Κεφάλαιο 1 Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις του. Οι προτιµήσεις του καταναλωτή εκφράζονται από τη σχέση προτίµησης που τον χαρακτηρίζει. Βέβαια οι τιµές στο κεφάλαιο αυτό παίζουν πολύ σηµαντικό ϱόλο γιατί η αξία του αγαθού που ϑα επιλέξει δεν πρέπει να υπερβαίνει το πλούτο του καταναλωτή. Συχνά στην οικονοµία υποθέτουµε ότι ο καταναλωτής δια- ϑέτει αρχικό αγαθό ω το οποίο ϑέλει να ανταλλάξει µε κάποιο άλλο αγαθό σύµφωνα µε τις προτιµήσεις του, οπότε η αξία αυτού του αγαθού σε τρέχουσες τιµές είναι ο πλούτος w του καταναλωτή. Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι ο χώρος αγαθών είναι µερικά διατεταγµένος χώρος µε norm E, και X = E + είναι το σύνολο κατανάλωσης. Επίσης υποθέτουµε ότι ο E + είναι κλειστός και διάφορος του {0}. Ως χώρος τιµών ϑεωρείται ο τοπολογικός δυϊκός E του E και τα διανύσµατα τιµών είναι µη µηδενικά στοιχεία του E+. Το δυϊκό εύγος E, E, εκφράζει τη δυϊκότητα αγαθών-τιµών. Η υπόθεση ότι τα διανύσµατα τιµών είναι µη µηδενικά στοιχεία του E+ σηµαίνει ότι δεν έχουµε αγαθά µε αρνητικές τιµές. Επίσης υποθέτουµε συνήθως ότι οι τιµές είναι αυστηρά ϑετικά και συνεχή γραµµικά συναρτησιακά του E, δηλαδή ότι p(x) > 0 1
2 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης για κάθε x E + µε x 0. Η υπόθεση αυτή σηµαίνει ότι στην οικονοµία δεν έχουµε ελεύθερα αγαθά. Τέλος τονίζουµε ότι τα σύνολα προϋπολογισµού που ορίζουµε αµέσως µετά είναι ϐάσεις κώνων. Ειδικότερα υπάρχει αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ των συνόλων προϋπολογισµού και των ϐάσεων του συνόλου κατανάλωσης E +. 1.1 Σύνολο Προϋπολογισµού Στη παράγραφο αυτή υποθέτουµε ότι αρχικός πλούτος του καταναλωτή είναι ο πραγµατικός αριθµός w > 0. Αν υποθέσουµε ότι p E +, είναι το διάνυσµα τιµών, ο καταναλωτής µπορεί να επιλέξει ένα οποιοδήποτε διάνυσµα αγαθών x E + που η αξία του δεν υπερβαίνει τον αρχικό πλούτο, δηλαδή να ισχύει p(x) w. Συχνά υποθέτουµε ότι ο καταναλωτής διαθέτει αρχικό αγαθό ω E +. Τότε η αξία του αρχικού αγαθού w = p(ω) υπό την τιµή p είναι ο αρχικός πλούτος του καταναλωτή. Το σύνολο B p,w = {x E + p(x) w}, ονοµάζεται σύνολο προϋπολογισµού του καταναλωτή υπό την τιµή p και πλούτο w και το σύνολο {x E + p(x) = w}, εισοδηµατικός περιορισµός του καταναλωτή υπό τη τιµή p και πλούτο w. Το σύνολο προϋπολογισµού είναι κλειστό και κυρτό ως τοµή των κλειστών και κυρτών σύνολων, του ηµιχώρου {x E p(x) w},
1.1. Σύνολο Προϋπολογισµού 3 και του ϑετικού κώνου E + του E. Επίσης εύκολα αποδεικνύεται ότι για κάθε πραγµατικό αριθµό α έχουµε B p,w = αb αp,w, B p,w = B αp,αw και αb p,w = B p,αw. Από τις σχέσεις αυτές έπεται ότι αν το διάνυσµα τιµών πολλαπλασιαστεί µε τον αριθµό α και ο αρχικός πλούτος παραµένει σταθερός το σύνολο προϋπολογισµού πολλαπλασιάζεται µε 1, δηλαδή συρρικνώνεται κατά α α, ενώ όταν ο αρχικός πλούτος πολλαπλασιαστεί µε τον αριθµό α και το διάνυσµα τιµών παραµαίνει σταθερό το σύνολο προϋπολογισµού πολλαπλασιάζεται µε τον αριθµό α. Αντίθετα αν ο αρχικός πλούτος προέρχεται από αρχικό αγαθό η µεταβολή του διανύσµατος τιµών δεν επηρεάζει το σύνολο προϋπολογισµού. Οπως αναφέραµε στην εισαγωγή του κεφαλαίου, υπάρχει αµφιµονοσή- µαντη αντιστοιχία µεταξύ των συνόλων προϋπολογισµού και των ϐάσεων του συνόλου κατανάλωσης E +. Ειδικότερα στην περίπτωση όπου δεν έχουµε ελεύθερα αγαθά, κάθε διάνυσµα τιµών p είναι συνεχές γραµµικό συναρτησιακό του E, αυστηρά ϑετικό στο κώνο E +, οπότε ο εισοδηµατικός περιορισµός {x E + p(x) = w} είναι η ϐάση του E + που ορίζεται από το γραµµικό συναρτησιακό p. w Παράδειγµα 1.1. Υποθέτουµε ότι E = R m είναι ο χώρος αγαθών, w ο αρχικός πλούτος και p το διάνυσµα τιµών. Το σύνολο προϋπολογισµού είναι B p,w = {x R m + p x w}, και το σύνολο {x R m + p x = w}, είναι ο εισοδηµατικός περιορισµός. Στην οικονοµία υποθέτουµε συνήθως ότι οι τιµές είναι αυστηρά ϑετικά διανύσµατα. Στην περίπτωση όπου το p είναι ένα απλά ϑετικό διάνυσµα του R m και w αυστηρά ϑετικός πραγµατικός αριθµός ορίζουµε επίσης το σύνολο B p,w µε τον ίδιο τρόπο και χρησιµοποιούµε την ίδια ορολογία. ηλαδή το σύνολο B p,w = {x R m + p x w}, ϑα αναφέρεται ως σύνολο προϋπολογισµού και το σύνολο {x R m + p x = w},
4 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης y y B p,w B p,w (α ) p 0 x (ϐ ) p > 0, p 2 = 0 x ως εισοδηµατικός περιορισµός. Πρόταση 1.2. Αν E = R m, και το διάνυσµα τιµών p είναι αυστηρά ϑετικό, το σύνολο προϋπολογισµού είναι κυρτό και συµπαγές. Το διάνυσµα τιµών είναι κάθετο στον εισοδηµατικό περιορισµό, υπό την έννοια ότι p (x 1 x 2 ) = 0, για κάθε ευγάρι σηµείων x 1, x 2 του εισοδηµατικού περιορισµού. Απόδειξη. Αποδείξαµε παραπάνω ότι το σύνολο προϋπολογισµού είναι κλειστό και κυρτό. Αν το διάνυσµα τιµών p είναι αυστηρά ϑετικό τότε µ = min{p i } > 0, εποµένως για κάθε x B p,w έχουµε w p x µ x 1, άρα x 1 w µ. Εποµένως το σύνολο B p,w είναι ϕραγµένο και επειδή είναι και κλειστό είναι συµπαγές. Εστω x 1, x 2 σηµεία του εισοδηµατικού περιορισµού. Τότε p x 1 = p x 2 = w, άρα p (x 1 x 2 ) = 0, εποµένως το διάνυσµα p είναι κάθετο στον εισοδηµατικό περιορισµό. Άρα ισχύει η πρόταση.
