Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη

Κεφάλαιο 1 ιατεταγµένοι χώροι 1.1 Κώνοι και διάταξη Εστω E γραµµικός χώρος. Ενα κυρτό, µη κενό υποσύνολο P του E είναι κώνος αν λ P για κάθε λ R +. Αν επιπλέον ισχύει P ( P) = {0} το P είναι οξύς κώνος του E. Απο τον ορισµό έχουµε οτι κάθε κώνος του E περιέχει το µηδέν αφού 0 R +. Υποθέτουµε ότι είναι µια σχέση µερικής διάταξης του E. Αν για κάθε, y, z E ισχύουν : (1) (2) y, y = y (3) y, y z z (4) y [ + z y + z και λ λy] γιά κάθε λ R +, λέµε οτι ο E ή ακριβέστερα το ευγάρι (E, ) είναι µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος. Συχνά αντί του ακριβούς όρου χρησι- µοποιούµε τον όρο µερικά διατεταγµένος χώρος ή διατεταγµένος χώρος. Υποθέτουµε ότι ο E είναι µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος. Αν, y E, λέµε ότι το είναι µεγαλύτρο του y και γάφουµε > y αν y και y. Επίσης το σύνολο των στοιχείων του E που είναι µεγαλύτερα 1

2 Κεφάλαιο1. ιατεταγµένοι χώροι ή ίσα του µηδενός συµβολίζεται µε E +, είναι οξύς κώνος και αναφέρεται ως ο ϑετικός κώνος του E. ηλαδή έχουµε E + = { E 0}. Αντίστροφα αν υποθέσουµε οτι P E είναι οξύς κώνος του E, τότε ορίζεται µια σχέση µερικής διάταξης στον E ως εξής : y y P. Πραγµατικά είναι εύκολο να δείξουµε ότι η ικανοποιεί τις ιδιότητες (1), (2), (3), (4). Επίσης έχουµε ότι ο ϑετικός κώνος του E είναι ο P, δηλαδή P = { E 0}. Στην περίπτωση αυτή λέµε επίσης οτι ο E είναι γραµµικός χώρος διατεταγµένος απο το κώνο P και εννούµε ϕυσικά οτι η διάταξη είναι εκείνη που ορίζεται όπως παραπάνω απο το κώνο P. Αν ο P είναι κώνος αλλά όχι κατανάγκη οξύς τότε ορίζεται µια σχέση µερικής διάταξης η οποία όµως δεν είναι αντισυµµετρική, δηλαδή ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες εκτός της (2). Αν P κώνος του X, αποδεικνύεται εύκολα ότι το σύνολο P P είναι ο γραµµικός χώρος που παράγεται από τον P. Αν P P = X, λέµε ότι ο P παράγει τον X. 1.2 Βασικές έννοιες Υποθέτουµε οτι (E, ) είναι µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος και έστω, y E. Τότε {} + E + = {y E y } είναι το σύνολο των στοιχείων του E που είναι µεγαλύτερα ή ίσα του, {} E + = {y E y }, είναι το σύνολο των στοιχείων του E που είναι µικρότερα ή ίσα του και το σύνολο [, y] = {z E z y}

