papost/

ΚΥΜΑΤΙΚΗ-Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Δρ. Παντελής Σ. Αποστολόπουλος http://users.uoa.gr/ papost/ papost@phys.uoa.gr, papost@teiion.gr ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2018-2019

Βιβλιογραφία 1 Hugh D. Young and Roger A Freedman, "ΦΥΣΙΚΗ ΤΟΜΟΣ Β : Πανεπιστημιακή Φυσική με Σύγχρονη Φυσική", Εκδόσεις Παπαζήση 2 H. J. Pain, "Φυσική των Ταλαντώσεων και των Κυμάτων", Εκδόσεις Συμμετρία, Μετάφραση Λ. Απέκης, Η. Κατσούφης, Κ. Παρασκευαϊδης και Κ. Χριστοδουλίδης 3 Frank Crawford Jr., "Κυματική-Berkeley", McGraw-Hill, Συντονιστής Μετάφρασης Γ. Βουδούρης 4 Raymond A. Serway, "PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS-ΤΟΜΟΣ ΙΙΙ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ ", Συντονιστής Μετάφρασης Λεωνίδας Ρεσβάνης

Υλη Φυσικής ΙΙ 1 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ.) Επαλληλία Α.Α.Τ. Α.Α.Τ. με απόσβεση (Φθίνουσες Ταλαντώσεις) Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις. Συζευγμένες Ταλαντώσεις 2 ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Η κυματική εξίσωση. Ανάκλαση και Μετάδοση Κυμάτων χορδής σε ένα σύνορο. Συντελεστές Ανάκλασης και Μετάδοσης έντασης. Στάσιμα Κύματα. Φασματικό Θεώρημα Fourier. Κυματοομάδες και Ομαδική Ταχύτητα

3 ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Ιδανική (χωρίς απώλειες) γραμμή μεταφοράς Σύνθετη αντίσταση γραμμής μεταφοράς Διάχυση και απορρόφηση ενέργειας στα κύματα 4 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Η έννοια του Η/Μ κύματος Ενέργεια Η/Μ κυμάτων και αλληλεπίδρασή τους με την ύλη Πόλωση Ανάκλαση και διέλευση Η/Μ σε διαχωριστική επιφάνεια και αγωγό (κάθετη πρόσπτωση) 5 ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Η Αρχή του Fermat Οι νόμοι της Ανάκλασης και της Διαθλάσης Συμβολή και Περίθλαση Η/Μ κυμάτων

Σε μεγάλο ποσοστό η περιοδικότητα αντιπροσωπεύει ένα χαρακτηριστικό που συναντάται σε μια ευρεία ποικιλία φυσικών φαινομένων, των οποίων η μελέτη συντέλεσε στη βαθύτερη κατανόηση των νόμων που διέπουν τη Φύση με την εμφάνιση μιας μεγάλης επιστημονικής επανάστασης (Κυματομηχανική Κβαντομηχανική) θεμέλιο της οποίας ήταν η Θεωρία των Ταλαντώσεων και των Κυμάτων. Ορισμός Κάθε φυσικό φαινόμενο ή σύστημα το οποίο έχει την ιδιότητα, τα φυσικά μεγέθη τα οποία το περιγράφουν, να λαμβάνουν τιμές μεταξύ δύο ακραίων καταστάσεων και γύρω από μία καθορισμένη τιμή αναφοράς σε σταθερά χρονικά διαστήματα καλείται περιοδικό. Μαθηματικό εκκρεμές δηλαδή σώμα το οποίο αιωρείται και είναι πακτωμένο στο άκρο άκαμπτης ράβδου ή νήματος Μία μάζα η οποία είναι στερεωμένη στο άκρο ελατηρίου και παλινδρομεί μεταξύ ακραίων θέσεων ( x 0, x 0 ) Ενα ηλεκτρικό κύκλωμα με πηνίο αυτεπαγωγής L και πυκνωτή χωρητικότητας C

