Αναλυτικό Πρόγραμμα για την Εκπαίδευςη Χαριςματικών Μαθητών Δ -Στ τάξεων Δημοτικού Σχολείου

Transcript

1 Αναλυτικό Πρόγραμμα για την Εκπαίδευςη Χαριςματικών Μαθητών Δ -Στ τάξεων Δημοτικού Σχολείου

2 ΑΝΑΛΤΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΑΡΙΜΑΣΙΚΩΝ ΜΑΘΗΣΩΝ ΕΙΑΓΩΓΗ το πλαύςιο του ερευνητικού προγρϊμματοσ, ϋγινε ςυγγραφό αναλυτικού προγρϊμματοσ για χαριςματικούσ μαθητϋσ Δ τ δημοτικού ςτα μαθηματικϊ. Σο αναλυτικό πρόγραμμα ςτηρύχθηκε ςτο θεωρητικό μοντϋλο τησ μαθηματικόσ χαριςματικότητασ που αναπτύχθηκε κατϊ τη διϊρκεια του ερευνητικού προγρϊμματοσ. Με βϊςη το μοντϋλο, η χαριςματικότητα ςτα μαθηματικϊ αποτελεύ ςυνδυαςμό τησ ανεπτυγμϋνησ μαθηματικόσ ικανότητασ και τησ δημιουργικόσ ςκϋψησ. Σο αναλυτικό πρόγραμμα περιλαμβϊνει δραςτηριότητεσ που ςτοχεύουν ςτην ενύςχυςη τησ μαθηματικόσ ικανότητασ του μαθητό ςε χωρικό, ποςοτικό/ ςυςχετιςτικό, ποιοτικό/αναλυτικό, αιτιώδεσ/πειραματικό και λεκτικό/προταςιακό ςυλλογιςμό. Σαυτόχρονα, οι δραςτηριότητεσ ςτοχεύουν ςτην ενύςχυςη τησ ικανότητασ του μαθητό να αναλύει ϋνα πρόβλημα με πολλούσ και διαφορετικούσ τρόπουσ και να βρύςκει πρωτότυπεσ, αςυνόθιςτεσ και κατϊλληλεσ μεθόδουσ ό λύςεισ ςε μαθηματικϊ προβλόματα (δημιουργικό ικανότητα). Αναπτύχθηκε ςτα πλαύςια του ερευνητικού προγρϊμματοσ, Identifying and Nurturing Mathematically Gifted Elementary School Students in Cyprus, το οπούο χρηματοδοτεύται από το Ίδρυμα Προώθηςησ Έρευνασ τησ Κύπρου με αριθμό πρωτοκόλλου ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΕ/ΠΑΙΔΙ/0308(ΒΕ)/13.

3 ΑΡΙΘΜΟΙ Κλύμακα 3 ΔΕΙΚΣΕ ΕΠΙΣΤΧΙΑ Οι μαθητϋσ: ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΑΡΙΘΜΩΝ 1 Απαγγϋλουν, διαβϊζουν, γρϊφουν και αναγνωρύζουν ποςότητεσ αριθμών μϋχρι το υγκρύνουν και διατϊςςουν τουσ φυςικούσ αριθμούσ μϋχρι το υνθϋτουν και αναλύουν αριθμούσ μϋχρι το Απαγγϋλουν, διαβϊζουν, γρϊφουν, αναγνωρύζουν, ςυγκρύνουν και διατϊςςουν κλϊςματα και δεκαδικούσ αριθμούσ (μϋχρι δύο δεκαδικϊ ψηφύα). 5 Μετατρϋπουν δεκαδικούσ αριθμούσ ςε κλϊςματα και ποςοςτϊ και αντύςτροφα. 6 Ερμηνεύουν το κλϊςμα ωσ μϋροσ τησ ακϋραιασ μονϊδασ, ωσ μϋροσ ςυνόλου, ωσ μϋτρο και ωσ πηλύκο. 7 Φρηςιμοποιούν ποικύλα μϋςα αναπαρϊςταςησ και ςτρατηγικϋσ, για να απλοποιούν κλϊςματα και να βρύςκουν ιςοδύναμεσ μορφϋσ τουσ. 8 Φρηςιμοποιούν αρνητικούσ αριθμούσ ςτην καθημερινό ζωό. 9 Ανακαλύπτουν, διατυπώνουν και εφαρμόζουν τα κριτόρια διαιρετότητασ του 3 και του Αναλύουν και εκφρϊζουν ϋναν ακϋραιο αριθμό ωσ γινόμενο παραγόντων. ΤΠΟΛΟΓΙΜΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΙΜΗΗ 11 Φρηςιμοποιούν διϊφορουσ τρόπουσ εκτύμηςησ του πληθικού αριθμού ενόσ ςυνόλου. 12 Εκτιμούν και υπολογύζουν το ϊθροιςμα, τη διαφορϊ, το γινόμενο και το πηλύκο αριθμών μϋχρι το και επαληθεύουν την απϊντηςό τουσ. 13 Αναπτύςςουν και εφαρμόζουν αλγόριθμουσ των τεςςϊρων πρϊξεων με ακϋραιουσ Αναπτύχθηκε ςτα πλαύςια του ερευνητικού προγρϊμματοσ, Identifying and Nurturing Mathematically Gifted Elementary School Students in Cyprus, το οπούο χρηματοδοτεύται από το Ίδρυμα Προώθηςησ Έρευνασ τησ Κύπρου, με αριθμό πρωτοκόλλου ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΕ/ΠΑΙΔΙ/0308(ΒΕ)/13.

4 αριθμούσ, χρηςιμοποιώντασ ποικιλύα ςτρατηγικών, μϋςων και αναπαραςτϊςεων. 14 Εκτελούν πρϊξεισ πρόςθεςησ και αφαύρεςησ δεκαδικών αριθμών και ομώνυμων κλαςμϊτων και επαληθεύουν την απϊντηςό τουσ. 15 Εκτελούν πρϊξεισ πολλαπλαςιαςμού, όταν ϋνασ παρϊγοντασ εύναι ακϋραιοσ (π.χ., 23 0,25) και διαύρεςησ, όταν ο διαιρϋτησ εύναι ακϋραιοσ αριθμόσ (π.χ., 4 2) και 5 επαληθεύουν την απϊντηςό τουσ. 16 Φρηςιμοποιούν και διατυπώνουν ςτρατηγικϋσ εκτϋλεςησ νοερών υπολογιςμών με ακϋραιουσ και δεκαδικούσ αριθμούσ. 17 τρογγυλοποιούν αριθμούσ ςτην πληςιϋςτερη δεκϊδα, εκατοντϊδα, χιλιϊδα και εκατομμύριο και δεκαδικούσ αριθμούσ ςτο πληςιϋςτερο δϋκατο και εκατοςτό. 18 Διατυπώνουν και επιλύουν προβλόματα με ακϋραιουσ, κλαςματικούσ και δεκαδικούσ αριθμούσ και ελϋγχουν τη λογικότητα τησ απϊντηςόσ τουσ. 19 Φρηςιμοποιούν τη μϋθοδο τησ αναγωγόσ ςτην ακϋραια μονϊδα (προφορικϊ και γραπτϊ) ςτη λύςη προβλημϊτων. (Τπουργεύο Παιδεύασ και Πολιτιςμού τησ Κυπριακόσ Δημοκρατύασ, Παιδαγωγικό Ινςτιτούτο, & Τπηρεςύα Ανϊπτυξησ Προγραμμϊτων, 2010) 3

5 ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΑΡΙΘΜΩΝ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Ο παρουςιαςτόσ του τηλεπαιχνιδιού ΓΝΩΗ ανακούνωςε ότι ο νικητόσ θα κερδύςει το ποςό των «εκατόν δύο χιλιϊδων, τριακόςιων πενόντα τεςςϊρων ευρώ και εξόντα επτϊ ςεντ». Ο κ. Αντρϋασ, ο νικητόσ του τηλεπαιχνιδιού, ϋλαβε την πιο κϊτω επιταγό. Αρ3.1 Να εντοπύςετε το λϊθοσ που ϋχει γύνει. 2 Να μελετόςετε τον πιο κϊτω πύνακα και να απαντόςετε ςτισ ερωτόςεισ. Αρ3.2 Φώρα Πληθυςμόσ Αριθμόσ τηλεφωνικών κλόςεων Κύνα 1,3 διςεκατομμύρια 430,5 εκατομμύρια Υιλανδύα Γαλλύα 59,8 εκατομμύρια 73 εκατομμύρια Ινδύα Ιαπωνύα 127 εκατομμύρια 150,82 εκατομμύρια Η.Π.Α. 292,6 εκατομμύρια 331 εκατομμύρια Ουγγαρύα 10,1 εκατομμύρια 10,1 εκατομμύρια (α) Να καταγρϊψετε ςε ποιεσ από τισ χώρεσ του πύνακα ο αριθμόσ των τηλεφωνικών κλόςεων εύναι μεγαλύτεροσ από τον πληθυςμό τουσ. (β) Η κεύη υποςτηρύζει ότι από τισ χώρεσ του πύνακα οι Η.Π.Α. ϋχουν το μεγαλύτερο πληθυςμό. Η Μαρύα διαφωνεύ με τη κεύη και υποςτηρύζει ότι η Κύνα ϋχει το μεγαλύτερο πληθυςμό από τισ χώρεσ του πύνακα. Να εξηγόςετε ποια από τισ δύο ϋχει δύκαιο. (Keijzer et al., 2006) 4

6 3 την υπολογιςτικό μου μηχανό λειτουργούν μόνο τα πλόκτρα 0 και 1. Να βρεύτε διαφορετικούσ τρόπουσ, για να ςχηματύςετε ςτην υπολογιςτικό μηχανό τον αριθμό Έχετε ςτη διϊθεςό ςασ τα πιο κϊτω υλικϊ. Αρ3.3 Αρ3.4 (α) Να γρϊψετε τουσ δεκαδικούσ αριθμούσ που μπορεύτε να καταςκευϊςετε με αυτϊ τα υλικϊ, όταν προςθϋςετε 5 μπλοκσ (γραμμϋσ, τετρϊγωνα και κύβουσ). (β) Να τοποθετόςετε ςε αύξουςα ςειρϊ τουσ αριθμούσ που καταςκευϊςατε. 5 Η τιμό του π εύναι 3, Ο μαθηματικόσ Αρχιμόδησ εκτύμηςε ότι το π εύναι μεταξύ των αριθμών 3 1 και Η εκτύμηςη του Αρχιμόδη όταν 7 71 ςωςτό; Να εξηγόςετε τον τρόπο ςκϋψησ ςασ. (Day et al., 2008) 6 Σο εμβαδόν του μεγϊλου εξωτερικού τετραγώνου εύναι 1. Ποιο εύναι το εμβαδόν του μικρού μαύρου τετραγώνου; Να βϊλετε ςε κύκλο την ορθό απϊντηςη και να εξηγόςετε τον τρόπο ςκϋψησ ςασ. Αρ3.5 Αρ3.6 1 (α) (β) (γ) (δ) (ε) 1000 (Kangourou Sans Frontières, 2009) 7 6 Σα κλϊςματα που εύναι ιςοδύναμα με το προκύπτουν μόνο όταν 20 πολλαπλαςιαςτεύ ο αριθμητόσ και ο παρονομαςτόσ του κλϊςματοσ με τον ύδιο αριθμό. Να εξετϊςετε την ορθότητα τησ πιο πϊνω πρόταςησ. Αρ3.7 5

7 8 Να μελετόςετε τον πιο κϊτω πύνακα που παρουςιϊζει τα ϋςοδα και τα ϋξοδα τησ εταιρεύασ τησ κυρύασ Νικολύνασ για κϊθε μόνα του ϋτουσ Αρ3.8 Μόνασ Έςοδα Έξοδα Ιανουϊριοσ Υεβρουϊριοσ Μϊρτιοσ Απρύλιοσ Μϊιοσ Ιούνιοσ Ιούλιοσ Αύγουςτοσ επτϋμβριοσ Οκτώβριοσ Νοϋμβριοσ Δεκϋμβριοσ Να αποφαςύςετε αν η κυρύα Νικολύνα ςτο τϋλοσ του ϋτουσ 2011 θα μπορϋςει να αποταμιεύςει χρόματα ό θα χρειαςτεύ να ζητόςει δϊνειο από την τρϊπεζα. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 9 Να εξετϊςετε την ορθότητα των πιο κϊτω προτϊςεων: (α) Αν ϋνασ αριθμόσ διαιρεύται με το 9, διαιρεύται και με το 3. (β) Αν ϋνασ αριθμόσ διαιρεύται με το 3, διαιρεύται και με το Να βρεύτε τον αριθμό που ϋχει ακριβώσ οχτώ παρϊγοντεσ. Σρεισ από τουσ παρϊγοντεσ του αριθμού εύναι: 1, 21, 35. Αρ3.9 Αρ3.10 6

8 ΤΠΟΛΟΓΙΜΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΙΜΗΗ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Να εκτιμόςετε πόςα μπαλϊκια του τϋνισ μπορούν να χωρϋςουν ςε ϋνα αυτοκύνητο ιδιωτικόσ χρόςησ. Αρ Να υπολογύςετε το αποτϋλεςμα των πιο κϊτω μαθηματικών προτϊςεων: (α) ( ) - ( ) (β) ( ) - ( ) 3 Δύνονται πιο κϊτω οι απαντόςεισ τριών μαθητών ςε μύα πρϊξη αφαύρεςησ. (α) Να εντοπύςετε ποιοι από αυτούσ τουσ μαθητϋσ ϋχουν κϊνει κοινό λϊθοσ. (β) Να εξηγόςετε γιατύ ςυμβαύνει το ςυγκεκριμϋνο κοινό λϊθοσ. Αρ3.12 Αρ3.13 (Ball & Hill, 2008) 4 1 Να γρϊψετε δύο κλϊςματα που ϋχουν διαφορϊ και δεν ϋχουν ωσ 4 παρονομαςτό τον αριθμό 4. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. Τπϊρχουν περιςςότερεσ από μύα απαντόςεισ. 5 Να μελετόςετε τισ πιο κϊτω ετικϋτεσ που εκτυπώθηκαν ςτη φρουταρύα «ΣΟ ΖΟΤΜΕΡΟ ΠΟΡΣΟΚΑΛΙ». Αρ3.14 Αρ3.15 ΣΟ ΖΟΤΜΕΡΟ ΠΟΡΣΟΚΑΛΙ Πορτοκάλια ΣΟ ΖΟΤΜΕΡΟ ΠΟΡΣΟΚΑΛΙ Μήλα Kg Σιμό/kg 3 2,45 TIMH 6,15 Kg Σιμό/kg 5 1,30 TIMH 6,50 7

