ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ

ΓΚΟΤΛΟΜΠ ΦΡΕΓΚΕ ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ-ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ ΡΟΥΣΟΠΟΥΛΟΣ Ή μετάφραση έγινε άηό τή δίγλωσση έκδοση (άγγλική-γερμανική). Τίτλος πρωτοτύπου: Die Grundlagen der Arithmetik, 1884. Εκδόσεις Νεφέλη, Μαυρομιχάλη 9 106 79 Αθήνα, τηλ. 360.77.44, Fax 363.99.62 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΝΕΦΕΛΗ ΑΘΗΝΑ 1990

18 ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ (5) (X) Φ(Χ) (οτιδήποτε είναι φάλαινα είναι θηλαστικό) (6) (3Χ) φ(χ) (μερικοί άνθρωποι είναι Έλληνες) κ.ο.κ.37 Τά θεμέλια τής Αριθμητικής. Ό δεύτερος σταθμός στήν έξέλιξη τής σκέψης τού Φρέγκε είναι τά Θεμέλια. Ή προεργασία τής Έννοιογραφίας προετοιμάζει ήδη τό έδαφος γιά τήν αξιωματική θεμελίωση τών αριθμητικών θεωριών (τών φυσικών καί πραγματικών άριθμών). Στήν προσπάθεια γιά τήν ά- ξιωματοποίηση ό Φρέγκε διαπίστωσε ότι μπορούσε νά άναγάγει τίς αριθμητικές έννοιες καί προτάσεις σέ άλλες στοιχειωδέστερες χρησιμοποιώντας ορισμούς καί λογικούς νόμους.38 Α υ τή ή θέση, σέ συνδυασμό μέ τόν άναμορφωμένο ορισμό τής άναλυτικότητας τών προτάσεων, είναι ή περίφημη θέση τού λογικισμού, σύμφωνα μέ τήν όποία οί προτάσεις τής αριθμητικής είναι αναλυτικές άλήθειες, ενώ οί προτάσεις τής γεωμετρίας είναι συνθετικές a priori αλήθειες.39 Τό πρόγραμμά του έτσι έρχεται έν μέρει σέ άντίθεση μέ τό πρόγραμμα τού Κάντ καί συμφωνεί (έν μέρει) μέ τίς απόψεις τού Leibniz.40 Ή θεματική ώστόσο τών Θεμελίων υπερβαίνει τόν στενό χαρακτήρα μιάς μονογραφίας πού αφορά τή θεμελίωση τής άριθμητικής γνώσης. Πρώτα πρώτα, γιατί ό Φρέγκε στό βιβλίο αυτό άποδεικνύεται φοβερός πολέμιος τών άπόψεων τού εμπειρισμού, τού ψυχολογισμού καί τού φορμαλισμού.41 Τό είδος τής αριθμητικής γνώσης πού προκύπτει στά πλαίσια αυτών τών ά πόψεων, κατά τόν Φρέγκε δέν είναι δυνατό νά θεωρηθεί άντικειμενική γνώση μέ βάση κριτήρια καί πρότυπα πού ταιριάζουν στήν άριθμητική. Επιπλέον, ή θεμελίωση τών άριθμητικών ο ντοτήτων ως λογικών άντικειμένων δέν επηρεάζεται άπό τό γεγονός ότι τά λογικά άντικείμενα δέν μπορούν νά παρασταθούν κατά κάποιο τρόπο, όπως συμβαίνει στά πλαίσια τών παραπάνω άπόψεων (τού ψυχολογισμού, τού έμπειρισμού καί τού φορμαλισμού). Πρός τή διπλή αυτή κατεύθυνση ό Φρέγκε διατυπώνει τρεις προγραμματικές άρχές πού χρησιμοποιούνται, τόσο στήν κριτική τών άντιπάλων άπόψεων, όσο καί στή θεμελίωση τής άναλυτικότητας τής άριθμητικής γνώσης.42 Σύμφωνα μέ τήν πρώτη ΣΤΑΔΙΑ ΚΑΙ ΣΤΑΘΜΟΙ 19 άρχή, τήν άρχή τού πλαισίου (context principle), τό νόημα τών άριθμητικών λέξεων πρέπει νά άναζητεΐται στό πλαίσιο τών προτάσεων. 'Η άρχή αυτή, άμφιλεγόμενη ως πρός τή σημασία της στό έργο τού Φρέγκε, άποτελεί σημείο άντικρουόμενων έρμηνειών πού άφορούν τήν εκτίμηση τής άρχής αύτής43 καθώς καί τή διάκριση πού είσήγαγε λίγο άργότερα ό Φρέγκε μεταξύ Sinn (νόημα) καί Bedeutung (άναφορά). Οί άλλες άρχές πού είσήγαγε ό Φρέγκε άφορούν τίς διακρίσεις ύποκειμενικό-άντικειμενικό, ψυχολογικό-λογικό καί άντικείμενο-έννοια. Ή διά κριση ψυχολογικό-λογικό άσφαλώς διαπερνά όλο τό οικοδόμημα τής σκέψης τού Φρέγκε καί ενδιαφέρει ιδιαίτερα στήν πολεμική του εναντίον τού ψυχολογισμού.44 Παρόμοια είναι ή σημασία τής διάκρισης ύποκειμενικό-άντικειμενικό πέρα άπό τήν προφανή άντιστοιχία μέ τήν προηγούμενη διάκριση, τό άντικειμενικό γιά τόν Φρέγκε άντιδιαστέλλεται πρός τό πραγματικό στό χωρο-χρόνο (wirklich).45 Ή σημασία καί βαρύτητα τών διακρίσεων αυτών εμφανίζεται στήν τελική στήριξη τής κεντρικής θέσης τών Θεμελίων, ή όποία άφορά τό όντολογικό status τών άριθμητικών οντοτήτων καί τήν πρόσβαση σ αύτές. Τό ζήτημα όμως τής νομιμότητας τής διάκρισης μεταξύ άντικειμένου καί έννοιας έμφανίζεται ξανά στό έργο τού Φρέγκε καί διαδραματίζει κεντρικό ρόλο στή σημασιολογία του, όπως θά δούμε πιό κάτω.46 «Γιά τό νόημα καί τήν άναφορά». Τή διάκριση (λογικό) ά- ντικείμενο-έννοια, πού συναντήσαμε στά Θεμέλια, ό Φρέγκε τήν έπεξεργάζεται πιό λεπτομερειακά στό άρθρο του «Συνάρτηση καί έννοια» (1891).47 Ή διαπραγμάτευση αυτή τώρα είναι γενικότερη άφού ή έννοια θεωρείται ειδική (άλλά τυπική) περίπτωση συνάρτησης. Ή έννοια τής συνάρτησης πού χρησιμοποιεί ό Φρέγκε σχετίζεται μέ τή σύγχρονη έννοια τής μαθηματικής συνάρτησης. Ή μεταβλητή δέν άποτελεί ουσιαστικό τμήμα τής συνάρτησης.48 Μπορούμε νά πούμε ότι ή συνάρτηση είναι μιά μή πλήρης έκφραση πού μεταφέρει άντικείμενα σέ άντικείμενα, λ.χ. άριθμούς σέ άλλους άριθμούς. Γράφοντας τή συνάρτηση φ(χ)=χ2+1 μέ λίγο διαφορετικό τρόπο, δηλαδή ως Φ( )=( )2+1,