Εξίσωση Α.Α.Τ. Στα μηχανικά συστήματα (όπως θα δούμε αυτή η περιγραφή προσαρμόζεται αποτελεσματικά και σε μη μηχανικά συστήματα) επιδρούν δυνάμεις οι οποίες τείνουν να επαναφέρουν ένα σώμα στην αρχική του θέση. Λέμε ότι ένα σώμα μάζας m εκτελεί Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ.) με ένα βαθμό ελευθερίας όταν ικανοποιείται η εξίσωση FΟλικό = i Fi = Dx δηλαδή όταν η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι αντίρροπη αλλά και ανάλογη με τη μετατόπιση. Η FΟλικό καλείται δύναμη επαναφοράς ενώ D είναι η σταθερά επαναφοράς ή δυσκαμψίας του συστήματος. Χρησιμοποιώντας τις αλγεβρικές τιμές της ανωτέρω σχέσης και θυμίζοντας το 2ο Νόμο του Νεύτωνα λαμβάνουμε mẍ m d 2 x dt 2 = Dx ẍ = D m x (1)

Εξίσωση Α.Α.Τ. Η (1) είναι η θεμελιώδης εξίσωση της Α.Α.Τ. Θέτοντας D m = ω2 γράφεται ẍ + ω 2 x = 0 (2) Αποτελεί μία Διαφορική Εξίσωση 2ας τάξης της οποίας η γενική λύση είναι της μορφής x(t) = A 1 cos ωt + A 2 sin ωt (3) όπου A 1, A 2 είναι σταθερές οι οποίες μπορούν να προσδιοριστούν. Συγκεκριμένα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δύο άλλες σταθερές x 0, φ 0 προκειμένου να φέρουμε την (3) σε πιο κομψή μορφή. Πράγματι αν θέσουμε A 1 = x 0 sin φ 0, A 2 = x 0 cos φ 0 παίρνουμε x(t) = x 0 sin φ 0 cos ωt + x 0 cos φ 0 sin ωt x(t) = x 0 sin(ωt + φ 0 ) (4) Από την τελευταία σχέση διαπιστώνουμε ότι η φ 0 παίζει το ρόλο της αρχικής φάσης της ταλάντωσης ενώ η x 0 καλείται πλάτος της ταλάντωσης.

1 Σημείο ισορροπίας (ευσταθές σημείο) της Α.Α.Τ. είναι το σημείο ελάχιστης Δ.Ε. και μέγιστης Κινητικής Ενέργειας. Ουσιαστικά ταυτίζεται με το σημείο μηδενικής απομάκρυνσης από τη Θέση Ισορροπίας (Θ.Ι.). 2 Το πλάτος της ταλάντωσης αποτελεί τη μέγιστη (ή ελάχιστη) τιμή της απομάκρυνσης από τη Θ.Ι. 3 Η αρχική φάση δείχνει από ποια απόσταση από τη Θ.Ι. ξεκινάει το φυσικό σύστημα να ταλαντώνεται (το οποίο είναι ισοδύναμο με την επιλογή της χρονικής στιγμής από την οποία ξεκινάμε να μελετάμε το φαινόμενο) Η ταχύτητα u(t) του ταλαντούμενου σώματος προκύπτει από την παραγώγιση της (4) u(t) = ẋ dx dt = x 0ω cos (ωt + φ 0 ) = u 0 cos (ωt + φ 0 ) (5) όπου u 0 = x 0 ω είναι η μέγιστη ταχύτητα του σώματος.

Η επιτάχυνση a(t) του ταλαντούμενου σώματος προκύπτει από την παραγώγιση της (5) a(t) = ẍ = u du dt = x 0ω 2 sin (ωt + φ 0 ) = a 0 sin (ωt + φ 0 ) (6) όπου a 0 = x 0 ω 2 είναι η μέγιστη επιτάχυνση του σώματος. Από τις τριγωνομετρικές ταυτότητες [ π ] sin 2 + (ωt + φ 0) = cos (ωt + φ 0 ) συμπεραίνουμε ότι sin [π + (ωt + φ 0 )] = sin (ωt + φ 0 ) Η απομάκρυνση και η ταχύτητα έχουν Διαφορά Φάσης δφ = π 2 Η απομάκρυνση και η επιτάχυνση έχουν Δ.Φ. δφ = π Η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν Δ.Φ. δφ = π 2