9 ΣΟ ΖΟΤΜΕΡΟ ΠΟΡΣΟΚΑΛΙ Μπανάνες ΣΟ ΖΟΤΜΕΡΟ ΠΟΡΣΟΚΑΛΙ Ακτινίδια Kg Σιμό/kg 2,25 3 TIMH 10,00 Kg Σιμό/kg 1,65 4 TIMH 6,60 Οι πελϊτεσ τησ φρουταρύασ εύναι ςυχνϊ δυςαρεςτημϋνοι, γιατύ οι τιμϋσ των προώόντων που εκτυπώνονται ςτισ ετικϋτεσ δεν εύναι πϊντα ορθϋσ. Να βρεύτε ποιεσ από τισ ετικϋτεσ εύναι λανθαςμϋνεσ και να διορθώςετε το λϊθοσ. 6 Να βρεύτε με ποιο αριθμό θα πολλαπλαςιϊςετε τον αριθμό 110, ώςτε το γινόμενο να εύναι ακϋραιοσ ό δεκαδικόσ αριθμόσ μεταξύ των αριθμών 20 και Η κυρύα Μαύρη θϋλει να αγορϊςει ϋνα ςετ από κατςαρόλεσ και τηγϊνια. το κατϊςτημα «Οικιακόσ εξοπλιςμόσ» ϋχει τισ πιο κϊτω προςφορϋσ: Προςφορά Α: 1,50 ϋκπτωςη από την τιμό κϊθε κατςαρόλασ και κϊθε τηγανιού. Προςφορά Β: 15% ϋκπτωςη ςε κϊθε κατςαρόλα και ςε κϊθε τηγϊνι. Να βρεύτε ποια από τισ δύο προςφορϋσ εύναι η πιο ςυμφϋρουςα για την κυρύα Μαύρη. Αρ3.16 Αρ3.17 (Keijzer et al., 2006) 8 ε μια τϊξη το μαθηματικών. Σο 1 των μαθητών πόρε βαθμό Β ςτο διαγώνιςμα των 8 1 των μαθητών πόρε βαθμό Γ και τα 6 2 των μαθητών 3 πόραν βαθμό Α. Κανϋνασ από τουσ μαθητϋσ δεν πόρε βαθμό Δ. Να βρεύτε τον αριθμό των μαθητών που πόραν βαθμό Ε, αν ςτην τϊξη υπόρχαν λιγότεροι από 50 μαθητϋσ. Υπόδειξη: Τπϊρχουν περιςςότερεσ από μια απαντόςεισ. Αρ3.18 8

10 9 Πιο κϊτω δύνονται οι τιμϋσ για δύο πακϋτα κινητόσ τηλεφωνύασ. Αρ3.19 Πακϋτο Α (χρϋωςη ανϊ μόνα): 100 λεπτϊ ομιλύασ 5, μηνύματα 2,00 Για κϊθε επιπλϋον λεπτό ομιλύασ η χρϋωςη εύναι 0,04. Για κϊθε επιπλϋον μόνυμα η χρϋωςη εύναι 0,02. Πακϋτο Β (χρϋωςη ανϊ μόνα): 200 λεπτϊ ομιλύασ 10, μηνύματα 3,00 Για κϊθε επιπλϋον λεπτό ομιλύασ η χρϋωςη εύναι 0,06. Για κϊθε επιπλϋον μόνυμα η χρϋωςη εύναι 0,04. (α) Να βρεύτε ποιο από τα πακϋτα αποτελεύ την πιο ςυμφϋρουςα επιλογό για την Κωνςταντύνα, που ςυνηθύζει να μιλϊ 200 λεπτϊ και να ςτϋλνει 200 μηνύματα το μόνα. (β) Να βρεύτε ςε ποιεσ περιπτώςεισ το Πακϋτο Β αποτελεύ την πιο ςυμφϋρουςα επιλογό. 9

11 ΑΡΙΘΜΟΙ Κλύμακα 4 ΔΕΙΚΣΕ ΕΠΙΣΤΧΙΑ Οι μαθητϋσ: ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΑΡΙΘΜΩΝ 1 υγκρύνουν και ςειροθετούν ρητούσ αριθμούσ (θετικούσ και αρνητικούσ) και ορύζουν τη θϋςη τουσ ςτην αριθμητικό γραμμό. 2 Επεξηγούν την ϋννοια τησ δύναμησ και τησ τετραγωνικόσ ρύζασ, υπολογύζουν τισ θετικϋσ δυνϊμεισ ακϋραιων αριθμών, εκφρϊζουν ακϋραιουσ αριθμούσ ςε μορφό δύναμησ και υπολογύζουν την τετραγωνικό ρύζα τετρϊγωνων αριθμών. 3 Διατυπώνουν, αιτιολογούν και εφαρμόζουν τα κριτόρια διαιρετότητασ του 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 και Διακρύνουν και διερευνούν τουσ πρώτουσ, ςύνθετουσ και ςχηματικούσ αριθμούσ. 5 Αναλύουν και εκφρϊζουν ϋναν ακϋραιο αριθμό ωσ γινόμενο πρώτων παραγόντων. 6 Τπολογύζουν το ΜΚΔ και το ΕΚΠ δύο ό περιςςοτϋρων αριθμών. 7 Απλοποιούν και υπολογύζουν ιςοδύναμα κλϊςματα, χρηςιμοποιώντασ το ΜΚΔ και ΕΚΠ. 8 Διερευνούν την ϋννοια του λόγου, διακρύνουν δύο ανϊλογα και δύο μη ανϊλογα ποςϊ και αναφϋρουν πότε μια ςχϋςη αφορϊ ευθϋωσ ανϊλογα ό αντιςτρόφωσ ανϊλογα ποςϊ. ΤΠΟΛΟΓΙΜΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΙΜΗΗ 9 Εκτιμούν και υπολογύζουν το αποτϋλεςμα μαθηματικών προτϊςεων με θετικούσ ρητούσ αριθμούσ. 10 Εκτιμούν και υπολογύζουν το αποτϋλεςμα μαθηματικών προτϊςεων πρόςθεςησ ό και αφαύρεςησ που περιλαμβϊνουν αρνητικούσ αριθμούσ (ακϋραιουσ, δεκαδικούσ και κλαςματικούσ). 11 Αναφϋρουν και εφαρμόζουν ςτρατηγικϋσ εκτϋλεςησ νοερών υπολογιςμών με ακϋραιουσ, κλαςματικούσ, δεκαδικούσ αριθμούσ και ποςοςτϊ. Αναπτύχθηκε ςτα πλαύςια του ερευνητικού προγρϊμματοσ, Identifying and Nurturing Mathematically Gifted Elementary School Students in Cyprus, το οπούο χρηματοδοτεύται από το Ίδρυμα Προώθηςησ Έρευνασ τησ Κύπρου, με αριθμό πρωτοκόλλου ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΕ/ΠΑΙΔΙ/0308(ΒΕ)/13.

12 12 Εφαρμόζουν ςτρατηγικϋσ ςτρογγυλοπούηςησ ακϋραιων, κλαςματικών και δεκαδικών αριθμών για εκτύμηςη και ϋλεγχο του αποτελϋςματοσ μιασ πρϊξησ. 13 Διατυπώνουν και επιλύουν προβλόματα αναλογύασ. 14 Διατυπώνουν και επιλύουν προβλόματα με ρητούσ αριθμούσ, ποςοςτϊ, ρύζεσ και δυνϊμεισ και ελϋγχουν τη λογικότητα τησ απϊντηςόσ τουσ. (Τπουργεύο Παιδεύασ και Πολιτιςμού τησ Κυπριακόσ Δημοκρατύασ, Παιδαγωγικό Ινςτιτούτο, & Τπηρεςύα Ανϊπτυξησ Προγραμμϊτων, 2010) 11

13 ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΑΡΙΘΜΩΝ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Να ςυμπληρώςετε το πιο κϊτω διϊγραμμα με αριθμούσ μεταξύ του 35 και του 44, ϋτςι ώςτε να ιςχύει η ςχϋςη. Να βρεύτε περιςςότερουσ από ϋνα τρόπουσ, για να ςυμπληρώςετε το διϊγραμμα. Αρ Να απαντόςετε ςτα πιο κϊτω ερωτόματα και να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. (α) Ποιοσ από τουσ αριθμούσ εύναι ο μεγαλύτεροσ: 3 5 ό 5³; (β) Ιςχύει ότι = 3 6 ; 3 Να χρηςιμοποιόςετε τα ψηφύα 1, 2, 3, 4, 5, για να ςχηματύςετε πενταψόφιουσ αριθμούσ, ςτουσ οπούουσ να ιςχύει: Σο πρώτο ψηφύο του αριθμού να διαιρεύται με το 1. Σα πρώτα δύο ψηφύα να ςχηματύζουν αριθμό που διαιρεύται με το 2. Σα πρώτα τρύα ψηφύα να ςχηματύζουν αριθμό που διαιρεύται με το 3. Σα πρώτα τϋςςερα ψηφύα να ςχηματύζουν αριθμό που διαιρεύται με το 4. Σα πρώτα πϋντε ψηφύα να ςχηματύζουν αριθμό που διαιρεύται με το 5. Πόςουσ τϋτοιουσ αριθμούσ μπορεύτε να βρεύτε; (Thales Foundation, 2011α) 4 Να μελετόςετε το πιο κϊτω εφαρμογύδιο, το οπούο παρουςιϊζει ςχηματικϊ το ϊθροιςμα διαδοχικών περιττών αριθμών και να απαντόςετε ςτα ερωτόματα που ακολουθούν. Αρ4.2 Αρ4.3 Αρ

14 Για παρϊδειγμα, το πιο πϊνω διϊγραμμα παρουςιϊζει το ϊθροιςμα των περιττών αριθμών =16. (α) Να υπολογύςετε το ϊθροιςμα των πρώτων τριϊντα διαδοχικών περιττών αριθμών. (β) Να υπολογύςετε το ϊθροιςμα των πρώτων εξόντα διαδοχικών περιττών αριθμών. (γ) Να ςχηματύςετε τον αριθμό 3249 ωσ ϊθροιςμα διαδοχικών περιττών αριθμών. 5 Ο αριθμόσ 60 μπορεύ να αναλυθεύ ωσ γινόμενο τεςςϊρων πρώτων παραγόντων ωσ εξόσ: 60 = 2 x 2 x 3 x 5. Να γρϊψετε διψόφιουσ αριθμούσ που μπορούν να αναλυθούν ωσ γινόμενο τουλϊχιςτον τεςςϊρων πρώτων παραγόντων. (Billstein & Williamson, 2008) 6 Να βρεύτε δύο αριθμούσ μεταξύ του 100 και του 250, οι οπούοι ϋχουν Μ.Κ.Δ. τον αριθμό Η Μαργαρύτα ετοιμϊζει κοκτϋιλ χυμών για το γεύμα. Σο κοκτϋιλ θα περιλαμβϊνει χυμό πορτοκϊλι, χυμό μόλο και χυμό ρόδι. Η κ. Μαργαρύτα Αρ4.5 Αρ4.6 Αρ4.7 ϋχει αγορϊςει 1 2 του λύτρου χυμό πορτοκϊλι, 3 4 του λύτρου χυμό μόλο και 2 3 του λύτρου χυμό ρόδι. Αν η Μαργαρύτα θϋλει να χρηςιμοποιόςει όλο το χυμό που ϋχει αγορϊςει, να υπολογύςετε την ποςότητα κϊθε χυμού που θα προςθϋτει ςτα ποτόρια τησ τετραμελούσ οικογϋνειασ τησ. 8 την πιο κϊτω εικόνα, ο λόγοσ του μόκουσ τησ μεγϊλησ ρϊβδου προσ το μόκοσ τησ μικρόσ ρϊβδου εύναι 3 : 2. Αρ4.8 Να απαντόςετε ςτα ερωτόματα που ακολουθούν: 13

15 (α) Να υπολογύςετε το λόγο του μόκουσ τησ μεγϊλησ ρϊβδου προσ το μόκοσ τησ μικρόσ ρϊβδου. i. ii. (β) την κόκκινη ρϊβδο προςτύθεται μια δεύτερη ρϊβδοσ, όπωσ φαύνεται ςτο χόμα 2. Να υπολογύςετε το μόκοσ τησ ρϊβδου που πρϋπει να προςτεθεύ ςτην μπλε ρϊβδο, ώςτε ο λόγοσ του μόκουσ τησ μεγϊλησ ρϊβδου προσ το μόκοσ τησ μικρόσ ρϊβδου να εύναι ύςοσ με το λόγο ςτο χόμα 1. ; χόμα 1 χόμα 2 14

16 ΤΠΟΛΟΓΙΜΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΙΜΗΗ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Να βρεύτε το υπόλοιπο τησ πιο κϊτω μαθηματικόσ πρόταςησ: ( ) 13 (Kangourou Sans Frontières, 2009) 2 Να χρηςιμοποιόςετε τουσ αριθμούσ -4, -3, -2, -1 μια φορϊ τον καθϋνα και τισ πρϊξεισ τησ πρόςθεςησ και τησ αφαύρεςησ, για να βρεύτε το μϋγιςτο και το ελϊχιςτο δυνατόν αποτϋλεςμα. 3 Να βρεύτε το αποτϋλεςμα τησ μαθηματικόσ πρόταςησ χωρύσ να κϊνετε πρϊξεισ: x x x x x. Να εξηγόςετε τον τρόπο εργαςύασ ςασ Αρ4.9 Αρ4.10 Αρ4.11 (Frey et al., 2009) 4 Να βρεύτε τουσ τετραψόφιουσ αριθμούσ οι οπούοι ικανοποιούν και τα δύο πιο κϊτω κριτόρια: Όταν οι αριθμού ςτρογγυλοποιηθούν ςτην πληςιϋςτερη δεκϊδα ό ςτην πληςιϋςτερη εκατοντϊδα δύνουν το ύδιο αποτϋλεςμα. Όταν οι αριθμού ςτρογγυλοποιηθούν ςτην πληςιϋςτερη χιλιϊδα το αποτϋλεςμα εύναι μικρότερο κατϊ 500 από το αποτϋλεςμα τησ ςτρογγυλοπούηςησ των αριθμών ςτην πληςιϋςτερη δεκϊδα ό ςτην πληςιϋςτερη εκατοντϊδα. 5 Ο Αλϋξανδροσ και η Μόνικα αγόραςαν μαζύ ϋνα λαχεύο που ςτούχιζε 20. Ο Αλϋξανδροσ πλόρωςε 11 και η Μόνικα 9 για την αγορϊ του λαχεύου. Αν το λαχεύο κϋρδιςε το ποςό των 900, πώσ θα μοιραςτούν τα κϋρδη; 6 Ένα κατϊςτημα ηλεκτρικών ςυςκευών ανακούνωςε ότι ϋχει ϋκπτωςη 15% ςε όλεσ τισ ςυςκευϋσ του. Όταν ο κύριοσ Μενϋλαοσ αγόραςε μια τηλεόραςη 200 από το κατϊςτημα, η πωλότρια του ϋκανε ϋκπτωςη 25% ςτην τιμό ξεπουλόματοσ. Να εξηγόςετε αν ο κύριοσ Μενϋλαοσ αγόραςε την τηλεόραςη με 40% ϋκπτωςη, ςτην αρχικό τιμό πώληςησ. Αρ4.12 Αρ4.13 Αρ

17 ΑΛΓΕΒΡΑ Κλύμακα 3 ΔΕΙΚΣΕ ΕΠΙΣΤΧΙΑ Οι μαθητϋσ: ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΧΕΕΩΝ ΚΑΙ ΜΟΣΙΒΩΝ 1 Περιγρϊφουν, ςυμπληρώνουν, επεκτεύνουν, καταςκευϊζουν, επεξηγούν τον κανόνα και βρύςκουν με επαγωγικό τρόπο το γενικό όρο αριθμητικών και γεωμετρικών μοτύβων. 2 Κατανοούν την ϋννοια τησ μεταβλητόσ και ερμηνεύουν και επεξηγούν ςχϋςεισ μεταξύ μεταβλητών. 3 Χρηςιμοποιούν διατεταγμϋνα ζεύγη, για να αναπαραςτόςουν πληροφορύεσ από την καθημερινό ζωό (π.χ., η επύδοςη ενόσ μαθητό ςτα μαθηματικϊ και ςτη γλώςςα). 4 χεδιϊζουν ςε ορθοκανονικό ςύςτημα αξόνων διατεταγμϋνα ζεύγη ό δεδομϋνα που δύνονται ςε πύνακα. 5 Αντιλαμβϊνονται την ϋννοια τησ ςυνϊρτηςησ ωσ «ϋνα-προσ-ϋνα αντιςτοιχύα» μϋςω πινϊκων, διαγραμμϊτων και γραφικών παραςτϊςεων. 6 Περιγρϊφουν, αναπαριςτούν, επεξηγούν και βρύςκουν το γενικό τύπο ςυναρτόςεων. 7 Αναπαριςτούν γραφικϊ γενικούσ τύπουσ ςυναρτόςεων. ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΕΞΙΩΕΩΝ 8 Απλοποιούν μαθηματικϋσ εκφρϊςεισ και υπολογύζουν την τιμό μαθηματικών προτϊςεων για ςυγκεκριμϋνεσ τιμϋσ μεταβλητών. 9 Επιλύουν και χειρύζονται εξιςώςεισ. 10 Γρϊφουν μαθηματικϋσ εκφρϊςεισ ό εξιςώςεισ με μεταβλητϋσ, για να αναπαραςτόςουν πληροφορύεσ και να επιλύςουν προβλόματα. 11 Επιλύουν και καταςκευϊζουν προβλόματα ρουτύνασ πολλαπλών βημϊτων και προβλόματα διαδικαςύασ. 12 Χρηςιμοποιούν την προτεραιότητα των πρϊξεων, για να απλοποιούν νοερούσ και γραπτούσ υπολογιςμούσ και να ελϋγχουν τα αποτελϋςματϊ τουσ. (Τπουργεύο Παιδεύασ και Πολιτιςμού τησ Κυπριακόσ Δημοκρατύασ, Παιδαγωγικό Ινςτιτούτο, & Τπηρεςύα Ανϊπτυξησ Προγραμμϊτων, 2010) Αναπτύχθηκε ςτα πλαύςια του ερευνητικού προγρϊμματοσ, Identifying and Nurturing Mathematically Gifted Elementary School Students in Cyprus, το οπούο χρηματοδοτεύται από το Ίδρυμα Προώθηςησ Έρευνασ τησ Κύπρου, με αριθμό πρωτοκόλλου ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΕ/ΠΑΙΔΙ/0308(ΒΕ)/13.