1.2. Βασικές έννοιες 3 είναι το διατεταγµένο διάστηµα µε άκρα τα, y, εφόσον y. Εστω D E. Αν υπάρχει y E τέτοιο ώστε y d γιά κάθε d D, λέµε ότι το D είναι άνω ϕραγµένο και το y είναι ένα άνω ϕράγµα του D. Ανάλογα, αν υπάρχει E ώστε d για κάθε d D το D είναι κάτω ϕραγµένο το και το είναι ένα κάτω ϕράγµα του D. Αν υπάρχουν, y E ώστε D [, y], το D είναι διατακτικά ϕραγµένο. Αν γιά κάθε d 1, d 2 D το σύνολο {d 1, d 2 } είναι άνω ϕραγµένο, το D είναι άνω κατευθυνόµενο ενώ αν το {d 1, d 2 } είναι κάτω ϕραγµένο το σύνολο D είναι κάτω κατευθυνόµενο. Πρόταση 1.1. Ο E + παράγει τον E αν και µόνο αν ο E είναι άνω κατευ- ϑυνόµενος. Απόδειξη. Εστω ότι ο E + παράγει τον E. Τότε για κάθε, y E υπάρχουν 1, 2, y 1, y 2 E + ώστε = 1 2, y = y 1 y 2, άρα 1, y y 1 και εποµένως, y 1 + y 1. Αντίστροφα, αν ο E είναι άνω κατευθυνόµενος, για κάθε E υπάρχει z E ώστε z, z 0, εποµένως = z (z ) E + E +. Το στοιχείο e E + είναι διατακτική µονάδα του E αν για κάθε E υπάρχει πραγµατικός αριθµός α > 0 ώστε [ αe, αe]. Αν ο E έχει διατακτική µονάδα, ο ϑετικός κώνος E + του E παράγει τον E. Εστω B E και y E. Αν το y είναι άνω ϕράγµα του B και για κάθε άνω ϕράγµα z E του B, ισχύει z y, το y ονοµάζεται ελάχιστο άνω ϕράγµα (supremum) του B και γράφουµε y = sup(b). Ανάλογα ορίζεται το µέγιστο κάτω ϕράγµα του B. Ειδικότερα αν E είναι κάτω ϕράγµα του B και για κάθε κάτω ϕράγµα z E του B ισχύει z, το έίναι το µέγιστο κάτω ϕράγµα(infimu) του B και γράφουµε = inf (B). Αν για κάθε, y E, τα sup{, y} και inf{, y}, υπάρχουν ο E είναι ένας διανυσµατικός (γραµµικός) σύνδεσµος ή ένα διανυσµατικό (γραµµικό) δίκτυο (vector(linear) lattice). Στη περίπτωση αυτή συµ- ϐολίζουµε sup{, y} = y, inf{, y} = y.

4 Κεφάλαιο1. ιατεταγµένοι χώροι Παράδειγµα 1.2 (Ο χώρος R n ). Η σηµειακή διάταξη του R n ορίζεται ως εξής : Αν = ( 1, 2,..., n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n έχουµε Επίσης αν, y R n γράφουµε y αν και µόνο αν i y i για κάθε i. y αν και µόνο αν i > y i για κάθε i και λέµε ότι το είναι αυστηρά µεγαλύερο του y. Το είναι αυστηρά ϑετικό αν 0. Το σύνολο R n + = { = ( 1, 2,..., n ) R n i 0 για κάθε i}, είναι ο ϑετικός κώνος του R n. Στο παρακάτω σχήµα ϕαίνεται το σύνολο των διανυσµάτων των µεγαλύτερων ή ίσων του, το σύνολο των διανυσµάτων των µικρότερων ή ίσων του και το διατεταγµένο διάστηµα [, y]. y {} + R n + y y [, y] {} R n + Το σταθερό διάνυσµα 1 R n + είναι διατακτική µονάδα του Rn. Επίσης κάθε R n αυστηρά ϑετικό, είναι διατακτική µονάδα του R n.

