3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Transcript

1 1.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Λύσεις των βασικών τριγωνοµετρικών εξισώσεων ηµx = ηµθ x = κ + θ x = κ + ( θ), κ Z συνx = συνθ x = κ + θ x = κ θ, κ Z εφx = εφθ x = κ + θ, κ Z σφx = σφθ x = κ + θ, κ Z ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Μέθοδος Για να λύσουµε µια τριγωνοµετρικ εξίσωση, ρέει ρώτα να τη φέρουµε σε µία αό τις βασικές µορφές.. Το εδίο ορισµού της εφx Πρέει συνx 0 συνx συν x κ + και x κ, κ Z x κ +, κ Z. Το εδίο ορισµού της σφx Πρέει ηµx 0 ηµx ηµ0 x κ + 0 και x κ + 0, κ Z x κ, κ Z

2 4. Άγνωστος η εφx, σφx Αν σε εξίσωση έχουµε εφατόµενες συνεφατόµενες του αγνώστου, θέτουµε εριορισµούς. (τα εδία ορισµού). 5. Η εξαφάνιση του ( ) µροστά αό τργων/κό αριθµό συνx = συν( x) ηµx = ηµ( x) εφx = εφ( x) σφx = σφ( x) 6. Η εναλλαγ ηµ συν και εφ σφ ηµx = συν( x ) ηµ x + συνx = ηµ( x ) ηµ x + εφx = σφ( x ) εφx = 1 σϕx σφx = εφ( x ) σφx = 1 εϕx συν x = 1 συν x = 1 7. Λύση εξίσωσης σε διάστηµα Βρίσκουµε τις λύσεις κανονικά και τις υοχρεώνουµε να ανκουν στο διάστηµα.

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις 1 i) συνx =, ii) ηµx =, iii) εφx = 1, iv) σφx = i) 1 συνx = συνx = συν Σχόλιο 5 συνx = συν( ) συνx = συν x =κ+ x =κ, κ Z ii) ηµx = ηµx = ηµ 4 ηµx = ηµ 4 x = κ 4 x = κ + ( 4 ) = κ + 5 4, κ Z iii) Περιορισµοί : Πρέει x κ + εφx = 1 εφx = εφ 4, κ Z Τότε έχουµε Σχόλιο 4 εφx = εφ 4 iv) Περιορισµοί : Πρέει x κ, κ Z. σφx = σφx = σφ σφx = σφ x = κ 4, κ Z x = κ, κ Z Σχόλιο 4

4 4. Να λυθούν οι εξισώσεις i) ηµ x+ 6 = 1, ii) συν (x + 45ο ) = 1, iii) εφ 4x+ =1 i) ηµ x+ 6 = 1 ηµ x+ 6 = ηµ Σχόλιο 1 6 x+ = κ x + = κ +, 6 6 κ Z ii) συν(x + 45 ο ) = 1 x = κ x = κ + 6 κ x = x = κ κ κ x = x = +, κ Z 9 o ο συν(x+ 45 ) = συν180 x + 45 ο = 60 ο κ ο x + 45 ο = 60 ο κ 180 ο x o = 60 κ +15 o x =60 ο κ 5 ο x = 180 ο κ + 67,5 ο x = 180 ο κ 11,5 ο, κ Z iii) Περιορισµοί : 4x+ κ+ 4x κ+ κ x +, κ Z 4 4 εφ 4x+ = 1 εφ 4x + = εφ 4 4x + = κ+ 4 4x = κ + x = κ Σχόλιο 4, κ Z

5 5. Να λυθούν οι εξισώσεις i) ηµ(x + 0 ο ) = συν(x 60 ο ), ii) εφ x+ = σφ x 6 Σχόλιο 6 i) ηµ(x + 0 ο ) = συν(x 60 ο ) ηµ(x + 0 o ) = ηµ[90 ο (x 60 ο )] ηµ(x + 0 ο ) = ηµ(150 ο x) x + 0 o = 60 o κ ο x x + 0 o = 60 o κ ο 150 ο + x x = 60 ο κ + 10 ο x =60 o κ ii) Περιορισµοί : o o x = 10 κ + 40 x+ κ+ και x κ+ και x κ+ 6 και x o = 60 κ, κ Z x κ, κ Z 6 Σχόλιο 4 x κ+ 6 κ x +, 18 κ Z εφ x+ = σφ x 6 εφ x+ = εφ x 6 εφ x+ = εφ x+ 6 εφ x+ = εφ x x + = κ+ x,, κ Z 4x = κ + x = κ +, κ Z 4 1

6 6 4. Να λυθεί η εξίσωση συνx = 1 στο διάστηµα [,] 1 συνx = συνx = συν x = κ+ κ x = + 9 Για κ x = + 9 (1) x = κ κ x =, 9 κ Z x [,] x κ + 9 κ κ κ κ και εειδ το κ ακέραιος, θα είναι κ = 1 κ = 0 κ = 1 Για κ = 1, αό την (1) έχουµε x = + = Για κ = 0 αό την (1) έχουµε Για κ = 1 αό την (1) έχουµε κ Για x = 9 Εργαζόµαστε µε τον ίδιο τρόο και βρίσκουµε x = 7 x = 9 9 x = 9 7 x = + = x = 9 Σχόλιο 7