18 ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΧΕΕΩΝ ΚΑΙ ΜΟΣΙΒΩΝ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Να παρατηρόςετε το πιο κϊτω μοτύβο. Να ςυμπληρώςετε τον πύνακα που ςασ δύνεται. Α3.1 Α1 Α2... Αριθμόσ Α1 Α2 Α3 Α4 Α5 Α6 Αn Αριθμόσ κύβων 1 3 (γενικόσ τύποσ) 2 Πιο κϊτω παρουςιϊζονται πϋντε ςειρϋσ αριθμών. ε κϊθε ςειρϊ οι αριθμού ϋχουν κϊποια ςχϋςη μεταξύ τουσ. τισ τϋςςερισ ςειρϋσ η ςχϋςη ανϊμεςα ςτουσ αριθμούσ εύναι η ύδια. Να βρεύτε ςε ποια ςειρϊ η ςχϋςη εύναι διαφορετικό. Α3.2 (α) (β) (γ) (δ) (ε)

19 ΒΗΣΗΡΙΑ 3 το βιβλιοπωλεύο «Η ΜΑΘΗΗ» ϋνα μολύβι ςτοιχύζει 30 ςεντ και ϋνα ςβηςτόρι 45 ςεντ. (α) Να ςυμπληρώςετε το πιο κϊτω διϊγραμμα, για να δεύξετε την τιμό αγορϊσ οποιουδόποτε αριθμού μολυβιών και ςβηςτηριών. Α3.3 Α ΜΟΛΤΒΙΑ (β) Να ςχεδιϊςετε μια γραφικό παρϊςταςη που να δεύχνει τον αριθμό των μολυβιών και των ςβηςτηριών που μπορεύ να αγορϊςει κϊποιοσ αν ϋχει ςτη διϊθεςό του 2,00. 4 Ένα ϊρθρο εφημερύδασ αναφϋρει ότι η ςυχνότητα καρδιακών παλμών ανϊ λεπτό μειώνεται με την αύξηςη τησ ηλικύασ ενόσ ατόμου. Σο ϊρθρο ςυνοδεύεται από τον πιο κϊτω πύνακα και μια γραφικό παρϊςταςη. Α3.5 Ηλικύα Μϋγιςτη ςυχνότητα καρδιακών παλμών ανϊ λεπτό Να βϊλετε ςε κύκλο τη γραφικό παρϊςταςη που περιλαμβϊνεται ςτο ϊρθρο και δεύχνει τη ςχϋςη που υπϊρχει ανϊμεςα ςτη ςυχνότητα των καρδιακών παλμών ανϊ λεπτό και ςτην ηλικύα ενόσ ατόμου. 18

20 5 Η πιο κϊτω εικόνα παρουςιϊζει τϋςςερισ καρϋκλεσ τοποθετημϋνεσ η μύα πϊνω ςτην ϊλλη. Σο ύψοσ κϊθε καρϋκλασ εύναι 80 cm και η απόςταςη που υπϊρχει μεταξύ δυο καρεκλών εύναι 7 cm. Α3.6 Α3.7 (α) Η Ρϊνια υποςτηρύζει ότι μπορεύ να υπολογύςει το ςυνολικό ύψοσ των καρεκλών που φαύνονται ςτο πιο πϊνω ςχόμα με τον εξόσ τρόπο: Συνολικό ύψος = (Αριθμός καρεκλών 1) Να εξηγόςετε τον τρόπο ςκϋψησ τησ Ρϊνιασ. (β) Η Αλύκη υποςτηρύζει ότι μπορεύ να υπολογύςει το ςυνολικό ύψοσ των καρεκλών που φαύνονται ςτο πιο πϊνω ςχόμα με τον εξόσ τρόπο: Συνολικό ύψος = (Αριθμός καρεκλών..) +... Να βρεύτε τουσ αριθμούσ που λεύπουν και να εξηγόςετε την απϊντηςό ςασ. (γ) Να καταςκευϊςετε τη γραφικό παρϊςταςη που δεύχνει το ςυνολικό ύψοσ των καρεκλών όταν η μια εύναι τοποθετημϋνη πϊνω ςτην ϊλλη, ςε ςχϋςη με τον αριθμό των καρεκλών. (Gravemeijer et al., 2006) 19

21 ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΕΞΙΩΕΩΝ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Ο αριθμόσ α εύναι μεγαλύτεροσ από το 0 και μικρότεροσ από το 1. Ο αριθμόσ β εύναι μεγαλύτεροσ από το 1. Ποιο από τα ακόλουθα ϋχει τη μεγαλύτερη τιμό; (α) α : β (β) α + β (γ) α β (δ) β (Thales Foundation, 2011β) 2 Η Ελϋνη ϋγραψε ςτον πύνακα δυο τριψόφιουσ αριθμούσ, αλλϊ κϊποια ψηφύα ςβόςτηκαν. Θυμόταν ότι το γινόμενο των ψηφύων του πρώτου αριθμού όταν ύςο με το ϊθροιςμα των ψηφύων του δεύτερου αριθμού. Ποιο από τα πιο κϊτω ζευγϊρια αριθμών ϋγραψε η Ελϋνη; Α3.8 Α * και 9 * 6 * * 6 και και * και * 4 * 113 και 9 * * 3 Ο Γιώργοσ επϋλεξε 4 αριθμούσ από το ημερολόγιο οι οπούοι ςχηματύζουν τετρϊγωνο, όπωσ φαύνεται πιο κϊτω. Αν το ϊθροιςμα των τεςςϊρων αριθμών που επϋλεξε ο Γιώργοσ εύναι 80, να βρεύτε ποιοι εύναι οι αριθμού. Α Ο Μανώλησ κϋρδιςε το μεγϊλο βραβεύο ςε ϋνα διαγωνιςμό. Για εννϋα μϋρεσ θα παύρνει καθημερινϊ κϊποια δώρα. Σην πρώτη μϋρα, θα πϊρει ϋνα αυτοκινητϊκι. Ση δεύτερη μϋρα, θα πϊρει δύο μπϊλεσ και ϋνα αυτοκινητϊκι. Σην τρύτη μϋρα, θα πϊρει τρεισ ςβούρεσ, δύο μπϊλεσ και ϋνα αυτοκινητϊκι. Σο ύδιο μοτύβο ςυνεχύζεται για ϋξι ακόμη μϋρεσ. Σα υπόλοιπα δώρα, με ςειρϊ παρϊδοςησ εύναι: βιβλύα, ςοκολατϊκια, CDs, βόλοι, ελικοπτερϊκια και κυβϊκια. (α) Ποιο δώρο θα πϊρει ο Μανώλησ ςε μεγαλύτερη ποςότητα ςτο τϋλοσ των εννϋα ημερών; Α

22 (β) Οι όροι του διαγωνιςμού ϋχουν αλλϊξει. ύμφωνα με τουσ νϋουσ όρουσ υπϊρχουν 31 διαφορετικϊ εύδη δώρων και παραδύδονται καθημερινϊ με το ύδιο μοτύβο όπωσ πριν, μϋςα ςε 31 μϋρεσ. Να βρεύτε ςε ποια μϋρα (π.χ., την 1η, 2η, 3η κ.τ.λ.) από τισ 31 μϋρεσ ο Μανώλησ θα πϊρει τη μεγαλύτερη ποςότητα από το ύδιο δώρο. Ποια ποςότητα θα πϊρει από αυτό το δώρο; 5 Να χρηςιμοποιόςετε τουσ αριθμούσ 9, 2, 2, 2 και τα μαθηματικϊ ςύμβολα +, -,,, ( ), ώςτε να βρεύτε ωσ αποτϋλεςμα τουσ αριθμούσ από το 0 μϋχρι το 10. Για παρϊδειγμα, =3. Α

23 ΑΛΓΕΒΡΑ Κλύμακα 4 ΔΕΙΚΣΕ ΕΠΙΣΤΧΙΑ Οι μαθητϋσ: ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΧΕΕΩΝ ΚΑΙ ΜΟΣΙΒΩΝ 1 Επιλύουν προβλόματα βρύςκοντασ τον επόμενο όρο ό τον όρο που λεύπει ςε μοτύβα, περιγρϊφουν λεκτικϊ τον κανόνα του μοτύβου και εκφρϊζουν το νιοςτό όρο ςε λεκτικό ό ςυμβολικό μορφό. 2 Επεκτεύνουν και καταςκευϊζουν μοτύβα χρηςιμοποιώντασ ακϋραιουσ, δεκαδικούσ και κλϊςματα. 3 Κατανοούν τισ ιδιότητεσ αριθμητικών και γεωμετρικών προόδων και διερευνούν τον τρόπο υπολογιςμού του γενικού όρου. 4 Κατανοούν την ϋννοια τησ ςυνϊρτηςησ και επεξηγούν τη διαδικαςύα απεικόνιςησ ενόσ ςτοιχεύου του πεδύου οριςμού ςτο πεδύο τιμών και διακρύνουν την ϋννοια τησ ανεξϊρτητησ και εξαρτημϋνησ μεταβλητόσ. 5 Δημιουργούν και ςυμπληρώνουν πύνακα τιμών, χρηςιμοποιώντασ το γενικό τύπο μιασ ςυνϊρτηςησ. 6 Καταςκευϊζουν διαγρϊμματα και γραφικϋσ παραςτϊςεισ, για να αναπαραςτόςουν τύπουσ ςυναρτόςεων, με ό χωρύσ τεχνολογύα, ςχεδιϊζοντασ ςημεύα ςε ςύςτημα αξόνων. 7 Καταςκευϊζουν τη γραφικό παρϊςταςη ευθεύασ, υπολογύζοντασ τισ ςυντεταγμϋνεσ δύο ςημεύων τησ και ελϋγχουν αλγεβρικϊ και γραφικϊ κατϊ πόςο ϋνα ςημεύο ανόκει ςτην ευθεύα. 8 Κατανοούν την ϋννοια τησ κλύςησ ευθεύασ με τη χρόςη κατϊλληλων λογιςμικών και την εφαρμόζουν ςε προβλόματα. 9 Μοντελοποιούν και περιγρϊφουν μεγϋθη που μεταβϊλλονται ςε πραγματικϋσ καταςτϊςεισ και τα αναπαριςτούν ςε πύνακα τιμών ό ςε γραφικό παρϊςταςη. Αναπτύχθηκε ςτα πλαύςια του ερευνητικού προγρϊμματοσ, Identifying and Nurturing Mathematically Gifted Elementary School Students in Cyprus, το οπούο χρηματοδοτεύται από το Ίδρυμα Προώθηςησ Έρευνασ τησ Κύπρου, με αριθμό πρωτοκόλλου ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΕ/ΠΑΙΔΙ/0308(ΒΕ)/13.

24 ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΕΞΙΩΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΩΕΩΝ 10 Κατανοούν και εφαρμόζουν αλγεβρικϋσ τεχνικϋσ, για να κϊνουν αναγωγό ομούων όρων, απλοποιούν ό αναλύουν αλγεβρικϋσ εκφρϊςεισ που περιλαμβϊνουν αλγεβρικϊ κλϊςματα και διακρύνουν τισ διαφορϋσ μεταξύ των εννοιών «εξύςωςη», «τύποσ», «ταυτότητα» και «παρϊςταςη». 11 υνδυϊζουν αλγεβρικϋσ εκφρϊςεισ με δύο ό περιςςότερεσ μεταβλητϋσ, για την εξαγωγό ςυμπεραςμϊτων. 12 Επιλύουν εξιςώςεισ και ανιςώςεισ πρώτου βαθμού αλγεβρικϊ και γραφικϊ, χρηςιμοποιώντασ ποικιλύα μεθόδων, με ό χωρύσ τεχνολογύα και χρηςιμοποιούν τισ εξιςώςεισ και ανιςώςεισ ςτην επύλυςη προβλημϊτων. 13 Μεταφρϊζουν αλγεβρικϊ ςύμβολα ςε λεκτικό μορφό και αντύςτροφα. 14 Επιλύουν και καταςκευϊζουν αριθμητικϊ και αλγεβρικϊ προβλόματα ρουτύνασ και διαδικαςύασ. 15 Επεξηγούν την προτεραιότητα και τισ ιδιότητεσ των πρϊξεων αλγεβρικϊ και γεωμετρικϊ και τισ χρηςιμοποιούν, για να απλοποιούν παραςτϊςεισ με ακϋραιουσ, δεκαδικούσ και κλϊςματα. 16 Επιλύουν προβλόματα χρηςιμοποιώντασ την ϋννοια του ςυνόλου, του πληθικού αριθμού, του «ανόκειν», τησ τομόσ, τησ ϋνωςησ και του ςυμπληρωματικού ςυνόλου. 17 Αναπαριςτούν και επιλύουν προβλόματα με τη χρόςη διαγραμμϊτων του Venn. (Τπουργεύο Παιδεύασ και Πολιτιςμού τησ Κυπριακόσ Δημοκρατύασ, Παιδαγωγικό Ινςτιτούτο, & Τπηρεςύα Ανϊπτυξησ Προγραμμϊτων, 2010) 23

