Μικροκυματικές Επικοινωνίες & Τεχνολογίες Χιλιοστομετρικών Κυμάτων ΕΙΣΑΓΩΓΗ - Το μάθημα αυτό πραγματεύεται θεμελιώδεις έννοιες των γραμμών μεταφοράς στην επιστημονική περιοχή των ηλεκτρονικών συστημάτων και διατάξεων υψηλών συχνοτήτων. Το μάθημα εστιάζει ιδιαίτερα στο αντικείμενο των κυματοδηγών για μικροκυματικές συχνότητες και αναλύει ζητήματα κυματοδηγούμενων ρυθμών, ισχύος, προσαρμογής και διέγερσης. Τέλος γίνεται αναφορά στις βασικές μικροκυματικές πηγές και τεχνολογίες εκπομπής μικροκυματικής ακτινοβολίας.
Να θυμηθούμε Ε: Ένταση ηλεκτρικού πεδίου (V/) D:πυκνότητα ηλεκτρικής ροής D=εοE (C/ ) Β: πυκνότητα μαγνητικής ροής (T=Vs/ ) (= 4 Gauss) Η: ένταση του μαγνητικού πεδίου Η=Β/μο (A/) Q: ηλεκτρικά φορτία (C ) ρ: πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου (C/ 3 ) J: πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος (Α/ ) /4/9
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL Εξισώσεις Maxwell B D E, H J, B, D ρ t t Απουσία εξωτερικών πηγών: J, ρ Οριακές Συνθήκες, ˆ nˆ E E n H H K s ˆ nˆ D D σ, n B B K s επιφανειακή πυκνότητα ρεύματος, σ επιφανειακή πυκνότητα φορτίου Η πυκνότητα ισχύος δίνεται από το διάνυσμα Ponting: S E H av (στο πεδίο του χρόνου) P Re E H (στο πεδίο της συχνότητας) av /4/9 3
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL Στην περίπτωση που έχουμε μέσο με πεπερασμένη αγωγιμότητα σ, τότε οι εξισώσεις Maxwell γίνονται: Όμως E iωμ H E iωμ H H J iωε E H σ iωε E E iωμ σ iωε E E E E E γ iωμ σ iωε iωμσ ω με ω με i ωε /4/9 4 και E iωμ σ iωε E E γ E σ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL σ γ ω με i α iβ, ωε α όπου α είναι ο συντελεστής απωλειών σε Neper/ και β η σταθερά διάδοσης σε rad/ σ Οταν σ /( ωε ), τότε γ ω μ ε i i όπου δ s ωμ σ /4/9 5 ωε, δ s i είναι το βάθος διείσδυσης, δηλαδή το μήκος μέσα στον αγωγό, στο οποίο το πλάτος του πεδίου έχει μειωθεί στο /e της τιμής που είχε πάνω στην επιφάνεια του αγωγού.
Τέλεια αγώγιμα τοιχώματα Διάδοση στον άξονα z Ανεξαρτησία από τη συντεταγμένη Ανάλυση στο πεδίο συχνοτήτων για αρμονικά μεταβαλλόμενα πεδία Η(x, z, t ) Re H ( x,z ) exp( iωt ), Ε(x, z, t ) Re E ( x,z ) exp( iωt ), /4/9 E ( x,z) e ( x) exp( γz) H ( x,z) h ( x) exp( γz) 6
xˆ ˆ zˆ E iωμh iωμh xe x z γz γz γz e x e e x e e x e x z γz Λαμβάνοντας υπόψη ότι προκύπτει: z xˆ ˆ zˆ d e( x) γ iωμh x dx e x e x e x x z /4/9 7
iωμhx x γex.a dez x iωμh x γexx.b dx de x iωμhz x.c dx Αντίστοιχα από την εξίσωση H iωε E προκύπτουν:.a dhz x.b iωεex x γh x iωεe x γhx x dx dh x iωε e x dx z /4/9 8.c
