ΠΟΛΤΩΝΤΜΑ. ΠΑΡΑΜΕΣΡΟ λϋγεται το ςύμβολο, ςυνόθωσ γρϊμμα, του οπούου το πεδύο οριςμού ορύζεται ϋτςι ώςτε να ιςχύει κϊποια προώπόθεςη.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΟΛΤΩΝΤΜΑ. ΠΑΡΑΜΕΣΡΟ λϋγεται το ςύμβολο, ςυνόθωσ γρϊμμα, του οπούου το πεδύο οριςμού ορύζεται ϋτςι ώςτε να ιςχύει κϊποια προώπόθεςη."

Αἰκατερίνη Ταμτάκος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΟΛΤΩΝΤΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΕΣΑΒΛΗΣΗ λϋγεται ϋνα ςύμβολο, ςυνόθωσ γρϊμμα, το οπούο παύρνει τιμϋσ μϋςα από ϋνα ςύνολο Α. Σο Α λϋγεται πεδύο οριςμού. Αν το πεδύο οριςμού εύναι υποςύνολο του ςυνόλου των πραγματικών αριθμών (R) τότε η μεταβλητό ονομϊζεται πραγματικό μεταβλητό ΠΑΡΑΜΕΣΡΟ λϋγεται το ςύμβολο, ςυνόθωσ γρϊμμα, του οπούου το πεδύο οριςμού ορύζεται ϋτςι ώςτε να ιςχύει κϊποια προώπόθεςη. ΣΑΘΕΡΑ λϋγεται το ςύμβολο ςυνόθωσ γρϊμμα, το οπούο παύρνει μύα ςυγκεκριμϋνη τιμό. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΑΔΗ ονομϊζουμε μύα ϋκφραςη που αποτελεύται από αριθμούσ και γρϊμματα (μεταβλητϋσ και παραμϋτρουσ) και ςυνδϋονται μεταξύ τουσ μεσ τισ τϋςςερισ γνωςτϋσ πρϊξεισ. Σισ αλγεβρικϋσ παραςτϊςεισ τισ ςυμβολύζουμε ςυνόθωσ με τα γρϊμματα ƒ,g,,φ κ.λ.π και μϋςα ςε μια παρϋνθεςη γρϊφουμε τισ μεταβλητϋσ χωριςμϋνεσ με κόμματα. Έςτω ƒ(χ)= ςημαύνει αλγεβρικό παρϊςταςη με μεταβλητό το χ, ενώ ƒ(χ,ψ)= εύναι αλγεβρικό παρϊςταςη δύο μεταβλητών χ,ψ ΑΡΡΗΣΗ αλγεβρικό παρϊςταςη θα λϋμε εκεύνη που περιϋχει μεταβλητό κϊτω από τη ρύζα. π.χ ƒ(χ)=3 ΡΗΣΗ αλγεβρικό παρϊςταςη θα λϋμε εκεύνη που ΔΕΝ περιϋχει μεταβλητό κϊτω από τη ρύζα π.χ ƒ(χ)=2χ+ Σισ ρητϋσ χωρύζουμε ςε ακϋραιεσ και κλαςματικϋσ ΑΚΕΡΑΙΑ ονομϊζουμε τη ρητό αλγεβρικό παρϊςταςη που δεν περιϋχει μεταβλητό ςτον παρονομαςτό π.χ ƒ(χ)= και ƒ(χ)= - ΚΛΑΜΑΣΙΚΗ ονομϊζουμε τη ρητό αλγεβρικό παρϊςταςη που περιϋχει μεταβλητό ςτον παρονομαςτό π.χ ƒ(χ,ψ)= ΜΟΝΩΝΤΜΟ ονομϊζουμε την αλγεβρικό παρϊςταςη η οπούα περιϋχει μόνο την πρϊξη του πολλαπλαςιαςμού μεταξύ των μεταβλητών τησ. υντελεςτό του μονωνύμου ονομϊζουμε τον αριθμητικό παρϊγοντα του μονωνύμου. Κύριο μϋροσ ενόσ μονωνύμου ονομϊζουμε το μϋροσ του μονωνύμου που απομϋνει αφού αφαιρϋςουμε το ςυντελεςτό του. Μηδενικό θα λϋμε το μονώνυμο του οπούου ο ςυντελεςτόσ εύναι μηδϋν. Βαθμό του μονωνύμου ωσ προσ μια μεταβλητό, θα λϋμε το μεγαλύτερο εκθϋτη ωσ προσ τη μεταβλητό αυτό. Όμοια λϋγονται τα μονώνυμα με το ύδιο κύριο μϋροσ. ταθερό εκεύνο πουν ιςούται με ϋνα ςταθερό αριθμό και Μηδενικό εκεύνο που ιςούται με μηδϋν. ΠΟΛΤΩΝΤΜΑ Πολυώνυμο ονομϊζουμε το αλγεβρικό ϊθροιςμα μονωνύμων. Ακϋραιο πολυώνυμο ονομϊζουμε το αλγεβρικό ϊθροιςμα ακεραύων μονωνύμων. ταθερό εύναι εκεύνο που ιςούται με ςταθερό αριθμό Μηδενικό εκεύνο που ιςούται με μηδϋν

