεταβολόσ Μόκοσ κύκλου ακτύνασ R L=2πR Εμβαδόν κύκλου ακτύνασ R Ε = πr 2 Μόκοσ κυκλικού τόξου ΑΒ = πr μ 180 αν το τόξο ειναι μο μούρεσ O) O ΑΒ = α R αν το τόξο εύναι α rad A μ 0 B Eμβαδόν κσκλικού ηομέα (ΟΑΒ) ακηίνας R Ε ΟΑΒ = πr2 μ 60 αν το τόξο ειναι μο μούρεσ Ε ΟΑΒ = 1 2 αr2 αν το τόξο εύναι α rad Δμβαδό κσκλικού ημήμαηος Ε κ.τμ. = Ε κ.τ (ΟΑΒ) (ΟΑΒ) Εμβαδόν ςφαύρασ Ε = 4πR 2 Ογκοσ ςφαύρασ V = 4 πr Εμβαδόν κώνου Ε = πrλ + πr 2 Ογκοσ κώνου V = 1 πr2 υ Ογκοσ πυραμύδασ V = 1 Ε βϊσης υ Παρϊδειγμα Ένασ ποντικόσ βρύςκεται ςτην κορυφό μιασ ςκϊλασ ύψουσ 1 μϋτρων που εύναι ςτερεωμϋνη ςε πλϊγια ςε ϋνα τούχο. Αν η βϊςη τησ ςκϊλασ γλυςτρϊει με ρυθμό m/sec, να βρεθεύ ο ρυθμόσ με τον οπούο πϋφτει ο ποντικόσ τη ςτιγμό που η βϊςη βρύςκεται ςε απόςταςη 5 μϋτρα από τον τούχο. Αν ο ποντικόσ βριςκόταν ςτο μϋςο Μ τησ ςκϊλασ, ποιοσ θα όταν ο ρυθμόσ πτώςησ του ποντικού? Α Ο Μ Β
4 Έςτω ΟΒ=χ m. Η απόςταςη του ποντικού από το ϋδαφοσ εύναι ΟΑ=ψ m και ΑΒ=1m Δύνεται χ (t) = m/sec Και θϋλουμε το ψ (t). Πρϋπει να βρούμε τη ςυνϊρτηςη του μεγϋθουσ που ζητϊμε το ρυθμό μεταβολόσ. Το τρύγωνο ΟΑΒ εύναι ορθογώνιο και επομϋνωσ ψ 2 (t) + χ 2 2χ(t) χ (t) (t) = 169 ψ(t) = 169 χ 2 (t) ψ (t) = χ 2 (t) = = = 5 m/ sec κατα την χρονικό ςτιγμό που το χ = 5m 4 To μϋςο Μ ϋχει ςυντεταγμϋνεσ Μ(χ Μ, ψ Μ ) = χ 2, ψ 2. Επομϋνωσ ψ Μ (t) = ψ (t) 2 = 5 8 m/sec Παρϊδειγμα 4 Σημεύο Μ(χ, ψ)κινεύται πϊνω στην υπερβολό χ 2 ψ 2 = 12 ϋτσι ώστε η ςυντεταγμϋνη του ψ να αυξϊνεται με ρυθμό 6m/sec. Ποιοσ εύναι ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ ςυντεταγμϋνησ χ κατϊ την χρονικό ςτιγμό που το χ=4m Έχουμε χ 2 (t) ψ 2 (t) = 12 6χ(t)χ (t) 2ψ(t)ψ (t) = 0 χ (t) = = 2ψ(t)ψ (t) = (±6) 6 6χ(t) 4 = ± όταν το χ = 4 από τον τύπο χ 2 ψ 2 = 12 προκύπτει ότι ψ=±6 Μ(4,6) Μ(χ,ψ) 4 Μ (4,-6) Παρϊδειγμα 5 Ένασ πεζοπόροσ ξεκινϊει από το ςημεύο Α και βαδύζει γύρω από μύα κυκλικό λύμνη ακτύνασ 2Κm με ςταθερό ταχύτητα Κm/h. Να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ χορδόσ ΑΒ ωσ προσ το χρόνο t τη χρονικό ςτιγμό που η γωνύα ΑΓ = ημ θ 2 ΟΒ ΑΓ = 2ημ θ 2. Επομϋνωσ ΑΒ (t) = 4ςυν θ(t) 2 θ (t) 2 θ = ΑΟΒ εύναι ύση με π ΑΒ(t) = 2ΑΓ(t) = 4ημ θ(t) θ(t) ΑΒ (t) = 4ςυν 2 2 θ (t) 2 Αλλϊ S = θ R S(t) = θ(t) 2 S (t) = 2θ (t) θ (t) = S (t) 2 = 2 rad/h και κατϊ την χρονικό ςτιγμό όπου η γωνύα θ εύναι π Α S Γ θ/2 Ο Ο Β θα ϋχω: 4
5 ΑΒ π = 4ςυν π 6 4 = = 2 Κm/h Παρϊδειγμα 6 Ένα σημεύο Μ κινεύται στη γραφικό παρϊσταση της συνϊρτησης f(χ) = χ + 1. Η τετμημϋνη του Μ εύναι θετικό και απομακρύνεται από την αρχό των αξόνων Ο με ρυθμό μεταβολόσ 2. Να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ γωνύασ που ςχηματύζει η εφαπτομϋνη τησ C f στο Μ με τον ϊξονα χ χ όταν αυτό εύναι παρϊλληλη με την ευθεύα προς την ευθεύα με εξύσωση χ ψ + 2 = 0 εφθ = f (χ) εφθ = χ 2 η ςυναρτόςει του χρόνου εφθ(t) = χ 2 (t). Εμεύσ ζητϊμε το θ (t). Αρα εφθ(t) = χ 2 (t) 1 + εφ 2 θ(t) θ (t) = 6χ(t) χ (t) θ (t) = 1 ςυν 2 θ (t) = 6χ(t) χ (t) θ(t) 6χ(t) χ (t) 1 + εφ 2 θ(t) 5 και κατϊ τη χρονικό ςτιγμό t 0 θα ϋχω θ (t 0 ) = 6χ(t 0) χ (t 0 ) 1 + εφ 2 θ(t 0 ). Αλλϊ τότε εφθ(t 0) = χ 2 (t 0 ) = χ(t 0 ) = 1 αφού το χ μασ το δύνει θετικό. Επομϋνωσ θ (t 0 ) = = 12 9 Παρϊδειγμα 7 Μια ςφαιρικό μπϊλα χιονιού ςυνεχώσ ελαττώνεται. Κϊποια ςτιγμό οι ρυθμού μεταβολόσ του όγκου V τησ ςφαύρασ και του εμβαδού τησ επιφϊνειϊσ τησ εύναι αριθμητικϊ ύςοι Να βρεύτε την ακτύνα R τησ ςφαύρασ, αν τα μόκη εκφρϊζονται ςε μϋτρα Ο όγκοσ τησ ςφαύρασ εύναι V = 4 π R και το εμβαδόν τησ επιφϊνειϊσ τησ εύναι Ε = 4πR 2 Αυτού οι τύποι ςυναρτόςει του χρόνου εύναι V(t) = 4 πr (t) και Ε(t) = 4πR 2 (t) και με αντύςτοιχουσ ρυθμούσ μεταβολόσ V (t) = 4 π R2 (t) R (t) = 4πR 2 (t) R (t) Ε (t) = 8πR (t) R(t) τη χρονικό ςτιγμό t 0 ϋχω V (t 0 ) = Ε (t 0 ) 4πR 2 (t 0 ) R (t 0 ) = 8πR (t 0 ) R(t 0 ) R(t 0 ) = 2m Σημεύωςη Για κϊθε χρονικό ςτιγμό R(t)>0 και R (t)<0 αφού η ςφαύρα λιώνει. Παρϊδειγμα 8 Η ϋνταςη του ηλιακού φωτόσ μϋςα ςε μια λύμνη ελαττώνεται με το βϊθοσ χ ςύμφωνα με τον τύπο Ι(χ) = Ι 0 e χ 2. α. Τι συμβολύζει η σταθερϊ Ι 0 β. Να υπολογιςθεύ ο ρυθμόσ μεταβολόσ του Ι ωσ προσ χ γ. Σε ποιο βϊθοσ ο ρυθμόσ μεταβολόσ θα μηδενιςτεύ α. Αν θϋςω όπου χ = 0 θα ϋχω Ι(0) = Ι 0. Αρα το Ι 0 εύναι η ϋνταςη του φωτόσ ςτην επιφϊνεια τησ λύμνησ β.