1.2. Βασικές έννοιες 5 Σηµειώνουµε επίσης ότι ο R n είναι γραµµικός σύνδεσµος. Ειδικότερα γιά κάθε, y R n έχουµε y = z, όπου z i = i y i γιά κάθε i και y = w, όπου w i = i y i γιά κάθε i. Πρόταση 1.3. Εστω P κώνος του X. Αν f : P R ώστε f (λ + µy) = λf () + µf (y) για κάθε, y P και λ, µ R+, το f επεκτείνεται σε γραµµικό συναρτησιακό του X. Απόδειξη. Εστω Y = P P ο γραµµικός υπόχωρος του X παράγεται απο τον P. Για κάθε P ϑέτουµε g() = f () και για κάθε = 1 2 Y µε 1, 2 P, ϑέτουµε g() = g( 1 ) g( 2 ). Η g : Y R, είναι καλά ορισµένη. Πραγατικά αν = 1 2 έχουµε : 1 2 = 1 2, άρα 1 + 2 = 1+ 2 εποµένως g( 1 )+g( 2) = g( 1)+g( 2 ) και g( 1 ) g( 2 ) = g( 1) g( 2). Επίσης έχουµε ότι g( ) = g() γιά κάθε Y. Θα δείξουµε ότι η g είναι γραµµική. Αν = 1 2, y = y 1 y 2 έχουµε + y = ( 1 + y 1 ) ( 2 + y 2 ) άρα g( + y) = g( 1 ) + g(y 1 ) g( 2 ) g(y 2 ) = g() + g(y). Επίσης για κάθε λ 0 έχουµε g(λ) = g(λ 1 λ 2 ) = λg( 1 ) λg( 2 ) = λg(). Αν λ < 0 έχουµε g(λ) = g( ( λ)) = g(( λ)) = ( λ)g() = λg(). Άρα η g είναι γραµµική στον Y, εποµένως επεκτείνεται γραµµικά στον X. Εστω E χώρος διατεταγµένος γραµµικός απο τον κώνο P. Ο E είναι Αρχιµήδειος αν για κάθε E, y P η σχέση α y για κάθε πραγµατικό αριθµό α > 0, συνεπάγεται P. Εστω A E και έστω C : r(t) = + ty, t R, όπου, y E, ευθεία του E. Αν r(t 0 ) = z και n = r(t n ), λέµε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει στο z στην τοπολογία της ευθείας C αν και µόνο αν t n t 0. Αν A E λέµε οτι το A είναι ευθειακά κλειστό αν για κάθε ευθεία C του X το σύνολο C A είναι κλειστό υποσύνολο της C. ηλαδή αν r(t n ) C A και t n t 0 r(t 0 ) A. Αν E είναι χώρος µε norm κάθε κλειστό υποσύνολο του E είναι ευ- ϑειακά κλειστό. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Πρόταση 1.4. Αν E µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος απο τον κώνο P. Ο E είναι Αρχιµίδειος αν και µονο αν ο P είναι ευθειακά κλειστός.