1.2. Μεγιστοποίηση της χρησιµότητας 5 1.2 Μεγιστοποίηση της χρησιµότητας Στην οικονοµική ϑεωρία ο καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε αρχικό πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί (εξυπηρετεί) µε τον καλύτερο τρόπο τις προτιµήσεις του. Ετσι καλείται να µεγιστοποιήσει τη σχέση προτίµησης στο σύνολο προϋπολογισµού B p,w, δηλαδή έχει να επιλύσει το πρόβληµα : Μεγιστοποίησε την σχέση προτίµησης στο σύνολο B p,w. Υπενθυµίζουµε ότι η παίρνει µέγιστη τιµή (µεγιστοποιείται) στο B p,w στο σηµείο x 0 αν x 0 B p,w και x 0 x, για κάθε x B p,w. Από το Θεώρηµα ;;, έχουµε το παρακάτω αποτέλεσµα : Θεώρηµα 1.3. Αν το σύνολο προϋπολογισµού B p,w είναι συµπαγές και η σχέση προτίµησης είναι λογική και άνω ηµισυνεχής, η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w, σε ένα τουλάχιστον σηµείο του B p,w. Τα στοιχεία στα οποία µεγιστοποιείται η ανήκουν στο ίδιο σύνολο αδιαφορίας της. Αν επιπλέον η είναι αυστηρά κυρτή, το µέγιστο λαµβάνεται ακριβώς σ ένα σηµείο του B p,w. Οπως έχουµε αποδείξει, σε πεπερασµένες οικονοµίες αν το διάνυσµα τιµών είναι αυστηρά ϑετικό, το σύνολο προϋπολογισµού είναι συµπαγές, εποµένως το παρακάτω πόρισµα είναι αληθές. Πόρισµα 1.4. Εστω E = R m, και το διάνυσµα τιµών p είναι αυστηρά ϑετικό. Αν η σχέση προτίµησης είναι λογική και άνω ηµισυνεχής, η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w, σε ένα τουλάχιστον σηµείο του B p,w. Τα στοιχεία στα οποία µεγιστοποιείται η ανήκουν στο ίδιο σύνολο αδιαφορίας της. Αν επιπλέον η είναι αυστηρά κυρτή, το µέγιστο είναι µοναδικό. Πρόταση 1.5. Εστω x 0 B p,w και η σχέση προτίµησης είναι πλήρης. Η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0 αν και µόνο αν ισχύει η συνεπαγωγή. x E +, x x 0 p(x) > w. Απόδειξη. Εστω ότι η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0. Τότε για κάθε x x 0 έχουµε ότι p(x) > w γιατί διαφορετικά ϑα είχαµε p(x) w,
6 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης άρα x B p,w, άτοπο. Εποµένως x x 0 p(x) > w. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι x x 0 p(x) > w και ότι η δεν παίρνει µέγιστη τιµή στο x 0. Τότε υπάρχει x B p,w ώστε x x 0, εποµένως p(x) > w, άτοπο γιατί x B p,w. Άρα η παίρνει µέγιστη τιµή στο x 0. Πρόταση 1.6. Εστω ότι η σχέση προτίµησης παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0. Αν η σχέση είναι τοπικά µη κορεσµένη, τότε p(x 0 ) = w, δηλαδή το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού. y L y x 0 B p,w x Σχήµα 1.1: Πρόταση 1.6 Απόδειξη. Εστω ότι το x 0 δεν ανήκει στον εισοδηµατικό περιορισµό. Τότε p(x 0 ) < w. Αν L = {x E p(x) < w} είναι ο αρνητικός ανοικτός ηµίχωρος που ορίζει το υπερεπίπεδο p(x) = w έχουµε ότι x 0 L, εποµένως υπάρχει σφαίρα B(x 0, r) µε κέντρο x 0 και ακτίνα r που περιέχεται στον L. Επειδή η σχέση είναι τοπικά µη κορεσµένη, υπάρχει y B(x 0, r) E + ώστε y x 0. Εποµένως y B p,w γιατί y L E +, άτοπο γιατί η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0. Άρα το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού.