6 Ι (χ) = Ι 0 e χ 2 = Ι 0 e χ 2 χ 2 γ. lim Ι (χ) = lim = 1 χ + χ + 2 Ι 1 0 = Ι 0 e χ 2 lim μηδενιςτεύ ςε πολύ μεγϊλο βϊθοσ. Παρϊδειγμα 9 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ = 1 2 Ι 0e χ 2 = 1 2 Ι 0 χ e χ = 0, δηλαδό ο ρυθμόσ μεταβολόσ θα eχ Ένα περιπολικό Α κινεύται κατϊ μόκος της καμπύλης ψ = χ, χ 0 πληςιϊζοντασ την ακτό και ο προβολϋασ φωτύζει κατευθεύαν εμπρόσ. Αν ο ρυθμόσ μεταβολόσ τηε τετμημϋνησ του του περιπολικού εύναι α (t)=-α(t) να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ τετμημϋνησ του ςημεύου Μ τησ ακτόσ ςτο οπούο πϋφτουν τα φώρα του προβολϋα τη χρονικό ςτιγμό κατϊ την οπούα το περιπολικό ϋχει τετμημϋνη - Α α, α Μ Ακτή Πρϋπει να βρούμε τη ςυνϊρτηςη του μεγϋθουσ του οπούου μα ζητούν το ρυθμό μεταβολόσ. Στην προκειμϋνη περύπτωςη τησ τετμημϋνησ το ςημεύου Μ. Το ςημεύο Μ εύναι το ςημεύο ςτο οπούο η εφαπτομϋνη τησ καμπύλησ τϋμνει τον χ χ. Άρα πρϋπει να βρούμε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ ςτο ςημεύο α, α. f (χ) = χ 2 και f (α) = α 2. Αρα η εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ εύναι: ψ + α = α2 (χ α) και για ψ = 0 ϋχω: α 2 χ = 2α χ = 2α και ο ρυθμόσ μεταβολόσ εύναι : χ (t) = 2α (t) χ (t) = 2α(t) χ ( t 0 ) = 2 Παρϊδειγμα 10 = 2 μονϊδεσ μόκουσ μονϊδα χρόνου κατϊ τη χρονικό ςτιγμό t 0 θα ϋχω χ ( t 0 ) = 2α( t 0) η χ(t) = 2α(t) Ένα αερόςτατο που ανϋρχεται από το ϋδαφοσ με ταχύτητα m/sec εντοπύζεται από ϋνα ςημεύο Α το οπούο απϋχει 600 μϋτρα από το ςημεύο απογεύωςησ Β. Να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ γωνύασ θ = ΒΑΜ και το ρυθμό της απόστασης S = AM κατϊ τη χρονικό ςτιγμό t 0 κατϊ την οπούα το αερόςτατο βρύςκεται 600 μϋτρα από το ϋδαφοσ. Α θ S 600m M x Β 6
7 εφθ = χ ΑΒ εφθ = χ χ(t) ό εφθ(t) = εφθ(t) = χ(t) χ (t) ςυν 2 θ (t) = θ(t) 600 θ (t) = χ (t) ςυν2 θ(t) και για τη χρονικό ςτιγμό t ϋχω θ (t 0 ) = χ (t 0) ςυν 2 θ(t 0 ) = = = 1 rad. Διότι όταν το αερόςτατο βρύςκεται από το ϋδαφοσ 600 μϋτρα το τρύγωνο ΑΒΜ εύναι 400 sec ορθογώνιο και ιςοςκελϋσ και επομϋνωσ η γωνύα θ=π/4 και επομϋνωσ ςυν 2 π 4 = = 1 2 Για τον ρυθμό μεταβολόσ του S = AM ϋχω ΑΜ 2 = χ 2 ΑΜ = χ 2 2χ(t) χ (t) ΑΜ(t) = χ 2 (t) ΑΜ (t) = χ 2 (t) κατα την χρονικό ςτιγμό t 0 θα ϋχω ΑΜ (t 0 ) = 2χ(t 0) χ (t 0 ) χ 2 (t 0 ) = = = 2 2 m/sec Παρϊδειγμα 11 Γύο ασηοκίνηηα κινούνηαι καηά μήκος ηων οδών ΑΓ και ΒΓ με ηατύηηηα 100Κm/h και 50Κm/h ανηιζηοίτως. Να βρείηε ηο ρσθμό μεηαβολής ηης απόζηαζης ΑΒ ως προς ηο τρόνο t καηά ηη τρονική ζηιγμή t 0, καηά ηην οποία ηο πρώηο ότημα απέτει από ηη διαζηαύρωζη 400 μέηρα και ηο δεύηερο 00 μέηρα. υ 2 Γ υ 1 Α ΑΒ 2 = ΒΓ 2 + ΑΓ 2 ΑΒ = ΒΓ 2 + ΑΓ 2 η ΑΒ(t) = ΒΓ 2 (t) + ΑΓ 2 (t) και επομϋνωσ 2ΒΓ(t) ΒΓ (t) + 2ΑΓ(t) ΑΓ (t) ΑΒ (t) = = 2 ΒΓ 2 (t) + ΑΓ 2 (t) = = 110Κm/h ΑΓ (t)=-100κm/h και ΒΓ (t)=-50κm/h. Τα αρνητικϊ δεύχνουν ότι τα μεγϋθη μειώνονται. Β 7
8 Παρϊδειγμα 12 Δύο αερόςτατα ξεκινούν ταυτόχρονα να ανϋρχονται από τα ςημεύα Α και Β με ταχύτητεσ ανόδου 2m/sec και m/sec αντύςτοιχα. Να βρεθεύ ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ απόςταςόσ των ΜΚ 15 δευτερόλεπτα μετϊ την εκκύνηςό τουσ. 15 δευτερόλεπτα μετϊ την εκκύνηςό τουσ το αερόςτατο που ξεκινϊ από το ςημεύο Β βρύςκεται 15 =45m από το ϋδαφοσ, ενώ το αερόςτατο πο ξεκινϊ από το ςημεύο Α βρύςκεται 20m από το ϋδαφοσ. M A 20 m B K Λ ΜΚ 2 = ΜΛ 2 + ΚΛ 2 ΜΚ 2 = ΑΒ 2 + (ΒΚ ΑΜ) 2 ΜΚ = ΑΒ 2 + (ΒΚ ΑΜ) 2 ΜΚ(t) = ΑΒ 2 + (ΒΚ(t) ΑΜ(t)) 2 και ΜΚ (t) = ΜΚ (t) = (45 0)( 2) = = 5 m/sec 2 ΒΚ(t) ΑΜ(t) (ΒΚ (t) ΑΜ (t)) 2 ΑΒ 2 + (ΒΚ(t) ΑΜ(t)) 2 8
9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x)=lnx, x>0 και ςημεύο Μ(α,lnα),α>0 1. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ ςτο ςημεύο Μ τησ C f 2. Για ποια τιμό του α η εφαπτομϋνη αυτό διϋρχεται από την αρχό των αξόνων. Αν το ςημεύο Μ απομακρύνεται από τον ϊξονα ψ ψ με ςταθερό ταχύτητα υ=2m/sec, να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ τεταγμϋνησ του Μ ωσ προσ το χρόνο t τη χρονικό ςτιγμό κατϊ την οπούα η εφαπτομϋνη ςτο Μ διϋρχεται από την αρχό των αξόνων ΑΣΚΗΣΗ 2 Ένα ςημεύο Μ(χ,ψ)κινεύται πϊνω ςτην υπερβολό χ 2 ψ 2 = 12 ϋτςι ώςτε η ςυντεταγμϋνη του ψ να αυξϊνεται με ρυθμό 6m/sec. Ποιοσ εύναι ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ ςυντεταγμϋνησ του χ κατϊ τη χρονικό ςτιγμό που εύναι χ=4m ΑΣΚΗΣΗ Σημεύο Α κινεύται πϊνω ςε κύκλο κϋντρου Ο με ακτύνα 2 cm και με ςταθερό ταχύτητα cm/sec. Να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ χορδόσ ΑΒ ωσ προσ το χρόνο t κατϊ τη χρονικό ςτιγμό t 0 που η γωνύα θ=αοβ εύναι ύςη με π ΑΣΚΗΣΗ 4 Σημεύο Μ κινεύται ςτην παραβολό ψ 2 = χ ϋτςι η προβολό Α ςτον ημιϊξονα ΟΧ απομακρύνεται με ςταθερό ταχύτητα υ=5m/sec. Έςτω Β η προβολό του Μ ςτον ψ ψ και Ε το εμβαδόν του ορθογωνύου (ΟΑΜΒ). Να βρεύτε το ρυθμό με τον οπούο μεταβϊλλεται το εμβαδόν Ε τη