Μάθηµα 9 Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία Θεµατικές Ενότητες: 1 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Αθροίσµατος Γωνιών Εισαγωγή Γνωρίζουµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των 30 0, όως και των 45 0 Είναι δυνατόν, µέσω αυτών, να βρούµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των 15 0 και των 75 0 ; Η αάντηση είναι καταφατική και το «ώς», φαίνεται σε αυτά ου ακολουθούν Οι τύοι και οι αοδείξεις αυτών (Για τους ααιτητικούς) 1 συν ( α β ) συνα συνβ + ηµα ηµβ συν ( α+ β ) συνα συνβ ηµα ηµβ Proof: συν ( α + β ) συν [ α ( β) ] συνα συν ( β ) + ηµα ηµ ( β ) συνα συνβ ηµα ηµβ (1) 3 ηµ ( α+ β ) ηµα συνβ + συνα ηµβ Proof: (1) ηµ ( α+ β ) συν ( α+ β) συν α β συν α συνβ+ ηµ α ηµβ ηµα συνβ + συνα ηµβ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 101
4 ηµ ( α β ) ηµα συνβ συνα ηµβ Proof: ηµ ( α β ) ηµα [ + ( β )] ηµα συν ( β ) + συνα ηµ ( β ) (3) ηµα συνβ συνα ηµβ εφα+ εφβ 5 εφ( α+ β ) 1 εφα εφβ Proof: (1) ηµ ( α + β) ηµα συνβ + συνα ηµβ εφ( α + β ) συν ( α + β ) () συνα συνβ ηµα ηµβ ηµα ηµβ + σννα συνβ εφα+ εφβ ηµα ηµβ 1 εφα εφβ 1 ηµα συνβ + συνα ηµβ ηµα συνβ συνα ηµβ + συνα συνβ ηµα ηµβ συνα συνβ ηµα ηµβ εφα εφβ 6 εφ( α β ) 1 + εφα εφβ Proof: εφ( α β ) εφ εφα εφβ 1+ εφα εφβ [ α + ( β )] εφα+ εφ( β ) 1 εφα εφ( β ) (5) 7 8 σφα σφβ 1 σφ( α+ β ) σφβ+ σφα σφα σφβ+ 1 σφ( α β ) σφβ σφα ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 10
Λυµένες Ασκήσεις 1 Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του α+β, αν γνωρίζετε ότι ηµα3/5, συνβ-5/13, 0<α</, /<β< Λύση Έχουµε: 9 ηµ α+ συν α 1 συν α 1 ηµ α συν α 1 5 4 συνα δεκτο 16 5 συν α 5 4 συνα αορριτεται γιατι 0<α</ αρα συνα>0 5 Με την ίδια λογική, είναι: 5 ηµ β+ συν β 1 ηµ β 1 συν β ηµ β 1 ( ) 13 5 144 ηµ β 1 ηµ β 169 169 1 αορριτεται γιατι /<β<, αρα ηµβ>0 13 ηµβ 1 δεκτο 13 Άρα θα έχουµε: 3 5 4 1 33 ηµ ( α+ β ) ηµα συνβ + συνα ηµβ ( ) + 5 13 5 13 65 4 5 3 1 56 συν ( α+ β ) συνα συνβ ηµα ηµβ ( ) 5 13 5 13 65 33 ηµ ( α+ β ) 65 33 εφ( α+ β ) συν ( α+ β ) 56 56 65 56 συν ( α+ β ) 65 56 σφ( α+ β ) ηµ ( α+ β ) 33 33 65 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 103
Να λυθεί η εξίσωση εφχ+ εφ( + χ) (1) 4 Λύση Κατ` αρχάς, έχουµε τους εριορισµούς: χ κ + ( κ Ζ) + χ κ + χ κ + 4 4 Η (1) γράφεται: εφ + εφχ 4 1+ εφχ εφχ+ εφχ+ 1 εφ εφχ 1 εφχ 4 εφχ(1 εφχ) + 1+ εφχ (1 εφχ) + 1+ + 3 εφχ εφ χ εφχ εφχ εφ χ εφχ 3 εφχ εφ χ κ + 3 3 ( κ Ζ) εφχ 3 εφχ εφ( ) χ κ 3 3 3 Αν α, β, γ γωνίες τριγώνου, δείξτε ότι ισχύει ηµα+ ηµ ( β γ ) εφβ α συν ( β γ ) Λύση Αό υόθεση έχουµε: α+ β + γ α ( β + γ ) Εοµένως θα είναι ηµα ηµ [ ( β + γ )] ηµ ( β+ γ ) και το 1 ο σκέλος της αοδεικτέας γράφεται: ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 104