20 ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ κατανοούμε καλύτερα τίς προθέσεις τού Φρέγκε. Έ τσι, γιά τήν παραπάνω συνάρτηση θά έχουμε, άν περιοριστούμε σέ φυσικούς άριθμούς: 1»(1)2+ 1=2 2»(2)2+1=5 3»(3)2+1 = 10 κ.ο.κ. 'Η έννοια τής συνάρτησης, κατά τήν άποψη τού Φρέγκε, χαρακτηρίζεται άπό τό γεγονός ότι δηλώνει μιά έλλειψη, έτσι ώ στε όταν συμπληρωθεί καταλλήλως άποκτά πληρότητα.49 Ή διάκριση άντικείμενο-συνάρτηση τώρα άντιστοιχεί στή διάκριση πλήρης-μή πλήρης έκφραση.50 Τούτο φαίνεται καλύτερα ό ταν θεωρήσουμε τή διάκριση άντικείμενο-έννοια. Ή έννοια ά- ποτελεϊ ειδική περίπτωση συναρτήσεως, συγκεκριμένα τών εξισώσεων πού γνωρίζουμε άπό τά μαθηματικά. Ά ν έχουμε, λ.χ., τήν έξίσωση Χ2=4, τότε άντικαθιστώντας τό X μέ διάφορους άριθμούς παίρνουμε προτάσεις (λ.χ. «12=4», «22=4», «32=4» κ^.λπ.) άπό αύτές, ορισμένες είναι άληθεϊς, ενώ άλλες είναι ψευδείς. Μιά έννοια μπορεί νά θεωρηθεί συνάρτηση αυτού τού τύπου, ή όποία παίρνει ώς όρίσματα διάφορα άντικείμενα καί ώς τιμές τίς δύο τιμές άλήθειας «ψευδής» καί «άληθής». 'Η άναλογία τής έννοιας μέ τήν περίπτωση τής εξίσωσης γίνεται σαφέστερη όταν διατυπώσουμε τήν έξίσωση ώς τό X είναι τετραγωνική ρίζα τού 4, οπότε «τό 1 είναι τετραγωνική ρίζα τού 4» είναι ψευδής, «τό 2 είναι τετραγωνική ρίζα τού 4» είναι άληθής, κ.ο.κ. Κατ άντιστοιχία, ή έννοια τού πρώτου άριθμού χωρίζει τό σύνολο τών φυσικών άριθμών σ αυτούς πού είναι πρώτοι καί σ αυτούς πού δέν είναι πρώτοι άριθμοί. Έ τσι, «τό 5 είναι πρώτος άριθμός» είναι άληθής, ενώ «τό 4 είναι πρώτος άριθμός» είναι ψευδής πρόταση. Τό ενδιαφέρον μέ τίς έννοιες καί τίς συναρτήσεις είναι ότι μπορούν νά ιεραρχηθούν μπορούμε έτσι νά μιλάμε γιά συναρτήσεις πρώτης, δευτέρας τάξεως κ.λπ.51 Χαρακτηριστική περίπτωση συναρτήσεως δευτέρας τάξεως είναι ό καθολικός ποσοδείκτης. Στήν πρόταση ΣΤΑΔΙΑ ΚΑΙ ΣΤΑΘΜΟΙ 21 (1) γιά κάθε,χ, Ρ(Χ) τό κατηγόρημα Ρ(-) άποτελεί μέρος τής (1). Άπομακρύνοντας τό συγκεκριμένο κατηγόρημα άπό τήν (1) δημιουργείται μιά κενή θέση, δηλαδή (2) γιά κάθε Χ,.,.Χ... 'Η (2) είναι μία μή πλήρης έκφραση, μία συνάρτηση ή όποία γιά νά συμπληρωθεί χρειάζεται κάποια συνάρτηση πρώτης τάξεως στήν κενή θέση, καί έτσι ή (2) είναι συνάρτηση δευτέρας τάξεως. Ή συνάρτηση (2) άληθεύει, όταν μεταφέρει μιά έννοια Ρ πού είναι τέτοια ώστε ή πρόταση «Ρ(Χ)» άληθεύει γιά όλα τά άντικείμενα X καί στήν άντίθετη περίπτωση είναι ψευδής. Μιά άπό τίς ένδιαφέρουσες συνέπειες τής διάκρισης έννοιαάντικείμενο, πού είσήγαγε ό Φρέγκε στά Θεμέλια, άφορά, ό πως ήδη άναφέρθηκε, τή θέση ότι οί άριθμοί είναι παραδειγματικά (λογικά) άντικείμενα καί όχι έννοιες.52 Μιά άλλη συνέπεια (εμφανίζεται στά ύστερότερα γραπτά του), πού συνδέεται μέ τή σκέψη ώς άντικειμενικό περιεχόμενο τών προτάσεων, άφορά τήν έρμηνεία τού φαινομενικά παράδοξου γεγονότος ότι ενώ έχουμε στή διάθεσή μας ώς ομιλητές τής φυσικής γλώσσας ένα πεπερασμένο μόνο τμήμα τού λεξιλογίου της, ώστόσο κατανοούμε προτάσεις καί εκφράσεις πού δέν έχουμε άκούσει ή μάθει προηγουμένως. Ή γενικότατη άπάντηση τού Φρέγκε συνδέει τή σκέψη καί τό νόημα (περιεχόμενο) τών προτάσεων μέ τίς πλήρεις εκφράσεις: ή δυνατότητα πού έχουμε νά συλλαμβάνουμε τό περιεχόμενο τής πρότασης ώς ένα όλον προκύπτει άπό τή δυνατότητα συνδυασμού άντικειμένων καί μή πλήρων εκφράσεων (έννοιών).53 Ή δεύτερη ουσιαστική διάκριση πού είσήγαγε ό Φρέγκε κατά τήν περίοδο αύτή άφορά τό νόημα (Sinn, sense) καί τήν άναφορά (Bedeutung, reference) τών κύριων συντακτικών ό ρων τής σημασιολογίας του. Χρησιμοποιώντας μοναδιαίους όρους (λ.χ. κύρια ονόματα) μπορούμε νά κατονομάσουμε άντικείμενα (όπως όταν λέμε «Goedel»), ή μπορούμε νά χρησιμοποιούμε γιά τόν ίδιο σκοπό κατάλληλες περιγραφές (λ.χ., «ό μαθηματικός πού άπέδειξε τή μή πληρότητα τής άριθμητικής»). Μερικές φορές μάλιστα, ενώ κατανοούμε μιά έκφραση, ίσως δέν γνωρίζουμε τό άντικείμενο πού κατονομάζεται (λ.χ., «ή ψηλότερη γυναίκα στήν Έλλά-

22 ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ δα»). 'Ως πρός τίς περιγραφικές έκφράσεις, φαίνεται εύλογο νά συνδέσουμε μέ αυτές τήν άναφορά τους - τό άντικείμενο (άν υπάρχει) πού κατονομάζεται μέ τή βοήθεια τής περιγραφικής έκφρασης.54 Ταυτόχρονα θεωρείται εύλογο, μέ κάθε περιγραφή, νά συνδέσουμε τό νόημά της - τό περιεχόμενο τής έκφρασης πού διατυπώνουμε. Ή κατάσταση εμφανίζεται λιγότερο εύλογη όταν έχουμε μοναδιαίους όρους (κύρια ονόματα, ονόματα φυσικών ειδών κ.λπ.). Τό κατονομαζόμενο άντικείμενο -ά ν υπάρχει, βέβαιαθά είναι τώρα ή άναφορά τού όρου. Χρειάζεται όμως νά συνδέσουμε μέ τόν όρο αυτό κάτι πέρα άπό τήν άναφορά του, ένα νόημα; Κατά τόν Φρέγκε, είναι άναγκαίο νά μιλήσουμε γιά ά ναφορά κ α ί νόημα ώς διακεκριμένες λογικές έννοιες στή σημασιολογία. Ό Φρέγκε προσπαθεί νά κάνει εύλογοφανή, καί τελικά άποδεκτή, αυτή τή διάκριση μελετώντας τίς ταυτοτικές σχέσεις μέ βάση τό περίφημο παράδειγμα τού Αποσπερίτη καί τής Αύγούλας.55 Ά ν, λοιπόν, δεχτούμε ότι τά ονόματα «Αύγούλα» καί «Αποσπερίτης» δέν έχουν νόημα παρά μόνο άναφορά, δηλαδή τό ουράνιο σώμα πού κατονομάζεται άντιστοίχως, τότε μιά ταυτοτική σχέση τής μορφής ό Αποσπερίτης ταυτίζεται μέ τήν Αύγούλα δέν θά μάς πληροφορούσε μέ ούσιαστικό τρόπο (αυτό συμβαίνει μέ τήν ταυτότητα «ή Αύγούλα ταυτίζεται μέ τήν Αυγουλά»), Δέν θά ήταν άνακάλυψη γιά μάς ότι τό ουράνιο σώμα πού σημειώνουμε «Αποσπερίτης» είναι ούσιαστικά τό ουράνιο σώμα πού σημειώνουμε «Αύγούλα» - δηλαδή ό πλανήτης Α φροδίτη. Γιά νά κατανοήσουμε τούς μοναδιαίους όρους, γιά νά συλλάβουμε δηλαδή τά άντικείμενα στά όποία άναφέρονται οί μοναδιαίοι όροι, χρειαζόμαστε άκριβώς νά δεχτούμε ότι οί ό ροι αυτοί έχουν νοήματα. Αύτός, κατά τόν Φρέγκε, είναι ό λόγος γιά τόν όποιο, ένώ μιά σχέση τής μορφής «α=α» δέν έχει γνωστικό περιεχόμενο, δέν ισχύει τό ίδιο γιά τή σχέση τής μορφής «α=6», μολονότι καί αυτή είναι μιά ταυτότητα.56 Ή διάκριση μεταξύ νοήματος καί άναφοράς έπεκτείνεται κατόπιν στήν περίπτωση τών προτάσεων. Καί όσον άφορά τό νόημα τών προτάσεων, μέ αυτό συνδέουμε τό περιεχόμενο τής πρότασης, τή σκέψη πού έκφράζουμε διατυπώνοντας τήν πρόταση ποιά θά είναι όμως ή άναφορά τών προτάσεων; ΣΤΑΔΙΑ ΚΑΙ ΣΤΑΘΜΟΙ 23 Κατά τόν Φρέγκε, κάθε οντότητα είναι άντικείμενο ή συνάρτηση, καί οί γλωσσικές εκφράσεις είναι ονόματα άντικειμένων ή συναρτήσεων. Μέ τήν τεχνική έννοια τού όρου, ονόματα ά- ντικειμένων κατά τόν Φρέγκε δέν είναι μόνο τά κύρια ονόματα, τά ονόματα τών φυσικών ειδών άλλά καί οί πλήρεις περιγραφές (λ.