25 ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΧΕΕΩΝ ΚΑΙ ΜΟΣΙΒΩΝ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Σο ςχόμα πιο κϊτω δεύχνει το δεύτερο όρο ενόσ μοτύβου. Ο πρώτοσ όροσ του μοτύβου αποτελεύται από 3 τετρϊγωνα και ο τρύτοσ όροσ από 19 τετρϊγωνα. Α4.1 Πρώτοσ όροσ Δεύτεροσ όροσ Σρύτοσ όροσ (α) Να ςχεδιϊςετε τον πρώτο και τον τρύτο όρο του μοτύβου. (β) Αν το μοτύβο ςυνεχύζεται, να βρεύτε από πόςα τετρϊγωνα θα αποτελεύται ο 25 οσ όροσ του μοτύβου. (γ) Να περιγρϊψετε το νιοςτό όρο του μοτύβου. 2 (α) Να καταςκευϊςετε τα πιο κϊτω μοτύβα: (i) Ξεκινόςτε από τον αριθμό 8, να τον διπλαςιϊςετε και να αφαιρϋςετε 3, για να δημιουργόςετε τον επόμενο όρο. (ii) Ξεκινόςτε από τον αριθμό 7 και να προςθϋςετε 6, για να δημιουργόςετε τον επόμενο όρο. (β) Να βρεύτε δύο αριθμούσ που εύναι κοινού όροι και ςτα δύο μοτύβα. 3 Να εξετϊςετε αν οι αριθμού 1, 2 2, 3 2, 4 2,. εύναι όροι γεωμετρικόσ προόδου. Να εξηγόςετε την απϊντηςό ςασ. 4 Η Μαρύα θα ταξιδϋψει ςτην Αμερικό για ϋνα ςυνϋδριο και θϋλει να γνωρύζει τη θερμοκραςύα ςτο ικϊγο, ώςτε να επιλϋξει τα ρούχα που θα πϊρει μαζύ τησ. Βρόκε ςτο διαδύκτυο τισ πιο κϊτω πληροφορύεσ: Α4.2 Α4.3 Α4.4 Ημερομηνύεσ Θερμοκραςύα ςε 0 F (βαθμού Υϊρεναώτ) Θερμοκραςύα ςε 0 C (βαθμού Κελςύου) 28/7/ /7/ /7/ /7/ /8/ ,5 2/8/ /8/ (α) Η Μαρύα θϋλει να υπολογύςει τη θερμοκραςύα για τισ 2 Αυγούςτου 2012 και τισ 3 Αυγούςτου 2012 ςε βαθμούσ Κελςύου. Να βρεύτε τον τύπο μετατροπόσ τησ θερμοκραςύασ από βαθμούσ Υϊρεναώτ ςε βαθμούσ Κελςύου και να ςυμπληρώςετε τον πύνακα. 24

26 (β) Η τυλιανό υποςτηρύζει ότι ςτισ 29 Ιουλύου 2012 η θερμοκραςύα ςτο ικϊγο θα εύναι 22 βαθμού Κελςύου. Η Μαρύα βρόκε ςτο διαδύκτυο ότι τη ςυγκεκριμϋνη μϋρα η θερμοκραςύα θα εύναι 20 βαθμού Κελςύου. Εύναι δυνατόν να ϋχουν δύκαιο και οι δύο; Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 5 Ο Σϊςοσ προςπαθεύ να ςυγκεντρώςει χρόματα, για να αγορϊςει ϋναν υπολογιςτό που ςτοιχύζει Έχει όδη μαζϋψει 450 και ςχεδιϊζει από τώρα και ςτο εξόσ να αποταμιεύει 30 το μόνα. (α) Να γρϊψετε το γενικό τύπο υπολογιςμού του ποςού που θα ϋχει ο Σϊςοσ ςτο τϋλοσ κϊθε μόνα. (β) Να υπολογύςετε για πόςουσ μόνεσ ο Σϊςοσ θα αποταμιεύει χρόματα, ώςτε να ςυγκεντρώςει το απαιτούμενο ποςό για την αγορϊ του υπολογιςτό, καταςκευϊζοντασ πύνακα τιμών. 6 Σο πρόγραμμα ΤΕS ςυνεργϊζεται με τον Οργανιςμό Νεολαύασ και βοηθϊ τουσ νϋουσ τησ Κύπρου να βρουν καλοκαιρινό εργαςύα. Σο πρόγραμμα χορηγεύ τον εργοδότη ωσ εξόσ: Αν ο νϋοσ εργϊζεται ςε κατϊςτημα, το πρόγραμμα χορηγεύ τον εργοδότη με το ποςό των 2 για κϊθε ώρα εργαςύασ του νϋου. Αν ο νϋοσ εργϊζεται ςε κϋντρα ημερόςιασ φροντύδασ (π.χ., καλοκαιρινϊ ςχολεύα) χορηγεύ το ποςό των 5,15 ανϊ ώρα εργαςύασ του νϋου. (α) Να καταςκευϊςετε τη γραφικό παρϊςταςη του ποςού που θα λϊβει ο καταςτηματϊρχησ από το πρόγραμμα ΤΕS ςε ςχϋςη με τισ ώρεσ εργαςύασ του νϋου (0 μϋχρι 100 ώρεσ). (β) Να καταςκευϊςετε τη γραφικό παρϊςταςη του ποςού που θα λϊβει ϋνα κϋντρο ημερόςιασ φροντύδασ από το πρόγραμμα ΤΕS ςε ςχϋςη με τισ ώρεσ εργαςύασ του νϋου (0 μϋχρι 100 ώρεσ). 7 Η ποςότητα αύματοσ ςτον ανθρώπινο οργανιςμό εξαρτϊται, ανϊμεςα ςε ϊλλουσ παρϊγοντεσ, και από τη μϊζα του ατόμου. Α4.5 Α4.6 Α4.7 Ποςότητα αύματοσ (L) Μϊζα (kg) (α) Να βρεύτε το γενικό τύπο υπολογιςμού τησ ποςότητασ αύματοσ ςε ςχϋςη με τη μϊζα ενόσ ατόμου. (β) Εύναι δυνατόν η ποςότητα αύματοσ ενόσ ατόμου με μϊζα 120 kg να εύναι ύςη με 12 L; Να εξηγόςετε την απϊντηςό ςασ. 25

27 8 Ο Παντελόσ αποτϊθηκε ςτο γραφεύο εξευρϋςεωσ εργαςύασ. Σο γραφεύο εξευρϋςεωσ εργαςύασ του παρουςύαςε την πιο κϊτω γραφικό παρϊςταςη: Α4.8 (α) Να εξηγόςετε τι παρουςιϊζει η γραφικό παρϊςταςη. (β) Να ςυμπληρώςετε τον πύνακα: Ώρεσ Απαςχόληςησ Αμοιβό για βοηθόσ λογιςτηρύου (ευρώ) Αμοιβό για τηλεφωνικϋσ ϋρευνεσ (ευρώ) Αμοιβό για αποθηκϊριοσ (ευρώ) (γ) Να υπολογύςετε την ωριαύα αμοιβό κϊθε εργαςύασ. 9 Σο πιο κϊτω διϊγραμμα παρουςιϊζει την πιςύνα τησ κυρύασ Δόμητρασ. Α4.9 Η πιςύνα γεμύζεται με νερό με ςταθερό ρυθμό. Να καταςκευϊςετε τη γραφικό παρϊςταςη που παρουςιϊζει την αλλαγό του βϊθουσ τησ πιςύνασ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. (Kamischke, Kamischke, & Murdock, 2007) 26

28 ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΕΞΙΩΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΩΕΩΝ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Να γρϊψετε όςεσ περιςςότερεσ αλγεβρικϋσ εκφρϊςεισ μπορεύτε, που να εύναι ιςοδύναμεσ με την αλγεβρικό ϋκφραςη 2x + 7. Για παρϊδειγμα 3x x Αν ιςχύουν οι πιο κϊτω μαθηματικϋσ προτϊςεισ, να βρεύτε την τιμό του 4#13. 1 # 3 = 0 2 #5 = 6 4 # 6 = 21 5 # 7 = # 8 = 67 3 Οι δαςοφύλακεσ ςτο Σρόοδοσ ϋχουν εντοπύςει μια πυρκαγιϊ κατϊ μόκοσ τησ ευθεύασ με εξύςωςη y = 3x 7. Οι δαςοφύλακεσ ςτισ Πλϊτρεσ ϋχουν εντοπύςει Α4.10 Α4.11 Α4.12 μια πυρκαγιϊ κατϊ μόκοσ τησ ευθεύασ με εξύςωςη y = 1 3 x (α) Να καταςκευϊςετε τισ πιο πϊνω ευθεύεσ ςε λογιςμικό δυναμικόσ γεωμετρύασ. (β) Να εξηγόςετε με ποιο τρόπο μπορεύτε να εντοπύςετε το ςημεύο εςτύασ τησ πυρκαγιϊσ. (γ) Να περιγρϊψετε πώσ θα εξηγόςετε ςτουσ δαςοφύλακεσ ςτον Αμύαντο, ποια εύναι η περιοχό που καύγεται, χρηςιμοποιώντασ τισ δυο εξιςώςεισ. 4 (α) Να γρϊψετε ϋνα ςενϊριο που να περιγρϊφει την πιο κϊτω γραφικό παρϊςταςη. Α4.13 (β) Να γρϊψετε τισ αλγεβρικϋσ εκφρϊςεισ που περιλαμβϊνονται ςτο ςενϊριο. 27

29 5 το εςτιατόριο «Η Γεύςη» οι ςερβιτόροι φορϊνε από τϋςςερισ μϋχρι και οχτώ κονκϊρδεσ. Οι ςερβιτόροι που φορϊνε 5 ό 7 κονκϊρδεσ λϋνε πϊντοτε ψϋματα, ενώ οι ςερβιτόροι που φορϊνε 4 ό 6 ό 8 κονκϊρδεσ λϋνε πϊντοτε την αλόθεια. Σην Κυριακό εργϊζονταν ςτο κατϊςτημα 4 ςερβιτόροι: ο Νύκοσ, ο πύροσ, ο Μαρύνοσ και ο Κωνςταντύνοσ. Όταν ϋνασ πελϊτησ τουσ ρώτηςε πόςεσ κονκϊρδεσ φορϊνε όλοι οι ςερβιτόροι μαζύ, απϊντηςαν ωσ εξόσ: Νύκοσ: Όλοι οι ςερβιτόροι μαζύ φορϊμε 24 κονκϊρδεσ. πύροσ: Όλοι οι ςερβιτόροι μαζύ φορϊμε 27 κονκϊρδεσ. Μαρύνοσ: Όλοι οι ςερβιτόροι μαζύ φορϊμε 26 κονκϊρδεσ. Κωνςταντύνοσ: Όλοι οι ςερβιτόροι μαζύ φορϊμε 30 κονκϊρδεσ. Ποιοσ εύναι ο ςερβιτόροσ που λϋει την αλόθεια; (Μόνο ϋνασ ςερβιτόροσ λϋει την αλόθεια.) 6 Δύνονται οι πιο κϊτω αριθμού: Να ςυμπληρώςετε τισ μαθηματικϋσ προτϊςεισ που ακολουθούν χρηςιμοποιώντασ τουσ αριθμούσ του πύνακα, μόνο μια φορϊ = = = = 5 (. +.)... = 7.. (. -.) +. = 10 7 Ρωτόθηκαν 200 μαθητϋσ ςε ποιεσ χώρεσ ϋχουν ταξιδϋψει. Οι απαντόςεισ που λόφθηκαν όταν: 50 μαθητϋσ ταξύδεψαν ςτη Γαλλύα και ςτην Αγγλύα. 60 μαθητϋσ ταξύδεψαν ςτην Αγγλύα και ςτην Ελλϊδα. 30 μαθητϋσ ταξύδεψαν ςτην Ελλϊδα και ςτη Γαλλύα. 100 μαθητϋσ ταξύδεψαν μόνο ςτην Αγγλύα. 65 μαθητϋσ ταξύδεψαν μόνο ςτη Γαλλύα. 102 μαθητϋσ ταξύδεψαν μόνο ςτην Ελλϊδα. 28 μαθητϋσ δεν ταξύδεψαν ςε καμύα χώρα. Να υπολογύςετε τον ελϊχιςτο αριθμό μαθητών που ταξύδεψαν και ςτισ τρεισ χώρεσ. Α4.14 Α4.15 Α

30 8 Όλοι οι μαθητϋσ τησ Β Λυκεύου που παρακολουθούν το μϊθημα των Μαθηματικών, παρακολουθούν και το μϊθημα των Ελληνικών. Μόνο μερικού μαθητϋσ που παρακολουθούν το μϊθημα των Ελληνικών, παρακολουθούν το μϊθημα των Αρχαύων Ελληνικών. Κανϋνασ από τουσ μαθητϋσ που παρακολουθεύ το μϊθημα των Μαθηματικών, δεν παρακολουθεύ το μϊθημα των Αρχαύων Ελληνικών. Ποια/εσ από τισ ακόλουθεσ δηλώςεισ εύναι αληθόσ/εισ; Να εξηγόςετε τον τρόπο που ςκεφτόκατε, χρηςιμοποιώντασ διϊγραμμα του Venn. (α) Ένασ μαθητόσ που παρακολουθεύ το μϊθημα των Αρχαύων Ελληνικών, δεν παρακολουθεύ το μϊθημα των Μαθηματικών. (β) Ένασ μαθητόσ που δεν παρακολουθεύ το μϊθημα των Ελληνικών, δεν παρακολουθεύ το μϊθημα των Μαθηματικών. (γ) Δεν υπϊρχει μαθητόσ που να παρακολουθεύ το μϊθημα των Μαθηματικών και των Αρχαύων Ελληνικών, ταυτόχρονα. Α

31 ΣΑΣΙΣΙΚΗ - ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΕ Κλύμακα 3 ΔΕΙΚΣΕ ΕΠΙΣΤΧΙΑ Οι μαθητϋσ: ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΑΣΙΣΙΚΗ 1 Διαβϊζουν και καταςκευϊζουν ραβδογρϊμματα, εικονογρϊμματα, κυκλικϋσ και γραμμικϋσ γραφικϋσ παραςτϊςεισ με ό χωρύσ τη χρόςη τεχνολογύασ. 2 Οργανώνουν δεδομϋνα ςε ςτόλεσ και χρηςιμοποιούν την ϋννοια του διατεταγμϋνου ζεύγουσ. 3 Καταγρϊφουν τα αποτελϋςματα ερευνητικών δραςτηριοτότων και κϊνουν προβλϋψεισ. 4 Περιγρϊφουν και ςυγκρύνουν ςύνολα δεδομϋνων, χρηςιμοποιώντασ τισ ϋννοιεσ του μϋςου όρου, τησ διαμϋςου, τησ επικρατούςασ τιμόσ, τησ μϋγιςτησ και ελϊχιςτησ τιμόσ. 5 Κϊνουν μετρόςεισ που επαναλαμβϊνονται ςε διϊφορεσ χρονικϋσ ςτιγμϋσ, ερμηνεύουν τισ διαφοροποιόςεισ που παρουςιϊζονται και καταλόγουν ςε ςυμπερϊςματα με βϊςη τισ παρατηρόςεισ τουσ. 6 Οργανώνουν και καταςκευϊζουν πύνακεσ ςυχνοτότων με ό χωρύσ τη χρόςη τεχνολογύασ. ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ 7 Καταγρϊφουν τα αποτελϋςματα πειραμϊτων τύχησ με ςυςτηματικό τρόπο, πολλαπλϋσ επαναλόψεισ (Με ό χωρύσ τη χρόςη τεχνολογύασ). 8 Προβλϋπουν και υπολογύζουν την πιθανότητα ενόσ ενδεχομϋνου, χρηςιμοποιώντασ την ϋννοια του λόγου. 9 Καταγρϊφουν και βρύςκουν το πλόθοσ των ενδεχομϋνων με βϊςη την αρχό τησ απαρύθμηςησ. (Τπουργεύο Παιδεύασ και Πολιτιςμού τησ Κυπριακόσ Δημοκρατύασ, Παιδαγωγικό Ινςτιτούτο, & Τπηρεςύα Ανϊπτυξησ Προγραμμϊτων, 2010) Αναπτύχθηκε ςτα πλαύςια του ερευνητικού προγρϊμματοσ, Identifying and Nurturing Mathematically Gifted Elementary School Students in Cyprus, το οπούο χρηματοδοτεύται από το Ίδρυμα Προώθηςησ Έρευνασ τησ Κύπρου, με αριθμό πρωτοκόλλου ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΕ/ΠΑΙΔΙ/0308(ΒΕ)/13.