7 7 5. Να λυθεί η εξίσωση ηµ x ηµx + = 0 = 9 8 = 1, ηµx = ± 1 = 1 αορρίτεται ηµx = 1 ηµx = ηµ x = κ + x = κ +, κ Z x = κ + x = κ + x = κ +, κ Z 6. Να λυθεί η εξίσωση συν x + ηµx = 0 Λύση συν x + ηµx = 0 1 ηµ x + ηµx = 0 Συνέχισε όως στην άσκηση 6 ηµ x + ηµx = 0 ηµ x ηµx + = 0 7. Να λυθεί η εξίσωση συν x + ηµ (x + 0 ο ) =1 συν x + ηµ (x + 0 ο ) =1 0 συν x + 1 συν (x + 0 ) = 1 συν x συν (x + 0 o ) = = o o [συνx συν(x 0 )][συνx συν(x 0 )] 0 συνx + συν(x + 0 ο ) = 0 συνx συν(x + 0 ο ) = 0 συνx + συν(x +0 ο ) = 0 συνx = συν(x ) συνx = συν(150 ο x) x =60 ο κ ο x x =60 ο κ 150 ο + x x = 60 ο κ ο 0x = 60 o κ 150 ο x =180 ο κ + 75 ο, κ Z συνx συν(x +0 ο ) = 0 συνx = συν(x +0 ο ) x = 60 ο λ + x + 0 ο x = 60 ο λ x 0 ο 0x = 60 ο λ + 0 ο x = 60 o λ 0 ο x =180 ο λ 15 ο, λ Z

8 8 8. Να λυθεί η εξίσωση 4συν x ( + 1)συνx+ = 0 Λύση = 4( συνx = συνx = + 1) - 16 = 4[( = 4( = 4( ( + 1) ± ( 1) 8 + 1) 4 ] ) + 1) = [( = = συνx = συν 6 1 1)] x = κ ± 6, κ Z συνx = 1 συνx = συν x = λ ±, λ Z 9. Να λυθεί η εξίσωση εφ x εφ x εφx + = 0 Περιορισµός : Πρέει x κ+, κ Z Θέτουµε εφx = y οότε η εξίσωση γίνεται y y y + = 0 y (y 1) (y 1) = 0 (y 1)(y ) = 0 y 1 = 0 y 1 = 0 y = 0 y = Σχόλιο 4 y =1 y = y = Για y =1 εφx = 1 εφx = εφ 4 Για y = εφx = εφx = εφ x = κ + 4, κ Z x = λ +, λ Z Για y = εφx = εφx = εφ( ) x = µ, µ Z

9 9 10. Να λυθεί η εξίσωση συνx = σφx Περιορισµός : Πρέει x κ, κ Z συνx = σφx συνx = συνx ηµx συνx ηµx = συνx συνx ηµx συνx = 0 συνx (ηµx ) = 0 συνx = 0 ηµx = 0 συνx = 0 ηµx = συνx = 0 ηµx = Όταν συνx = 0 x = κ +, κ Z Όταν ηµx = ηµx = ηµ Σχόλιο 4 x = κ+ x = κ + = κ +, κ Z

10 εφx Να λυθεί η εξίσωση συνx = 1+ εφ x Περιορισµός : Πρέει συνx 0 x κ +, κ Z ηµx εφx συνx = συνx = συνx 1+ εφ x 1+ ηµ x συν x Σχόλιο 4 ηµx συνx = συνx ηµ x+συν x συν x ηµxσυν x συνx = συνx συνx = ηµχσυνχ συνx ηµxσυνx = 0 συνx (1 ηµx) = 0 συνx = 0 1 ηµx = 0 Όταν συνx = 0 αορρίτεται λόγω του εριορισµού Όταν 1 ηµx = 0 ηµx = 1 ηµx = ηµ 6 x = κ + 6 x = κ + 6 x = κ + 6 x = κ + 5 6, κ Z

11 11 1. Οι ετσιες ωλσεις (σε χιλιάδες κοµµάτια ) ενός ροϊόντος δίνονται αό την t συνάρτηση f(t) = 15 + ηµ, όου t ο χρόνος σε έτη µε 0 t 6 i) Να βρεθεί οιο έτος αό σµερα ( t = 0) έχουµε τον µέγιστο αριθµό ωλσεων και όσες είναι αυτές ii) Ποιο έτος οι ωλσεις θα είναι κοµµάτια. i) Ο µέγιστος αριθµός των ωλσεων θα ισούται µε το µέγιστο της συνάρτησης f(t), το οοίο είναι 15 + = 17, αφού είναι της µορφς f(t) = 15 + ρηµωt Οότε ο µέγιστος αριθµός των ωλσεων είναι κοµµάτια Για να βρούµε το έτος ου έχουµε τις ερισσότερες ωλσεις λύνουµε την εξίσωση t f(t) = ηµ = 17 t ηµ = 1 t ηµ = ηµ t = κ+ t = 6κ + t = 6κ +, κ Z (1) Αλλά 0 t 6 0 6κ + 6 6κ 9 1 κ 4 4 Και εειδ κ ακέραιος θα είναι κ = 0 Οότε η (1) t = = 1, 5 ηλαδ ο µέγιστος αριθµός των ωλσεων θα ραγµατοοιηθεί σε ενάµιση χρόνο αό σµερα ii) Θα λύσουµε την εξίσωση f(t) = 16 t 15 + ηµ = 16 t ηµ = 1

12 1 t ηµ t ηµ = 6 = ηµ t = κ + 6 t = 6κ + t = κ + 6 t = 6κ + 5 t = 6κ + 1 t = 6κ + 5, κ Z Όµως 0 t 6 0 6κ κ κ 1 11 κ κ 5 7 κ οότε 1 1 κ = 0 και εοµένως t = 1 t = 5 Άρα 16 χιλιάδες κοµµάτια θα ουλσει η ειχείρηση σε 6 µνες σε,5 χρόνια αό σµερα