ςτιγμό που το χ=(οα)=9 ΑΣΚΗΣΗ 5 Θεωρούμε την παραβολό με εξύςωςη ψ = 1 χ 2 και το ςημεύο Μ(χ 0, 1 χ 2 0 ) με 0 χ 0 1. Έςτω ότι Α και Β εύναι αντύςτοιχα τα ςημεύα ςτα οπούα η εφαπτομϋνη τησ παραβολόσ ςτο Μ τϋμνει τουσ ημιϊξονεσ ΟΧ,ΟΨ. Δύνεται ότι το Μ κινεύται ςτο τόξο ΓΔ με Γ(1,0), Δ(0,1) από το Γ προσ το Δ ϋτςι ώςτε το Α να απομακρύνεται από το Γ με ταχύτητα m/sec 1. Να βρεθεύ η ταχύτητα με την οπούα κινεύται ςτον ψ ψ το ςημεύο Β χ 0 = Να βρεθεύ ο ρυθμόσ μεταβολόσ με τον οπούο μεταβϊλλεται χρονικϊ το εμβαδόν Ε=Ε(t)=(OAΒ) όταν χ 0 = 1 2. Σε ποια θϋςη του ςημεύου Μ ςτην παραβολό μηδενύζεται ο ρυθμόσ μεταβολόσ του εμβαδού Ε ωσ προσ το χ 0 ΑΣΚΗΣΗ 6 Ένα κινητό κινεύται ςτη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ f(χ) = (χ 2) Η τετμημϋνη εύναι θετικό κινεύται με ρυθμό 2 πϊνω ςτον θετικό ημιϊξονα χ χ. Να βρεθεύ ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ γωνύασ θ που ςχηματύζει η εφαπτομϋνη ευθεύα τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f ςτο Μ με τον ϊξονα χ χ, όταν αυτό εύναι παρϊλληλη με την ευθεύα 9
10 χ-ψ=0 ΑΣΚΗΣΗ 7 Ένα μπαλόνι βρύςκεται 00 μϋτρα από το ϋδαφοσ και ςτη ςυνϋχεια κατεβαύνει κατακόρυφα με ςταθερό ταχύτητα 20m/sec. Όταν το μπαλόνι βρύςκεται ςε ύψοσ 00 μϋτρων, ϋνα αυτοκύνητο περνϊ από κϊτω του και προχωρϊ κατϊ μόκοσ ενόσ ύςιου δρόμου με ςταθερό ταχύτητα 108Κm/h. Να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ μεταξύ τουσ απόςταςησ ωσ προσ το χρόνο t 5 δευτερόλεπτα αργότερα. ΑΣΚΗΣΗ 8 Ένα αεροπλϊνο κινεύται με ςταθερό ταχύτητα 60 Κm/h και ςε ύψοσ Κm από το ϋδαφοσ. Αν τη χρονικό ςτιγμό t 0 η οριζόντια απόςταςη του αεροπλϊνου από ϋναν παρατηρητό Π εύναι ΠΚ=2Κm, να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ γωνύασ θ=απκ τη χρονικό ςτιγμό t 0 Π S θ χ Α Κ 10
ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ
Πληκτρολογόςτε την εξύςωςη εδώ. ΚΤΡΣΟΣΗΣΑ ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ και παραγωγύςιμη ςτο εςωτερικό του Δ. Θα λϋμε ότι : Η ςυνϊρτηςη f εύναι κυρτό ό ςτρϋφει τα κούλα
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ
Ημερομηνύα: Ονοματεπώνυμο: ΘΕΜΑ 1 0 : (25μονάδεσ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ τισ ερωτόςεισ 1-4, να γρϊψετε τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα ςε κϊθε αριθμό το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη:
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ
Τρίγωνα -Κφρια και δευτερεφοντα στοιχεία τριγώνου Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ τόχοσ 1 : Κύρια ςτοιχεύα τριγώνου Αςκόςεισ 1. Να ςχεδιϊςετε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ. Να ορύςετε τα κύρια ςτοιχεύα του. Να βρεύτε
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κατεύθυνςησ
Ημερομηνύα: Ονοματεπώνυμο: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κατεύθυνςησ ΘΕΜΑ 1 0 : (25μονάδεσ) Στισ ερωτόςεισ 1-4, να γρϊψετε τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα ςε κϊθε αριθμό το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη
Διαβάστε περισσότερα2.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας
.4 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 45 A Οµάδας. Μια σφαιρική µπάλα χιονιού αρχίζει να λειώνει. Η ακτίνα της, που ελαττώνεται δίνεται σε cm από τον τύπο r = 4 t, όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικϊ. Β' Ενιαύου Λυκεύου. (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού
Μαθηματικϊ Β' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού Η διδαςκαλύα των Μαθηματικών Κοινού Κορμού επιδιώκει να δώςει ςτο μαθητό τα εφόδια για την αντιμετώπιςη καθημερινών αναγκών ςε αριθμητικϋσ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΑΠΟ ΣΟ ΔΗΜΟΣΙΚΟ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ 4 Διϊγνωςη των γνώςεων και ικανοτότων των παιδιών που ϋρχονται από το Δημοτικό ςτο Γυμνϊςιο. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΥΤΙΚΗ B ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΗΛΕΚΣΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
Ημερομηνύα: Ονοματεπώνυμο: ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΥΤΙΚΗ B ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΗΛΕΚΣΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΘΕΜΑ 1 0 : (25 μονάδεσ) τισ ερωτόςεισ 1-5 να γρϊψετε τον αριθμό τησ ερώτηςησ ςτο τετρϊδιό ςασ και δύπλα ςε κϊθε αριθμό το γρϊμμα
Διαβάστε περισσότεραΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y f(x), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ)
Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ) : 1. ΤΝΑΡΣΗΕΙ Ορύζουν και να αναγνωρύζουν μια ςύνθετη ςυνϊρτηςη 2 1.1 Επανϊληψη Εκφρϊζουν μια ςύνθετη ςυνϊρτηςη ωσ ςύνθεςη ϊλλων ςυναρτόςεων Ορύζουν και
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).
Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΑΠΟ ΣΗΝ ΤΛΗ ΣΗ Α' ΣΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 Διϊγνωςη των γνώςεων και ικανοτότων των παιδιών με ςκοπό τη ςυμπλόρωςη κενών. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ
Διαβάστε περισσότεραE.M.Π. - ΣΜΗΜΑ ΝΑΤΠΗΓΩΝ ΜΗΦΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ
1 E.M.Π. - ΣΜΗΜΑ ΝΑΤΠΗΓΩΝ ΜΗΦΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΗ-Ι-04/07/2008 ΘΕΜΑ 1 ο Οριζόντια απαραμόρφωτη ρϊβδοσ ΟΟ' (θεωρεύται αβαρόσ) ςτηρύζεται με ϊρθρωςη ςτο ςημεύο Ο και κρϋμεται όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα
Διαβάστε περισσότεραΓια τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε τη ςωςτό απϊντηςη.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 0 : (25 μονϊδεσ) ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε
Διαβάστε περισσότεραΡυθμός μεταβολής. Γ Λυκείου (Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής)
Ρυθμός μεταβολής (Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής.4 Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής lisari.blogspot@gmail.com Περιεχόμενα. Θεωρία.
Διαβάστε περισσότεραΡ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ
Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι ) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη χ, ψ συνδέονται με την σχέση ψ = f ( χ ), όταν f μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο χ 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του ψ ως προς
Διαβάστε περισσότερα, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0
ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο
Διαβάστε περισσότεραμε το ςχόμα ΑΕΖΗΓΔ χρηςιμοποιώντασ αλγεβρικϊ και όχι γεωμετρικϊ εργαλεύα. παρακϊτω ςχόμα, ςαν ςυνϊρτηςη τησ μεταβλητόσ x. (Μονϊδεσ 5) 2χ+1 Ζ 4χ+1
ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο (Άλγεβρα) ) Δύδεται η αλγεβρικό παρϊςταςη: Π= (α-) + (α-) (β+) + (β+) Να δεύξετε ότι η παρϊςταςη Π εύναι τϋλειο τετρϊγωνο (Μονϊδεσ 8) Εϊν α, β πραγματικού αριθμού με α+β= να υπολογύςετε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Β' Ενιαίου Λυκείου (μάθημα κατεύθυνςησ)
Μαθηματικά Β' Ενιαίου Λυκείου (μάθημα κατεύθυνςησ) Α. ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Επανϊληψη ύλησ τησ Α' Λυκεύου (5 περύοδοι). Απόλυτη τιμό πραγματικού αριθμού (5 περύοδοι) 3. υναρτόςεισ, πεδύο οριςμού, πεδύο τιμών, ιςότητα,
Διαβάστε περισσότεραΜαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ
Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ Ποιοσ εύναι ο οριςμόσ του ςυνόλου; Γιατύ μαθαύνουμε οριςμούσ; Αν ςκεφτεύ κανεύσ ότι τα μαθηματικϊ εύναι μια γλώςςα, όπωσ τα ελληνικϊ ό τα αγγλικϊ, και ο ςκοπόσ τησ εύναι να διευκολύνει
Διαβάστε περισσότερα0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ).
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 4ο Παρϊγωγοσ Συναρτόςεων μιασ Μεταβλητόσ.
Μαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 4ο Παρϊγωγοσ Συναρτόςεων μιασ Μεταβλητόσ. Αμϋςωσ μετϊ ο Χαμπϊσ-αλ-Χαςύμπ δημιούργηςε την εφαπτομϋνη. Η εφαπτομϋνη εύναι το ιδανικό εργαλεύο για την μϋτρηςη του ύψουσ.
Διαβάστε περισσότερα0 είναι η παράγωγος v ( t 0
ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f(, όταν f
Διαβάστε περισσότεραα. η ελϊχιςτη μεταβολό μόκουσ που μπορεύ να υποςτεύ ϋνα αρχικό μόκοσ L=10cm επύ τησ επιφϊνειασ του ςώματοσ. ε ε ]=[ 3 ε ε ε
1 E.M.Π. - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ - 16/12/2011 Θϋμα 1ο το επύπεδο ςώμα του ςχόματοσ ϋχουν επικολληθεύ τρύα ηλεκτρομ/ρα όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Οι ενδεύξεισ εύναι α 1=3μ,
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ
Ρητοί Αριθμοί Πρόσθεση και αφαίρεση Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ Στόχοσ : Αθρούςμα δύο ρητών αριθμών Αςκόςεισ 1. Να βρεύτε τα αθρούςματα : α. (+ 5 ) + (+ 19) β. 2) + ( 12) γ. ( ) ( ) δ. ( ) ε. ( ) Βαςικό
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ Καβάιας, Τκήκα Δαζοπολίας θαη Δηατείρηζες Φσζηθού Περηβάιιοληος Μάζεκα: Μεηεωροιογίας-Κιηκαηοιογίας. Υπεύζσλε : Δρ Μάρζα Λαδαρίδοσ Αζαλαζηάδοσ
4. ΑΣΜΟΦΑΙΡΙΚΗ ΠΙΕΗ ΤΕΙ Καβάιας, Τκήκα Δαζοπολίας θαη Δηατείρηζες Φσζηθού Περηβάιιοληος Μάζεκα: Μεηεωροιογίας-Κιηκαηοιογίας. Υπεύζσλε : Δρ Μάρζα Λαδαρίδοσ 1 4. ΑΣΜΟΦΑΙΡΙΚΗ ΠΙΕΗ Η ατμόςφαιρα εύναι ϋνα ςτρώμα
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΤΩΝΤΜΑ. ΠΑΡΑΜΕΣΡΟ λϋγεται το ςύμβολο, ςυνόθωσ γρϊμμα, του οπούου το πεδύο οριςμού ορύζεται ϋτςι ώςτε να ιςχύει κϊποια προώπόθεςη.
ΠΟΛΤΩΝΤΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΕΣΑΒΛΗΣΗ λϋγεται ϋνα ςύμβολο, ςυνόθωσ γρϊμμα, το οπούο παύρνει τιμϋσ μϋςα από ϋνα ςύνολο Α. Σο Α λϋγεται πεδύο οριςμού. Αν το πεδύο οριςμού εύναι υποςύνολο του ςυνόλου των πραγματικών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΧΗ ΑΠΟ ΣΗΝ ΤΛΗ ΣΗ Β'ΣΑΞΗ 4 Διϊγνωςη των γνώςεων και δεξιοτότων των παιδιών με ςκοπό τη ςυμπλόρωςη κενών. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ δοκύμια, φύλλα εργαςύασ, αςκόςεισ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικοπούηςη. Μαθηματικοπούηςη. Μαθηματικϋσ δεξιότητεσ. Κατακόρυφη
Διδακτική Μαθηματικών ΙΙ Μάθημα 10 ο Αξιολόγηςη Είδη ερωτήςεων Μαθηματικϋσ δεξιότητεσ Μαθηματικό ςκϋψη Μαθηματικό δικαιολόγηςη Επύλυςη προβλόματοσ Επικοινωνύα Χρόςη εργαλεύων Αναπαραςτϊςεισ Συμβολικό,
Διαβάστε περισσότεραΠΡΩΣΟ ΕΣ ΑΚΗΕΩΝ ΓΙΑ ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΟΟΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΙΚΩΝ ΑΠΟΥΑΕΩΝ
ΠΡΩΣΟ ΕΣ ΑΚΗΕΩΝ ΓΙΑ ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΟΟΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΙΚΩΝ ΑΠΟΥΑΕΩΝ Τμθμα: Χρηματοοικονομικθς και Τραπεζικθς Διοικητικθς Εξάμηνο: Γ Μ. Ανθρωπέλοσ. Άςκηςη 1 α) Γρϊψτε το πρόβλημα ςτην τυποποιημϋνη του μορφό.
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι.
1 Ε.Μ.Π. - ΠΟΛΙΣΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ - ΣΑΣΙΚΗ Ι - ΠΡΟΟΔΟ 06/05/2011 ΘΕΜΑ 1 ο τον παρακϊτω φορϋα ζητούνται να ςχεδιαςτούν τα διαγρϊμματα M,Q,N. Λύςη: Ο φορϋασ αποτελεύται από ϋνα δευτερεύων τριαρθρωτό τόξο που
Διαβάστε περισσότεραα = 2q + r με 0 r < 2 Πιθανϊ υπόλοιπα: r = ο: α = 2q r = 1: α = 2q + 1 Ευκλεύδεια διαύρεςη Ειςαγωγό ςτισ βαςικϋσ ϋννοιεσ των Μαθηματικών Διαιρετότητα
Ειςαγωγό ςτισ βαςικϋσ ϋννοιεσ των Μαθηματικών 8 ο Μάθημα Διαιρετότητα Ευκλεύδεια διαύρεςη Για κϊθε ζεύγοσ ακεραύων αριθμών α, β με β 0, υπϊρχει μοναδικό ζεύγοσ ακεραύων q, r ϋτςι ώςτε: α = βq + r με 0
Διαβάστε περισσότεραΣ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι
1 Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι 03/07/2013 ΘΕΜΑ Η δοκόσ του ςχόματοσ α ϋχει τη διατομό του ςχόματοσ β. Ζητούνται: a) Σα διαγρϊμματα Q και M. b) Σο απαιτούμενο πϊχοσ t του
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Στισ παρακϊτω ερωτήςεισ -4 να γρϊψετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δίπλα το γρϊμμα που αντιςτοιχεί ςτην ςωςτή απϊντηςη..
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι. Ε.Μ.Π. - ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΨΝ
1 ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΔΟΑΣΑΠ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΑΣΕΙ ΕΜΠ - ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΨΝ 31/01/2011 ΘΕΜΑ 1 ο τον φορϋα του ςχόματοσ η οριζόντια δοκόσ ACD διατομόσ Σ (που φϋρει το ομοιόμορφο κατανεμημϋνο κατακόρυφο
Διαβάστε περισσότεραΕ.Μ.Π. - ΦΟΛΗ ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ - ΣΑΣΙΚΗ ΙΙ -17/02/2012
1 Ε.Μ.Π. - ΦΟΛΗ ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ - ΣΑΣΙΚΗ ΙΙ -17/02/2012 ΘΕΜΑ 1 ο τον φορϋα του ςχόματοσ ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγρϊμματα M, Q, N. β) να βρεθεύ η κατακόρυφη μετακύνηςη του κόμβου 4 ςε μϋγεθοσ
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι. Ε.Μ.Π. - ΧΟΛΗ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ
1 Ε.Μ.Π. - ΧΟΛΗ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΝΣΟΧΗ ΤΛΙΚΩΝ 26/09/2011 ΘΕΜΑ 1 ο Η κιβωτοειδούσ διατομόσ δοκόσ BD ςυγκολλϊται ςτην ορθογωνικόσ διατομόσ αμφιϋρειςτη δοκό ΑΒC και φορτύζεται όπωσ ςτο ςχόμα. 1. Να γύνουν
Διαβάστε περισσότεραΦυζική Προζαναηολιζμού Θεηικών Σπουδών
1 Υυςικό Β Λυκεύου Προςανατολιςμού-Κ.Β.Υιρφιρόσ Φυζική Προζαναηολιζμού Θεηικών Σπουδών Φ Ρ Ο Ν Σ Ι Σ Η Ρ Ι Α Π Ρ Ο Ο Π Σ Ι Κ Η ελίδα 1 Υυςικό Β Λυκεύου Προςανατολιςμού-Κ.Β.Υιρφιρόσ 1.Καμπυλόγραμμεσ κινόςεισ
Διαβάστε περισσότεραΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ ΙΙ
1 ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ ΙΙ -04-03-2009 Θϋμα 1 ο Να γύνει πλόρησ επύλυςη του μικτού φορϋα του ςχόματοσ και ακολούθωσ να καταςκευαςτούν
Διαβάστε περισσότεραΕΡΕΤΝΗΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ: ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΑΡΧΑΙΟΤ ΧΡΟΝΟΤ Β ΛΤΚΕΙΟΤ 1 Ο ΛΤΚΕΙΟ ΜΙΚΡΑ 2 Ο ΣΕΣΡΑΜΗΝΟ
ΕΡΕΤΝΗΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ: ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΑΡΧΑΙΟΤ ΧΡΟΝΟΤ Β ΛΤΚΕΙΟΤ 1 Ο ΛΤΚΕΙΟ ΜΙΚΡΑ 2 Ο ΣΕΣΡΑΜΗΝΟ ΕΡΑΣΟΘΕΝΗ :ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΙΗΜΕΡΙΝΟΤ ΣΗ ΓΗ ΑΔΑΜΑΡΑ ΡΑΥΑΗΛ ΓΕΨΡΓΑΝΣΖΙΔΟΤ ΦΡΙΣΙΝΑ ΔΕΡΕΜΠΕΪΔΟΤ ΕΙΡΗΝΗ ΚΟΡΨΝΑΙΟΤ ΛΗΔΑ ΕΡΑΣΟΘΕΝΗ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΣΥΝΕΦΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ-ΘΕΩΡΙΑ Έζηω ζσλάρηεζε θαη ποσ αλήθεη ζηο πεδίο ορηζκού ηες. Θα ιέκε όηη ε είλαη ζσλετής ζηο αλ θαη κόλο αλ Αςυνεόσ θα εύναι μύα ςυνϊρτηςη αν δεν υπϊρει το Αν υπϊρει το όριο αλλϊ δεν
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ. = t. (1) 2 επειδή Δx 1 = Δx 2 = Δ xoλ / 2 Επειδή Δx 1 = u 1 t 1, από την