χ., «δορυφόρος τής γης», «ή τετραγωνική ρίζα τού άριθμού 2»). Τό πιό έκπληκτικό είναι ότι καί οί προτάσεις είναι ονόματα άντικειμένων - είναι ονόματα τών τιμών άλήθειας «άληθής», «ψευδής» (τά όποια θεωρούνται λογικά άντικείμενα). Ά φ ού κάθε γλωσσική έκφραση έχει άναφορά καί νόημα, κάθε άληθής πρόταση άναφέρεται στήν τιμή «άληθής» (δηλαδή έχει ώς άναφορά της τήν τιμή αύτή).57 Ό μω ς δύο άληθεΐς προτάσεις -δύο προτάσεις, συνεπώς, πού έχουν τήν ίδια άναφοράμπορεΐ νά εκφράζουν τελείως διαφορετικές σκέψεις, δηλαδή έχουν διαφορετικά νοήματα. Τό νόημα τής πρότασης είναι ή σκέψη πού ή πρόταση εκφράζει. Τό τέλος τού λογικισμού. Ή άνακοίνωση τού παραδόξου πού άνακάλυψε ό Russell (1902) παρότρυνε τόν Φρέγκε μετά άπό άρκετά χρόνια νά άνανεώσει τό ένδιαφέρον του γιά τή γεωμετρία καί τόν γεωμετρικό τρόπο θεμελίωσης τών μαθηματικών. Γιά τόν Κάντ ή γεωμετρία καί ή άριθμητική άποτελούσαν παραδειγματικό είδος a priori συνθετικής γνώσης. Ό Φρέγκε, έν μέρει άντίθετα άπό τόν Κάντ, προσπάθησε νά θεμελιώσει τόν ισχυρισμό (θέση τού λογικισμού) ότι ή άριθμητική γνώση είναι άναλυτικού χαρακτήρα, συμφωνώντας μέ τόν Κάντ ως πρός τή γεωμετρική γνώση. Ή δυνατότητα θεμελίωσης τής μαθηματικής γνώσης κατά τό πρότυπο τής γεωμετρίας έγινε πιό ελκτική, άφού πιά ή άριθμητική γνώση ώς άναλυτική γνώση ήταν άδύνατο νά στηριχτεί. «Ό σο πιό πολύ σκέφτομαι τό ζήτημα, τόσο πιό πολύ πείθομαι ότι ή άριθμητική προέκυψε άπό τήν ίδια ρίζα καί ότι αύτή είναι γεωμετρική - έτσι ώστε πραγματικά όλα τά μαθηματικά είναι γεωμετρία».58 Στίς νεότερες αύτές προσπάθειες ό Φρέγκε δέχεται πάλι τήν τριμερή διάκριση σχετικά μέ τίς πηγές τής γνώσης: πέρα άπό τήν αισθητηριακή γνώση έχουμε στή διάθεσή μας λογική καί

24 ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ γεωμετρική γνώση. Ή γεωμετρική γνώση -αποτέλεσμα τής a priori έποπτείας τού χώρου- ταιριάζει ταυτόχρονα στήν άριθμητική καί τή γεωμετρία. Τό πρόγραμμα τής συνεκτικής θεμελίωσης τής μαθηματικής γνώσης στή συνθετική έποπτεία άπαιτοϋσε τή θεμελίωση τών μιγαδικών άριθμών μέ βάση γεωμετρικές έννοιες. Ό Φρέγκε όμώς δέν πρόλαβε νά προχωρήσει τό πρόγραμμα αυτό σέ σημαντικό βαθμό, κι έτσι ή γεωμετρική θεμελίωση τών μαθηματικών έμεινε άνοιχτό ζήτημα.59 2. Ή προβληματική τών Θεμελίων τής 3Α ριθμητικής Ή έπιστημολογία τών μαθηματικών χαρακτηρίζεται άπό τήν άντιψυχολογιστική στάση στή διαδικασία θεμελίωσης τής γνώσης, καθώς καί άπό τήν άπριοριστική θέση σχετικά μέ τό είδος τών μαθηματικών προτάσεων. Ειδικά, στό πλαίσιο τής καντιανής έπιστημολογίας τών μαθηματικών, δεχόμαστε ότι οί προτάσεις τών μαθηματικών -τόσο τής άριθμητικής, όσο καί τής γεωμετρίας- είναι συνθετικές a priori.60 Ό Φρέγκε άποδέχεται τό γενικό έπιστημολογικό πλαίσιο τού Κάντ καί, κυρίως, άποδέχτηκε-τουλάχιστον μέχρι τό 1902, πού πληροφορήθηκε τήν άντιφατικότητα τού συστήματος του- τή σαφή διάκριση άναλυτικό-συνθετικό καί ότι τά μαθηματικά είναι παραδειγματική περίπτωση a priori γνώσης. Ειδικότερα, συμφώνησε μέ τόν Κάντ ώς πρός τό χαρακτήρα τών γεωμετρικών προτάσεων ώς συνθετικών a priori προτάσεων.61 Οί άντιρρήσεις του συγκεντρώνονται στήν έννοια τού άναλυτικού καί στήν εφαρμογή της στίς άριθμητικές προτάσεις. Τό πρόγραμμα τών Θεμελίων τελικά διατυπώνει μιά διαφορετική θέση άπό τόν Κάντ: οί προτάσεις τής άριθμητικής δέν είναι συνθετικές άλλά άναλυτικές.62 Ό Φρέγκε προσπάθησε νά ελαχιστοποιήσει τή σημασία τής άντίδρασής του στόν Κάντ- είναι όμως φανερό ότι 1) διατηρεί τίς καντιανές διακρίσεις άναλυτικό-συνθετικό καί a priori - a posteriori ερμηνεύει όμως τήν πρώτη διάκριση μέ τρόπο διαφορετικό άπό τόν Κάντ, έτσι ώστε τελικά Η ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΝ 25 2) διαφωνεί μέ τήν υπαγωγή τών άριθμητικών προτάσεων στήν κατηγορία τών συνθετικών προτάσεων. Ή μικρή αύτή «έπανάσταση» τού Φρέγκε άπέναντι στόν Κάντ έγινε δυνατή χάρη στίς προηγούμενες μελέτες του στήν Έ ννοιογραφία ειδικά ή έπέκταση τού ορισμού τής άναλυτικότητας ήταν συνέπεια τής νεότερης σύλληψης τού Φρέγκε γιά τή λογική. Θά ήθελα τώρα νά περιγράψω σύντομα τό καντιανό περιβάλλον στό όποιο άναδύθηκε ή παραπάνω διαφοροποίηση τού Φρέγκε, γιά νά άποκτήσουμε έτσι μιά καλύτερη εικόνα τής «επανάστασης» τού Φρέγκε. 2.1. A priori γνώση. 