1.2. Μεγιστοποίηση της χρησιµότητας 7 Πόρισµα 1.7. Αν ισχύει τουλάχιστον µια από τις παρακάτω προτάσεις (i) η σχέση είναι γνησίως µονότονη, (ii) η σχέση έχει άκρως επιθυµητό στοιχείο, (iii) η σχέση είναι αυστηρά κυρτή και για κάθε x E +, υπάρχει y E + ώστε y x και y x, τότε σχέση είναι τοπικά µη κορεσµένη, εποµένως αν η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0, το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισ- µού. Από την Πρόταση 1.3, 1.6 και το Πόρισµα 1.7 έχουµε Πόρισµα 1.8. Αν το σύνολο προϋπολογισµού B p,w είναι συµπαγές, η σχέση προτίµησης είναι λογική, άνω ηµισυνεχής και τοπικά µη κορεσµένη, η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w σε ένα τουλάχιστον σηµείο του B p,w. Τα σηµεία του B p,w στα οποία η παίρνει µέγιστη τιµή ανήκουν στον εισοδηµατικό περιορισµό και στο ίδιο σύνολο αδιαφορίας της. Αν επιπλέον η είναι αυστηρά κυρτή, η παίρνει µέγιστη τιµή ακριβώς σε ένα σηµείο του B p,w. Εστω η σχέση προτίµησης, x 0 E + και διάνυσµα p E, p 0. Αν για κάθε x E + ισχύει η συνεπαγωγή x x 0 p(x) p(x 0 ), λέµε ότι το διάνυσµα (τιµή) p στηρίζει τη σχέση στο x 0. Θεώρηµα 1.9. Εστω ότι η σχέση προτίµησης που ορίζεται στο κυρτό υποσύνολο X του R m, αναπαρίσταται από τη συνάρτηση χρησιµότητας u : R m + R. Αν x 0 είναι εσωτερικό σηµείο του X, η u έχει συνεχείς µερικές παραγώγους πρώτης τάξης σε µια περιοχή του x 0 και gradu(x 0 ) 0 και επίσης το p (x 0 ) είναι κυρτό, τότε το gradu(x 0 ) στηρίζει την σχέση στο σηµείο x 0. Απόδειξη. Το σύνολο p (x 0 ) είναι το άνω τµήµα της u στο σηµείο x 0, εποµένως από το Θεώρηµα ;;, έχουµε ότι το gradu(x 0 ) στηρίζει τη σχέση στο x 0.
8 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης Ασκηση 1.10. Εστω η σχέση προτίµησης του R 2 + που ορίζεται από τη συνάρτηση χρησιµότητας u(x, y). Να ϐρεθεί η καµπύλη αδιαφορίας της που περνά από το (x 0, y 0 ) και ένα διάνυσµα p >> 0 που στηρίζει την στο σηµείο (x 0, y 0 ), όταν (i) u(x, y) = xy 2, (x 0, y 0 ) = (2, 3), (ii) u(x, y) = min{x, y}, (x 0, y 0 ) = (3, 3). Απόδειξη. (i) Η καµπύλη αδιαφορίας της που περνά από το σηµείο (x 0, y 0 ) µε x 0 y 0 > 0 είναι η ισοσταθµική καµπύλη της u στο σηµείο (x 0, y 0 ). ηλαδή είναι η καµπύλη c = {(x, y) R 2 + xy 2 = x 0 y0}. 2 Επειδή η y = y 0 x0 x είναι κυρτή η είναι κυρτή. Η u έχει συνεχείς µερικές παραγώγους πρώτης τάξης άρα για κάθε εσωτερικό σηµείο (x 0, y 0 ) του R 2 +, το διάνυσµα gradu(x 0, y 0 ) = (y0 2, 2x 0y 0 ) στηρίζει τη σχέση στο (x 0, y 0 ). Άρα το (9, 12) στηρίζει τη σχέση στο (2, 3). (ii) Η καµπύλη αδιαφορίας της που περνά από το σηµείο (3, 3) είναι η ισοσταθµική c = {(x, y) R 2 +, min{x, y} = 3}. Εχουµε c = {(x, y) R 2 + y x, x = 3} {(x, y) R 2 + x > y, y = 3}. Παρατηρούµε ότι δεν υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι της u στο σηµείο (3, 3). Θα δείξουµε ότι κάθε διάνυσµα p = (p 1, p 2 ) > (0, 0) στηρίζει την στο (3, 3). Πραγµατικά για κάθε (x, y) (3, 3) έχουµε x 3 και y 3, άρα p 1 x + p 2 y 3p 1 + 3p 2. Πρόταση 1.11. Αν η είναι µονότονη και το διάνυσµα p στηρίζει την σχέση προτίµησης στο σηµείο x 0, τότε p E +. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουµε ότι p(x) 0 για κάθε x E +. Για κάθε x E + έχουµε x + x 0 x 0, εποµένως x + x 0 x 0, γιατί η είναι µονότονη. Επειδή το p στηρίζει την στο x 0 έχουµε ότι p(x + x 0 ) p(x 0 ), εποµένως p(x) 0. Άρα p E +.
1.2. Μεγιστοποίηση της χρησιµότητας 9 Πρόταση 1.12. Εστω ότι η σχέση προτίµησης είναι µονότονη και αυστη- ϱά κυρτή. Αν η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0 του συνόλου B p,w, τότε το p είναι αυστηρά ϑετικό και το x 0 ανήκει τον εισοδηµατικό περιορισµό. Επίσης ισχύουν : (i) x x 0 p(x) > p(x 0 ), (ii) x x 0 p(x) p(x 0 ). Απόδειξη. Εστω ότι το p δεν είναι αυστηρά ϑετικό. Τότε υπάρχει x E +, x > 0 ώστε p(x) = 0, άρα x 0 + λx B p,w, για κάθε λ R +. Επειδή x 0 +λx > x 0 και η σχέση είναι µονότονη έχουµε ότι x 0 +λx x 0. Άρα η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w και στο σηµείο x 0 + λx. Άρα έχουµε x 0 = x 0 + λx γιατί η σχέση είναι αυστηρά κυρτή. Αυτό είναι άτοπο, άρα το p είναι αυστηρά ϑετικό. Εστω ότι το x 0 δεν ανήκει στον εισοδηµατικό περιορισµό. Τότε p(x 0 ) < w. Αν L = {x E p(x) < w} είναι ο αρνητικός ανοικτός ηµίχωρος που ορίζει το υπερεπίπεδο p(x) = w έχουµε ότι x 0 L, εποµένως υπάρχει σφαίρα B(x 0, r) µε κέντρο x 0 και ακτίνα r που περιέχεται στον L. Τότε υπάρχει t > 1 ώστε tx 0 B p,w. Άρα tx 0 x 0 γιατί η σχέση είναι µονότονη. Εποµένως η µεγιστοποιείται και στο σηµείο tx 0, άρα x 0 = tx 0, άτοπο. Εποµένως το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού. (i) Αν υποθέσουµε ότι x x 0, τότε x B p,w, άρα p(x) > w, εποµένως p(x) > p(x 0 ). (ii) Εστω x x 0. Αν υποθέσουµε ότι p(x) < p(x 0 ) = w, έχουµε ότι x B p,w, άρα η σχέση προτίµησης παίρνει επίσης µέγιστη τιµή και στο σηµείο x, εποµένως x = x 0, άρα p(x) = p(x 0 ), άτοπο. Άρα p(x) p(x 0 ). Πρόταση 1.13. Εστω ότι η σχέση προτίµησης είναι αυστηρά µονότονη και παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0 του συνόλου B p,w. Τότε το p είναι αυστηρά ϑετικό, το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού και ισχύουν (i) x x 0 p(x) > p(x 0 ),