Διερεύνηση της σχέσης x(t) = x 0 sin(ωt + φ 0 ) για φ 0 = 0 Προκειμένου να ερμηνεύσουμε, από φυσικής πλευράς, τη σχέση x(t) = x 0 sin(ωt + φ 0 ) είναι χρήσιμο να τη μελετήσουμε για διάφορες τιμές του χρόνου. Πρώτα όμως δίνουμε τους ακόλουθους ορισμούς: Ορισμός 1 Ονομάζουμε περίοδο T μίας Α.Α.Τ. (ουσιαστικά οποιουδήποτε περιοδικού φαινομένου) το χρονικό διάστημα που απαιτείται για την ολοκλήρωση ενός κύκλου δηλαδή το χρόνο που χρειάζεται το σύστημα να επανέλθει στην αρχική του θέση. Ορισμός 2 Καλούμε συχνότητα v μίας Α.Α.Τ. το πλήθος των κύκλων που πραγματοποιεί το σώμα στη μονάδα του χρόνου. Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι η περίοδος και η συχνότητα συνδέονται με τη σχέση v = 1 T. Μονάδα μέτρησης της συχνότητας είναι το 1Hz = sec 1. Με βάση τους παραπάνω ορισμούς, σε μία Α.Α.Τ. ένας πλήρης κύκλος φ = 2π πραγματοποιείται σε χρόνο t = T. Συνεπώς ω = 2πv και η σταθερά ω αντιπροσωπεύει τη γωνιακή ταχύτητα της Α.Α.Τ.

Διερεύνηση της σχέσης x(t) = x 0 sin(ωt + φ 0 ) για φ 0 = 0 Θέτοντας για ευκολία φ 0 = 0 καταλήγουμε στα ακόλουθα συμπεράσματα που βρίσκονται στον Πίνακα 1. Χρόνος t (sec) 0 Απομάκρυνση x (m) 0 x 0 0 x 0 0 x= x 0 sinωt T 4 Πίνακας 1 T 2 3T 4 T x 0 t=3t/4 ωt= 3π/2 0 t=t/4 ωt= π/2 t=t/2 ω t=π T=T ωt=2π t (sec) -x 0 T Σχήμα 1

Διερεύνηση της σχέσης x(t) = x 0 sin(ωt + φ 0 ) για φ 0 0 και φ 0 > 0 Στην περίπτωση που η αρχική φάση είναι μη μηδενική τότε η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης συναρτήσει του χρόνου είναι πανομοιότυπη αλλά έχει κυλισθεί παράλληλα στον άξονα xx προς τα αριστερά όπως φαίνεται και στο Σχήμα 2. Ως φυσική ερμηνεία του γεγονότος αυτού θεωρούμε ότι υπάρχει χρονική στιγμή t 0 ώστε φ 0 = ωt 0 επομένως x(t) = x 0 sin(ωt + ωt 0 ) x(t) = x 0 sin ω(t + t 0 ) x= x 0sin( ωt+ φ 0 ) t= Τ(1/ 4-φ /2π) ω t+φ =π 0 0 x 0 x 0sinφ 0 0 t=t/4 ωt= π/2 t=t/2 ω t=π t=3t/4 ωt= 3π/2 T=T ωt=2π t (sec) -x 0 T Σχήμα 2