6 Κεφάλαιο1. ιατεταγµένοι χώροι Απόδειξη. Εστω οτι ο E είναι Αρχιµίδειος. Θα δείξουµε ότι ο P είναι ευθειακά κλειστός. Υποθέτουµε οτι ε ευθεία του E µε ε P και οτι y ε µε y = lim y n, όπου y n ε P. Θα δείξουµε ότι y P. Η εξίσωση της ε είναι r(t) = y + t(y 1 y). Αν r(t) P για κάποιο t < 0, τότε το y ανήκει στον P ως κυρτός συνδιασµός των r(t), r(1) και το ητούµενο αποδείχθηκε. Πραγµατικά για λ = 1 έχουµε λr(t) + (1 λ)r(1) = y. Ετσι υποθέτουµε ότι µόνο για 1 t t > 0 µπορεί να έχουµε r(t) P. Εστω y n = r(t n ) = y + t n (y 1 y). Επειδή y n y, έχουµε ότι t n 0 και επειδή ο κώνος P είναι κυρτός έχουµε ότι r(t) P για κάθε t (0, 1]. Άρα για κάθε n N, έχουµε r( 1 ) = y + 1(y n n 1 y) 0, εποµένως ny y y 1 για κάθε n N. Άρα έχουµε n( y) y 1 y για κάθε n N, εποµένως y 0, άρα y 0. Εποµένως y P και ο P είναι ευθειακά κλειστός. Για το αντίστροφο υποθέτουµε οτι ο P είναι ευθειακά κλειστός. Επίσης υποθέτουµε οτι, y E µε n y για κάθε n N. Τότε y + n( ) 0, εποµένως + 1 y 0 για κάθε n N. Εστω ε η ευθεία r(t) = + n ty, t R. Τότε r( 1 ) P και r( 1 ) r(0) =, εποµένως 0 και n n 0. Θεώρηµα 1.5. Αν X χώρος Banach διατεταγµένος απο το κλειστό κώνο P και 0 P έχουµε οτι το 0 είναι διατακτική µονάδα του X αν και µόνο αν 0 int(p). Απόδειξη. Εστω 0 διατακτική µονάδα του X τότε X = n N [ n 0, n 0 ]. Παρατηρούµε οτι [ n 0, n 0 ] = ( n 0 + P) (n 0 P) κλειστό ως τοµή κλειστών. Άρα ο X γράφεται ως ένωση αριθµήσιµων κλειστών του X. Απο το ϑεώρηµα του Baire υπάρχει n 0 N τέτοιο ώστε int([ n 0 0, n 0 0 ]), τότε προκύπτει οτι υπάρχει z int([ 0, 0 ]). Εστω ɛ > 0 τέτοιο ώστε z + B(0, ɛ) [ 0, 0 ], ϑα δείξουµε τότε ότι 0 + B(0, ɛ 2 ) P, άρα 0 int(p). Εστω B(0, ɛ) τότε 0 + z + 0, άρα 2 0 + 0 0 + 1 2 0. Εποµένως 0 + B(0, ɛ 2 ) P. Αντίστροφα, υποθέτουµε ότι το 0 είναι εσωτερικό σηµείο του P. Εστω ɛ > 0 έτσι ώστε 0 + B(0, ɛ) P. Θα δείξουµε ότι B(0, ɛ) [ 0, 0 ]. Πράγµατι αν z B(0, ɛ), τότε 0 +z P και 0 z P. Άρα z [ 0, 0 ].

1.3. Βάσεις κώνων 7 Εστω X και n N τέτοιο ώστε n >, τότε απο τα παραπάνω έχουµε ότι [ n 0, n 0 ] και άρα το 0 είναι διατακτική µονάδα του X. 1.3 Βάσεις κώνων Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουµε την ϑεωρία των ϐάσεων των κώνων. Η ϑεωρία αυτή είναι σηµαντικό τοιχείο της γεωµετρίας των κώνων και έχει πολλές εφαρµογές στην οικονοµική και χρηµατοοικονοµική ϑεωρία. Ειδικότεα κάθε ϐάση κώνου ορίζει ένα σύνολο προϋπολογισµού και αντιστροφα κάθε σύνολο προϋπολογισµού ορίζει µιά ϐάση του κώνου κατανάλωσης. Εστω P X κώνος, P. Το B X ονοµάζεται ϐάση του P αν B, B είναι κυρτό και για κάθε P, 0, υπάρχει µοναδικός πραγµατικός αριθµός λ > 0 ώστε λ B. Απο τον ορισµό έπεται ότι 0 B. Θεώρηµα 1.6. Εστω X διατεταγµένος απο τον κώνο P. Το B P είναι ϐάση του P αν και µόνο αν υπάρχει αυστηρά ϑετικό γραµµικό συναρτησιακό f του X, ώστε B = { P f () = 1} Απόδειξη. Εστω B ϐάση του κώνου P. Για κάθε P, 0, ϑέτουµε f () = 1 λ όπου λ είναι ο µοναδικός ϑετικός πραγµατικός αριθµός ώστε λ B. Τότε για κάθε, f () είναι ο µοναδικός ϑετικός πραγµατικός αριθµός ώστε f () B. Για κάθε λ R +, λ > 0 έχουµε : λ λf () Επίσης για κάθε, y P,, y 0 B, άρα f (λ) = λf (). f (), y f (y) B και απο την κυρτότητα του B έχουµε f () f () + f (y) f () + f (y) y f () + f (y) f (y) = + y f () + f (y) B,