10 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης y B p,w tx 0 x 0 B(x 0, r) Σχήµα 1.2: Πρόταση 1.12 x (ii) x x 0 p(x) p(x 0 ). Απόδειξη. Εστω ότι το p δεν είναι αυστηρά ϑετικό. Τότε υπάρχει x E +, x > 0 ώστε p(x) = 0, άρα x 0 + λx B p,w, για κάθε λ R +. Επειδή x 0 + λx > x 0 και η σχέση είναι αυστηρά µονότονη έχουµε ότι x 0 + λx x 0. Οµως p(x 0 + λx) = p(x 0 ) + λp(x) = p(x 0 ) w, άρα x 0 + λx B p,w άτοπο, γιατί υποθέσαµε ότι η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0. Άρα p είναι αυστηρά ϑετικό. Η σχέση είναι αυστηρά µονότονη, άρα είναι τοπικά µη κορεσµένη. Από τη Πρόταση 1.6 το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, δηλαδή p(x 0 ) = w. Αν υποθέσουµε ότι x x 0, τότε x B p,w, άρα p(x) > w, εποµένως p(x) > w p(x 0 ), άρα ισχύει η (i). Για την απόδειξη της (ii) έχουµε : Εστω x x 0. Αν υποθέσουµε ότι p(x) < p(x 0 ) = w, έχουµε ότι x B p,w, άρα η σχέση προτίµησης παίρνει επίσης µέγιστη τιµή και στο σηµείο x, εποµένως έχουµε ότι x είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, δηλαδή p(x) = w, άτοπο. Άρα p(x) p(x 0 ). Πρόταση 1.14. Εστω x 0 B p,w, και έστω ότι η σχέση προτίµησης είναι
1.2. Μεγιστοποίηση της χρησιµότητας 11 πλήρης και κάτω ηµισυνεχής. Αν ισχύει η συνεπαγωγή x E +, x x 0 p(x) w, τότε η σχέση παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0 και το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού. Απόδειξη. Θα δείξουµε πρώτα ότι το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού. Επειδή x 0 x 0 έχουµε ότι p(x 0 ) w, εποµένως p x 0 = w γιατί το x 0 ως σηµείο του συνόλου προϋπολογισµού, ικανοποιεί την σχέση p(x 0 ) w. Υποθέτουµε ότι η δεν παίρνει την µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0. Τότε υπάρχει x B p,w τέτοιο ώστε x x 0. Επειδή η είναι κάτω ηµισυνεχής το σύνολο P (x 0 ) των γνησίως προτιµότερων στοιχείων του x 0 είναι ανοικτό. y x 0 P (x0 ) x tx B p,w x Σχήµα 1.3: Πρόταση 1.14 Εποµένως υπάρχει περιοχή B(x, ρ) του x που περιέχεται στο P (x 0 ), άρα υπάρχει t (0, 1) τέτοιο ώστε tx B(x, ρ). Τότε έχουµε tx x 0, εποµένως tp(x) w = p(x 0 ). Επειδή w > 0 έχουµε ότι tp(x) > 0,
12 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης εποµένως p(x) > tp(x), γιατί t (0, 1). Άρα έχουµε p(x) > w, άτοπο γιατί x B p,w. Άρα η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0. Πρόταση 1.15. Εστω ότι η σχέση προτίµησης είναι πλήρης και κάτω ηµισυνεχής και x 0 B p,w. Αν η είναι αυστηρά µονότονη ή η είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες : (i) Η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0, (ii) το διάνυσµα p είναι αυστηρά ϑετικό και ισχύει η συνεπαγωγή x x 0 p(x) > w, (iii.) το διάνυσµα p είναι αυστηρά ϑετικό και ισχύει η συνεπαγωγή x x 0 p(x) w. Απόδειξη. Εστω ότι ισχύει η (i). Από τη Πρόταση 1.12 και 1.13, έ- χουµε ότι το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, δηλαδή p(x 0 ) = w. Επίσης από τις ίδιες προτάσεις έχουµε ότι το p είναι αυστηρά ϑετικό, ότι x x 0 p(x) > p(x 0 ) = w και ότι x x 0 p(x) p(x 0 ) = w. Εποµένως (i) (ii) και (i) (iii). Επίσης από τη Πρόταση 1.14 έχουµε ότι (iii) (i). Θα δείξουµε τώρα ότι (ii) (iii). για το σκοπό αυτό υποθέτουµε ότι ισχύει η (ii) και ότι x x 0. Θα δείξουµε ότι p(x) w. Η µεγιστοποιείται στο x 0. Πραγµατικά αν υποθέσουµε ότι υπάρχει x B p,w ώστε x x 0, από τη (ii) έχουµε p(x) > w, άτοπο. Άρα η µεγιστοποιείται στο x 0. Από τη Πρόταση 1.12 και 1.13, έχουµε ότι (ii) = (iii). Ασκηση 1.16. Σε οικονοµία ανταλλαγής µε τρία αγαθά και έναν καταναλωτή µε συνάρτηση χρησιµότητας u(x, y, z) = 2x + 3y + z, προσδιορίστε τα σηµεία του συνόλου προϋπολογισµού B p,w στα οποία η u παίρνει µέγιστη τιµή όταν (i) p = (2, 3, 1), w = 10, (ii) p = (2, 3, 1 ), w = 10 και (iii) 2 p = (2, 3, 4), w = 10. Λύση (i) B p,w = {(x, y, z) R 3 + 2x + 3y + z 10} και είναι εύκολο να δούµε ότι η u παίρνει µέγιστη τιµή στα σηµεία του εισοδηµατικού περιορισµού L = {(x, y, z) R 3 + 2x + 3y + z = 10}.