3Αναλυτικές και συνθετικές προτάσεις Ό Κάντ είσήγαγε τίς γνωστές έπιστημολογικές διακρίσεις a priori-a posteriori ώς πρός τό χαρακτήρα, τήν προέλευση καί τή θεμελίωση τής γνώσης γενικά. Χωρίς νά άρνεΐται τήν εμπειρία, ό Κάντ ισχυρίζεται ότι ή a priori γνώση, καί οί a priori άλήθειες κατ έπέκταση, είναι γνώση πού άποκομίζουμε άνεξάρτητα άπό τήν έμπειρία. 'Η περίφημη διάκριση πού εισάγει στή δεύτερη έκδοση τής Κριτικής τοϋ Καθαροϋ Λόγου (Β1) μεταξύ γνώσης πού «πρωταρχίζει μέ τήν έμπειρία» καί γνώσης πού «πηγάζει άπό^τήν έμπειρία» άποτελεί ουσιαστικό έρμηνευτικό καί φιλοσοφικό πρόβλημα.63 Ά ν, λοιπόν, λάβει κανείς υπόψη του τίς δυσκολίες πού συνδέονται μέ τόν προσδιορισμό τής έννοιας τής εμπειρίας τών άντικειμένων -ώ ς εμπειρίας πού μπορούμε νά έχουμε- τότε τό ζήτημα φαίνεται νά είναι πώς θά καθορίσουμε τήν άνεξαρτησία άπό τά άντικείμενα τών όποιων μπορούμε νά έχουμε έμπειρία.64 Τό πρόβλημα γιά τόν Κάντ διαμεσολαβεΐται μέσω τών έποπτειών ώς μορφών/τύπων τών αισθητηριακών παραστάσεων πού μπορούμε νά σχηματίσουμε μέ βάση τά άντικείμενα.65 Ό Κάντ προχωρεί λαμβάνοντας σοβαρά υπόψη τό ορισμένο/περιορισμένο είδος έποπτειών καί παραστάσεων πού μπορούν νά μάς προσπορίσουν τά αισθητηριακά μας όργανα. Οί γενικοί αυτοί περιορισμοί, στους όποιους ύποπίπτουν οί παραστάσεις τών άντικειμένων πού μπορούμε νά σχηματίσουμε, συναρτώνται στόν τύπο καί στή μορφή τών έποπτειών, δη

26 ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ λαδή στή χωρο-χρονικότητα. Ό νούς γιά τόν Κάντ έχει τή δυνατότητα νά προσλαμβάνει τά άντικείμενα τής εμπειρίας ώς χωρο-χρονικά άντικείμενα.66 Πρόκειται γιά περιορισμούς πού ξεκινούν άπό τό νού, καί στό βαθμό αύτό ό καθορισμός τους δέν επιδέχεται καμιά διαμεσολάβηση άπό τήν έμπειρία - είναι λοιπόν a priori.67 Ειδικά οί προτάσεις τής γεωμετρίας καί τής άριθμητικής ά- ποτελούν γιά τόν Κάντ τό πρότυπο είδος a priori προτάσεων, προτάσεων δηλαδή πού ό νούς μπορεί νά γνωρίσει χωρίς νά καταφύγει στήν έμπειρία. 'Η άλήθεια τών προτάσεων αύτών -όπω ς χαρακτηριστικά φαίνεται στήν περίπτωση τής γεωμετρίας, κατά τόν Κάντ πάντοτε- προκύπτει άπό τήν παρεμβολή τής καθαρής έποπτείας (a priori έποπτεία τού χώρου) ώς έπισκόπησης τής δομής τού νού.68 Ή δεύτερη κλασική διάκριση τού Κάντ άφορά τή διαίρεση τών προτάσεων σέ άναλυτικές καί συνθετικές.69 'Η διάκριση τού Κάντ προχωράει μέ βάση τό γενικό σχήμα τών προτάσεων «τό Υ είναι Κ», όπότε ή βάση τής διάκρισης άφορά τίς σχέσεις μεταξύ υποκειμένου καί κατηγορήματος τών προτάσεων. Έ τσι, άν ή άνάλυση δείξει ότι ή έννοια τού κατηγορήματος περιέχεται στήν έννοια τού ύποκειμένου, τότε μιλάμε γιά άναλυτική πρόταση. Αντίθετα, όταν ή έννοια τού κατηγορήματος δέν περιέχεται στήν έννοια τού ύποκειμένου, τότε μιλάμε γιά συνθετικές προτάσεις.70 ^ Ή αντίδραση τού Φρέγκε. Ό Φρέγκε δέχεται, όπως καί ό Κάντ, τόν άπριοριστικό χαρακτήρα τών μαθηματικών προτάσεων. Καί γιά τούς δύο ό a priori χαρακτήρας τών μαθηματικών δέν έμφανίζει προβλήματα. Γιά τόν Φρέγκε όμως προβληματική είναι ή διάκριση άναλυτικό-συνθετικό στή μορφή πού διατυπώθηκε άπό τόν Κάντ.71 'Η κριτική αύτή διόρθωση άφορά τήν περιοριστικότητα τού λογικού σχήματος τών προτάσεων πού χρησιμοποιεί ό Κάντ κατά τή συζήτηση τής διάκρισης άναλυτικό-συνθετικό. Έ ν α τόσο περιοριστικό σχήμα προτάσεων («τό Υ είναι Κ») δέν μπορεί νά έκφράσει έπαρκώς τίς άνάγκες τής άριθμητικής έπιστήμης. Ή υπέρβαση πού υποδεικνύει ό Φρέγκε μέσω τής τυποποιημένης γλώσσας τής Έννοιογραφίας επιτρέπει περισσότερες καί λεπτότερες διαφοροποιήσεις έπιτρέπει διασυνδέσεις καί λογικές παραγωγές (deductions) μετα Α PRIORI ΓΝΩΣΗ 27 ξύ τών προτάσεων πού δέν μπορούσαν νά γίνουν μέ βάση τό παλαιότερο λογικό σχήμα. Ό Κάντ οδηγήθηκε στή συγκεκριμένη άνάλυση/διάκριση τών προτάσεων μέσω τής σχέσης τού περιέχεσθαι λόγω τών περιορισμένων δυνατοτήτων πού τού έπέτρεπε ή λογική έπιστήμη τού καιρού του. Ό ίδιος θεωρούσε ότι ή λογική τού Αριστοτέλη καί τών Σχολαστικών έφτασε σέ τόσο προχωρημένο έπίπεδο άνάπτυξης καί τελειότητας, ώστε δέν υ πάρχει τίποτα καινούργιο πού θά έπρεπε νά προσδοκάμε άπό αύτή ν.72 'Η δεύτερη άντίδραση τού Φρέγκε άφορά όχι τή νομιμότητα τής διάκρισης άναλυτικό-συνθετικό άλλά κυρίως τή θεμελίωσή της. Ιδιαιτέρως ό Φρέγκε ένδιαφέρεται νά εξαφανίσει όποιαδήποτε ψυχολογικά κατάλοιπα θά μπορούσαν νά παρεισφρήσουν, ειδικά στήν περίπτωση τών μαθηματικών προτάσεων. Έ τσι, γιά τόν Φρέγκε ή έμφαση δέν βρίσκεται στό έπίπεδο τών φυσιολογικών καί ψυχολογικών συνθηκών πού έπιτρέπουν στό ύποκείμενο X νά «δει» ή νά συλλάβει τήν άλήθεια μιάς πρότασης.71 Ή έμφαση τώρα άφορά κυρίως τήν τελική θεμελίωση τής βεβαίωσης ότι μιά πρόταση είναι άληθής άφορά, συνεπώς, όχι τήν άνακάλυψη τής άλήθειας τής πρότασης άπό τό ύποκείμενο X -δηλαδή τό πώς φτάνουμε στήν πρόταση-, άλλά τό πώς θεμελιώνεται (καί πού) ή άλήθεια τής πρότασης. Έ τσι, ό ρόλος τής διάκρισης άναλυτικό-συνθετικό άφορά τή λογική τής θεμελίωσης τής άλήθειας τής πρότασης.74 Ό πότε άναλυτικές είναι οί προτάσεις πού μπορούν νά θεμελιωθούν, άναγόμενες, μέσω λογικών νόμων καί ορισμών, σέ άρχές γενικότατης φύσεως, μή μαθηματικές, δηλαδή σέ άρχές τής σκέψης. Οί άριθμητικές λοιπόν θεωρίες καί προτάσεις, έφόσον μπορούν νά άναχθούν τελικά σέ λογικές άλήθειες, είναι άναλυτικές, ενώ οί γεωμετρικές προτάσεις παραμένουν συνθετικές έφόσον ή καθαρή έποπτεία είναι άναγκαία γιά τήν άλήθειά τους.75 2.2. Ή βεβαιότητα τής μαθηματικής γνώ σης Ό Φρέγκε ξεκίνησε έχοντας μαθηματικό ύπόβαθρο γρήγορα όμως στράφηκε πρός τά προβλήματα θεμελίωσης τών μαθηματικών. Έ κανε αύτή τή στροφή όχι γιά νά μελετήσει κάποια ύποτιθέμενα θεωρητικά προβλήματα θεμελίωσης, άλλά γιά νά