8 Κεφάλαιο1. ιατεταγµένοι χώροι από που έπεται οτι f ( + y) = f () + f (y). Αν υποθέσουµε οτι f (0) = 0, τότε για κάθε, y P και λ, µ R + έχουµε f (λ + µy) = λf () + µf (y), εποµένως σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση η f επεκτείνεται σε γραµµικό συναρτησιακό του X. Αντίστροφα, αν η f είναι αυστηρά ϑετικό γραµµικό συναρτησιακό του X, ϑα δείξουµε οτι η B = { P f () = 1} είναι ϐάση του P. Το B είναι προφανώς κυρτό, για κάθε P ϑέτουµε λ = 1 f () > 0 τότε λ B και το λ είναι µοναδικό. Πράγµατι αν υποθέσουµε οτι λ B τότε f (λ) = 1, εποµένως λ = 1 f () = λ. Ορισµός 1.7. Αν P κώνος του X και f γραµµικό συναρτησιακό του X. Η f ονοµάζεται οµοιόµορφα µονότονη(uniformly monotonic) στον P αν υπάρχει a > 0 τέτοιο ώστε f () a για κάθε P Πρόταση 1.8. Αν P κώνος του X, f αυστηρά ϑετικό γραµµικό συναρτησιακό του X και B f η ϐάση που ορίζει η f στον P τότε η B f είναι ϕραγµένη αν και µόνο αν η f είναι οµοιόµορφα µονότονη στον P. Απόδειξη. Εστω B f -ϕραγµένη απο το M τότε για κάθε P \ {0}, έχουµε f () M f () 1 M. Άρα η f είναι οµοιόµορφα µονότονη. Αντίστροφα αν η f είναι οµοιόµορφα µονότονη στον P και a > 0 τέτοιο ώστε f () a για κάθε P τότε f αυστηρά ϑετική στον P και άρα ορίζει την ϐάση B f = { P f () = 1} του P τότε για κάθε B f έχουµε 1 a, άρα B f είναι ϕραγµένη ϐάση του P. Πρόταση 1.9. Κάθε ϐάση κλειστού κώνου P πεπερασµένης διάστασης χώρου X είναι ϕραγµένη. Απόδειξη. Εστω B ϐάση του P και f αυστηρά ϑετικό γραµµικό συναρτησιακό του X, τέτοιο ώστε B = { P f () = 1}. Υποθέτουµε ότι η B δεν είναι ϕραγµένη, τότε υπάρχει ακολουθία n B τέτοια ώστε

1.4. ιατεταγµένοι υπόχωροι 9 n +. Για την ακολουθία y n = n n που ανήκει στην τοµή του κώνου P µε την σφαίρα του X(δηλαδή y n P S X για κάθε n N), έχουµε ότι f (y n ) = 1 n 0. Επειδή P S X είναι συµπαγής, υπάρχει υπακολουθία της y n την οποία συµβολίζουµε µε y kn για την οποία ισχύει y kn 0 P S X, τότε 0 0 και f ( 0 ) = lim f (y kn ) = 0, το οποίο είναι άτοπο διότι η f είναι αυστηρά ϑετική στον P. Εστω E είναι µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος. Αν επιπλέον ο E είναι χώρος µε norm λέµε οτι ο E είναι διατεταγµένος χώρος µε norm και αν E είναι χώρος Banach ότι ο E είναι διατεταγµένος χώρος Banach. 1.4 ιατεταγµένοι υπόχωροι Εστω E µερικά διατεταγµένος χώρος και X E γραµµικός υπόχωρος του E. Ο X ϑεωρείται µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος µε την επαγόµενη διάταξη που ϑα συµβολίζεται µε X ως εξής : για κάθε, y X έχουµε X y y, όπου είναι η σχέση µερικής διάταξης στον E. Για λόγους απλότητας ϑα συµβολίζουµε την επαγόµενη διάταξη X του X πάλι µε. Εύκολα ϕαίνεται οτι ο ϑετικός κώνος X + του X δίνεται από τον τύπο X + = X E +. Κάθε γραµµικός υπόχωρος X του E, διατεταγµένος µε την επαγόµενη διάταξη ονοµάζεται διατεταγµένος υπόχωρος του E. Εστω E γραµµικός σύνδεσµος και X διατεταγµένος υπόχωρος του E. Αν για κάθε, y X, y X και y X, λέµε οτι ο X είναι γραµ- µικός υποσύνδεσµος(linear sublattice) του E. Η µελέτη διατεταγµένων υποχώρων είναι ένα σηµαντικό τµήµα της ϑεωρίας διατεταγµένων χώρων.