1.3. Αντιστοιχία ήτησης 13 (ii) B p,w = {(x, y, z) R 3 + 2x + 3y + 1 z 10}. Επειδή η u είναι 2 τοπικά µη κορεσµένη (γνησίως µονότονη) το µέγιστο (x, y, z) λαµβάνεται στον εισοδηµατικό περιορισµό. Ο περιορισµός της u στον εισοδηµατικό περιορισµό είναι u(x, y, z) = 2x + 3y + z = 10 z 2 + z = 10 + z 2. Επειδή (x, y, z) R 3 + έχουµε x 0, y 0, z 0, άρα 2x + 3y = 10 z 2 0 z 20. Άρα η µέγιστη τιµή της u λαµβάνεται για z = 20, οπότε 2x + 3y = 0, άρα x = y = 0. Άρα η u παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο (0, 0, 20). (iii) B p,w = {(x, y, z) R 3 + 2x +3y+4z 10} και η u µεγιστοποιείται στον εισοδηµατικό περιορισµό 2x +3y+4z = 10. Άρα z = 10 (2x+3y) 0. 4 Εποµένως 0 2x + 3y 10. Στα σηµεία του εισοδηµατικού περιορισµού έχουµε u(x, y, z) = 2x + 3y + z = 2x + 3y + 10 (2x + 3y) 4 = 3 4 (2x + 3y) + 10 4. Από τη σχέση αυτή έπεται εύκολα ότι η u παίρνει µέγιστη τιµή στα σηµεία του ευθυγράµµου τµήµατος {(x, y, 0) R 3 + 2x + 3y = 10}. 1.3 Αντιστοιχία ήτησης Στη παράγραφο αυτή υποθέτουµε ότι είναι λογική σχέση προτίµησης. Για κάθε αυστηρά ϑετικό διάνυσµα τιµών p προσδιορίζουµε τα διανύσµατα του B p,w στα οποία µεγιστοποιείται η σχέση προτίµησης, αν τέτοια διανύσµατα υπάρχουν. Η διαδικασία αυτή ορίζει µια αντιστοιχία µεταξύ των διανυσµάτων τιµών και των σηµείων του B p,w στα οποία η παίρνει µέγιστη τιµή. Την αντιστοιχία αυτή ϑα µελετήσουµε παρακάτω.
14 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης Για κάθε p E+, αυστηρά ϑετικό και κάθε πραγµατικό αριθµό w > 0 συµβολίζουµε µε φ(p, w) το σύνολο των σηµείων του B p,w στα οποία η παίρνει µέγιστη τιµή (στο B p,w ). Από το Θεώρηµα 1.3 έχουµε ότι αν το σύνολο προϋπολογισµού B p,w είναι συµπαγές και η σχέση προτίµησης λογική και άνω ηµισυνεχής, τότε φ(p, w). Αν επιπλέον η σχέση προτίµησης είναι τοπικά µη κορεσµένη, ή είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, κάθε στοιχείο του φ(p, w) ανήκει στον εισοδηµατικό περιορισµό. Αν η σχέση προτίµησης είναι αυστηρά κυρτή και φ(p, w), το φ(p, w) είναι µονοσύνολο. Το σύνολο φ(p, w) ονοµάζεται σύνολο ήτησης και κάθε στοιχείο του φ(p, w) ητούµενο αγαθό. Η αντιστοιχία (p, w) φ(p, w), όπου p E+, αυστηρά ϑετικό και w > 0 ονοµάζεται αντιστοιχία ήτησης ή συνάρτηση ήτησης αν η αντιστοιχία είναι µονότιµη. Αν φ(p, w) για κάθε (p, w) λέµε ότι υπάρχει η αντιστοιχία ήτησης. Σε πεπερασµένες οικονοµίες αν η σχέση προτίµησης είναι λογική και άνω ηµισυνεχής, υπάρχει η αντιστοιχία ήτησης. Αν ο αρχικός πλούτος w είναι σταθερός, αντί φ(p, w) γράφουµε φ(p). Η αντιστοιχία ήτησης έχει τις παρακάτω ιδιότητες. Πρόταση 1.17. Αν φ(p, w), τότε (i) φ(p, w) = φ(αp, αw) για κάθε α > 0 (η αντιστοιχία ήτησης είναι οµογενής µηδενικού ϐαθµού), (ii) αν η σχέση προτίµησης είναι τοπικά µη κορεσµένη, ή είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή έχουµε x φ(p, w) = p(x) = w (κανόνας του Walras). Απόδειξη. (i) Επειδή B αp,αw = B p,w, έχουµε ότι φ(αp, αw) = φ(p, w) για κάθε p και w. (ii) Από τη Πρόταση 1.6 και 1.12, το x είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, άρα p(x) = w.
1.3. Αντιστοιχία ήτησης 15 1.3.1 Η µονότιµη περίπτωση Στην υποενότητα αυτή, για λόγους απλότητας, µελετούµε τη περίπτωση όπου η αντιστοιχία ήτησης είναι µονότιµη, δηλαδή είναι συνάρτηση. Για τους ίδιους λόγους υποθέτουµε επίσης ότι ο χώρος αγαθών είναι ο R m και το σύνολο κατανάλωσης ο ϑετικός κώνος R m + του Rm, δηλαδή έχουµε E = R m και E + = R m +. Επίσης υποθέτουµε ότι ο καταναλωτής έχει αρχικό αγαθό ω > 0, οπότε w = p x p ω είναι ο αρχικός πλούτος του καταναλωτή και ϑα συµβολίζουµε µε B ω (p) το σύνολο προϋπολογισµού του καταναλωτή, όπου B ω (p) = {x R + p p p ω}. Επειδή το p είναι αυστηρά ϑετικό το B ω (p) είναι συµπαγές, εποµένως αν η σχέση προτίµησης είναι άνω ηµισυνεχής, έχουµε φ(p). Σηµειώνουµε επίσης αν η σχέση προτίµησης του καταναλωτή είναι αυστηρά κυρτή έχουµε ότι το φ(p) είναι µονοσύνολο και η αντιστοιχία ήτησης είναι συνάρτηση. Παρακάτω όταν λέµε ϋπάρχει η συνάρτηση ήτησης ϑα υποθέτουµε ότι για κάθε p >> 0, το σύνολο ήτησης είναι µονοσύνολο και στη περίπτωση αυτή µε φ(p) ϑα συµβολίζουµε το µοναδικό στοιχείο του B ω (p) στο οποίο µεγιστοποιείται η σχέση προτίµησης, και η φ(p), p >> 0, είναι η συνάρτηση ήτρησης. Υπό τις παραπάνω προϋποθέσεις έχουµε : Πρόταση 1.18. Αν η σχέση προτίµησης είναι συνεχής και τοπικά µη κορεσµένη και υπάρχει η συνάρτηση ήτησης, τότε η συνάρτηση ήτησης έχει κλειστό γράφηµα. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι p n p και Φ(p n ) x, όπου p n, p R m +, p n, p 0. Θα δείξουµε ότι Φ(p) = x, όπότε η η συνάρτηση ήτησης έχει κλειστό γράφηµα. Από τον ορισµό της συνάρτησης ήτησης έχουµε ότι, για κάθε n, η σχέση προτίµησης µεγιστοποιείται στο B ω (p n ) στο σηµείο Φ(p n ), και το σηµείο αυτό ανήκει στόν εισοδηµατικό περιορισµό, επειδή υποθέσαµε ότι η είναι τοπικά µη κορεσµένη. Εποµένως έχουµε p n Φ(p n ) = p n ω p ω > 0.