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ 1) Δίνεται η διπλανή γραφική παράσταση της ταχύτητας με το χρόνο. Να γίνει το διάγραμμα (θέσης χρόνου ), αν όταν o= είναι o =. Υπόδειξη Βρείτε τα εμβαδά μεταξύ της γραφικής παράστασης
Διαβάστε περισσότεραΜελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2
Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω
Διαβάστε περισσότεραΔΟΚΙΜΑΙΑ-1 (ΜΟΝΑΔΕ 60) εύναι αντύςτροφοι. (Μονϊδεσ 5)
ΘΕΜΑ Ο ΟΚΙΜΑΙΑ- (ΜΟΝΑΕ 6) (α) Να αποδεύξετε ότι οι αριθμού -3 3-3 7 = -+ και = - 4-4 6 εύναι αντύςτροφοι. (β) Αριθμότοιχοσ: Αν κϊθε αριθμόσ εύναι ύςοσ με το ϊθροιςμα των δύο αριθμών που βρύςκονται κϊτω
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης. Ειδικά Θέματα Μαθηματικών. Μαθηματικά στην εκπαίδευση και την έρευνα: Ο ρόλος της γλώσσας. Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Κ.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Ειδικά Θέματα Μαθηματικών Μαθηματικά στην εκπαίδευση και την έρευνα: Ο ρόλος της γλώσσας Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Κ. Τάτσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΑΜΘ-Σχολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Τμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ ςυνεργϊτησ : Σιώπη
ΤΕΙ ΑΜΘ-Σχολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Τμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ ςυνεργϊτησ : Σιώπη Ευαγγελύα Καβϊλα Οκτώβριοσ 2018 Είδη Παραγώγων 1.Προθεςμιακ
Διαβάστε περισσότεραΠανελλήνιεσ Εξετάςεισ 2011 Φυςική Θετικήσ & Τεχνολογικήσ Κατεύθυνςησ. 20 Μαΐου 2011 Πρόχειρεσ Απαντήςεισ
Θέμα Α Α.1 γ Α.2 β Α.3 γ Α.4 γ Πανελλήνιεσ Εξετάςεισ 2011 Φυςική Θετικήσ & Τεχνολογικήσ Κατεύθυνςησ Α.5 α Σ, β Λ, γ Σ, δ Λ, ε Λ Θέμα Β Β.1 20 Μαΐου 2011 Πρόχειρεσ Απαντήςεισ Στην θϋςη ιςορροπύασ τησ m1
Διαβάστε περισσότεραΕπικοινωνύα (1) Επικοινωνύα (2) Επικοινωνύα (3) Ανακοινώςεισ μαθήματοσ: κλειδύ: math2009.
Ειςαγωγό ςτισ βαςικϋσ ϋννοιεσ των Μαθηματικών 1 ο Μάθημα Ειςαγωγή Μαθηματική Λογική Επικοινωνύα (1) ktatsis@uoi.gr twitter: tatsis_kostas Τηλϋφωνο: 2651005870 Ώρεσ ςυνεργαςύασ (3 οσ όροφοσ): Τετϊρτη 17:00-19:00
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδικό Φροντιςτόριο Βουλιαγμϋνησ & Κύπρου 2, Αργυρούπολη, Τηλ:
Πανελλήνιεσ Εξετάςεισ Ημερήςιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Ημ/νία: 0 Μαίου 0 Απαντόςεισ Θεμϊτων ΘΕΜΑ Α Α. Σωςτό Απϊντηςη: γ (Η ςταθερϊ απόςβεςησ εξαρτϊται
Διαβάστε περισσότεραΔΟΚΙΜΑΙΑ-1 (ΜΟΝΑΔΕ 60) εύναι αντύςτροφοι. (Μονϊδεσ 5)
ΘΕΜΑ Ο (α) Να αποδεύξετε ότι οι αριθμού ΟΚΙΜΑΙΑ- -3 (ΜΟΝΑΕ 60) 3-3 7 = -+ και = - 4-4 6 εύναι αντύςτροφοι. (β) Αριθμότοιχοσ: Αν κϊθε αριθμόσ εύναι ύςοσ με το ϊθροιςμα των δύο αριθμών που βρύςκονται κϊτω
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Πρόσθεση-αφαίρεση. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Πρόσθεση-αφαίρεση Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότερα= 8 ενώ Shift + = * * 8
ΌΛΑ τα πλόκτρα του πληκτρολογύου μασ εύναι ΣΙΓΜΙΑΙΟΤ ΠΑΣΗΜΑΣΟ, εκτόσ από τα εξόσ Shift, Ctrl (Control) και Alt Σα πλόκτρα αυτϊ τα «πατϊμε» πρώτα, τα κρατϊμε πατημϋνα και τα «αφόνουμε» τελευταύα. Αλλαγό
Διαβάστε περισσότεραΣΑΣΙΣΙΚΗ ΣΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΕΩΝ
ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΣΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΕΩΝ ΣΤΕΦΑΝΟΣ Γ. ΓΙΑΚΟΥΜΑΤΟΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ορισμός και εφαρμογζς Στατιςτική εύναι η επιςτόμη που αςχολεύται με τη ςυλλογό, επεξεργαςύα, παρουςύαςη και ανϊλυςη δεδομϋνων
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 1, Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-7811 Φαξ: 57-791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Δευτέρα, Ιουνίου 14 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΥπεριώδεισ ακτίνεσ: ωφέλεια και βλάβη από αυτέσ
Υπεριώδεισ ακτίνεσ: ωφέλεια και βλάβη από αυτέσ από την μαθήτρια Κοττέ Αγγελική Εργαςία ςτη Φυςική Γενικήσ Παιδείασ Γ Λυκείου Υπεύθυνοσ Καθηγητήσ: Αλέξανδροσ Κατέρησ Η ηλιακό υπεριώδησ ακτινοβολύα (UV)
Διαβάστε περισσότεραW=FSσσνθ. το παρακϊτω ςχεδιϊγραμμα φαύνονται οι διϊφορεσ μορφϋσ ενϋργειασ που θα μασ απαςχολόςουν. ΕΝΕΡΓΕΙΑ ( Ε ή W)
ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Ενέργεια. «Δεν ξϋρουμε ακριβώσ τι εύναι ενϋργεια. Ξϋρουμε ότι εύναι κϊτι που μεταμορφώνεται, που μεταφϋρεται αλλϊ ςτο ςύνολο του
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΟΤ
ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΟΤ ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΔΙΟΙΚΗΗ & ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι 6 Δεκεμβρύου 2015 ΕΙΑΓΩΓΗ Με την παραγώγιςη μιασ ςυνϊρτηςησ ϋςτω F(x) παύρνουμε μια ϊλλη ςυνϊρτηςη,
Διαβάστε περισσότερα= x + στο σηµείο της που
Ασκήσεις στην εφαπτοµένη καµπύλης 1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) = + στο σηµείο της που έχει τετµηµένη.. Σε ποια σηµεία της γραφικής παράστασης της
Διαβάστε περισσότεραΟριςμόσ προβλήματοσ. Θεωρία Γράφων 2
Θεωρία Γράφων 1 Οριςμόσ προβλήματοσ Οποιοδόποτε επιφϊνεια που χωρύζεται ςε περιοχϋσ, όπωσ ϋνασ πολιτικόσ χϊρτησ των νομών ενόσ κρϊτουσ, μπορούν να χρωματιςτούν χρηςιμοποιώντασ λιγότερα από τϋςςερα χρώματα