10 Κεφάλαιο1. ιατεταγµένοι χώροι 1.5 υϊκότητα και διάταξη Εστω (E, ) διατεταγµένος χώρος και f γραµµικό συναρτησιακό του E, δηλαδή f : E R ώστε f (λ + µy) = λf () + µf (y) για κάθε λ, µ R και κάθε, y E. Αν f () 0 για κάθε E + το f είναι ϑετικό και αν f () > 0 για κάθε E + το f είναι αυστηρά ϑετικό. Γενικά αν P κώνος του E, το γραµµικό συναρτησιακό f του E είναι ϑετικό στον P αν f () 0 για κάθε P και το f είναι αυστηρά ϑετικό στον P αν f () > 0 για κάθε P, 0. Με συµβολίζουµε E το σύνολο των γραµµικών συναρτησιακών του E. Το σύνολο E + = {f E f () 0, για κάθε E + }, είναι κώνος του E όχι κατανάγκη οξύς. Πραγµατικά εύκολα διαπιστώνουµε οτι το E + είναι κυρτό και ότι f E + λ E + για κάθε λ R +. Υποθέτουµε οτι ο E είναι διατεταγµένος απο τον κώνο E +. Τότε για κάθε f, g E έχουµε : f g f g E + f () g() E +. Επειδή ο E + δεν είναι κατανάγκη οξύς η σχέση δεν είναι κατανάγκη αντισυµµετρική. Πρόταση 1.10. Αν E µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος έχουµε : Ο κώνος E + είναι οξύς αν και µόνο αν ο E + παράγει τον E. Απόδειξη. Εστω οτι ο E + είναι οξύς. Αν υποθέσουµε οτι Y = E + E + E, υπάρχει 0 E \ Y, εποµένως υπάρχει f E, f 0 που διαχωρίζει τα 0 και Y. ηλαδή έχουµε f ( 0 ) > a > f (y), για κάθε y Y. Επειδή το f είναι ϕραγµένο στον Y έχουµε ότι f (y) = 0 για κάθε y Y. Άρα έχουµε ότι f E + ( E + ), εποµένως f = 0. Αυτό είναι άτοπο, άρα E + E + = E. Για το αντίστροφο υποθέτουµε οτι E = E + E +. Αν f E + ( E +) έχουµε f () = 0 για κάθε E +. Εποµένως f () = 0 για κάθε E. Άρα f = 0 και ο E + είναι οξύς.

1.5. υϊκότητα και διάταξη 11 Εστω ότι E είναι µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος µε norm. Συµβολίζουµε µε E το σύνολο των συνεχών γραµµικών συναρτησιακών του E. Τότε ο E είναι γραµµικός υπόχωρος του E και υποθέτουµε οτι ο E είναι διατεταγµένος µε την επαγόµενη διάταξη. ηλαδή για κάθε f, g E έχουµε : f g f () g(), για κάθε E +. Τότε E + = {f E f () 0, για κάθε E + } είναι ο ϑετικός κώνος του E. Εχουµε E + = E E +.