28 ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ εξασφαλίσει τή μαθηματική γνώση καί τόν άντικειμενικό της χαρακτήρα.76 Μέ τήν έννοια αύτή, ή περίπτωση τού Φρέγκε είναι διαφορετική άπό τήν περίπτωση τού Dedekind,77 όσο καί άπό αύτή τού Cantor.78 Ή προσπάθεια τού Φρέγκε γιά τήν εξασφάλιση τής μαθηματικής γνώσης (άπόδειξη, αύστηρότητα, άξιώματα, λογικές άρχές) τόν οδήγησε σταδιακά σέ ένα πλαίσιο προβλημάτων πού συνήθως τά συνδέουμε με τή λογική.79 Ό Φρέγκε κρίνει τίς άντίπαλες θεωρίες μέ βάση τήν άντικειμενικότητα πού προσφέρουν στή μαθηματική γνώση τό αίτημα αυτό γίνεται κριτήριο σύγκρισης καί απόρριψης τών άντίπαλων θεωριών. Τό θετικό μέρος τής θεωρίας του προσπαθεί νά τό στηρίξει στήν άντικειμενικότητα τής άριθμητικής γνώσης μέσω λογικών καί λογικο-γλωσσικών άναλύσεων. Ή σαφήνεια τών ορισμών, ή αύστηρότητα τών άποδείξεων, ή άκριβής διατύπωση τών πρώτων άρχών είναι άσφαλώς ζητήματα πού διαμόρφωσαν τό πλαίσιο τών άναζητήσεών του σέ συνάρτηση μέ τό έπιστημολογικό αίτημα εξασφάλισης τής μαθηματικής γνώσης. Γιά μιά τέτοια έρευνα καί θεμελίωση, τά τυπικά εμπόδια πού άντιμετωπίζει ό Φρέγκε είναι οί νατουραλιστικές διαθέσεις όπως αύτές εκφράζονται άπό τόν ψυχολογισμό, τόν έμπειρισμό καί τόν φορμαλισμό. Ταυτίζοντας τά μαθηματικά άντικείμενα μέ ύποκειμενικές ιδέες (ψυχολογισμός), εξωτερικές συλλογές άντικειμένων (έμπειρισμός), ή τή μαθηματική γνώση μέ τή γνώση πού προκύπτει μέσω ψυχολογικών διαδικασιών ή μέ αύτή πού προκύπτει άπό τά αισθητηριακά δεδομένα δέν καταφέρνουμε νά άποδώσουμε τόν άναγκαίο καί άντικειμενικό χαρακτήρα πού ταιριάζει στά μαθηματικά άντικείμενα καί στίς μαθηματικές προτάσεις. Ό ψυχολογισμός. 'Η θέση τού Φρέγκε ότι τά νατουραλιστικά δόγματα δέν μπορούν νά έγγυηθούν τήν άντικειμενικότητα τής άριθμητικής προβάλλει όταν έξετάσουμε τό ζήτημα αύτό σέ σχέση μέ τίς άριθμητικές οντότητες.80 Στόν ψυχολογισμό ειδικά, όπου οί άριθμητικές οντότητες εκλαμβάνονται ώς νοητικές παραστάσεις, ιδέες καί δεδομένα τής άτομικής συνείδησης, δημιουργεΐται πρόβλημα ώς πρός τή διυποκειμενικότητα καί α ντικειμενικότητα τών άριθμητικών οντοτήτων.81 Ή άριθμητική δέν είναι πεδίο ύποκειμενικών ιδεών, πεποιθήσεων καί πίστεων τών άτόμων. Στό πλαίσιο τού ψυχολογισμού δέν είναι Η ΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΝΩΣΗΣ 29 δυνατό νά κατασκευαστεί μιά θεωρία τού νοήματος καί τής κατανόησης όπως ζητούσε ό Locke. Ή κύρια ιδέα τού Locke, πού ό Φρέγκε άπορρίπτει, είναι ή άποψη σύμφωνα μέ τήν όποία οί άριθμοί είναι ιδέες πού παράγονται άπό τό ύποκείμενο μέ τή βοήθεια γλωσσικών καί νοητικών μηχανισμών. Ή γλώσσα γιά τόν Locke χρησιμοποιείται κατά κύριο λόγο γιά τήν έπικοινωνία - αύτό έπιτυγχάνεται μέσω τών λέξεων, άφού «οί λέξεις στήν πρωταρχική καί άμεση σημασία τους δέν παριστάνουν τίποτε άλλο άπό ιδέες στό νού αύτού πού / ~ 8 0 τις χρησιμοποιεί». Σύμφωνα μέ τό μοντέλο τής θεωρίας τού νοήματος, πού έμμεσα διατυπώνεται άπό τόν Locke, όταν οί άνθρωποι μιλούν τήν ίδια γλώσσα συνδέουν μία λέξη μέ μία ιδέα στό νού τους. Κατόπιν έπικοινωνούμε εκφωνώντας λέξεις, προτάσεις καί γλωσσικές έκφράσεις κοινές γιά τούς ομιλητές, ελπίζοντας ότι ταυτόχρονα άναφερόμαστε σέ κοινές ιδέες καί, συνολικά, σέ ένα κοινό άπόθεμα ιδεών. Ή άντίρρηση τού Φρέγκε είναι ότι μιά τέτοια θεωρία συγχέει τήν προσωπική μέ τή διυποκειμενική άποψη τού νοήματος τών λέξεων. Ό τα ν μιά ζωγράφος έκφέρει τή λέξη «Βουκεφάλας» δέν μπορούμε νά εικάσουμε άν ή ιδέα/παράσταση πού αύτή συνδέει μέ τή λέξη σχετίζεται μέ τήν ιδέα/παράσταση πού σχηματίζει ένας ζωολόγος όταν έκφέρει τήν ίδια λέξη. Καλά καλά δέν μπορούμε νά ξέρουμε άν ή ζωγράφος έχει στό νού της τήν ϊδια παράσταση τού Βουκεφάλα κάθε φορά πού έκφέρει αύτή τή λέξη.83 Ό εμπειρισμός. Ά ν, λοιπόν, ό κόσμος τών ιδεών καί τών παραστάσεων καί τών υποκειμενικών διασυνδέσεων είναι εύμετάβολος καί άσταθής, τότε ίσως θά μπορούσαμε νά στραφούμε πρός τόν σταθερό κόσμο τών έξωτερικών πρός τή συνείδηση άντικειμένων; Ή έμπειρία μας τού εξωτερικού κόσμου (ώς άντικειμενικού κόσμου) ίσως θά μπορούσε νά άποτελέσει θεμέλιο τής άντικειμενικότητας τών άριθμητικών προτάσεων. Τέτοια περίπου είναι ή θέση τού έμπειρισμού τού J. S. Mill σχετικά μέ τό χαρακτήρα τών προτάσεων τής άριθμητικής καί τής γεωμετρίας.84 Οί άριθμητικές άλήθειες προέρχονται άπό