32 ECV-3 Auto 2000 VW-E80 LPC 2000 EVE+ Vesta2 VERA+ ECO2000 AXV ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΑΣΙΣΙΚΗ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Να μελετόςετε το πιο κϊτω απόςπαςμα από την εφημερύδα και να εντοπύςετε τα λϊθη που υπϊρχουν ςτο ραβδόγραμμα. Να κϊνετε τισ απαραύτητεσ διορθώςεισ. Π3.1 Κατανάλωση καυσίμων Σισ τελευταύεσ δεκαετύεσ η πλειοψηφύα των αυτοκινητοβιομηχανιών ςτοχεύουν ςτην καταςκευό αυτοκινότων που θα καταναλώνουν λιγότερα καύςιμα. Η εφημερύδα μασ αποκαλύπτει τη μϋςη κατανϊλωςη καυςύμων 10 μοντϋλων αυτοκινότων. Όνομα μοντϋλου Κατανϊλωςη καυςύμων ςτην πόλη (L ανϊ 100 km) Κατανϊλωςη καυςύμων ςτον αυτοκινητόδρομο (L ανϊ 100 km) TPC 7,4 6,1 ECV-3 5,2 4,1 Auto ,1 6,3 VW-E80 9,9 7,4 LPC ,1 6,3 EVE+ 8,1 6,3 Vesta2 10,7 7,8 VERA+ 8,7 5,5 ECO2000 7,7 7,0 AXV 11,0 8, Κατανάλωςη καυςίμων ςτην πόλη (L ανά 100 km) Κατανάλωςη καυςίμων ςτον αυτοκινητόδρομο (L ανά 100 km) 31

33 Περύμετροσ κεφαλιού ςε cm 2 Σο 1962 ερευνητϋσ ςτην Αμερικό μελϋτηςαν 100 νεογϋννητα βρϋφη, για να διερευνόςουν αν υπϊρχει ςχϋςη μεταξύ του ύψουσ τουσ και τησ περιμϋτρου του κεφαλιού τουσ. Ο πιο κϊτω πύνακασ παρουςιϊζει τα αποτελϋςματα τησ ϋρευνασ. Π3.2 Ύψοσ (Μόκοσ ςώματοσ) ςε cm (α) Να αναπαραςτόςετε τα δεδομϋνα του πύνακα ςε ςτόλεσ. (β) Να αναφϋρετε πόςο εύναι το ύψοσ των βρεφών που ϋχουν τη μεγαλύτερη περύμετρο κεφαλιού. (γ) Να εξηγόςετε αν υπϊρχει ςχϋςη μεταξύ του ύψουσ και τησ περιμϋτρου του κεφαλιού των βρεφών. Αν υπϊρχει ςχϋςη να αναφϋρετε παραδεύγματα βρεφών. Αν δεν υπϊρχει ςχϋςη να αναφϋρετε αντιπαραδεύγματα βρεφών, με βϊςη τον πιο πϊνω πύνακα. (Wijers et al., 2006) 3 Να μελετόςετε τον πιο κϊτω πύνακα, ο οπούοσ δύνει πληροφορύεσ για τον πληθυςμό τησ γησ ςε ςυγκεκριμϋνεσ χρονολογύεσ. Π3.3 Έτος Πληθυσμός της γης (δισεκατομμύρια) (α) Με βϊςη τα πιο πϊνω δεδομϋνα, να προβλϋψετε τον πληθυςμό τησ γησ κατϊ το ϋτοσ (β) Ποιοσ νομύζετε ότι όταν ο πληθυςμό τησ γησ κατϊ το ϋτοσ 1985; Να εξηγόςετε τον τρόπο με τον οπούο εκτιμόςατε τον πληθυςμό. 32

34 Ιανουϊριοσ Υεβρουϊριοσ Μϊρτιοσ Απρύλιοσ Μϊιοσ Ιούνιοσ Ιούλιοσ Αύγουςτοσ επτϋμβριοσ Οκτώβριοσ Νοϋμβριοσ Δεκϋμβριοσ Φιλιϊδεσ Ευρώ (γ) Ποια από τισ δύο πιο πϊνω προβλϋψεισ ςασ θεωρεύτε ότι εύναι η πιο ακριβόσ: η πρόβλεψη για τον πληθυςμό τησ γησ το 1985 ό η πρόβλεψη για τον πληθυςμό τησ γησ το 2020; Να εξηγόςετε τον τρόπο ςκϋψησ ςασ. (Wijers et al., 2006) 4 Ο μϋςοσ όροσ επτϊ ακϋραιων αριθμών εύναι 4, η επικρατούςα τιμό 1 και η διϊμεςοσ 5. Ποιοι εύναι οι αριθμού; Τπϊρχουν περιςςότερεσ από μια απαντόςεισ. 5 Η γραφικό παρϊςταςη δεύχνει τα κϋρδη δυο επιχειρόςεων Α και Β, για τουσ μόνεσ Ιανουϊριο - Δεκϋμβριο Πιςτεύετε ότι τα κϋρδη τησ εταιρεύασ Α θα φτϊςουν τα κϋρδη τησ εταιρεύασ Β μϋχρι τον Αύγουςτο του 2012; Να γρϊψετε ϋνα πειςτικό επιχεύρημα για την απϊντηςό ςασ. Π3.4 Π Κϋρδη Επιχεύρηςησ Α Κϋρδη Επιχεύρηςησ Β 6 Να καταγρϊψετε το χρώμα των αυτοκινότων που θα περϊςουν ςτο δρόμο μπροςτϊ από το ςχολεύο ςασ και να απαντόςετε ςτα ακόλουθα ερωτόματα: (α) Με ποιο τρόπο καταγρϊψατε τα αυτοκύνητα; Ποια μορφό εύχε ο πύνακασ που χρηςιμοποιόςατε; (β) Ποια ϊλλα ςτοιχεύα θα μπορούςαν να προςτεθούν ςτον πύνακα, αν ςτόχοσ ςασ όταν η καταγραφό των μϋςων μεταφορϊσ που περνούν από το δρόμο ανϊ ώρα; Π3.6 33

35 ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Να ςυνεργαςτεύτε με το διπλανό ςασ και να παύξετε το παιχνύδι «Μη ρύξεισ ϋξι». Νικητόσ του παιχνιδιού εύναι ο πρώτοσ μαθητόσ που θα καταφϋρει να φτϊςει πρώτοσ ςτη βαθμολογύα 50. Κανόνεσ του παιχνιδιού: Οι μαθητϋσ παύζουν εναλλϊξ. Όταν φτϊςει η ςειρϊ ενόσ μαθητό να παύξει, ρύχνει το ζϊρι. Αν το αποτϋλεςμα εύναι διαφορετικό από 6, καταγρϊφει τον αριθμό ςτη βαθμολογύα του. Αν ο μαθητόσ ρύξει 6, χϊνει τη ςειρϊ του και διαγρϊφονται όλοι οι βαθμού που πόρε ςτο ςυγκεκριμϋνο γύρο. Ο μαθητόσ μπορεύ να ςυνεχύςει να ρύχνει το ζϊρι και να παύρνει βαθμούσ ςε ϋνα γύρο, μϋχρι ο ύδιοσ αποφαςύςει να ςταματόςει ό όταν ρύξει 6. Όταν ο μαθητόσ αποφαςύςει να ςταματόςει ςε ϋνα γύρο, οι βαθμού που ϋλαβε προςθϋτονται ςτην τελικό του βαθμολογύα. (α) Να καταγρϊψετε ςε πύνακα όλα τα αποτελϋςματα του παιχνιδιού. (β) Να παρατηρόςετε τα αποτελϋςματα του παιχνιδιού και να εξηγόςετε αν όλοι οι αριθμού ϋχουν την ύδια πιθανότητα να εμφανιςτούν. (γ) Να εξηγόςετε ςε ποιεσ περιπτώςεισ αποφαςύςατε να ςταματόςετε ςε ϋνα γύρο του παιχνιδιού. (Billstein & Williamson, 2002) 2 Έξι ομϊδεσ αγωνύζονται ςε ϋνα τουρνουϊ ποδοςφαύρου. τον πρώτο γύρο κϊθε ομϊδα ϋχει ϋνα αγώνα με κϊθε μια από τισ ϊλλεσ ομϊδεσ. Οι τρεισ κορυφαύεσ ομϊδεσ περνούν ςτο δεύτερο γύρο. Κϊθε ομϊδα που θα περϊςει, ϋχει δύο αγώνεσ με κϊθε μια από τισ ϊλλεσ ομϊδεσ. Οι δύο κορυφαύεσ ομϊδεσ περνούν ςτον τρύτο γύρο. Κϊθε ομϊδα που θα περϊςει, ϋχει δύο αγώνεσ με την ϊλλη ομϊδα. Να βρεύτε τον ελϊχιςτο και το μϋγιςτο αριθμό παιχνιδιών που μπορεύ να παύξει μια ομϊδα. Να εξηγόςετε την απϊντηςό ςασ. Π3.7 Π3.8 Π3.9 34

36 ΣΑΣΙΣΙΚΗ - ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΕ Κλύμακα 4 ΔΕΙΚΣΕ ΕΠΙΣΤΧΙΑ Οι μαθητϋσ: ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΑΣΙΣΙΚΗ 1 υγκρύνουν ςύνολα δεδομϋνων χρηςιμοποιώντασ μϋτρα θϋςησ (π.χ., διϊμεςοσ, μϋςοσ όροσ, επικρατούςα τιμό) και διαςπορϊσ (π.χ., μϋγιςτο, ελϊχιςτο εύροσ) και αξιολογούν την καταλληλότητα και τουσ περιοριςμούσ τησ χρόςησ των πιο πϊνω μϋτρων. 2 Διαβϊζουν και καταςκευϊζουν ραβδογρϊμματα, εικονογρϊμματα, κυκλικϋσ και γραμμικϋσ γραφικϋσ παραςτϊςεισ, φυλλογραφόματα και διαφοροποιούν τον τρόπο παρουςύαςησ ςυνεχών και κατηγορικών δεδομϋνων με ό χωρύσ τη χρόςη τεχνολογύασ. 3 Αξιολογούν διϊφορουσ τρόπουσ παρουςύαςησ δεδομϋνων ςε ςχϋςη με την αποτελεςματικότητα και τη ςυνϋπειϊ τουσ. ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ 4 Αναπαριςτούν το δειγματικό χώρο πειραμϊτων με πολλαπλούσ τρόπουσ ςυμπεριλαμβανομϋνων δενδροδιαγραμμϊτων. 5 Τπολογύζουν τη θεωρητικό πιθανότητα ενόσ ενδεχομϋνου, τη χρηςιμοποιούν ςτην πρόβλεψη αποτελεςμϊτων ςε πειρϊματα τύχησ και κατανοούν τη διαφορϊ μεταξύ ανεξϊρτητων και εξαρτημϋνων ενδεχομϋνων. (Τπουργεύο Παιδεύασ και Πολιτιςμού τησ Κυπριακόσ Δημοκρατύασ, Παιδαγωγικό Ινςτιτούτο, & Τπηρεςύα Ανϊπτυξησ Προγραμμϊτων, 2010) Αναπτύχθηκε ςτα πλαύςια του ερευνητικού προγρϊμματοσ, Identifying and Nurturing Mathematically Gifted Elementary School Students in Cyprus, το οπούο χρηματοδοτεύται από το Ίδρυμα Προώθηςησ Έρευνασ τησ Κύπρου, με αριθμό πρωτοκόλλου ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΕ/ΠΑΙΔΙ/0308(ΒΕ)/13.

37 ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΑΣΙΣΙΚΗ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Να αναφϋρετε αν θα αλλϊξει ο μϋςοσ όροσ, η διϊμεςοσ και η επικρατούςα τιμό του ςυνόλου Α={50, 100, 75, 60, 75, 1000, 90, 100}, όταν αφαιρεθεύ από το ςύνολο ο αριθμόσ (Day et al., 2008) 2 Να μελετόςετε το πιο κϊτω και να απαντόςετε ςτα ερωτόματα που ακολουθούν. Π4.1 Π4.2 Μϋςη τιμό πώληςησ ενόσ κουτιού δημητριακών εύναι 3, Ετόςιο κόςτοσ κουτιϊ κουτιϊ κουτιϊ κουτιϊ το μόνα το μόνα το μόνα το μόνα (α) Να εξηγόςετε πώσ υπολογύςτηκε το ποςό 209. (β) Να αναφϋρετε ποια δεδομϋνα χρηςιμοποιόθηκαν, για να καταςκευαςτεύ η γραφικό παρϊςταςη. (Wijers, 2006) 3 Ένασ ιδιοκτότησ εκδοτικού ούκου ςτην Ελλϊδα κϊλεςε ςε ςυνϊντηςη τουσ διευθυντϋσ δύο εβδομαδιαύων εφημερύδων, που εκδύδει ο ούκοσ του. Ο ιδιοκτότησ ζότηςε από τουσ διευθυντϋσ να του παρουςιϊςουν τισ πωλόςεισ των εφημερύδων τουσ κατϊ τουσ μόνεσ Οκτώβριο Δεκϋμβριο 2005 (ημειώςτε ότι ςτα μϋςα του Νοεμβρύου διεξόχθηςαν προεδρικϋσ εκλογϋσ ςτην Ελλϊδα). Πιο κϊτω φαύνονται οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ που παρϋδωςαν οι δύο διευθυντϋσ. Π4.3 36

38 Με μια γρόγορη ματιϊ, ο ιδιοκτότησ του εκδοτικού ούκου παρατόρηςε ότι και οι δύο εφημερύδεσ εύχαν μεγϊλη αύξηςη ςτισ πωλόςεισ τουσ κατϊ το διϊςτημα των εκλογών και μετϊ εύχαν δραματικό πτώςη. Ο εκδότησ ενθουςιϊςτηκε που οι δύο εφημερύδεσ τα πόγαν καλϊ κατϊ τη διϊρκεια των εκλογών και αποφϊςιςε να δώςει αύξηςη 300 και ςτουσ δύο διευθυντϋσ. υμφωνεύτε με την ενϋργειϊ του; Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Μια τριμελόσ επιτροπό αποτελεύται από ϋναν εκπρόςωπο των εργατών, ϋναν εκπρόςωπο των βιομηχϊνων και ϋναν εκπρόςωπο των καταναλωτών. Οι υποψόφιοι για τη θϋςη του εκπροςώπου των εργατών εύναι 3, των βιομηχϊνων εύναι 2 και των καταναλωτών εύναι 4. Να αναπαραςτόςετε πόςεσ διαφορετικϋσ επιτροπϋσ μπορούν να ςχηματιςτούν, χρηςιμοποιώντασ δενδροδιϊγραμμα. 2 Ένα κουτύ περιϋχει ξηρούσ καρπούσ: 5 καρύδια, 4 αμύγδαλα και 6 φουντούκια. Πόςα καρύδια, αμύγδαλα και φουντούκια θα πρϋπει να προςθϋςω, ώςτε να ϋχω 30 ξηρούσ καρπούσ ςτο ςύνολο, αλλϊ η πιθανότητα να επιλϋξω τυχαύα ϋνα εύδοσ ξηρού καρπού να εύναι η ύδια όπωσ προηγουμϋνωσ; Να εξηγόςετε το ςυλλογιςμό ςασ. Π4.4 Π4.5 37