2 Βαθμό του πολυωνύμου (μη μηδενικού) ωσ προσ μια μεταβλητό ονομϊζουμε τον μεγαλύτερο εκθϋτη ωσ προσ τη μεταβλητό αυτό. Βαθμό του πολυωνύμου (μη μηδενικού) ωσ προσ δύο η περιςςότερεσ μεταβλητϋσ ονομϊζουμε το ϊθροιςμα των βαθμών ωσ προσ τισ μεταβλητϋσ αυτϋσ.! Δεν ορύζεται βαθμόσ ςε ϋνα μηδενικό πολυώνυμο! Κϊθε πολυώνυμο μπορούμε να πούμε ότι εύναι μηδενικού βαθμού ωσ προσ μια μεταβλητό που δεν περιϋχει. ταθερό όρο του πολυωνύμου ονομϊζουμε τον όρο που εύναι μηδενικού βαθμού ΙΑ ΠΟΛΤΩΝΤΜΑ εύναι τα πολυώνυμα όταν τα μονώνυμα του ενόσ εύναι ύςα με τα μονώνυμα του ϊλλου. Σα μηδενικϊ πολυώνυμα εύναι μεταξύ τουσ ύςα. ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΥΗ ΑΚΕΡΑΙΟΤ ΠΟΛΤΩΝΤΜΟΤ ΝΙΟΣΟΤ ΒΑΘΜΟΤ ΜΕ ΜΙΑ ΜΕΣΑΒΛΗΣΗ ΑΠΛΑ ΠΟΛΤΩΝΤΜΟ ΚΑΣΑ ΣΟ ΦΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Ένα πολυώνυμο νιοςτού βαθμού με μια μεταβλητό ϋχει την μορφό Ρ(χ)= με Σο ονομϊζεται ςταθερόσ όροσ Αν όλοι οι ςυντελεςτϋσ εύναι διαφορετικού του μηδενόσ τότε το πολυώνυμο ονομϊζεται πλόρεσ Αν κϊποιοσ από τουσ ςυντελεςτϋσ εύναι μηδϋν τότε εύναι ελλιπϋσ. Ρ(χ)= εύναι το ςταθερό πολυώνυμο Ρ(χ)=0 εύναι το μηδενικό πολυώνυμο. Αν τότε το πολυώνυμο εύναι μηδενικό Έςτω τα πολυώνυμα και με ν εύναι ύςα αν ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΗ ΣΙΜΗ ΠΟΛΤΩΝΤΜΟΤ Έςτω πολυώνυμο Ρ(χ)= Αριθμητικό τιμό του πολυωνύμου ονομϊζουμε τον αριθμό που προκύπτει αν αντικαταςτόςουμε τον χ με ϋναν αριθμό ρ. Σότε η αριθμητικό τιμό εύναι Ρ(ρ)= Σο ςταθερό πολυώνυμο ϋχει την ύδια τιμό για όλεσ τισ τιμϋσ του χ Σα ύςα πολυώνυμα ϋχουν ύςεσ τιμϋσ για όλεσ τισ τιμϋσ του χ και αντιςτρόφωσ.