30 ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ τίς εμπειρίες μας τού ύλικού κόσμου- ειδικά οί άριθμοί προκύπτουν ώς ιδιότητες τών συλλογών άντικειμένων τού ύλικού κόσμου μέσω καταλλήλων άφαιρέσεων: «Ό λοι οί άριθμοί πρέπει νά είναι άριθμοί κάποιων πραγμάτων. Δέν υπάρχουν άφηρημένοι άριθμοί. Δέκα πρέπει νά σημαίνει δέκα σώματα, δέκα ήχους κ.ο.κ. Ά λ λά άν οί άριθμοί πρέπει νά είναι άριθμοί κάποιων συγκεκριμένων πραγμάτων, μπορούν νά είναι καί άριθμοί ό- ποιωνδήποτε πραγμάτων. Συνεπώς, οί προτάσεις πού ά- ναφέρονται στούς άριθμούς έχουν τήν άξιόλογη ιδιομορφία ότι είναι προτάσεις πού άφορούν όποιαδήποτε πράγματα, όλα τά άντικείμενα - κάθε ύπαρξη, όποιουδήποτε είδους, που γνωρίζουμε στήν έμπειρία μας».85 Ή κριτική αύτών τών άπόψεων άπό τόν Φρέγκε άποσαφηνίζει δύο πράγματα σχετικά μέ τό status τών άριθμών καί τών άριθμητικών προτάσεων.86 Ή άποψη τού Mill γιά τό status/χαρακτήρα τών άριθμητικών προτάσεων άποδίδει σ αύτές status τέτοιο πού έχουν οί προτάσεις τής υλικής πραγματικότητας, τής άλλαγής καί τής μεταβολής. Έ τσι, δέν έξηγείται πώς οί άριθμητικές προτάσεις εφαρμόζουν στήν ύλική πραγματικότητα. Μάλιστα ό Mill διατυπώνει τή μεταξύ τους σχέση κατά τόν άντίστροφο άκριβώς τρόπο: άπό τήν ύλική πραγματικότητα μέσω άφαιρέσεων στίς άριθμητικές προτάσεις. Έ ν α έπιμέρους πρόβλημα πού προκύπτει άπ αύτήν τήν άποψη τού Mill είναι ότι κάθε φορά χρειαζόμαστε ορισμένη φυσική πραγματικότητα γιά νά συμπεράνουμε κάτι πού άφορά τήν άριθμητική πραγματικότητα. Ε πιπλέον, πρέπει νά έπισημανθεΐ ή θεμελιώδης π α ρατήρηση τού Φρέγκε, σύμφωνα μέ τήν όποία συγκεκριμένη φυσική πραγματικότητα (λ.χ., ένα ζευγάρι μπότες) δέν καθορίζει μέ άναγκαστικό τρόπο τήν άριθμητική κατηγόρηση, όπως φαίνεται νά άπαιτεϊ ή άποψη τού Mill. Μπορούμε νά μιλήσουμε γιά όνο μπότες ή γιά ενα ζευγάρι μπότες άναφερόμενοι στήν ίδια φυσική πραγματικότητα.87 'Ο φορμαλισμός. Ή κριτική τού φορμαλισμού άπό τόν Φρέγκε άφορά ένα περιορισμένο είδος φορμαλισμού, αύτό πού εκπροσωπείται κυρίως άπό τόν Thomae.88 Ό φορμαλισμός αύτός Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ 31 ταυτίζει τίς άριθμητικές οντότητες μέ τίς φυσικές οντότητες πού σημειώνουμε στό χαρτί ή στόν πίνακα, καί άσφαλώς δέν θά μπορούσε νά στηρίξει τήν άντικειμενικότητα τών άριθμητικών προτάσεων.89 Ό Φρέγκε άσχολεϊται μέ τίς νατουραλιστικές θεωρίες στό μισό περίπου τμήμα τών Θεμελίων καί, φυσικά, τίς άπορρίπτει γιατί δέν καταφέρνουν νά θεμελιώσουν τό άντικειμενικό status πού συνήθως άποδίδουμε στίς άριθμητικές προτάσεις. Τό θεμελιωτικό πρόγραμμα τού Φρέγκε πραγματοποιείται στό υπόλοιπο μισό τών Θεμελίων, μέσω τής διάκρισης άντικείμενο-έννοια ό Φρέγκε ισχυρίζεται ότι οί φυσικοί άριθμοί δέν είναι έννοιες άλλά (λογικά) άντικείμενα. Οί άριθμητικές προτάσεις είναι άναλυτικές προτάσεις καί τά λογικά άντικείμενα/άριθμοί μπορούν νά όριστούν βάσει λογικών διαδικασιών καί νά άναχθοΰν, τελικά, σέ βασικούς λογικούς νόμους. Ταυτόχρονα προκύπτει καί ό άναλυτικός (καί a priori, βεβαίως) χαρακτήρας τών άριθμητικών νόμω ν γιά τό σκοπό αύτό όμως χρησιμοποιείται καί ή άρχή τού πλαισίου πού θά εξετάσουμε άμέσως πιό κάτω. 2.3. Ή άρχή τοϋ πλαισίου. 'Αντικείμενο κ α ί έννοια Η άρχή τού πλαισίου. Σύμφωνα μέ τήν άρχή τού πλαισίου (context principle), ό Φρέγκε μάς παροτρύνει νά ζητάμε τό νόημα τών (άριθμητικών) λέξεων στό πλαίσιο τών προτάσεων πού αύτές έμφανίζονται: «Οφείλουμε νά έχουμε μπροστά μας μιά πλήρη πρόταση. Μόνο σέ μιά πρόταση έχουν νόημα οί λέξεις. Μπορεί οί νοητικές εικόνες νά περνούν μπροστά άπό τά μάτια μας, άλλά δέν είναι άναγκαΐο νά άντιστοιχούν στά λογικά στοιχεία τής πρότασης. Είναι άρκετό ότι ή πρόταση ώς ένα όλον έχει ένα νόημα αύτό προσδίδει νόημα καί στά μέρη της».90 'Η έρμηνεία τής άρχής τού πλαισίου είναι άμφιλεγόμενο ζήτημα.91 Ά ν καί έμφανίζεται άρκετές φορές μέ τήν παραπάνω διατύπωση σέ διάφορα σημεία τών Θεμελίων, ώστόσο δέν έμ-

il ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ 33 φανίζεται ξανά (μέ τή διατύπωση αύτή). στά ύστερότερα κείμενα τού Φρέγκε. Πάντως, χρησιμοποιείται γιά νά στηρίξει τήν άντι-ψυχολογιστική καί άντι-νατουραλιστική στάση τού Φρέγκε στό πρόγραμμα τών Θεμελίων. "Οσον άφορά τήν εφαρμογή τής άρχής αύτής μπορούμε νά παρατηρήσουμε ότι στό πλαίσιο τού ψυχολογισμού, άλλά καί τοϋ νατουραλισμού γενικότερα, ή άρχή τού πλαισίου παραβιάζεται, άφού μέ τόν ένα ή τόν άλλο τρόπο οί άριθμητικές οντότητες υποκαθίστανται άπό άτομικές παραστάσεις, ιδέες, έποπτεΐες, υλικά σημεία καί φυσικές συλλογές άντικειμένων. Έ τσ ι, στό νατουραλισμό οί άριθμητικές οντότητες άποκτούν αύτόνομο-status καί μπορούν νά νοηθούν άνεξάρτητα άπό τό πλαίσιο τών προτάσεων όπου έμφανίζο- 92 νται. Ό Φρέγκε ούσιαστικά άντιστρέφει τή σχετική διαδικασία: άποκόπτοντας κάθε σύνδεση τών άριθμητικών οντοτήτων άπό τίς νατουραλιστικές τους ρίζες εξετάζει τίς άριθμητικές οντότητες στό πλαίσιο τών προτάσεων καί δηλώσεων όπου εμφανίζονται. Ό γενικότερος λόγος (discourse) πού δημιουργείται μέ τόν τρόπο αύτό μάς έπιτρέπει στή συνέχεια νά έπεξηγήσουμε τίς έννοιες τών άριθμών. Μέ τήν άρχή αύτή ό Φρέγκε εγκαινιάζει έναν νέο τρόπο άντιμετώπισης τού ζητήματος τής αντικειμενικότητας τής γνώσης. Τά ερωτήματα πού διατυπώνει έμμεσα ή προβληματική τού Φρέγκε είναι τά έξής δύο: 1) Ποιά σχέση υπάρχει μεταξύ τής έννοιας τού άριθμού καί τών άριθμητικών λέξεων πού έμφανίζονται στίς προτάσεις; Ειδικότερα, χρειάζεται νά ξεκαθαρίσουμε τό ό ντολογικό ζήτημα τής φύσης τών άριθμών πρίν άκόμα έξετάσουσε τό πλαίσιο τών προτάσεων όπου εμφανίζονται τυπικές άριθμητικές