39 ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Κλύμακα 3 ΔΕΙΚΣΕ ΕΠΙΣΤΧΙΑ Οι μαθητϋσ: ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΧΗΜΑΣΩΝ ΚΑΙ ΧΩΡΟΤ 1 Oνομϊζουν και καταςκευϊζουν ευθεύεσ και γωνύεσ ςτο επύπεδο. 2 Αναλύουν, ταξινομούν και καταςκευϊζουν διςδιϊςτατα και τριςδιϊςτατα ςχόματα με βϊςη τισ ιδιότητϋσ τουσ με διϊφορα μϋςα και λογιςμικϊ. 3 Αναγνωρύζουν, ονομϊζουν και περιγρϊφουν τα βαςικϊ ςτοιχεύα και τισ ιδιότητεσ των παραλληλογρϊμμων. 4 Διακρύνουν τα εύδη των πολυγώνων και διερευνούν τισ ιδιότητεσ των κανονικών πολυγώνων. 5 Διερευνούν ανιςοτικϋσ ςχϋςεισ ςτα τρύγωνα με τη χρόςη λογιςμικών δυναμικόσ γεωμετρύασ. 6 Αναγνωρύζουν, ταξινομούν και περιγρϊφουν διαφορετικϊ εύδη τριγώνων με κριτόριο το μόκοσ των πλευρών και το μϋτρο των γωνιών τουσ. 7 Αναγνωρύζουν, ονομϊζουν και περιγρϊφουν τα βαςικϊ ςτοιχεύα και ιδιότητεσ του κύκλου. 8 Διακρύνουν τισ μεταβλητϋσ και μη ιδιότητεσ ενόσ ςχόματοσ και ςυγκρύνουν τϊξεισ ςχημϊτων με βϊςη τισ ιδιότητϋσ τουσ. 9 Ελϋγχουν την εγκυρότητα βαςικών γεωμετρικών θεωρημϊτων ό προτϊςεων, χρηςιμοποιώντασ επαγωγικό ςυλλογιςμό. 10 χεδιϊζουν απλϋσ γεωμετρικϋσ καταςκευϋσ (π.χ., μϋςο ευθύγραμμου τμόματοσ), χρηςιμοποιώντασ διϊφορα μϋςα και λογιςμικϊ δυναμικόσ γεωμετρύασ. 11 Αναγνωρύζουν και καταςκευϊζουν αναπτύγματα κύβου, ορθογώνιων παραλληλεπιπϋδων, πριςμϊτων και πυραμύδων, χρηςιμοποιώντασ διϊφορα μϋςα και λογιςμικϊ. 12 Διερευνούν την ϋννοια των ςυντεταγμϋνων, χρηςιμοποιώντασ χϊρτεσ, πλϋγματα ςυντεταγμϋνων και κατϊλληλα λογιςμικϊ. Αναπτύχθηκε ςτα πλαύςια του ερευνητικού προγρϊμματοσ, Identifying and Nurturing Mathematically Gifted Elementary School Students in Cyprus, το οπούο χρηματοδοτεύται από το Ίδρυμα Προώθηςησ Έρευνασ τησ Κύπρου, με αριθμό πρωτοκόλλου ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΕ/ΠΑΙΔΙ/0308(ΒΕ)/13.

40 13 Καταςκευϊζουν απλϊ διςδιϊςτατα ςχόματα και περιγρϊφουν οδηγύεσ κατεύθυνςησ, χρηςιμοποιώντασ ευθύγραμμεσ κινόςεισ και ςτροφϋσ (λογιςμικϊ γεωμετρύασ τησ χελώνασ). ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΜΕΣΑΧΗΜΑΣΙΜΩΝ 14 Αναγνωρύζουν ςχόματα που εύναι ςυμμετρικϊ ωσ προσ ϊξονα ό ωσ προσ κϋντρο και εντοπύζουν τον ϊξονα ςυμμετρύασ ό το ςημεύο περιςτροφόσ. 15 Αναλύουν και ςυνθϋτουν μοτύβα γεωμετρικών ςχημϊτων που καλύπτουν πλόρωσ μια επιφϊνεια. 16 χεδιϊζουν και περιγρϊφουν το αποτϋλεςμα μεταςχηματιςμών, όπωσ μεταφορϊσ, περιςτροφόσ, ανϊκλαςησ, μεγϋθυνςησ και ςμύκρυνςησ. 17 Προβλϋπουν και αιτιολογούν τα αποτελϋςματα του διαχωριςμού, τησ ςύνθεςησ και του μεταςχηματιςμού διςδιϊςτατων και τριςδιϊςτατων ςχημϊτων. (Τπουργεύο Παιδεύασ και Πολιτιςμού τησ Κυπριακόσ Δημοκρατύασ, Παιδαγωγικό Ινςτιτούτο, & Τπηρεςύα Ανϊπτυξησ Προγραμμϊτων, 2010) 39

41 ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΧΗΜΑΣΩΝ ΚΑΙ ΧΩΡΟΤ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 (α) Να μελετόςετε τισ ευθεύεσ που υπϊρχουν ςτουσ πιο κϊτω πύνακεσ του Wassily Kandinsky. Να ςημειώςετε: (i) με κόκκινο χρώμα τα ευθύγραμμα τμόματα που εύναι παρϊλληλα, (ii) με πρϊςινο χρώμα τα ευθύγραμμα τμόματα που εύναι κϊθετα, (iii) με μπλε χρώμα τα ευθύγραμμα τμόματα που εύναι τεμνόμενα. Γ3.1 Composition VIII (1923) Transverse Line (1923) (β) Να καταςκευϊςετε ςε λογιςμικό δυναμικόσ γεωμετρύασ ϋνα δικό ςασ πύνακα με διαφορετικϊ εύδη ευθειών. 2 Να εντοπύςετε το ςχόμα που εύναι διαφορετικό από τα υπόλοιπα. Να βρεύτε όςεσ περιςςότερεσ λύςεισ μπορεύτε. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. Γ3.2 3 Να γρϊψετε τισ αλλαγϋσ που θα πρϋπει να γύνουν ςτο πρώτο ςχόμα, ώςτε να ςχηματιςτεύ το δεύτερο ςχόμα. Γ3.3 Παραλληλόγραμμο Ορθογώνιο Ορθογώνιο Σετράγωνο Παραλληλόγραμμο Ρόμβος 40

42 4 Να καταςκευϊςετε ϋνα κανονικό εξϊγωνο, χρηςιμοποιώντασ λογιςμικό δυναμικόσ γεωμετρύασ. Να υπολογύςετε τη γωνύα ΑΒΓ, αν γνωρύζετε ότι η γωνύα ΑΟΒ εύναι ύςη με 60. Γ3.4 Γ Να ςυμπληρώςετε τον πιο κϊτω πύνακα και να βρεύτε το γενικό τύπο υπολογιςμού των γωνιών ενόσ κανονικού πολυγώνου. Γωνύα ΑΟΒ Γωνύα ΑΒΓ Πεντϊγωνο Εξϊγωνο Οκτϊγωνο Δεκϊγωνο 72 ο 60 ο 45 ο 36 ο Ν-γωνο 5 Ο Αντρϋασ και ο πύροσ προςπαθούν να καταςκευϊςουν τρύγωνα. Γνωρύζουν ότι το μόκοσ των δύο πλευρών των τριγώνων εύναι ύςο με 4 cm και 2 cm, αντύςτοιχα. Να μελετόςετε τισ πιο κϊτω δηλώςεισ και να εξηγόςετε ποιοσ από τουσ δύο ϋχει κϊνει λϊθοσ, χρηςιμοποιώντασ λογιςμικό δυναμικόσ γεωμετρύασ. Γ3.5 Αντρέας: Κατασκεύασα τρίγωμο στο οποίο η τρίτη πλευρά είμαι ίση με 3 cm. Σπύρος: Κατασκεύασα τρίγωμο στο οποίο η τρίτη πλευρά είμαι ίση με 2 cm. 41

43 6 Να εξηγόςετε γιατύ εύναι λϊθοσ η πιο κϊτω πρόταςη: «Κϊθε αμβλυγώνιο τρύγωνο ϋχει οξεύεσ γωνύεσ. Άρα κϊθε οξυγώνιο τρύγωνο ϋχει αμβλεύεσ γωνύεσ.» 7 Να καταςκευϊςετε ςτον πιο κϊτω κύκλο δύο διαμϋτρουσ, μια ακτύνα και τρεισ χορδϋσ, με τϋτοιο τρόπο ώςτε να ςχηματιςτούν τρύα τρύγωνα. Γ3.6 Γ3.7 8 Ο Ορϋςτησ και η Ελιςϊβετ περιγρϊφουν ϋνα τετρϊγωνο. Να εξηγόςετε ποιοσ από τουσ δύο εύναι πιο ακριβόσ ςτην περιγραφό του. Γ3.8 9 Δύνεται το πιο κϊτω ςχόμα ςε λογιςμικό δυναμικόσ γεωμετρύασ. Σο τρύγωνο ΔΕΖ ςχηματύςτηκε ενώνοντασ τα μϋςα των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ. Γ3.9 (α) Να ςύρετε το τρύγωνο ΑΒΓ και να ςυμπληρώςετε τον πιο κϊτω πύνακα. Γωνύα ΑΒΓ Γωνύα ΒΓΑ Γωνύα ΓΑΒ Γωνύα ΕΖΔ Γωνύα ΖΔΕ Γωνύα ΔΕΖ Σρύγωνο 1 Σρύγωνο 2 Σρύγωνο 3 (β) Να γρϊψετε ϋνα ςυμπϋραςμα για τη ςχϋςη που υπϊρχει μεταξύ των γωνιών των τριγώνων ΑΒΓ, ΔΕΖ. 42

44 10 Να καταςκευϊςετε ςε λογιςμικό δυναμικόσ γεωμετρύασ την ακολουθύα των πιο κϊτω ςχημϊτων. Γ Να καταςκευϊςετε το ανϊπτυγμα των πιο κϊτω τριςδιϊςτατων ςχημϊτων. Γ3.11 (α) (β) 12 Να βοηθόςετε τον αςτυνομικό να εντοπύςει το παιδύ που κρύφτηκε, καθορύζοντασ τισ ςυντεταγμϋνεσ τησ κρυψώνασ του ςτον πιο κϊτω χϊρτη. Να χρηςιμοποιόςετε το πιο κϊτω εφαρμογύδιο, για να εντοπύςετε την κρυψώνα με το μικρότερο δυνατόν αριθμό δοκιμών. Κϊθε φορϊ που ορύζετε ςυντεταγμϋνεσ, το εφαρμογύδιο αναγρϊφει πόςο κοντϊ βρύςκεςτε ςτην κρυψώνα. Γ

45 13 Να δώςετε οδηγύεσ ςτη χελώνα, για να φτϊςει ςτη λύμνη. Η χελώνα μπορεύ να κινηθεύ μόνο οριζόντια και κατακόρυφα. Να γρϊψετε οδηγύεσ για πϋντε διαφορετικϋσ διαδρομϋσ. Γ

46 ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΜΕΣΑΧΗΜΑΣΙΜΩΝ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Να χρωματύςετε ςτο πιο κϊτω ςχόμα τον ελϊχιςτο αριθμό τετραγώνων, ώςτε το ςχόμα που θα προκύψει να ϋχει: (α) ϋνα ϊξονα ςυμμετρύασ. (β) δυο ϊξονεσ ςυμμετρύασ. (γ) τρεισ ϊξονεσ ςυμμετρύασ. Γ Να χρωματύςετε την πιο κϊτω επιφϊνεια με τρύα χρώματα, ώςτε να δημιουργόςετε ϋνα μοτύβο γεωμετρικών ςχημϊτων. Να βρεύτε όςεσ πιο πολλϋσ λύςεισ μπορεύτε. Γ Σο κατϊςτημα του κύριου Κώςτα ϋχει δύο μηχανϋσ Α και Β. Η Α εύναι «εκτυπωτικό μηχανό» και η Β εύναι «περιςτροφικό μηχανό». Γ

47 Σο αποτϋλεςμα μιασ ςειρϊσ διαδικαςιών εύναι το. Να γρϊψετε τη διαδικαςύα που ακολουθόθηκε, αν το αρχικό ςχόμα όταν το. (Kangourou Sans Frontières, 2007) 4 Δύνονται τα πιο κϊτω ςχόματα. Να μετακινόςετε ϋνα από τα κύτρινα ςχόματα και να το τοποθετόςετε πϊνω ςε ϋνα από τα κόκκινα ςχόματα, ώςτε να ςχηματύςετε τα πορτοκαλύ ςχόματα. Γ3.17 Κόκκινα ςχόματα Κύτρινα ςχόματα Πορτοκαλύ ςχόματα Για παρϊδειγμα, Κύτρινο Κόκκινο Πορτοκαλύ ςχόμα ςχόμα ςχόμα 46

48 ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Κλύμακα 4 ΔΕΙΚΣΕ ΕΠΙΣΤΧΙΑ Οι μαθητϋσ: ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΧΗΜΑΣΩΝ ΚΑΙ ΧΩΡΟΤ 1 Αναγνωρύζουν, περιγρϊφουν και καταςκευϊζουν 1 διςδιϊςτατα και τριςδιϊςτατα ςχόματα, γωνύεσ, παρϊλληλεσ και κϊθετεσ ευθεύεσ. 2 Καταςκευϊζουν το ύψοσ, τη διϊμεςο και τη διχοτόμo τριγώνων και παρατηρούν τα χαρακτηριςτικϊ ςημεύα του τριγώνου (κϋντρο βϊρουσ, ϋγγεντρο, ορθόκεντρο). 3 Καταςκευϊζουν το μϋςο ευθύγραμμου τμόματοσ, την απόςταςη μεταξύ παραλλόλων και την απόςταςη ςημεύου και ευθεύασ. 4 Αναγνωρύζουν και ονομϊζουν εύδη γωνιών ςτο επύπεδο και ςτο χώρο (π.χ., ςυμπληρωματικϋσ και παραπληρωματικϋσ, κατακορυφόν γωνύεσ που ςχηματύζονται, όταν μια ευθεύα τϋμνει δύο παρϊλληλεσ ευθεύεσ). 5 Αναγνωρύζουν, ονομϊζουν και περιγρϊφουν τα βαςικϊ ςτοιχεύα και τισ ιδιότητεσ των τριγώνων, των τραπεζύων, των παραλληλογρϊμμων, των πολυγώνων και του κύκλου. 6 Διερευνούν βαςικϊ θεωρόματα τετραπλεύρων. 7 Επεξηγούν τισ απαραύτητεσ ςυνθόκεσ για την ιςότητα δύο ςχημϊτων και αναγνωρύζουν ύςα τρύγωνα. 8 Διατυπώνουν υποθϋςεισ για ςχϋςεισ ιςότητασ και ομοιότητασ μεταξύ γεωμετρικών ςχημϊτων και ελϋγχουν τισ υποθϋςεισ τουσ, χρηςιμοποιώντασ επαγωγικό και παραγωγικό ςυλλογιςμό. 9 Διερευνούν το πυθαγόρειο θεώρημα (ιςτορικϋσ αποδεύξεισ). 10 Αναπαριςτούν τριςδιϊςτατα ςχόματα, χρηςιμοποιώντασ κατϊλληλα μοντϋλα, διςδιϊςτατεσ αναπαραςτϊςεισ (με ϋμφαςη ςτην πλϊγια και ορθογώνια προβολό) και αναπτύγματα. Ερμηνεύουν διςδιϊςτατεσ αναπαραςτϊςεισ τριςδιϊςτατων ςχημϊτων και μεταφρϊζουν μια μορφό προβολόσ ςε μια ϊλλη (π.χ., ορθογώνια ςε πλϊγια προβολό). 11 Αναγνωρύζουν ςτοιχεύα των τριςδιϊςτατων γεωμετρικών αντικειμϋνων (π.χ., διαγώνιοι πριςμϊτων) και περιγρϊφουν ςχϋςεισ μεταξύ ςτερεών. Αναπτύχθηκε ςτα πλαύςια του ερευνητικού προγρϊμματοσ, Identifying and Nurturing Mathematically Gifted Elementary School Students in Cyprus, το οπούο χρηματοδοτεύται από το Ίδρυμα Προώθηςησ Έρευνασ τησ Κύπρου, με αριθμό πρωτοκόλλου ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΕ/ΠΑΙΔΙ/0308(ΒΕ)/13.