16 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης Από την συνέχεια του εσωτερικού γινοµένου έχουµε ότι p n Φ(p n ) p x, και απο αυτά τα δυο συµπεράσµατα έπεται ότι x B ω (p). Θα δείξουµε ότι η παίρνει µέγιστη τιµή στο σύνολο B ω (p) στο σηµείο Φ(p). Για κάθε y B ω (p) έχουµε p y p ω εποµένως, για κάθε λ (0, 1), έχουµε p (λy) < p ω και ϑεωρούµε ένα σταθερό λ (0, 1). Επειδή p n (λy) p (λy) < p ω, υπάρχει δείκτης n 0 τέτοιο ώστε p n (λy) < p ω, για κάθε n n 0. Θα δείξουµε ότι ότι υπάρχει n 1 N ώστε p n (λy) < p n ω, γιά κάθε n n 1. (1.3.1.1) Αν υποθέσουµε ότι ο ισχυρισµός αυτός δεν είναι αληθής, υπάρχει ακολου- ϑία n r του N ώστε p nr (λy) p nr ω, γιά κάθε r και αν πάρουµε όρια και έχουµε p (λy) p ω, που είναι άτοπο. Άρα ισχύει η (1.3.1.1). Εποµένως έχουµε άρα λy B ω (p n ) γιά κάθε n n 1, Φ(p n ) λy, γιά κάθε n n 1. Επειδή η σχέση προτίµησης είναι συνεχής έχουµε ότι το σύνολο P (λy) των προτιµότερων ή ισοδύναµων στοιχείων του λy είναι κλειστό, άρα έχουµε ότι x λy. Εποµένως για κάθε λ (0, 1) έχουµε ότι x λy. Ανάλογα, επειδή η σχέση προτίµησης είναι συνεχής έχουµε ότι το σύνολο P (x) των
1.3. Αντιστοιχία ήτησης 17 χειρότερων ή ισοδύναµων στοιχείων του x είναι κλειστό και αν στη σχέση x λy, πάρουµε όρια όταν λ συγκλίνει στο 1, έχουµε ότι x y. Αρα η παίρνει µέγιστη τιµή στό B ω (p) στό σηµείο x. Από τον ορισµό της συνάρτησης ήτησης, η σχέση προτίµησης παίρνει µέγιστη τιµή στό B ω (p) ακριβώς στο σηµείο Φ(p), εποµένως έχουµε ότι Φ(p) = x. Άρα η συνάρτηση ήτησης έχει κλειστό γράφηµα. Θεώρηµα 1.19. Αν η σχέση προτίµησης είναι συνεχής και τοπικά µη κορεσµένη και υπάρχει η συνάρτηση ήτησης, τότε η συνάρτηση ήτησης είναι συνεχής. Απόδειξη. Εστω p 0 >> 0. Θα δείξουµε ότι η συνάρτηση ήτησης Φ(p), p >> 0, είναι συνεχής στο σηµείο p 0. Εστω α η µικρότερη και ϐ η µεγαλύτερη συντεταγµένη του p 0. Τότε α > 0 και είναι εύκολο να δείξουµε ότι το p 0 είναι εσωτερικό σηµείο του διατεταγµένου διαστήµατος [ 1 2 αe, 2ϐe] του Rm + του R m. Θα δείξουµε ότι ο περιορισµός Φ της Φ στο µετρικό χώρο D = [ 1 αe, 2ϐ e] 2 είναι συνεχής οπότε, επειδή στη τοπολογία του R m, το p 0 είναι εσωτερικό σηµείο του D ϑα έχουµε τότε ότι η συνάρτηση ήτησης είναι συνεχής στο p 0. Εστω p D. Τότε p 1 αe και επειδή το Φ(p) είναι ϑετικό διάνυσµα 2 του R m, για κάθε p D έχουµε p Φ(p) 1 2 αe Φ(p) = 1 2 α Φ(p) 1. Επειδή το Φ(p) ανήκει στο εισοδηµατικό περιορισµό έχουµε p Φ(p) = p ω, άρα για κάθε p D έχουµε p Φ(p) = p ω 2ϐ e ω = 2ϐ ω 1.