προτάσεις καί βεβαιώσεις; Ε πιπλέον, 2) τί γνωρίζουμε γιά τίς άριθμητικές λέξεις; Έχουμε στή διάθεσή μας κάποιες έμπειρίες τών συγκεκριμένων αύτών οντοτήτων; Ή παρότρυνση τού Φρέγκε νά άναζητούμε τό νόημα τών άριθμητικών λέξεων στό πλαίσιο τών εκφράσεων όπου αύτές έμφανίζονται (άρχή τού πλαισίου) μπορεί νά θεωρηθεί παρό τρυνση νά άναλύουμε τίς λέξεις μέ τρόπο πού νά προσεγγίζουμε διαισθητικά τίς προτάσεις όπου υπεισέρχονται οί άριθμητικές λέξεις.93 Γιά τό σκοπό αύτό όμως δέν είναι άναγκαίο νά έχουμε στή διάθεσή μας μιά «εικόνα» τών άριθμητικών οντοτήτων ή άκόμα μιά όντολογική θεωρία τής φύσης τών άριθμών. «Πώς, λοιπόν, μάς δίνονται οί άριθμοί άφού δέν μπορούμε νά έχουμε ιδέες ή έποπτεΐες τους; Έφόσον οί λέξεις έχουν νόημα μόνο στό πλαίσιο τής πρότασης, τό πρόβλημά μας είναι νά έπεξηγήσουμε τό νόημα τής πρότασης στήν όποία έμφανίζεται ή άριθμητική λέξη».94 Ά ν, λοιπόν, έχουμε στή διάθεσή μας τήν άνάλυση τής έννοιας τού άριθμού κατά τρόπο πού άνταποκρίνεται στό νόημα τών προτάσεων όπου αύτή ή άριθμητική έννοια υπεισέρχεται, τότε δέν είναι άναγκαίο -σέ μιά πρώτη φάση- νά ζητήσουμε περισσότερα γιά τή σύλληψη τής έννοιας τού άριθμού. Ιδ ια ι τέρως δέν χρειάζεται νά άποκαταστήσουμε προκαταβολικά ο ρισμένη σχέση μεταξύ γνωρίζοντος ύποκειμένου καί άριθμών. Μιά τέτοια έρμηνεία γιά τό ρόλο καί τή λειτουργία τής άρχής τού πλαισίου συμβιβάζεται μέ τή γενικότερη άποψη, σύμφωνα μέ τήν όποία ό κύριος σκοπός τών ορισμών τών άριθμητικών λέξεων είναι νά έπεξηγήσει τό νόημα τών όρων αύτών. Ό Φρέγκε δέν έχει σκοπό του νά καθορίσει, μέ βάση τούς ορισμούς, κάποιες «νέες» οντότητες, τούς άριθμούς - άλλά κυρίως νά έ- πεξηγήσει καί νά άναλύσει τό νόημα τών όρων αύτών.95 Δέν πρόκειται, λοιπόν, γιά ένα «νέο» νόημα πού προσπαθεί νά ά- ποδώσει στούς άριθμούς καί στίς έννοιες πού εμφανίζονται στήν άριθμητική. Οί έννοιες αύτές έχουν νοήματα πού είναι έγκαθιδρυμένα στήν κοινωνική πρακτική τών μαθηματικών καί ή άνάλυσή τους πρέπει νά γίνεται στό πλαίσιο ολοκληρωμένων προτάσεων.96 Έννοια-άντικείμενο. Ή άνάλυση τών προτάσεων πού βεβαιώνονται σέ σχέση μέ τούς άριθμούς καθώς καί ή άνάλυση τής συμπεριφοράς τών άριθμητικών λέξεων στό πλαίσιο τών προτάσεων οδηγούν στήν ουσιώδη διάκριση μεταξύ (λογικού) άντικειμένου καί έννοιας. Σύμφωνα μέ τή διάκριση αύτή, στούς φυσικούς άριθμούς άποδίδουμε παραδειγματικό status τέτοιο

34 ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ πού ταιριάζει στά λογικά άντικείμενα. Στό πλαίσιο τών προτάσεων πού έμφανίζονται οί άριθμοί μπορούμε νά παρατηρήσουμε τά εξής σχετικά μέ τή συμπεριφορά τους: 1) Οί άριθμοί δέν είναι ιδιότητες πού μπορούμε νά άποδώσουμε σέ άτομικά πράγματα. Τό συμπέρασμα αύτό είναι συνέπεια τού άντι-νατουραλισμού τού Φρέγκε γιά τόν όποιο μιλήσαμε προηγουμένως.97 2) Οί άριθμητικές λέξεις φαινομενικά συμπεριφέρονται σάν επίθετα, αλλά δέν είναι έπίθετα. Οί έπιθετικές τους χρήσεις μπορούν νά άντικατασταθούν άπό άλλες ισοδύναμες μέ τή βοήθεια τού άριθμητικού τελεστή «ό άριθμός τών F...».98 Ή ισοδύναμη αύτή άνάλυση μάς έπιτρέπει νά μιλήσουμε καί γιά τίς προτάσεις πού περιέχουν τούς άριθμούς 0 καί 1." 3) Ό σημαντικότερος όμως λόγος γιά τόν όποιο, κατά τόν Φρέγκε, μπορούμε νά θεωρήσουμε τούς άριθμούς λογικά άντικείμενα είναι τό γεγονός ότι ικανοποιούν τό σχετικό κριτήριο γιά τά λογικά άντικείμενα.100 Μιά οντότητα μπορεί νά θεωρηθεί λογικό άντικείμενο έφόσον μπορούμε νά καθορίσουμε συνθήκες ταυτότητας γιά τήν οντότητα αύτή. Στήν άριθμητική θεωρία (τών φυσικών καί τών πραγματικών άριθμών) οί προτάσεις πού εμπλέκουν τήν ταυτότητα άφθονούν καί άποτελούν ξεχωριστό είδος προτάσεων. Ή ιδέα τού Φρέγκε θά φαινόταν περισσότερο εύλογη άν έπρόκειτο νά προχωρήσουμε μέ άντίστροφο τρόπο: άν, δηλαδή, έπρόκειτο νά κατασκευάσουμε μιά μαθηματική θεωρία, θά μάς ένδιέφερε οί οντότητες πού θά είσαχθούν νά μπορούν νά άναγνωριστούν ώς αύτό πού είναι πραγματικά- προσαρτούμε, λοιπόν, σ αύτές συνθήκες ταυτότητας γιά νά τίς σταθεροποιήσουμε. Ά ν επομένως υποθέσουμε ότι οί άριθμοί είναι οντότητες κάποιου τύπου, τότε παρατηρούμε ότι μπορούμε νά μιλήσουμε γιά ταυτοτικές προτάσεις (λ.χ., «α=β», όπου α καί β συμβολίζουν άριθμούς). Σύμφωνα μέ τήν άποψη τού Φρέγκε, μιά κλάση άντικειμένων μπορεί νά θεωρηθεί δεδομένη κατά καθορισμένο τρόπο, μόνο έφόσον μπορούμε νά δώσουμε συνθήκες ταυτότητας ή ένα κριτήριο ταυτότητας γιά τά μέλη τής κλάσης. Γιά νά φτάσουμε τώρα στόν ορισμό τών φυσικών άριθμών (ώς λογικών άντικειμένων) πρέπει νά μιλήσουμε γιά τήν πρόταση: ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΚΑΙ ΜΙΑ ΑΡΧΗ 35 Ό άριθμός πού ταιριάζει στήν έννοια F ταυτίζεται μέ τόν άριθμό πού ταιριάζει στήν έννοια G (οί έννοιες F καί G είναι ισάριθμες). Στή συνέχεια, πρέπει νά μιλήσουμε γιά μιά 1-1 άντιστοιχία μεταξύ τών έννοιών F καί G καί νά εισαγάγουμε τόν φυσικό άριθμό πού ταιριάζει στήν έννοια F ώς τήν έκταση τών εννοιών πού είναι ισάριθμες πρός τήν έννοια F. Φυσικά, αύτός δέν είναι συνήθως ό τρόπος μέ τόν όποιο μιλάμε γιά τούς φυσικούς άριθμούς. Ό Φρέγκε δέν προσπαθεί νά μάς πείσει γιά τήν εύλογοφάνεια τών ορισμών αύτών. Μάς επιτρέπει όμως νά κρίνουμε