Άσκηση 1 Θεωρούμε μία μικρή μάζα m η οποία μπορεί να αιωρείται καθώς είναι στερεωμένη σε νήμα θ μήκους l. Εκτρέπουμε τη μάζα κατά γωνία θ και T l αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. α) Τι κίνηση θα εκτελέσει η μάζα; β) Για ποιές γωνίες το σώμα θα εκτελέσει Α.Α.Τ.; γ) Υπολογίσατε την s θ B περίοδο της Α.Α.Τ. x θ Λύση α) Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στη μάζα. Αναλύουμε τις δυνάμεις σε B y B συνιστώσες κάθετες και παράλληλες με τη διεύθυνση του νήματος. Στη διεύθυνση yy δεν υπάρχει κίνηση και ασκούνται η συνιστώσα του Σχήμα 3 βάρους B y και η τάση του νήματος T.. Η συνισταμένη αυτών των δυνάμεων παίζει το ρόλο της κεντρομόλου δυνάμεως και το σώμα θα εκτελούσε ουσιαστικά κυκλική κίνηση.

Η τροχιά του σώματος είναι κυκλική και το τόξο s είναι μέρος ενός κύκλου με ακτίνα l. Κάθε κυκλικό τόξο αντιστοιχεί σε μία συγκεκριμένη γωνία η οποία στην περίπτωση που εξετάζουμε είναι θ και ισχύει s = lθ. Στο άξονα xx ασκείται μόνο η συνιστώσα του βάρους B x = mg sin θ. Άρα m d 2 s dt m s = mg 2 sin θ l θ = g sin θ θ = g l sin θ Η γωνία εκτροπής θ παίζει το ρόλο της απομάκρυνσης. Η μάζα m εκτελεί περιοδική κίνηση αλλά όχι Α.Α.Τ. β) Ας αναπτύξουμε τη συνάρτηση του ημιτόνου σε σειρά Taylor (η θ μετριέται σε ακτίνια και n! 1 2 3... n) sin θ = θ θ3 3! + θ5 5! θ7 7! +... Εάν η γωνία θ είναι αρκετά μικρή τότε οι όροι θ 3, θ 5,... είναι σχεδόν ίσοι με το μηδέν. Π.χ. αν θ = 0, 1rad 5 o τότε θ 3 = 0, 001, θ 5 = 0, 00001 επομένως για γωνίες εκτροπής θ < 5 o ισχύει με ικανοποιητική ακρίβεια sin θ θ.

Συμπεραίνουμε ότι η δυναμική εξίσωση στην οποία καταλήγουμε είναι της μορφής θ = g l θ δηλαδή το σώμα για γωνίες εκτροπής θ < 5 o εκτελεί Α.Α.Τ. Παρατηρούμε ότι η γωνιακή συχνότητα ω 2 = g l δηλαδή ανεξάρτητη από τη μάζα του σώματος που ταλαντώνεται. γ) Από τη θεμελιώδη εξίσωση της Α.Α.Τ. δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι ω 2 = g l 4π T = g 2 l T = 2π l g δηλαδή η περίοδος εξαρτάται μόνο από το μήκος του νήματος και την επιτάχυνση της βαρύτητας!

Άσκηση 2 Θεωρούμε μία Α.Α.Τ. της οποίας η απομάκρυνση δίνεται από τη σχέση x = x 0 sin(ωt + φ 0 ). Εάν τη χρονική στιγμή t = 0 η απομάκρυνση είναι x 1 και η ταχύτητα ẋ = u 1 να δείξετε ότι tan φ 0 = ωx 1 u 1, x 0 = x 2 1 + u2 1 ω 2 Λύση Στην εξίσωση που περιγράφει την Α.Α.Τ. αντικαθιστώντας την τιμή t = 0 και γνωρίζοντας ότι η απομάκρυνση εκείνη τη χρονική στιγμή είναι x 1 λαμβάνουμε x 1 = x 0 sin φ 0. Επιπλέον η ταχύτητα δίνεται από τη σχέση u = u 0 cos(ωt + φ 0 ) = x 0 ω cos(ωt + φ 0 ) (όπως προκύπτει από την παραγώγιση της σχέσης για την απομάκρυνση). Για t = 0 έχουμε από την εκφώνηση ότι u = u 1 = x 0 ω cos φ 0. Διαιρώντας κατά μέλη λαμβάνουμε x 1 = x 0 sin φ 0 u 1 = x 0 ω cos φ 0 1 ω tan φ 0 = 1 ω sin φ 0 cos φ 0 = x 1 u 1 tan φ 0 = ωx 1 u 1