49 12 Χρηςιμοποιούν τισ ιδιότητεσ των διςδιϊςτατων και τριςδιϊςτατων ςχημϊτων ςτην επύλυςη και μοντελοπούηςη προβλημϊτων. 13 Περιγρϊφουν ςχϋςεισ ευθειών και επιπϋδων ςτο χώρο (π.χ., αςύμβατεσ ευθεύεσ, τρόποι τομόσ τριών επιπϋδων). 14 Καταςκευϊζουν γεωμετρικϊ ςχόματα ςε ορθοκανονικό ςύςτημα ςυντεταγμϋνων και υπολογύζουν την απόςταςη μεταξύ δύο ςημεύων ό ςημεύου και ευθεύασ ςε ορθοκανονικό ςύςτημα ςυντεταγμϋνων. 15 Καταςκευϊζουν γεωμετρικϊ ςχόματα και περιγρϊφουν οδηγύεσ κατεύθυνςησ, χρηςιμοποιώντασ ευθύγραμμεσ κινόςεισ και ςτροφϋσ με λογιςμικϊ γεωμετρύασ τησ χελώνασ. ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΜΕΣΑΧΗΜΑΣΙΜΩΝ 16 Καταςκευϊζουν πολύγωνα και ςχϋδια με πολλούσ ϊξονεσ ςυμμετρύασ ό ςχόματα που εύναι ςυμμετρικϊ ωσ προσ ϋνα ςημεύο. 17 Περιγρϊφουν και εκτελούν μεταςχηματιςμούσ (περιςτροφό υπό ςυγκεκριμϋνη γωνύα, μεταφορϊ, ανϊκλαςη ωσ προσ ϋνα ό περιςςότερουσ ϊξονεσ) διςδιϊςτατων και τριςδιϊςτατων ςχημϊτων. 18 Μεγεθύνουν και ςμικρύνουν διςδιϊςτατα και τριςδιϊςτατα γεωμετρικϊ ςχόματα και εικόνεσ με βϊςη δεδομϋνουσ λόγουσ και διερευνούν τισ ιδιότητϋσ τουσ. 19 Διαχωρύζουν και ςυνθϋτουν διςδιϊςτατα και τριςδιϊςτατα ςχόματα. 20 Καταςκευϊζουν και περιγρϊφουν ςτερεϊ, περιςτρϋφοντασ πλόρωσ διςδιϊςτατα ςχόματα γύρω από ϋναν ϊξονα. (Τπουργεύο Παιδεύασ και Πολιτιςμού τησ Κυπριακόσ Δημοκρατύασ, Παιδαγωγικό Ινςτιτούτο, & Τπηρεςύα Ανϊπτυξησ Προγραμμϊτων, 2010) 1 Οι καταςκευϋσ, όταν δεν ορύζεται ο τρόποσ καταςκευόσ τουσ, μπορούν να γύνουν με λογιςμικϊ ό ϊλλα μϋςα. 48

50 ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΧΗΜΑΣΩΝ ΚΑΙ ΧΩΡΟΤ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Να καταςκευϊςετε ςε λογιςμικό δυναμικόσ γεωμετρύασ τα ακόλουθα ςχόματα: (α) Σετρϊπλευρο με τϋςςερισ ύςεσ πλευρϋσ αλλϊ καμύα ορθό γωνύα. (β) Σετρϊπλευρο που ϋχει ακριβώσ τρεισ ύςεσ πλευρϋσ. (γ) Σετρϊπλευρο με τϋςςερισ ύςεσ γωνύεσ αλλϊ όχι τϋςςερισ ύςεσ πλευρϋσ. (δ) Σετρϊπλευρο ςτο οπούο οι διαγώνιού του ςχηματύζουν δύο ιςοςκελό ορθογώνια τρύγωνα. (Greenes et al., 2007) 2 Να παρατηρόςετε τα πιο κϊτω τρύγωνα, που ϋχουν καταςκευαςτεύ ςε λογιςμικό δυναμικόσ γεωμετρύασ. Να ςύρετε τα τρύγωνα από μια κορυφό και να προςδιορύςετε αν τα ευθύγραμμα τμόματα που υπϊρχουν εντόσ των τριγώνων αποτελούν τισ διαμϋςουσ, τισ διαγωνύουσ ό τα ύψη τουσ. Γ4.1 Γ4.2 3 Δύνεται η κορυφό Α ενόσ τριγώνου. Να ςημειώςετε τισ κορυφϋσ Β και Γ του τριγώνου, αν γνωρύζετε ότι το μόκοσ ΑΓ=5 cm και η απόςταςη του ςημεύου Γ από την πλευρϊ ΑΒ=4 cm. Τπϊρχουν περιςςότερεσ από μια απαντόςεισ. Α Γ4.3 4 Να παρατηρόςετε το πιο κϊτω ςχόμα και να εξηγόςετε γιατύ οι γωνύεσ 2 και 6 εύναι παραπληρωματικϋσ, αλλϊ οι γωνύεσ 4 και 6 δεν εύναι απαραύτητα παραπληρωματικϋσ. Γ4.4 49

51 (Boyd et al., 2008) 5 Δύνεται το πιο κϊτω ςχόμα ςε λογιςμικό δυναμικόσ γεωμετρύασ. Να ςύρετε τισ κορυφϋσ του τριγώνου ΑΒΓ, για να ελϋγξετε την ορθότητα των προτϊςεων. Γ4.5 (APPLET17, CD-ROM βιβλύου) 6 Δύνεται το πιο κϊτω ςχόμα ςε λογιςμικό δυναμικόσ γεωμετρύασ. Να ςύρετε την κορυφό Β και να γρϊψετε όςεσ πιο πολλϋσ ιδιότητεσ του ςχόματοσ μπορεύτε να παρατηρόςετε. Γ4.6 (APPLET 15, CD-ROM βιβλύου) 50

52 7 Δύνεται το πιο κϊτω ςχόμα ςε λογιςμικό δυναμικόσ γεωμετρύασ. Να ςύρετε το τρύγωνο ΑΒΓ και να ελϋγξετε τη ςχϋςη μεταξύ των τριγώνων ΒΔΕ, ΑΔΖ, ΓΖΕ. Γ4.7 8 το τρύγωνο ΑΒΓ η γωνύα Α=90 0. Σο ευθύγραμμο τμόμα ΑΔ εύναι κϊθετο ςτο ευθύγραμμο τμόμα ΒΓ και το ευθύγραμμο τμόμα ΕΔ εύναι κϊθετο ςτο ευθύγραμμο τμόμα ΑΒ. Να ελϋγξετε ποια από τα τρύγωνα ΑΒΓ, ΑΔΓ, ΑΔΒ, ΕΒΔ, ΑΕΓ εύναι όμοια με το τρύγωνο ΑΔΕ. Γ4.8 9 Να μελετόςετε το πιο κϊτω εφαρμογύδιο και να βρεύτε τη ςχϋςη που υπϊρχει ανϊμεςα ςτισ πλευρϋσ του ορθογωνύου τριγώνου ΑΒΓ. Γ Η μια πλευρϊ του κύβου εύναι κομμϋνη κατϊ μόκοσ των διαγώνιών του, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Να βϊλετε ςε κύκλο τα ςχόματα που δεν αποτελούν ανϊπτυγμα του ςυγκεκριμϋνου κύβου. Γ4.10 (Kangourou Sans Frontières, 2008) 51

53 11 (α) Να ονομϊςετε και να περιγρϊψετε τισ ιδιότητεσ των ςτερεών που μπορούν να περϊςουν από τα πιο κϊτω πλαύςια. Γ4.11 (β) Να περιγρϊψετε και να ςχεδιϊςετε το ςτερεό που μπορεύ να περϊςει και από τα τρύα πλαύςια. (Polya, 1981) 12 Ένασ ποδοςφαιριςτόσ τρϋχει ςτο γόπεδο, όπωσ φαύνεται ςτην πιο κϊτω εικόνα. ε ποια θϋςη θα πρϋπει να βρύςκεται ο ποδοςφαιριςτόσ, ώςτε η γωνύα τϋρματοσ α να εύναι η μϋγιςτη δυνατό; Γ4.12 (APPLET 28, CD-ROM βιβλύου) 13 Να εντοπύςετε ςτo αεροπλϊνο X-Wing fighter τησ ταινύασ Star Wars: (α) παρϊλληλεσ ευθεύεσ, (β) κϊθετεσ ευθεύεσ, (γ) τεμνόμενα επύπεδα. Γ

54 14 Να καταςκευϊςετε όςα περιςςότερα ορθογώνια παραλληλόγραμμα μπορεύτε, χρηςιμοποιώντασ τα δύο ςημεύα που φαύνονται ςτο πιο κϊτω ςχόμα. Γ Να γρϊψετε τη διαδικαςύα καταςκευόσ του πιο κϊτω ςχόματοσ ςε λογιςμικό γεωμετρύασ τησ χελώνασ. Γ

55 ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΜΕΣΑΧΗΜΑΣΙΜΩΝ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Να καταςκευϊςετε όςα περιςςότερα και διαφορετικϊ ςυμμετρικϊ ςχόματα μπορεύτε, αξιοποιώντασ το πιο κϊτω. Γ Να βρεύτε τη γωνύα και το ςημεύο περιςτροφόσ του ςχόματοσ Α, ώςτε να προκύψει το ςχόμα Β. Γ Να μελετόςετε τι ςυμβαύνει ςτισ ιδιότητεσ του τετρϊπλευρου που παρουςιϊζεται ςτο πιο κϊτω εφαρμογύδιο, καθώσ μεγεθύνεται ό ςμικρύνεται. Γ

56 4 Να καταςκευϊςετε ϋνα παραλληλόγραμμο ςυνθϋτοντασ τα ςχόματα που θα προκύψουν αν: (α) διαχωριςτεύ ϋνα κανονικό εξϊγωνο ςε δύο μϋρη, (β) διαχωριςτεύ ϋνα κανονικό εξϊγωνο ςε τρύα μϋρη, (γ) διαχωριςτεύ ϋνα κανονικό εξϊγωνο ςε τϋςςερα μϋρη. 5 Να περιςτρϋψετε το πιο κϊτω ςχόμα και να περιγρϊψετε τα διαφορετικϊ ςτερεϊ που θα δημιουργηθούν. Να ορύςετε τον ϊξονα περιςτροφόσ του κϊθε ςτερεού που θα ςχηματιςτεύ. Γ4.19 Γ

57 ΜΕΣΡΗΗ Κλύμακα 3 ΔΕΙΚΣΕ ΕΠΙΣΤΧΙΑ Οι μαθητϋσ: ΕΚΣΙΜΗΗ ΚΑΙ ΜΕΣΡΗΗ 1 Φρηςιμοποιούν ςυμβατικϋσ μονϊδεσ μϋτρηςησ του μόκουσ (mm, cm, m, km) τησ μϊζασ (kg, g), τησ χωρητικότητασ (L, ml) και του όγκου ςχημϊτων (m 3,, cm 3 ). 2 Κϊνουν μετατροπϋσ μεταξύ των μονϊδων μϋτρηςησ του ύδιου μετρικού ςυςτόματοσ. 3 Ανακαλύπτουν τουσ τύπουσ υπολογιςμού τησ περιμϋτρου και του εμβαδού του τετραγώνου, ορθογωνύου, παραλληλογρϊμμου και του τριγώνου, χρηςιμοποιώντασ λογιςμικϊ δυναμικόσ γεωμετρύασ. 4 Διερευνούν ιςοδύναμα ςχόματα και εξετϊζουν ςε ποιεσ περιπτώςεισ ϋχουν και την ύδια περύμετρο. 5 Διερευνούν τη ςχϋςη μεταξύ χωρητικότητασ και όγκου ςυγκεκριμϋνων αντικειμϋνων. 6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και καταςκευϊζουν γωνύεσ (με ό χωρύσ τη χρόςη τησ τεχνολογύασ). 7 Επιλύουν προβλόματα που περιϋχουν ςχϋςεισ μεταξύ των χαρτονομιςμϊτων και νομιςμϊτων. Αναπτύχθηκε ςτα πλαύςια του ερευνητικού προγρϊμματοσ, Identifying and Nurturing Mathematically Gifted Elementary School Students in Cyprus, το οπούο χρηματοδοτεύται από το Ίδρυμα Προώθηςησ Έρευνασ τησ Κύπρου, με αριθμό πρωτοκόλλου ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΕ/ΠΑΙΔΙ/0308(ΒΕ)/13.

58 ΕΝΝΟΙΕ ΧΡΟΝΟΤ, ΡΤΘΜΟΤ ΚΑΙ ΜΕΣΑΒΟΛΗ 8 Διαβϊζουν και γρϊφουν την ώρα (ώρα, λεπτϊ, δευτερόλεπτα), χρηςιμοποιώντασ ψηφιακϊ και αναλογικϊ ρολόγια. 9 Περιγρϊφουν το αποτϋλεςμα τησ αλλαγόσ μιασ πλευρϊσ ενόσ διςδιϊςτατου ςχόματοσ ςτο εμβαδόν και την περύμετρό του. 10 Επιλύουν προβλόματα που περιϋχουν ςχϋςεισ μεταξύ ϋτουσ, δεκαετύασ και αιώνα. 11 Εκτιμούν και υπολογύζουν διϊρκεια χρόνου πραγματοπούηςησ γεγονότων ςτο πληςιϋςτερο δευτερόλεπτο. 12 Καταγρϊφουν και υπολογύζουν αλλαγϋσ θερμοκραςύασ κατϊ τη διϊρκεια ςυγκεκριμϋνων χρονικών διαςτημϊτων. (Τπουργεύο Παιδεύασ και Πολιτιςμού τησ Κυπριακόσ Δημοκρατύασ, Παιδαγωγικό Ινςτιτούτο, & Τπηρεςύα Ανϊπτυξησ Προγραμμϊτων, 2010) 57

59 ΕΚΣΙΜΗΗ ΚΑΙ ΜΕΣΡΗΗ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Δύνεται η πιο κϊτω περιγραφό τησ Ελϋνησ για την αυλό του ςπιτιού τησ. Να εντοπύςετε τα λϊθη που ϋχει κϊνει η Ελϋνη ςτισ μονϊδεσ μϋτρηςησ και να τα διορθώςετε. Το ςπίτι μου βρίςκεται ςτην Κακοπετριά, ένα χωριό που βρίςκεται 60 m μακριά από τη Λευκωςία. Έχει μια μεγάλη αυλή και μια μικρή πιςίνα. Η αυλή μασ έχει πλάτοσ 8 kg και μήκοσ 6 kg. Δεν θυμάμαι, όμωσ, τισ διαςτάςεισ τησ πιςίνασ, αλλά ξέρω ότι για να γεμίςει χρειάζεται 32 mm νερό. 2 Ο Μαρύνοσ ετοιμϊζει τη βαλύτςα του για ϋνα ταξύδι. Σα πρϊγματα που θα πϊρει μαζύ του πρϋπει να ζυγύζουν το πολύ 4 kg και ϋχει να επιλϋξει από τα ακόλουθα: Παντελόνι 800 g Υορητόσ Τπολογιςτόσ 2,3 kg Πουκϊμιςο 233 g Μπλούζα 121 g ακϊκι 1,16 kg Ζευγϊρι Παπούτςια 1356 g Καπϋλο 0,01 kg Υωτογραφικό Μηχανό 405 g Ποιοσ εύναι ο μεγαλύτεροσ αριθμόσ αντικειμϋνων που μπορεύ να πϊρει μαζύ του ο Μαρύνοσ; Να γρϊψετε ποια αντικεύμενα θα επιλϋξει. 3 Να χρηςιμοποιόςετε λογιςμικό δυναμικόσ γεωμετρύασ, για να καταςκευϊςετε τα ακόλουθα ςχόματα. Δύνεται ότι το μόκοσ τησ πλευρϊσ α εύναι ύςο με 6 cm και το μόκοσ τησ πλευρϊσ β εύναι μικρότερο από το μόκοσ τησ πλευρϊσ α. Μ3.1 Μ3.2 Μ3.3 Α Β Να ςυμπληρώςετε τον πιο κϊτω πύνακα και να απαντόςετε ςτα ερωτόματα που ακολουθούν. 58