ηµα+ ηµ ( β γ ) ηµ ( β + γ ) + ηµ ( β γ ) ηµβ εφβ συν ( β γ ) συν ( β γ ) συνβ ηµβσυνγ + συνβηµγ + ηµβσυνγ συνβηµγ ηµβ συνβσυνγ + ηµβηµγ συνβ ηµβσυνγ ηµβ συνβσυνγ + ηµβηµγ συνβ + ηµβσυνγσυνβ ηµβσυνβσυνγ ηµ βηµγ 0 ηµβσυνγσυνβ ηµ βηµγ ηµβ ( συνγσυνβ ηµβηµγ ) 0 ηµβ 0 αδυνατο γιατι β γωνια τριγωνου συνγσυνβ-ηµβηµγ0 συν(β+γ)0 συν(-α)0 συνα0 συνα 0 α Ερωτήσεις τύου «Σωστού ή Λάθους» 1 Αν α+β,τότε δεν ισχύει ο τύος ( ) εφα+εφβ εφ α+β 1 εφα εφβ Σ Λ Ισχύεισυν4α συνα ηµ 4α ηµασυν3α συν α ηµ 3α ηµ α Σ Λ 3 Ισχύειηµ θ συνθ+συνθ ηµθηµθ συν 4θ συνθ ηµ 4θ Σ Λ 4 Αν α+β+γ,τότε ισχύει ηµ ( α+β) ηµ ( β+γ) ηµ ( γ+α ) ηµα ηµβ ηµγ Σ Λ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 105
Ερωτήσεις Πολλαλής Ειλογής ο ο ο ο ο 1 Η αράσταση συν68 συν 78 +συν συν1 συν 10 είναι ίση µε: Α 0 Β 1 Γ 1 1 Ε 4 ο ο Η αράσταση 10 0 ( 80) ο ( 0) συν συν +συν ηµ είναι ίση µε: Α συν 60 ο Β ηµ 70 ο Γ 3 Η αράσταση ( ) ( ) 3 1 ο Ε 4 ηµ x y συν y+συν x y ηµ y αριστάνει το: Α ηµ y Β ηµ x Γ συν y συν x 4 Αν οι εφα, εφβ είναι ρίζες της εξίσωσης είναι ίση µε : Α1 Β Γ 1 3 4x 3x 5 τότε η εφ( α+β ) 5 Αν εφ( α+β ) εφα, τότε για τις ειτρεόµενες τιµές των α και β η εφβ 1 3 είναι ίση µε : Α1 Β 0 Γ 1 Ε 3 Άλυτες ασκήσεις 7 7 1 Υολογίστε την τιµή της αράστασης συν συν + ηµ ηµ 1 1 1 1 0 0 0 0 Όµοια, την ηµ 110 ηµ 70 συν110 συν 70 0 0 0 0 3 Όµοια, την συν 0 ηµ 70 + ηµ 0 συν 70 17 4 17 4 4 Όµοια, τηνηµ συν συν ηµ 18 9 18 9 5 Όµοια την 7 εφ εφ 1 4 7 1+ εφ εφ 1 4 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 106
6 Όµοια την 0 0 εφ165 + εφ15 0 0 1 εφ165 εφ15 7 Αλοοιήστε την αράσταση συν 3 χσυν ( χ) ηµ 3 χηµ ( χ) 8 Όµοια την συν ( χ+ ) συνχ+ ηµ ( χ+ ) ηµχ 4 4 9 Όµοια την συν ( χ+ ) + συν ( χ ) 4 4 10 Όµοια την συν ( χ ) συν ( χ+ ) 4 4 11 Όµοια την ηµ χσυνχ+ συν χηµχ 1 Όµοια την ηµ ( χ+ ) συνχ συν ( χ+ ) ηµχ 6 6 13 Όµοια την 14 Όµοια την εφχ εφ χ 1+ εφχεφ χ εφ( + χ) + εφ( χ) 3 6 1 εφ( + χ) εφ( χ) 3 6 15 είξτε ότι ηµ ( χ+ ) + ηµ ( χ ) ηµχ 3 3 16 Υολογίστε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των 105 0 και των 195 0 ηµ ( α+ β ) 17 είξτε ότι εφα+ εφβ συνασυνβ ηµ ( α+ β ) 18 είξτε ότι σφα+ σφβ ηµαηµβ 19 Βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του α+β, αν γνωρίζετε ότι 3 4 3 3 συνα, ηµβ, < α <, < β < 5 5 0 Να λυθεί η εξίσωση ηµχ συν ( χ+ ) 6 1 Όµοια η εφ( χ α), αν ξέρετε ότι εφα - 3 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 107