Προκειμένου να υπολογίσουμε το πλάτος της ταλάντωσης x 0 στο δεξί μέλος των δύο προηγούμενων σχέσεων αφήνουμε μόνο τη σταθερά x 0 και την αρχική φάση φ 0 και τετραγωνίζουμε. Αθροίζοντας τις προκύπτουσες εξισώσεις, εφαρμόζοντας το θεμελιώδες θεώρημα της τριγωνομετρίας και λύνοντας ως προς x 0 λαμβάνουμε x 1 = x 0 sin φ 0 x 1 = x 0 sin φ 0 u u 1 = x 0 ω cos φ 1 x 1 2 = x 0 2 sin2 φ ( 0 0 ω = x 0 cos φ u1 ) 2 0 ω = x0 2 cos2 φ 0 x 2 0 sin2 φ 0 +x 2 0 cos2 φ 0 = x 2 1 + x 2 0 = x 2 1 + ( u1 ) 2 ( ) x 2 0 sin 2 φ 0 + cos 2 φ 0 = x 2 1 + ω }{{} 1 ( u1 ) 2 x0 = ω x 2 1 + ( u1 ω ) 2 Άθροιση ( u1 ω ) 2

Άσκηση 3 Σώμα μάζας m = 2Kg εκτελεί Α.Α.Τ. με πλάτος x 0 = 0, 5m. Οταν η απομάκρυνσή του είναι x 1 = 0, 3m η ταχύτητά του είναι u 1 = 4m/s. Υπολογίσατε τη σταθερά επαναφοράς D και την ταχύτητα του σώματος u 2 όταν η απομάκρυνσή του είναι x 2 = 0, 4m. Λύση Υποθέτουμε ότι η απομάκρυνση του σώματος ως συνάρτηση του χρόνου είναι x = x 0 sin(ωt + φ 0 ). Η ταχύτητα είναι u = u 0 cos(ωt + φ 0 ) = x 0 ω cos(ωt + φ 0 ). Τη χρονική στιγμή t 1 έχουμε x 1 = 0, 3m συνεπώς x 1 = x 0 sin (ωt 1 + φ 0 ) 0, 3m = 0, 5m sin (ωt 1 + φ 0 ) sin (ωt 1 + φ 0 ) = 3 5 Τετραγωνίζοντας την τελευταία σχέση και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα sin 2 (ωt 1 + φ 0 ) = 1 cos 2 (ωt 1 + φ 0 ) υπολογίζουμε εύκολα cos(ωt 1 + φ 0 ) = 4 5.

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση για την ταχύτητα τις τιμές των μεγεθών λαμβάνουμε 4m/s = 0, 5m ω 4 5 ω = 10rad/s Ομως ω 2 = D m συνεπώς D = 200N/m. Τελικά το πλάτος της ταχύτητας θα είναι u 0 = x 0 ω = 5m/s. Η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 2 υπολογίζεται παρόμοια. Πράγματι δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι sin(ωt 2 + φ 0 ) = 4 και cos(ωt 5 2 + φ 0 ) = 3 άρα 5 u 2 = 5m/s 3 = 3m/s. 5

Ενέργεια στην Α.Α.Τ. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις για την απομάκρυνση και την ταχύτητα λαμβάνουμε για τη Δυναμική Ενέργεια (Δ.Ε.) U και την Κινητική Ενέργεια (Κ.Ε.) K του συστήματος E (Joule) U U = x Dxdx = 1 2 Dx 2, E K = 1 2 mu2 K E 2 E 2 0 -x 0 0 x 0 x (m) E = U + E K = 1 2 Dx 2 + 1 2 mu2 Σχήμα 4. E = 1 2 Dx 2 0 sin2 (ωt + φ 0 ) + 1 2 mx 2 0 ω 2 cos 2 (ωt + φ 0 ) E = 1 2 Dx 2 0 sin2 (ωt + φ 0 ) + 1 2 Dx 2 0 cos2 (ωt + φ 0 ) = 1 2 Dx 2 0 = 1 2 mx 2 0 ω 2 συνεπώς η ολική ενέργεια διατηρείται όπως συμβαίνει σε ένα οποιοδήποτε απομονωμένο σύστημα.