18 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης Εποµένως Φ(p) 1 4 ϐ α ω 1. και επειδή στον R m, οι.,. 1 είναι ισοδύναµες, υπάρχει M > 0 ώστε Φ(p) Ω για κάθε p D, όπου Ω = {z R m + z M}. Αρα η συνάρτηση Φ απεικονίζει το µετρικό χώρο D στο συµπαγή µετρικό χώρο Ω. Απο τη προηγούµενη πρόταση έχουµε ότι η Φ, άρα και η Φ έχει κλειστό γράφηµα. Άρα από το ϑεώρηµα του κλειστού γραφήµατος έχουµε ότι η Φ είναι συνεχής, εποµένως η συνάρτηση ήτησης είναι συνεχής στο p 0 και το ϑεώρηµα αποδείχθηκε. 1.3.2 Η πλειότιµη περίπτωση Επιστρέφουµε τώρα στη γενική περίπτωση, όπως ορίστηκε στην αρχή της παραγράφου. ηλαδή υποθέτουµε ότι ο χώρος αγαθών είναι ένας µερικά διατεταγµένος χώρος µε norm E το σύνολο κατανάλωσης ο ϑετικός κώνος E + του E, και E είναι ο χώρος τιµών. Για κάθε p E+, αυστηρά ϑετικό και κάθε πραγµατικό αριθµό w > 0 συµβολίζουµε µε φ(p, w) το σύνολο των σηµείων του B p,w στα οποία η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w. Πρόταση 1.20. Εστω ότι η σχέση προτίµησης είναι λογική και συνεχής και έστω ότι υπάρχει η αντιστοιχία ήτησης. Αν η είναι αυστηρά µονότονη, ή η είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, έχουµε : (ι) αν p n p, w n w και x n φ(p n, w n ) µε x n x, όπου για κάθε n, το p n E + είναι αυστηρά ϑετικό και w n > δ > 0, τότε p είναι αυστηρά ϑετικό και x φ(p, w), (ιι) για κάθε πραγµατικό αριθµό δ > 0, η αντιστοιχία ήτησης φ(p, w), όπου p E+ αυστηρά ϑετικό και w δ, έχει κλειστό γράφηµα. Απόδειξη. (ι) Υποθέτουµε ότι p n p, w n w και x n φ(p n, w n ) µε x n x, όπου p n E +, αυστηρά ϑετικό και w n > δ > 0. Τότε p E +.
1.3. Αντιστοιχία ήτησης 19 Θα δείξουµε ότι το p είναι αυστηρά ϑετικό και ότι x φ(p, w). Από τις υποθέσεις για τη σχέση προτίµησης έχουµε το x n του B pn,w n ανήκει στον εισοδηµατικό περιορισµό, Πρόταση 1.12 και 1.13. Εποµένως έχουµε p n (x n ) = w n w > 0. Επίσης έχουµε p n (x n ) p(x), εποµένως p(x) = w, άρα x B p,w. Θα δείξουµε ότι η παίρνει µέγιστη τιµή στο σύνολο B p,w στο σηµείο x. Για κάθε y B p,w έχουµε p(y) w. Επειδή w > 0, έχουµε p(λy) < w, για κάθε λ (0, 1). Υποθέτουµε ότι λ (0, 1) και ότι το λ είναι σταθερό. Επειδή p n p υπάρχει n 0 τέτοιο ώστε p n (λy) < w, για κάθε n n 0. Θα δείξουµε ότι υπάρχει n 1 N ώστε p n (λy) < w n, για κάθε n n 1. Αν υποθέσουµε ότι ο ισχυρισµός αυτός δεν είναι αληθής, υπάρχει ακολου- ϑία n r του N ώστε p nr (λy) w nr, για κάθε r. Παίρνουµε όρια και έχουµε p(λy) w, άτοπο. Άρα ο ισχυρισµός είναι αληθής. Εποµένως άρα λy B pn,w n για κάθε n n 1, λy x n, για κάθε n n 1. Επειδή η σχέση προτίµησης είναι συνεχής έχουµε ότι x λy. Εποµένως για κάθε λ (0, 1) έχουµε ότι x λy. Αν πάρουµε όρια όταν λ συγκλίνει στο 1, από την συνέχεια της έχουµε ότι x y. Άρα η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x και εποµέµως x φ(p, w). Επίσης από τη Πρόταση 1.12 και 1.13 έχουµε ότι το p είναι αυστηρά ϑετικό, άρα ισχύει η (i). Από την (i) έχουµε επίσης ότι η αντιστοιχία ήτησης έχει κλειστό γράφη- µα.
20 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης Πρόταση 1.21. Εστω E = R m, και έστω ότι η σχέση προτίµησης είναι λογική και συνεχής. Υποθέτουµε ότι x n φ(p n, w n ), όπου p n >> 0 και w n > δ > 0 για κάθε n και υποθέτουµε επίσης ότι p n q. Αν η είναι αυστηρά µονότονη ή η είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, έχουµε : (i) αν q i > 0, όπου q i η i-συντεταγµένη του q, η ακολουθία {x i n} της i-συντεταγµένης των x n είναι ϕραγµένη, (ii) αν το q δεν είναι αυστηρά ϑετικό, η ακολουθία {x n } δεν έχει ϕραγ- µένη υπακολουθία. Απόδειξη. (i) Από τη Πρόταση 1.12 και 1.13, έχουµε ότι το x n είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, εποµένως p n x n = w n w. Άρα για κάθε n > n 0. Εποµένως p n x n < 2w, p i n x i n < 2w για κάθε n > n 0, όπου p i n είναι η i-συντεταγµένη του p n. Επειδή p i n q i > 0 έχουµε ότι p i n > 1 2 q i για κάθε n > n 1 από όπου έχουµε 0 < x i n < 4w q i, τελικά για κάθε n. Άρα ισχύει η (i). Αν υποθέσουµε ότι δεν ισχύει η (ii), η {x n } έχει συγκλίνουσα υπακολου- ϑία που συµβολίζουµε πάλι µε {x n }. Ετσι αν υποθέσουµε ότι x n x, µπορούµε να υποθέσουµε ότι w n w > 0, γιατί διαφορετικά περνούµε πάλι σε υπακολουθία. Από την Πρόταση 1.20, έχουµε ότι q >> 0, άτοπο, άρα ισχύει η (ii). Θεώρηµα 1.22. Εστω ότι E = R m και έστω ότι η σχέση προτίµησης είναι λογική και συνεχής. Αν η είναι αυστηρά µονότονη ή η είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, η αντιστοιχία ήτησης είναι upper hemicontinuous.