είξτε ότι ηµ ( α β ) ηµ ( β γ ) ηµ ( γ α) + + 0 συνασυνβ συνβσυνγ συνγσυνα 3 Αν συν(α+β)0, δείξτε ότι ηµ(α+β)ηµα 4 Αν εφα - 3, λύστε στο [0, ] την εξίσωση ηµ(χ-α)-ηµ(χ+α) 5 Αν α+β/4, δείξτε ότι (1+εφα)(1+εφβ) 6 Λύστε στο [0, ] την εξίσωση εφ( + χ) εφ( χ) 3 4 4 7 Αν α, β, γ γωνίες τριγώνου, δείξτε ότι σφασφβ + σφβσφγ + σφγσφα 1 8 Αν α, β, γ γωνίες τριγώνου, δείξτε ότι συνα + συνβ + συνγ ηµβηµγ ηµγηµα ηµαηµβ 9 Αν α, β, γ γωνίες τριγώνου, δείξτε ότι συνα + συνβ + συνγ ηµβηµγ ηµγηµα ηµαηµβ Extra Άλυτες ασκήσεις 1) Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών: α) 105 ο β) 15 ο ) Να βρείτε τις τιµές των αραστάσεων: α) Ασυν50 ο συν0 ο +ηµ50 ο ηµ0 ο β) Βηµ80 ο συν10 ο +συν80 ο ηµ10 ο γ) Γ 5 εφ εφ 9 9 5 1+ εφ εφ 9 9 δ) ηµ80 ο συν0 ο ηµ10 ο ηµ160 ο 3) Να αλοοιήσετε τις εόµενες αραστάσεις: α) Α συν + x συν x -ηµ + x ηµ - x 9 9 9 9 εφ x -εφ x - 3 3 β) Β 1+ εφ x εφ x - 3 3 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 108
3 7 3 γ) Γ ηµ x συν x + συν + x ηµ - x 8 8 8 8 δ) συν + x συν x + ηµ + x συν + x 6 6 6 3 3 4) ίνονται οι γωνίες α και β, µε < α < και < β< για τις οοίες 4 1 ισχύουν ηµα και συνβ - Να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς 5 13 αριθµούς της γωνίας α-β συν(α -β) -συν(α+ β) συνα συνβ 5) Να αοδείξετε ότι: εφα εφβ 6) Να αοδείξετε ότι: ηµ(α+β) ηµ(α-β)+συν α συν(α+β) συν(α-β)+ηµ α 7) Να αοδείξετε ότι : εφα εφβ εφ(α-β)εφα- εφβ-εφ(α-β) 8) Να αοδείξετε ότι: ηµ(α+ β) ηµ(α -β) ηµ(β+ γ) ηµ(β -γ) ηµ(γ+ α) ηµ(γ -α) + + 0 συνα+ συνβ συνβ+ συνγ συνγ+ συνα 9) Αν ισχύει ηµ(α-β)0, να αοδείξετε ότι συν(α-β)συνα 10) Αν ισχύει x+y, να αοδείξετε ότι ηµ x+ ηµy ηµx 3 3 11) ίνονται γωνίες α, β, γ κ+, κ Ζ, για τις οοίες ισχύει α+β+γ0 Να αοδείξετε ότι εφα+εφβ+εφγ εφα εφβ εφγ 1) ίνονται γωνίες α, β, γ (0, ) µε εφα 1, εφβ 4 1 και εφγ13 1 Να αοδείξετε ότι: α) α < 4 β) α+β+γ 4 συν(β -Γ) -συνα 13) Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ηµγ να αοδείξετε ηµβ ότι: Α ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 109
14) Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές εφβ+ εφγ ηµα 1 1-ηµΒ ηµγ να αοδείξετε 15) Σε κάθε µη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να αοδείξετε ότι: συνα εφβ εφγ 1 συνβ συνγ 16) Σε κάθε µη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να αοδείξετε ότι: α) εφα+ εφβ+ εφγ εφα εφβ εφγ Α Β Β Γ Γ Α β) εφ εφ + εφ εφ + εφ εφ 1 17) Να λύσετε την εξίσωση 3 i) ηµ x+ -ηµ x - - ii) - ηµx συν x+ 3 3 6 18) Αν ισχύει εφα 3 1, να λύσετε την εξίσωση συν(x-α)+συν(x+α)3ηµα ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 110