τή λογική άναγωγή πού διατυπώνει βάσει τών άποτελεσμάτων άκρίβειας καί ορθότητας. Έ τσι πρέπει νά δείξει ότι ή άνάλυση πού προσφέρει συμβιβάζεται μέ τίς ιδιότητες πού συνήθως συνδέουμε μέ τούς φυσικούς άριθμούς (όπως τά άξιώματα τού Peano). Ή διάκριση έννοια-άντικείμενο άποτελεί γενικότερα θεμέλιο τόσο τής άριθμητικής όσο καί τής σημασιολογίας τού Φρέγκε. Καταρχήν, μάς έπιτρέπει νά μιλάμε γιά φυσικά καί ύλικά πράγματα σέ άντίθεση πρός τά λογικά άντικείμενα. Ειδικά οί άριθμοί ώς λογικά άντικείμενα δέν περιγράφουν ιδιότητες πού συνάπτονται στίς ίδέες/παραστάσεις ούτε στά ύλικά άντικείμενα (ή συλλογές τους). Επιπλέον, άν τελικά ή διάκριση μπορεί νά δικαιολογηθεί έπαρκώς, θέτει τίς βάσεις γιά μιά θεωρία πού εξηγεί τί σημαίνει ότι οί ομιλητές κατανοούν μιά άριθμητική πρόταση καί γενικότερα μιά πρόταση.101 3. Ε π ίλογος - καί μιά άρχή Σήμερα, τόσα χρόνια μετά άπό τή συναγωγή τού παραδόξου Russell άπό τό σύστημα τού Φρέγκε, ή άναγωγή τών άριθμητικών θεωριών δέν μπορεί νά γίνει μέ τόν τρόπο πού επιχείρησε ό Φρέγκε. Ή άποτυχία αύτή, μεταξύ άλλων, σημαίνει πώς ή άποψη ότι οί άριθμοί είναι λογικά άντικείμενα δέν είναι σαφώς διατυπωμένη καί πιθανόν ή όλη διάκριση έννοια-άντικείμενο δέν μπορεί νά γίνει σαφής, όπως ύπέθεσε ό Φρέγκε. Μετά άπό τήν προσπάθεια τού Φρέγκε νά διορθώσει τό σύστημά του -προσπάθεια πού δέν καρποφόρησε- μπορούμε εύλογα νά ά-

36 ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ναρωτηθοΰμε άν άπό τό πρόγραμμα αύτό γιά μάς σήμερα μένει κάτι άξιόλογο, κάτι πού ξεπερνά τήν άξια τών ιστορικών δημιουργημάτων. Ιδιαιτέρως έχει κάποια έπικαιρότητα σήμερα γιά μάς ή σκέψη τού Φρέγκε, ή πρέπει νά τή μελετάμε άπλώς ώς ένα ιστορικό άντικείμενο; Τό καθ εαυτό μαθηματικό πρόγραμμα άπέτυχε. Μπορούμε όμως νά πούμε μέ άσφάλεια ότι οί άποτυχημένες προσπάθειες τού Φρέγκε είχαν μιά άλυσίδα συνεπειών σχετικά μέ τή θεμελίωση τών μαθηματικών στίς άρχές τού 20ού αιώνα. Ό Hilbert, άσφαλώς επηρεασμένος άπό τήν άποτυχία τού Φρέγκε, διατύπωσε τό περατοκρατικό πρόγραμμα (finitism), τό όποιο άρνεΐται κάθε άναγωγή τών μαθηματικών στή λογική. Ά π ό τήν άλλη μεριά, τό πρόγραμμα τού ίντουισιονισμού (intuitionism) μπορεί βέβαια νά μήν ξεκίνησε μέ άφορμή τίς άπόψεις τού Φρέγκε γιά τά μαθηματικά, εκδηλώθηκε όμως πολύ σθεναρά έναντίον τής άναγνώρισης λογικής συνιστώσας στήν πρακτική τών μαθηματικών.102 Α νεξάρτητα άπό τίς άντιδράσεις τών ιστορικών μαθηματικών σχολών παραμένει γεγονός ότι ό Φρέγκε είναι ό πρώτος σύγχρονος διανοητής πού ζήτησε μιά θεμελίωση τών μαθηματικών στηριζόμενος στή συνειδητοποίηση τής προτεραιότητας τής φιλοσοφικής/λογικής θεμελίωσης. Ό Φρέγκε συνέλαβε καί ταυτόχρονα πραγματοποίησε ένα τέτοιο πρόγραμμα -φιλοσοφικό πρόγραμμα στήν ούσία- καί οί συνέπειες ξεπέρασαν τό στενό πλαίσιο σύλληψής του. Τό ενδιαφέρον μας σήμερα στή σκέψη τού Φρέγκε δέν περιορίζεται στήν έρμηνευτική πλευρά τής φιλοσοφικής θεμελίωσης τών μαθηματικών. Μολονότι κατά τή διάρκεια τής ζωής του τό έργο του παρέμεινε στήν άφάνεια, σήμερα έπιστρέφουμε σ αύτόν - άφού όμως προηγουμένως μεσολάβησε τό Tractatus καί οί Φιλοσοφικές Έρευνες του Wittgenstein, ό Tarski καί ή σημασιολογική έρμηνεία τής άλήθειας, ό Carnap καί οί άπόψεις τού λογικού θετικισμού, ό Quine, ό Davidson, ό Dummett κ.ά. Ή γενικότερη στροφή πού σημειώθηκε στήν άγγλόφωνη, κυρίως, φιλοσοφία άπό τό Tractatus καί μετά (1923) οφείλει πολλά στόν Φρέγκε καί δέν μπορεί νά κατανοηθεί χωρίς αύτόν. Ή φιλοσοφία τής γλώσσας, ή φιλοσοφική λογική καί ή φιλοσοφία τών μαθηματικών σήμερα επιστρέφουν στόν Φρέγκε, όχι στό ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΚΑΙ ΜΙΑ ΑΡΧΗ Tractatus. Ά σφαλώς, ή έρμηνεία τής σκέψης τοϋ Φρέγκε καί ή κεντρικότητά της στίς σύγχρονες άναζητήσεις στή φιλοσοφία τής γλώσσας δέν άκολουθοϋν μονόδρομη κατεύθυνση οί δια φορετικές κατευθύνσεις στή φιλοσοφία τής γλώσσας έχουν ά- ντιστοιχίες στήν έρμηνεία τής σκέψης τού Φρέγκε. Συμπερασματικά, μπορούμε νά άναρωτηθούμε μαζί μέ τόν Φρέγκε γιά τή δυνατότητα φιλοσοφικής στοιχείωσης μέσω άνάλυσης τής γλώσσας καί, συνακόλουθα, κατασκευής μιάς συστηματικής θεωρίας τού νοήματος.103 Ή μπορούμε, πάλι, μαζί μέ τόν Φρέγκε, νά άναρωτηθούμε καί νά εξετάσουμε τή δυνατότητα μιάς θεωρίας τού νοήματος πού ξεπερνά τά νοήματα (Sinne) τού Φρέγκε, στηριζόμενοι στή σημασιολογική θεωρία τής άλήθειας (ώς συνθήκες άλήθειας).104 Μπορούμε, άκόμα, νά φ α νούμε περισσότερο ριψοκίνδυνοι, καί άμφισβητώντας τίς συνθήκες άλήθειας ώς ικανοποιητικές συνθήκες στίς όποιες δομείται έπαρκώς μιά θεωρία τού νοήματος νά άπαιτήσουμε συνθήκες βεβαίωσης τής πρότασης.105 Στίς περιπτώσεις αύτές, καθώς καί σέ άλλες πού δέν θίχτηκαν στό πλαίσιο αυτής εδώ τής εισαγωγής, ή επίδραση τής σκέψης τού Φρέγκε είναι έμφανής. Ά λλά γιά όσους διατηρούν επιφυλάξεις ταιριάζει άναμφισβήτητα ή προτροπή τού Umberto Eco, σύμφωνα μέ τήν όποία, άν είναι άλήθεια ότι «τό κείμενο είναι μιά νωθρή μηχανή πού πρέπει νά ένεργοποιηθεί πάλι άπό τόν αναγνώστη/σχολιαστή»,106 τότε τό ζήτημα τής άνάγνωσης/έρμηνείας τού έργου τού Φρέγκε -όπω ς, άλλωστε, καί κάθε άλλου «έργου»- είναι ζήτημα άνοιχτό. Γ. ΡΟΥΣΟΠΟΥΛΟΣ 37