1.3. Αντιστοιχία ήτησης 21 Απόδειξη. Γνωρίζουµε ότι σε πεπερασµένες οικονοµίες αν η σχέση προτίµησης είναι άνω ηµισυνεχής, υπάρχει η αντιστοιχία ήτησης. Εστω p 0 εσωτερικό σηµείο του R m και w 0 > 0. Θα δείξουµε ότι η συνάρτηση φ(p, w) είναι upper hemicontinuous στο σηµείο (p 0, w 0 ). Εστω α η µικρότερη και ϐ η µεγαλύτερη συντεταγµένη του p 0. Τότε α > 0 και το p 0 είναι εσωτερικό σηµείο του διατεταγµένου διαστήµατος [ 1 αe, 2ϐe] του 2 R m +, όπου e = (1, 1,..., 1). Επίσης υποθέτουµε ότι 0 < γ < w 0 < 2γ. Θα δείξουµε ότι η φ(p, w) είναι upper hemicontinuous στο σύνολο D = [ 1 2 αe, 2ϐe] [γ, 2γ]. Επειδή το (p 0, w 0 ) είναι εσωτερικό σηµείο του D ϑα έχουµε τότε ότι η αντιστοιχία ήτησης είναι upper hemicontinuous στο (p 0, w 0 ). Για κάθε (p, w) D και κάθε x φ(p, w) έχουµε Επίσης έχουµε ότι Εποµένως p(x) = w 2γ. p(x) 1 2 αe(x) = 1 2 α x 1. x 1 4γ α. Άρα η αντιστοιχία ήτησης, περιορισµένη στο D, παίρνει τιµές στο συµπαγές σύνολο Ω = {z R m + z 1 4γ α } του R m +. Από τη Πρόταση 1.20 έχουµε επίσης ότι το γράφηµα της αντιστοιχίας ήτησης περιορισµένης στο D είναι κλειστό, άρα από το ϑεώρηµα του κλειστού γραφήµατος για πλειότιµες απεικονίσεις, έχουµε ότι η αντιστοιχία ήτησης είναι upper hemicontinuous στο D και το ϑεώρηµα αποδείχθηκε. Γνωρίζουµε ότι κάθε upper hemicontinuous συνάρτηση είναι συνεχής, εποµένως έχουµε : Πόρισµα 1.23. Εστω ότι E = R m και έστω ότι η σχέση προτίµησης είναι λογική και συνεχής. Αν η είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, η συνάρτηση ήτησης είναι συνεχής.
22 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης ίνουµε παρακάτω µια εφαρµογή σε πεπερασµένες οικονοµίες. Ασκηση 1.24. Εστω οικονοµία ανταλλαγής µε δύο αγαθά και έναν καταναλωτή µε αρχικό αγαθό ω = (3, 9) και συνάρτηση χρησιµότητας u(x, y) = xy 2. Προσδιορίστε τη συνάρτηση ήτησης του καταναλωτή. Απόδειξη. Εστω p >> 0. Το σύνολο προϋπολογισµού είναι B ω (p) = {(x, y) R 2 + p 1 x + p 2 y 3p 1 + 9p 2 }. Εχουµε το πρόβληµα : µεγιστοποίησε τη συνάρτηση u 1 (xy) = xy 2 όταν (x, y) B ω (p). Επειδή η u είναι συνεχής και αυστηρά µονότονη, το πρόβληµα έχει λύση (x, y) που λαµβάνεται στον εισοδηµατικό περιορισµό, εποµένως έχουµε να µεγιστοποιήσουµε τη συνάρτηση u(xy) = xy 2 υπό τους περιορισµούς p 1 x + p 2 y = 3p 1 + 9p 2, x, y 0. Λύνουµε ως προς y και έχουµε το πρόβληµα : Μεγιστοποιήσουµε τη συνάρτηση Εχουµε f (x) = x( 3p 1 + 9p 2 p 1 x p 2 ) 2, όταν x [0, 3p 1 + 9p 2 p 1 ]. f (x) = (3p 1 + 9p 2 p 1 x)(3p 1 + 9p 2 3p 1 x) p2 2, άρα x 1 = 3p 1+9p 2 p 1, x 2 = 3p 1+9p 2 3p 1 είναι οι ϱίζες της f (x) µε x 2 < x 1. Το τριώνυµο είναι αρνητικό εντός των ϱιζών, άρα η f (x) είναι αύξουσα στο [0, x 2 ] και ϕθίνουσα στο [x 2, x 1 ], δηλαδή µεγιστοποιείται στο x 2. Άρα η u(x, y) µεγιστοποιείται στο σηµείο ( 3p 1+9p 2 3p 2, 2p 1+6p 2 p 2 ), που είναι το ητού- µενο αγαθό. Εποµένως η συνάρτηση ήτησης είναι φ(p) = ( 3p 1 + 9p 2 3p 2, 2p 1 + 6p 2 p 2 ), όπου p = (p 1, p 2 ) >> 0.
1.3. Αντιστοιχία ήτησης 23 Ασκηση 1.25. Σε οικονοµία µε δύο αγαθά και έναν καταναλωτή µε συνά- ϱτηση χρησιµότητας u(x, y) = x + y και αρχικό αγαθό ω = (3, 2) προσδιορίστε την αντιστοιχία ήτησης και εξετάστε αν έχει συνεχή επιλογή. x(p), p R 2, p >> 0 Απόδειξη. Εστω p = (p 1, p 2 ) >> 0. Τότε τα σηµεία τοµής του εισοδηµατικού περιορισµού {(x, y) R 2 + : p 1 x + p 2 y = 3p 1 + 2p 2 } µε τις ευθείες x = 0, y = 0 είναι τα σηµεία (0, 3p 1 + 2p 2 p 2 ), ( 3p 1 + 2p 2 p 1, 0). Παρατηρούµε ότι η αντιστοιχία ήτησης είναι η ακόλουθη x(p) = (3 + 2 p 2 p 1, 0), αν p 2 > p 1, x(p) = (0, 2 + 3 p 1 p 2 ), αν p 1 > p 2, x(p) = {(x, y) R 2 +, x + y = 5} αν p 1 = p 2. Εστω f (p) τυχαία επιλογή της x(p). Τότε f (p) x(p) για κάθε p >> 0. Υποθέτουµε ότι η f είναι συνεχής. Παρατηρούµε ότι οι ακολουθίες p n = (1 + 1 n, 1), q n = (1, 1 + 1 n ) συγκλίνουν στο (1, 1) και οι ακολουθίες των τιµών τους f (p n ) = (0, 2 + 3(1 + 1 )) (0, 5), n f (q n ) = (3 + 2(1 + 1 ), 0) (5, 0). n συγκλίνουν σε διαφορετικά όρια. Άρα η f δεν είναι συνεχής στο (1, 1) και η x(p) δεν έχει συνεχή επιλογή.