Άσκηση 4 Θεωρούμε το κύκλωμα του Σχήματος 5 το οποίο αποτελείται από έναν φορτισμένο πυκνωτή χωρητικότητας C και ένα πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L. Αρχικά ο διακόπτης δ είναι ανοικτός και ο πυκνωτής έχει τάση V C στους οπλισμούς του. Να δείξετε ότι μετά το κλείσιμο το διακόπτη το κύκλωμα θα εκτελέσει ηλεκτρική ταλάντωση. Επιπλέον να υπολογίσετε τη συχνότητα και τη συνολική ενέργεια του ταλαντούμενου συστήματος. Σχήμα 5. Λύση Αξιοποιώντας το 2ο Κανόνα του Kirchho λαμβάνουμε V L V C = 0 L di dt + Q 2 C = 0 Ld Q dt + Q 2 C = 0 d 2 Q dt = 1 2 LC Q Q = 1 LC Q

Στην τελευταία σχέση χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι η τάση στα άκρα του πηνίου (λόγω Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας) αποκτά αντίθετης πολικότητας τάση σε σχέση με τον πυκνωτή. Επιπλέον γνωρίζουμε ότι η τάση του πηνίου δίνεται από τη σχέση V L = L di dt. Παρατηρούμε ότι η τελική (δυναμική) εξίσωση είναι πανομοιότυπη με τη θεμελιώδη εξίσωση της Α.Α.Τ. μόνο που στη θέση της απομάκρυνσης έχουμε το φορτίο. Είναι προφανές ότι το κύκλωμα εκτελεί Α.Α.Τ. (Ηλεκτρική Ταλάντωση) της οποίας το ολικό φορτίο έχει τη μορφή Q = Q 0 sin(ωt + φ 0 ) Η περίοδος και η συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης είναι ω 2 = 1 LC 1 4π2 T = 1 2 LC v 1 = T = 2π LC Το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα υπολογίζεται από την παραγώγιση της σχέσης για το φορτίο I = dq dt = Q 0ω cos (ωt + φ 0 ) = I 0 cos (ωt + φ 0 )

Η ηλεκτρική Δ.Ε. η οποία είναι αποθηκευμένη στον πυκνωτή είναι ως γνωστόν U = 1 ενώ η μαγνητική Δ.Ε. του πηνίου είναι 2 U L = t 0 Q 2 C t VIdt = L 0 di I dt Idt = L Συνεπώς η ολική ενέργεια του συστήματος είναι E = 1 2 0 IdI = 1 2 LI 2 = 1 2 L Q 2 Q 2 C + 1 2 L Q 2 = Q2 0 2C sin2 (ωt + φ 0 )+ Lω2 Q0 2 cos 2 (ωt + φ 0 ) 2 E = 1 2C Q2 0 sin2 (ωt + φ 0 ) + 1 2C Q2 0 cos2 (ωt + φ 0 ) = Q2 0 2C ( ω 2 = 1 ) LC

Αναλογίες Μηχανικών και Ηλεκτρικών Ταλαντώσεων Τη στιγμή κατά την οποία κλείνει ο διακόπτης δ ο πυκνωτής αρχίζει και εκφορτίζεται προσφέροντας στο κύκλωμα ρεύμα έντασης I (κίνηση φορτίων). Ως άμεσο αποτέλεσμα επάγεται μαγνητικό πεδίο (μεταβαλλόμενο με το χρόνο) στο εσωτερικό του πηνίου και η ένταση του Μ.Π. λαμβάνει τη μέγιστη τιμή του όταν ο πυκνωτής έχει εκφορτιστεί πλήρως (άρα και μέγιστη τιμή του ρεύματος). Στη συνέχεια, η μεταβολή της έντασης του Μ.Π. έχει ως αποτέλεσμα της εμφάνισης τάσης από αυτεπαγωγή V L = L di dt και ο πυκνωτής αρχίζει να φορτίζεται εκ νέου ενώ το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα μειώνεται ως τον μηδενισμό του όταν ο πυκνωτής έχει φορτιστεί πλήρως. Προφανώς υπάρχει εναλλαγή στην ενέργεια του συστήματος δηλαδή η ηλεκτρική Δ.Ε. μετατρέπεται σε μαγνητική Δ.Ε. και αντιστρόφως ακριβώς όπως συμβαίνει στις Μηχανικές ταλαντώσεις.