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 8 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 4965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 6 64 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =
Διαβάστε περισσότεραΛύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ
Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Κινηματική
Κεφάλαιο 1: Κινηματική Θέμα Β: 3763 Β 3768 Β1 3770 Β1 377 Β 4980 Β1 498 Β1 4986 Β1 4989 Β 4995 Β1 5044 Β1 5046 Β1 5050 Β1 505 Β1 5090 Β1 515 Β1 518 Β1 513 Β 563 Β1 535 Β1 535 Β 539 Β1 5515 Β1 6154 Β1 8996
Διαβάστε περισσότεραΕιςαγωγή ςτην Πληροφορική των Επιχειρήςεων
Ειςαγωγή ςτην Πληροφορική των Επιχειρήςεων υςτόματα Αρύθμηςησ Γκϊμασ Βαςύλειοσ, Οικονομϊκοσ Μιχϊλησ Συςτήματα Αρίθμηςησ (I) Δεκαδικό ςύςτημα: Έχει βϊςη το 10 και χρηςιμοποιεύ 10 ψηφύα (0-9) για την αναπαρϊςταςη
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ( - h). Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 = και lim = h 0 h να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 = και να βρείτε την (). () - + 6. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 =
Διαβάστε περισσότεραΓ. Κρεκούκιασ Στοιχεύα τησ υποκειμενικόσ και κλινικόσ αξιολόγηςησ Επεξόγηςη και αναζότηςη του τελικού αιςθόματοσ Αξιολόγηςη ενεργητικού και παθητικού εύρουσ τροχιϊσ Γωνιομϋτρηςη Από τη φόρμα υποκειμενικόσ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Τόμος 3ος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Παν/μίου
Διαβάστε περισσότεραημειώςεισ των αςκόςεων του μαθόματοσ Κεφαλαιαγορϋσ- Επενδύςεισ Ενότητα: Χρηματοοικονομικόσ Κύνδυνοσ Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ
ημειώςεισ των αςκόςεων του μαθόματοσ Κεφαλαιαγορϋσ- Επενδύςεισ Ενότητα: Χρηματοοικονομικόσ Κύνδυνοσ Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ υνεργϊτησ :ιώπη Ευαγγελύα Κίνδυνοσ Ωσ κύνδυνο θα µπορούςαµε
Διαβάστε περισσότερα19/10/2009. Προηγοφμενη βδομάδα... Σήμερα Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Χωρικά Μοντζλα Δεδομζνων. Δομή του μαθήματοσ
Προηγοφμενη βδομάδα... Σήμερα Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Χωρικά Μοντζλα Δεδομζνων Δημότρησ Μιχελϊκησ Τμόμα Εφαρμοςμϋνησ Πληροφορικόσ και Πολυμϋςων Σχολό Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι. Σ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε.
1 Σ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε.- ΘΕΜΑ ΟΠΛΙΜΕΝΟΤ ΚΤΡΟΔΕΜΑΣΟ Ι 10/10/2011 τισ διπλανϋσ πλϊκεσ οι οπούεσ εδρϊζονται ςε δοκούσ πλϊτουσ 030 m ζητούνται. 1)Να προςδιοριςθούν τα θεωρητικϊ ανούγματα.
Διαβάστε περισσότεραΚατϊ Terzaghi η Υ.Ι. του εδϊφουσ για ορθογωνικϊ θεμϋλια δύνεται από την ςχϋςη:
1 Σ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ Σ.Ε. ΘΕΜΕΛΙΨΕΙ - 20/02/2009 ΘΕΜΑ 1 ο Σο ορθογωνικό θεμϋλιο του ςχόματοσ ϋχει διαςτϊςεισ L x=3m, L y=4m.μετϊ τον υπολογιςμό των φορτύων βρϋθηκε ότι η ςυνιςταμϋνη
Διαβάστε περισσότεραΒαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 6. Δομ. Προγραμ. - Συναρτόςεισ - Διϊλεξη 6
Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 6 1 Αφαιρετικότητα ςτισ διεργαςύεσ Συνϊρτηςεισ Δόλωςη, Κλόςη και Οριςμόσ Εμβϋλεια Μεταβλητών Μεταβύβαςη παραμϋτρων ςε ςυναρτόςεισ Μηχανιςμόσ Κλόςησ Συνϊρτηςησ 2 Διεργαςύα : βαςικό
Διαβάστε περισσότερα1 0, να βρείτε την τιμή του α. 4. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας καμπύλης είναι : χ=3(2θ ημ2θ) ψ=3(1 συν2θ) α) Να δείξετε ότι : =σφθ
ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΡΑΛΙΜΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ -4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Αν =e t και y=e t να δείξετε ότι : y d y +χ dy = d d Αν χ= d d t και ψ=τοξημt,
Διαβάστε περισσότερα22/11/2009. Προηγοφμενη βδομάδα... Δεδομζνα απο Δευτερεφουςεσ πηγζσ. Αυτή την βδομάδα...
Προηγοφμενη βδομάδα... Δεδομζνα απο Δευτερεφουςεσ πηγζσ Πρωτογενό δεδομϋνα Αρχϋσ και τεχνικϋσ που χρηςιμοποιούνται ςτην ςυλλογό γεωγραφικών δεδομϋνων Πωσ χρηςιμοποιούμε το GPS και την Τηλεπιςκόπηςη ςαν
Διαβάστε περισσότερα2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)
1.8 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 A Οµάδας 1.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () 5 5 4 + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της
Διαβάστε περισσότεραlim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΙΑ ΣΕΦΝΟΛΟΓΙΑ. Αδϊμου Αθαναςύα Αρβανύτη Αθαναςύα Αρςϋνη Βαςιλικό-Αργυρώ Βενϋτη Ευαγγελύα
ΕΡΓΑΙΑ ΣΕΦΝΟΛΟΓΙΑ Αδϊμου Αθαναςύα Αρβανύτη Αθαναςύα Αρςϋνη Βαςιλικό-Αργυρώ Βενϋτη Ευαγγελύα Τϊξη :Γ1 3 ο γυμνϊςιο Τρικϊλων Σχολικό ϋτοσ 2015-2016 Υπεύθυνη Καθηγότρια: Κόπανου Ευθαλύα Τίτλοσ έρευνασ: Σε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης. Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Τόμος 2ος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Τόμος ος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Παν/μίου
Διαβάστε περισσότερα4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού
4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού Η έννοια της παραγώγου Η έννοια της παραγώγου είναι η επόμενη, μετά την έννοια του ορίου, σημαντική έννοια που συναντούμε κατά τη μελέτη της θεωρίας συναρτήσεων.