60 (α) Ποιο ςχόμα ϋχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; Να εξηγόςετε την απϊντηςό ςασ. (β) Ποιο ςχόμα ϋχει τη μεγαλύτερη περύμετρο; Να εξηγόςετε την απϊντηςό ςασ. 4 Να αποφαςύςετε κατϊ πόςο η ακόλουθη δόλωςη ιςχύει κϊποτε, πϊντα ό ποτϋ. Να εξηγόςετε την απϊντηςό ςασ. Μ3.4 Αν η περίμετροσ δύο τριγώνων είναι ίςη, τότε το εμβαδόν των τριγώνων είναι ίςο. 5 Ο τύποσ υπολογιςμού του όγκου του ςτερεού εύναι: Όγκοσ = εμβαδόν βϊςησ ύψοσ Μ3.5 Να εξηγόςετε αν ςτα πιο κϊτω ςτερεϊ εφαρμόζεται ο ύδιοσ τύποσ, για τον υπολογιςμό του όγκου τουσ. Α Β 6 Να απαντόςετε ςτα πιο κϊτω ερωτόματα και να καταςκευϊςετε με ακρύβεια ϋνα αναλογικό ρολόι. Μ3.6 (α) Ποιο εύναι το μϋγεθοσ τησ γωνύασ που ςχηματύζεται όταν η ώρα εύναι 12:15; (β) Ποιο εύναι το μϋγεθοσ τησ γωνύασ που ςχηματύζεται όταν η ώρα εύναι 3:20; (γ) Με ποιο τρόπο οι προηγούμενεσ ερωτόςεισ θα ςασ βοηθόςουν να καταςκευϊςετε το ρολόι; 7 Ο Νικόλασ αποταμιεύει ςτον κουμπαρϊ του 35 ςεντ την εβδομϊδα. (α) Μετϊ από πόςεσ εβδομϊδεσ θα μπορεύ ο Νικόλασ να αγορϊςει ϋνα βιβλύο που ςτοιχύζει 5; (β) Πόςα χρόματα θα ϋχει ο Νικόλασ μετϊ από 42 εβδομϊδεσ; Μ3.7 59

61 (γ) Να ςυμπληρώςετε τον πιο κϊτω πύνακα με όςο το δυνατόν περιςςότερουσ τρόπουσ, για να δεύξετε το ποςό που ϋχει ο Νικόλασ ςτον κουμπαρϊ του, μετϊ από 42 εβδομϊδεσ. 60

62 ΕΝΝΟΙΕ ΧΡΟΝΟΤ, ΡΤΘΜΟΤ ΚΑΙ ΜΕΣΑΒΟΛΗ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Ο Νύκοσ θϋλει να παρακολουθόςει τα κινούμενα ςχϋδια το ϊββατο το πρωύ, αλλϊ δεν γνωρύζει την ακριβό ώρα ϋναρξησ τουσ. Όταν ρώτηςε τη μητϋρα του, του εύπε το εξόσ: «Σα κινούμενα ςχϋδια ξεκινούν 395 λεπτϊ πριν από το μεςημϋρι.». Να γρϊψετε την ώρα που ξεκινούν τα κινούμενα ςχϋδια. 2 Να μελετόςετε τισ πιο κϊτω τετρϊγωνεσ κϊρτεσ και να απαντόςετε ςτισ ερωτόςεισ που ακολουθούν: 60 cm Μ3.8 Μ cm (α) Πόςο πιο μεγϊλο εύναι το εμβαδόν τησ μεγϊλησ κϊρτασ, ςε ςύγκριςη με το εμβαδόν τησ μικρόσ κϊρτασ; (β) Πόςεσ μικρϋσ κϊρτεσ μπορούν να τοποθετηθούν, ώςτε να καλύψουν τη μεγϊλη κϊρτα; (γ) Πόςο μεγαλύτερο εύναι το μόκοσ τησ κορνύζασ που θα χρηςιμοποιηθεύ για τη μεγϊλη κϊρτα, ςε ςύγκριςη με το μόκοσ τησ κορνύζασ που θα χρηςιμοποιηθεύ για τη μικρό κϊρτα; 3 Η Μαρύνα εύναι μεγαλύτερη από την Κϊλλια κατϊ δύο δεκαετύεσ, 3 μόνεσ και 4 μϋρεσ. Η Κϊλλια ϋχει γεννηθεύ την 21 η Δεκεμβρύου Ποια εύναι η ημερομηνύα γϋννηςησ τησ Μαρύνασ; 4 Ο Βαςύλησ θϋλει να ηχογραφόςει ςε ϋνα δύςκο μερικϊ από τα αγαπημϋνα του τραγούδια. το δύςκο μπορούν να ηχογραφηθούν τραγούδια ςυνολικόσ διϊρκειασ 30 λεπτών. Να απαντόςετε τισ ερωτόςεισ, με βϊςη τον πιο κϊτω πύνακα. Σραγούδι Φρόνοσ (δευτερόλεπτα) Α 3:38 Β 5:04 Γ 4:25 Δ 3:30 Ε 6:00 Ζ 4:45 Η 5:23 Θ 3:57 Ι 3:42 Μ3.10 Μ

63 (α) Ποια τραγούδια από την πιο πϊνω λύςτα προτεύνετε ςτο Βαςύλη να ηχογραφόςει ςτο δύςκο του, ώςτε να ϋχει το μεγαλύτερο αριθμό τραγουδιών; (β) Ποια τραγούδια από την πιο πϊνω λύςτα προτεύνετε ςτο Βαςύλη να ηχογραφόςει ςτο δύςκο του, ώςτε να ϋχει το μεγαλύτερο δυνατόν χρόνο μουςικόσ ακρόαςησ; 5 τον πιο κϊτω πύνακα παρουςιϊζονται οι αλλαγϋσ τησ θερμοκραςύασ κατϊ τον 20 ο αιώνα, ςτην Αθόνα και ςτη Θεςςαλονύκη. Να μελετόςετε τον πιο κϊτω πύνακα και να απαντόςετε ςτα ερωτόματα που ακολουθούν: Μ3.12 Αθόνα Θεςςαλονύκη ,50 ο C -0,85 ο C ,35 ο C +0,40 ο C ,10 ο C -0,55 ο C Ο Ο ,35 ο C +0,80 ο C Ο -0,60 ο C ,40 ο C Ο Ο -0,70 ο C ,25 ο C +0,70 ο C ,70 ο C +1,00 ο C + αύξηςη μεύωςη Ο ςταθερό (α) Πόςη όταν η ςυνολικό αύξηςη ό μεύωςη που ςημειώθηκε ςτη θερμοκραςύα ςτην Αθόνα από το 1990 μϋχρι το 2000; (β) Αν η θερμοκραςύα ςτη Θεςςαλονύκη μια ανοιξιϊτικη μϋρα του 1983 όταν 25 ο C, ποια όταν η αντύςτοιχη θερμοκραςύα το 1945; 62

64 ΜΕΣΡΗΗ Κλύμακα 4 ΔΕΙΚΣΕ ΕΠΙΣΤΧΙΑ Οι μαθητϋσ: ΕΚΣΙΜΗΗ ΚΑΙ ΜΕΣΡΗΗ 1 Χρηςιμοποιούν ςυμβατικϋσ μονϊδεσ μϋτρηςησ του μόκουσ (mm, cm, m, km) τησ μϊζασ (kg, g), τησ χωρητικότητασ (L, ml) και του όγκου ςχημϊτων (m 3,, cm 3 ). 2 Κϊνουν μετατροπϋσ μεταξύ των μονϊδων μϋτρηςησ του ύδιου μετρικού ςυςτόματοσ. 3 Τπολογύζουν την περύμετρο και το εμβαδόν του τραπεζύου και ςύνθετων ςχημϊτων. 4 Τπολογύζουν τον όγκο και το εμβαδόν τησ εξωτερικόσ επιφϊνειασ τριςδιϊςτατων ςχημϊτων, χρηςιμοποιώντασ διϊφορα μϋςα και λογιςμικϊ. 5 Τπολογύζουν την περιφϋρεια και το εμβαδόν του κύκλου με διϊφορα μϋςα και λογιςμικϊ. 6 Τπολογύζουν το ϊθροιςμα γωνιών πολυγώνων. 7 Επιλύουν προβλόματα που εμπεριϋχουν ςχϋςεισ μεταξύ ακτύνασ, διαμϋτρου, εμβαδού και περιφϋρειασ κύκλου. 8 Χρηςιμοποιούν λογιςμικϊ δυναμικόσ γεωμετρύασ, για να κατανοούν και να αποδεικνύουν ςχϋςεισ. ΕΝΝΟΙΕ ΧΡΟΝΟΤ, ΡΤΘΜΟΤ ΚΑΙ ΜΕΣΑΒΟΛΗ 9 Καταςκευϊζουν γραφικϋσ παραςτϊςεισ και υπολογύζουν την ταχύτητα ό την απόςταςη κινητών ςε οριςμϋνο χρονικό διϊςτημα. 10 Περιγρϊφουν το αποτϋλεςμα τησ μεταβολόσ τησ ακμόσ ενόσ τριςδιϊςτατου ςχόματοσ ςτο εμβαδόν και ςτον όγκο του. (Τπουργεύο Παιδεύασ και Πολιτιςμού τησ Κυπριακόσ Δημοκρατύασ, Παιδαγωγικό Ινςτιτούτο, & Τπηρεςύα Ανϊπτυξησ Προγραμμϊτων, 2010) Αναπτύχθηκε ςτα πλαύςια του ερευνητικού προγρϊμματοσ, Identifying and Nurturing Mathematically Gifted Elementary School Students in Cyprus, το οπούο χρηματοδοτεύται από το Ίδρυμα Προώθηςησ Έρευνασ τησ Κύπρου, με αριθμό πρωτοκόλλου ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΕ/ΠΑΙΔΙ/0308(ΒΕ)/13.

65 ΕΚΣΙΜΗΗ ΚΑΙ ΜΕΣΡΗΗ Α/Α ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ Δ.Ε. 1 Να ςημειώςετε με ( ) την ϋνδειξη: ωςτό ό Λϊθοσ για τισ πιο κϊτω προτϊςεισ και να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. M4.1 ωςτό Λϊθοσ 1. Η απόςταςη του πόμολου τησ πόρτασ από το ϋδαφοσ εύναι ύςη με 2 mm. 2. Ένασ ελϋφαντασ ζυγύζει 7000 g. 3. Σο μόκοσ ενόσ κρεβατιού εύναι ύςο με 1 m. 4. Η απόςταςη Λευκωςύασ Πϊφου εύναι ύςη με 135 km. 5. Ένα νοικοκυριό καταναλώνει 25 ml νερό την ημϋρα. 6 Ο ελαιοχρωματιςτόσ χρεώνει 50 για κϊθε επιφϊνεια 5 m 3. 2 Η Κλεοπϊτρα, ο Μιχϊλησ και ο Νύκοσ χρηςιμοποιούν ςυχνϊ τη φωτογραφικό μηχανό ςτη δουλειϊ τουσ, ο καθϋνασ για διαφορετικό λόγο. Η Κλεοπϊτρα που αςχολεύται με την αεροφωτογραφύα, φωτογραφύζει αντικεύμενα που βρύςκονται μϋχρι και 1372 km μακριϊ. Ο Μιχϊλησ που εύναι φωτογρϊφοσ, φωτογραφύζει αντικεύμενα που βρύςκονται μϋχρι και 389 m μακριϊ. Ο Νύκοσ που εύναι χειρούργοσ, φωτογραφύζει αντικεύμενα που βρύςκονται μϋχρι και 1,5 cm μακριϊ. Να απαντόςετε ςτα ακόλουθα ερωτόματα: (α) Πόςη μεγαλύτερη απόςταςη μπορεύ να φωτογραφύςει η μηχανό τησ Κλεοπϊτρασ, ςε ςύγκριςη με τη μηχανό του Νύκου; (β) Πόςεσ φορϋσ μεγαλύτερη εύναι η απόςταςη που μπορεύ να φωτογραφύςει η μηχανό του Μιχϊλη, ςε ςύγκριςη με τη μηχανό του Νύκου; M4.2 64

66 3 Να υπολογύςετε το εμβαδόν του ςκιαςμϋνου ςχόματοσ. M4.3 4 Να καταςκευϊςετε ςε λογιςμικό τριςδιϊςτατησ δυναμικόσ γεωμετρύασ ϋνα ορθογώνιο παραλληλεπύπεδο, του οπούου οι ϋδρεσ ϋχουν εμβαδόν 120 cm², 72 cm² και 60 cm². Να υπολογύςετε τον όγκο και το εμβαδόν εξωτερικόσ επιφϊνειασ του ορθογωνύου παραλληλεπιπϋδου. 5 Οι αρχαύοι Αιγύπτιοι για να βρουν το εμβαδόν του κύκλου, υπολόγιζαν πρώτα το εμβαδόν του περιγεγραμμϋνου τετραγώνου και πολλαπλαςύαζαν επύ 0,8. Να επεξηγόςετε τον τρόπο ςκϋψησ τουσ. Μ4.4 Μ4.5 (APPLET 25, CD-ROM βιβλύου) 6 Να χρηςιμοποιόςετε λογιςμικό δυναμικόσ γεωμετρύασ, για να καταςκευϊςετε τρύα τρύγωνα, τρύα τετρϊπλευρα, τρύα πεντϊγωνα και τρύα εξϊγωνα. Αφού μετρόςετε τισ γωνύεσ του κϊθε ςχόματοσ και υπολογύςετε το ϊθροιςμα των γωνιών, να ςυμπληρώςετε τον πύνακα. Μ4.6 ΠΟΛΤΓΩΝΟ Σρύγωνο Σετρϊπλευρο Πεντϊγωνο Εξϊγωνο ΑΘΡΟΙΜΑ ΓΩΝΙΩΝ (α) Σι παρατηρεύτε για το ϊθροιςμα των γωνιών και των τριών τετραπλεύρων, πενταγώνων κ.λ.π.; (β) Να βρεύτε ϋνα γενικό τρόπο υπολογιςμού του αθρούςματοσ των γωνιών των πολυγώνων. (Τπόδειξη: Χωρύςτε το ςχόμα ςε επιμϋρουσ τρύγωνα.) (γ) Να υπολογύςετε το ϊθροιςμα των γωνιών ενόσ δεκαγώνου. 65

67 7 Σο τετρϊγωνο ΑΒΓΔ ϋχει τισ κορυφϋσ του ςτα κϋντρα των τεςςϋρων ύςων κύκλων. Να υπολογύςετε το εμβαδόν τησ ςκιαςμϋνησ περιοχόσ. Μ4.7 8 Δύνεται το ςχόμα: M Να χρηςιμοποιόςετε λογιςμικό δυναμικόσ γεωμετρύασ, για να καταςκευϊςετε το ςχόμα και να μελετόςετε πώσ μεταβϊλλεται η περύμετροσ και το εμβαδόν του ςχόματοσ καθώσ διπλαςιϊζεται η πλευρϊ του. Να βρεύτε ϋνα γενικό τύπο υπολογιςμού τησ περιμϋτρου και του εμβαδού του ςχόματοσ. 66