Οι ομοιότητες (και ουσιαστικά η ισοδυναμία στη φυσική περιγραφή) μεταξύ Μηχανικών και Ηλεκτρικών Ταλαντώσεων γίνονται αντιληπτές εάν προβούμε στις αντιστοιχίες που παρουσιάζονται στον Πίνακα 2. ΜΗΧ. x u a F m D Κ.Ε. Δ.Ε. ΗΛ. Q I Αυτ. di dt V L L di dt L C 1 U L U C Πίνακας 2 Παρόλο που η ανωτέρω αντιστοιχία φαίνεται, με την πρώτη ματιά, αυθαίρετη κάθε άλλο παρά τέτοια είναι. Π.χ. η αντιστοίχηση της ταχύτητας u και του ρεύματος I είναι καθόλα άμεση αφού το ρεύμα είναι κίνηση φορτίων ταχύτητας u e (όπως έχουμε δει στο Ηλεκτρομαγνητισμό) τα οποία δημιουργούν πυκνότητα ρεύματος J. Επίσης η Δ.Ε. του πυκνωτή μπορεί άμεσα να αντιστοιχηθεί με τη Δ.Ε. μίας σημειακής μάζας στην οποία επιδρά μία δύναμη αφού ο πυκνωτής επάγει Η.Π. το οποίο ασκεί σε κάθε φορτίο που βρίσκεται στους οπλισμούς του και στο εσωτερικό αυτών, τη δύναμη Coulomb.

Απομάκρυνση ως Διάνυσμα και Ταλάντωση ως Κυκλική Κίνηση Σημειακής Μάζας Θεωρούμε έναν κύκλο με ακτίνα x 0 (ίση με το πλάτος της ταλάντωσης) και το διάνυσμα y το οποίο ορίζεται από την αρχή των αξόνων O και κάποιο σημείο πάνω στον κύκλο όπως φαίνεται στο Σχήμα 6. Είναι προφανές ότι το μέτρο του διανύσματος y ισούται με το πλάτος της ταλάντωσης. x= x 0 sin(ωt+φ) ωt 1 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t (sec) -x 0 Σχήμα 6

Η κατάσταση αυτή είναι πανομοιότυπη με την ομαλή κυκλική κίνηση μίας σημειακής μάζας της οποίας το διάνυσμα μετατόπισης ισούται με y. Μια οποιαδήποτε χρονική, έστω t, η γωνία που έχει διαγράψει η σημειακή μάζα (ισοδύναμα το διάνυσμα y) είναι φ = ωt. Η προβολή του y στον άξονα yy ισούται με y sin ωt = x 0 sin ωt δηλαδή ίση με την απομάκρυνση του ταλαντούμενου σώματος την ίδια χρονική στιγμή. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι κάθε Α.Α.Τ. μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα διάνυσμα y μέτρου ίσου με το πλάτος της ταλάντωσης και το οποίο σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία ίση με φ = ωt. Η απομάκρυνση του ταλαντούμενου σώματος ταυτίζεται με την προβολή του διανύσματος y στον άξονα yy. Στην περίπτωση κατά την οποία έχουμε αρχική φάση φ 0 η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα y είναι φ = ωt + φ 0 και αντιπροσωπεύει τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα y με τον άξονα xx τη χρονική στιγμή t = 0