3 ΡΙΖΑ ΠΟΛΤΩΝΤΜΟΤ Ένασ αριθμόσ ρϵr ονομϊζεται ρύζα του πολυωνύμου Ρ(χ) αν και μόνο αν, η αριθμητικό τιμό του πολυωνύμου για χ=ρ εύναι ύςη με το μηδϋν δηλ. Θεώρημα 1.(D Alembert). Κϊθε πολυώνυμο με βαθμό μεγαλύτερο ό ύςο του 1 ϋχει τουλϊχιςτον μύα ρύζα Θεώρημα 2 Κϊθε πολυώνυμο με βαθμό ν, ϋχει ν ακριβώσ ρύζεσ όχι κατ ανϊγκη διαφορετικϋσ και όχι κατ ανϊγκη πραγματικϋσ. Ένασ αριθμόσ ρϵr μπορεύ να εύναι κ φορϋσ ρύζα του πολυωνύμου Ρ(χ). Σότε λϋμε ότι ο ρ εύναι ρύζα του πολυωνύμου βαθμού πολλαπλότητασ κ Κϊθε πολυώνυμο περιττού βαθμού ϋχει μύα τουλϊχιςτον πραγματικό ρύζα Θεώρημα 3. Αν ϋνα πολυώνυμο Ρ(χ) νιοςτού βαθμού, μηδενύζεται για ν+1 διαφορετικϋσ τιμϋσ του χ τότε εύναι το μηδενικό πολυώνυμο. 1. Δύνεται το πολυώνυμο Ρ(χ)=(. Να προςδιοριςθεύ ο λϵr, ώςτε το Ρ(χ) να εύναι το μηδενικό πολυώνυμο. 2. Να προςδιοριςθούν τα α,β,γϵr ώςτε το πολυώνυμο Ρ(χ)=(α-2) να εύναι ςταθερό 3. Δύνεται το πολυώνυμο Ρ(χ)=3χ-λ 1. Να διαταχθεύ κατϊ τισ φθύνουςεσ δυνϊμεισ του χ. 2. Να προςδιοριςθεύ ο λϵr ϋτςι ώςτε το χ=1 να εύναι ρύζα του Ρ(χ) 4. 1ο. Να βρεθούν τα κ,λ ϵr ώςτε 2ο. Να υπολογιςθεύ το ϊθροιςμα 5. Αν το πολυώνυμο Ρ(χ)=( εύναι το μηδενικό και οι α,β,γ εύναι ρητού αριθμού, να δειχθεύ ότι

4 6. Δύνεται το πολυώνυμο Ρ(χ)= Να προςδιοριςθούν οι κ,λ,μϵr ώςτε το Ρ(χ) να εύναι το μηδενικό πολυώνυμο. 7. Nα αποδεύξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(χ)=2 δεν ϋχει ρύζα τησ μορφόσ όπου ρ θετικόσ ρητόσ και ϊρρητοσ. 8. Να βρεθεύ πολυώνυμο ƒ(χ) για το οπούο ιςχύει η ςχϋςη: (3χ+2) ƒ(χ)= 9. Να βρεθεύ πολυώνυμο Ρ(χ) 1 ου βαθμού για το οπούο ιςχύει: Ρ 10. Έςτω πολυώνυμο Ρ(χ) τϋτοιο ώςτε Ρ(2χ+1)=2Ρ(χ)+3 για κϊθε χϵr και Ρ(0)=0. Να υπολογιςθεύ το Ρ(15). 11. Να βρεθεύ πολυώνυμο Ρ(χ) τρύτου βαθμού, το οπούο να ϋχει ρύζα το 0 και να ικανοποιεύ τη ςχϋςη Ρ(χ-1)=Ρ(χ)- 12. Να βρεθεύ πολυώνυμο Π(χ) όταν γνωρύζουμε ότι ιςχύει: Π(χ-1)= για κϊθε χϵr 13. Αν ρ εύναι ρύζα του πολυωνύμου Ρ(χ)= να αποδεύξετε ότι : ρ <1+ α + β + γ 14. Να δεύξετε ότι οι ρύζεσ του Π(χ)= εύναι και ρύζεσ του Ρ(χ)= 15. Δύνεται το πολυώνυμο Ρ(χ)=(χ-1)(χ-3)(χ-4)(χ-6)+9. Να δεύξετε ότι Ρ(χ) για κϊθε χϵr

Σχετικά έγγραφα

Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ

Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ Ποιοσ εύναι ο οριςμόσ του ςυνόλου; Γιατύ μαθαύνουμε οριςμούσ; Αν ςκεφτεύ κανεύσ ότι τα μαθηματικϊ εύναι μια γλώςςα, όπωσ τα ελληνικϊ ό τα αγγλικϊ, και ο ςκοπόσ τησ εύναι να διευκολύνει