Διαβάστε περισσότεραΠαθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ. Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ;
Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ; Dr. jennifer Dennis, Ιατρική Σύμβουλοσ του Συλλόγου για το Σύνδρομο Down (1993) Ο αδϋνασ
Διαβάστε περισσότεραΛύση. Γνωρίζουµε ότι η µετατόπιση µπορεί να υπολογιστεί και από το εµβαδόν της γραφικής παράστασης υ=f(t) ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ :
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : X 6 (s) Σηµαντικό: Στην Ε.Ο.Κ και στο διάγραµµα µετατόπισης -χρόνου: Χ υ = = εφθ Μοτοσικλετιστής κινείται ευθύγραµµα και η κίνηση του περιγράφεται από το διάγραµµα Θέσης χρόνου του διπλανού
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΑΜΘ-Σχολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Τμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ
ΤΕΙ ΑΜΘ-Σχολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Τμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ ςυνεργϊτησ : Σιώπη Ευαγγελύα Καβϊλα Οκτώβριοσ 2018 Θεωρία χαρτοφυλακίου Η θεωρύα
Διαβάστε περισσότεραΒρύςκω την ροπό του ςτηρύγματοσ Β και την μϋγιςτη ροπό ςτο ϊνοιγμα ΑΒ. Βρύςκω τισ τϋμνουςεσ ςτα χαρακτηριςτικϊ ςημεύα του φορϋα.
1 Σ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΙΔΗΡΕ ΚΑΙ ΞΤΛΙΝΕ ΚΑΣΑΚΕΤΕ 26/06/2013 ΘΕΜΑ 1 ο Δύνεται μια ςυνεχόσ δοκόσ διατομόσ IPB από χϊλυβα Fe360 με δύο ύςα ανούγματα μόκουσ L=6m το καθϋνα η οπούα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΥΑΛΑΙΟ 2 Σο εςωτερικό του υπολογιςτό
ΚΕΥΑΛΑΙΟ 2 Σο εςωτερικό του υπολογιςτό Οι υπολογιςτϋσ αποτελούνται από πολλϊ ηλεκτρονικϊ εξαρτόματα. Σο κϊθε ϋνα από αυτϊ ϋχει ειδικό ρόλο ςτη λειτουργύα του. Έχουν ςχεδιαςτεύ ϋτςι ώςτε να ςυνεργϊζονται
Διαβάστε περισσότερα3. Παράγωγοι. f(χ) f(χ. χ χ. + χ χ. 2. Παρατηρήσεις f(χ0 h) f(χ 0) h Πολλές φορές το χ χ0. συμβολίζεται με Δx ενώ το f(χ0 h) f(χ
. Η έννοια της Παραγώγου. Παράγωγοι. Παραγωγίσιμη συνάρτηση Παράγωγος Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν () ( ) υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ
ΜΑΘΗΜΑ 6. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Θεωρί Μέθοδος Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός. Έστω συνάρτηση y f( πργωγίσιµη στο. Ρυθµός µετβολής του y ως προς στο σηµείο λέγετι η πράγωγος f ( κι Ρυθµός µετβολής του y ως προς λέγετι
Διαβάστε περισσότεραΣΙΣΛΟ ΜΑΘΗΜΑΣΟ: ΥΗΜΙΚΔ & ΒΙΟΥΗΜΙΚΔ ΓΙΔΡΓΑΙΔ ΔΝΟΣΗΣΑ: 4 ο Μέρος ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΣΗ: ΑΘΑΝΑΙΑ ΣΔΚΔΡΛΔΚΟΠΟΤΛΟΤ ΣΜΗΜΑ: Σμήμα Γιατείριζης Περιβάλλονηος και
ΣΙΣΛΟ ΜΑΘΗΜΑΣΟ: ΥΗΜΙΚΔ & ΒΙΟΥΗΜΙΚΔ ΓΙΔΡΓΑΙΔ ΔΝΟΣΗΣΑ: 4 ο Μέρος ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΣΗ: ΑΘΑΝΑΙΑ ΣΔΚΔΡΛΔΚΟΠΟΤΛΟΤ ΣΜΗΜΑ: Σμήμα Γιατείριζης Περιβάλλονηος και Φσζικών Πόρων ΑΓΡΙΝΙΟ Σο παρόν εκπαιδεσηικό σλικό σπόκειηαι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. ηελ νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: παξαγωγίζηκε ζην (α,β) α μ β
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Έζηω Έζηω ζπλάξηεζε ζπλάξηεζε f ζπλερήο f γηα γηα ηελ ηελ νπνία νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: ςυνεόσ είλαη ζπλερήο ςτο [α,β] ζην [α,β] f(α)=f(β) παξαγωγίζηκε ζην (α,β) f(α)=f(β) Σόηε ππάξρεη έλα
Διαβάστε περισσότερατηλεπικοινωνύεσ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ www.texnologia.org Αντρϋασ Ζαντόσ Τειεπνηθνηλσλίεο Β Λπθείνπ, Αληξεαο Ζαληεο 1 www.texnologia.
τηλεπικοινωνύεσ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ Αντρϋασ Ζαντόσ Ζαληεο 1 τηλεπικοινωνύεσ O όροσ τηλεπικοινωνύεσ αναφϋρεται ςτην ανταλλαγό πληροφοριών και μηνυμϊτων μεταξύ δύο τόπων που βρύςκονται ςε απόςταςη, με τη
Διαβάστε περισσότεραΠωσ αλλάζει τη Μεςόγειο το ενεργειακό παζλ
Πωσ αλλάζει τη Μεςόγειο το ενεργειακό παζλ Τουσ τελευταύουσ μόνεσ κυοφορούνται εξελύξεισ προσ την κατεύθυνςη επύλυςησ διαφόρων ζητημϊτων που ταλανύζουν την ανατολικό Μεςόγειο και τη Μϋςη Ανατολό. Η παρατεταμϋνη
Διαβάστε περισσότεραΛυμένες Ασκήσεις. Λύση. (βασική απλή άσκηση)
Λυμένες Ασκήσεις (βασική απλή άσκηση) 1. Ένα μικρό σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ = 108 km/h και για να μεταβει το σώμα από το σημείο Α στο σημείο Β, χρειάστηκε χρόνο
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚHΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΣΚHΣΙΣ ΠΝΛΗΨΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΦΥΛΧΤΟΣ Π. ΣΜΪΛΗ. ΜYΡΙΙΝΝΗΣ. 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) χ (χ 1) 3 = (1+5χ) β) x (3 3 x) 1 3(1 x) γ ) χ 3(χ ) +7 =( 3)( 5) 3χ δ) 5χ 19 3-(4χ-5) =χ (6χ 5) ε) 4 x 5 x
Διαβάστε περισσότεραΗ συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ
Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική
Διαβάστε περισσότεραPhysics by Chris Simopoulos
ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου διαδίδεται κύμα με ταχύτητα 10m/sec, συχνότητα f=50hz και πλάτος A=4cm. Να γραφεί η εξίσωση του κύματος εάν αυτό διαδίδεται προς τα δεξιά
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικό Πρόγραμμα για την Εκπαίδευςη Χαριςματικών Μαθητών Δ -Στ τάξεων Δημοτικού Σχολείου
Αναλυτικό Πρόγραμμα για την Εκπαίδευςη Χαριςματικών Μαθητών Δ -Στ τάξεων Δημοτικού Σχολείου ΑΝΑΛΤΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΑΡΙΜΑΣΙΚΩΝ ΜΑΘΗΣΩΝ ΕΙΑΓΩΓΗ το πλαύςιο του ερευνητικού προγρϊμματοσ, ϋγινε ςυγγραφό αναλυτικού
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0
ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. 2. Έστω Κ (α, β) το κέντρο και ρ η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου C. οπότε:
ΚΥΚΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 1. Έστω Κ (α, β) το κέντρο και ρ η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου C. Έχω: d(k, ε 1 ) = d(k, ε ) = (ΟΚ) = ρ α =, β =, ρ = α =, β =, ρ = οπότε: C 1 : (x
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του
Διαβάστε περισσότερα