Οι εξισώσεις (.a), (.c) και (.b) έχουν μηδενική διαμήκη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου (e z = ) και μη μηδενικές τις συνιστώσες e, h x, h z και αντιστοιχούν σε Εγκάρσια Ηλεκτρικά Κύματα (Transverse Electric, TE) Οι εξισώσεις (.b), (.a) και (.c) έχουν μηδενική διαμήκη συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου (h z = ) και μη μηδενικές τις συνιστώσες h, e x, e z και αντιστοιχούν σε Εγκάρσια Μαγνητικά Κύματα (Transverse Magnetic,TM) /4/9 9
Κύματα ΤΕ d de γe (.a), (.c) και (. b) iωεe γ dx iωμ dx iωμ de ω εe γ e e x γ ω με e x dx e x ke x Λύση της κυματικής εξίσωσης (.3) isx isx qx qx k s e x A e B e Acos sx B sin sx k q e x Ae Be (.3) k γ ω μ ε γ ( ω / c) (.4) ( iω ) /4/9
Προφανώς στο συγκεκριμένο πρόβλημα θέλουμε περιοδικές λύσεις: cos sin, ( / ) e x A k x B k x k c e x A e x και e x D e x D k D π,,, 3,... Οριακές Συνθήκες Η λύση = απορρίπτεται, γιατί διαφορετικά e = και h x =. π k, δηλαδή ( ω/ c) D D c /4/9
πc D ΙΙ) γ απόσβεση ω ω γ a R Ι) γ αποκοπή ω συχνότητα αποκοπής ΙΙΙ) γ διάδοση ω ω γ iβ Ι β /4/9 g ω ω ω ω π πf πf β c c λ c c λ λ λ π όπου λg μήκος κύματος μέσα στον κυματοδηγό, β u φ μήκος κύματος ελευθέρου χώρου και ω c c β ω / ω g g φασική ταχύτητα ω u c ω / ω c ταχύτητα ομάδας β μήκος κύματος αποκοπής c
β πx iβ z E x, z A sin e, H x, z E x, z x ωμ D E π πx iβ z H z x, z A cos e iωμ x iωμ D D Η ισχύς που μεταφέρεται από το ρυθμό είναι: Pav xˆ Re E H zˆ Re Re Hx β E E ωμ D Pολ /4/9 Pav ds dx zˆ ˆ zˆ E Hz ˆ Hz Re xe β π x A sin ωμ D β π x A sin ωμ D ˆ Hx ze W β D A 4ωμ W 3
Για τον πρώτο ρυθμό ΤΕ πx iβ z E ( x,z) Asin e D β πx iβ z H x ( x,z) Asin e ωμ D π πx H z ( x,z) A cos e iωμ D D πx E ( x,z,t) Asin cos( ωt βz) D β πx H x x,z,t A ωt βz ωμ D sin cos iβ z π πx π H x,z,t A cos cos ωt β z z ωμ /4/9 D D 4
c c Οι δύο λύσεις που προκύπτουν για κάθε ω αντιστοιχούν σε διάδοση κατά +z και z, αντίστοιχα. Κυματική ή χαρακτηριστική αντίσταση του ρυθμού ΤΕ Z E H x ωμ β /4/9 5
Όταν ο κυματοδηγός έχει τοιχώματα με πεπερασμένη αγωγιμότητα, τότε αυτά εμφανίζουν επιφανειακή αντίσταση, το εφαπτομενικό ηλεκτρικό πεδίο σε αυτά είναι μη μηδενικό και είναι ίσο με ZGΚs, οπότε έχουμε ωμικές απώλειες στα τοιχώματα: p p P Re E H nˆ Re nˆ H E RG KS S RG S Re H nˆ E Re E nˆ H Re Z G K S K S* K S dl C όπου Pωμ είναι οι ωμικές απώλειες στα τοιχώματα, RG το πραγματικό μέρος της επιφανειακής αντίστασης των τοιχωμάτων και C η επιφάνεια των τοιχωμάτων που έχουν απώλειες. /4/9 6
Τότε τα τοιχώματα έχουν αντίσταση: i i i i i Z, E Z K G t G S i σδs ( ) ˆ (, ) ˆ ˆ (, ) ˆ π KS x x H z x zh z z Α e iω D ( ) ˆ π KS x Α e iω D ( ) ˆ (, ) ˆ ˆ (, ) ˆ π KS x D x H D z x zh z D z A cos( ) e iωμ D ˆ π KS x D Α e iω D Aπ K x K x D S S /4/9 ωμ 7 D iβ z iβ z iβ z iβz
i * Ht P Re KS KS KS S S σ S, π A π P A ωμ D ωμ D S S Λαμβάνοντας υπόψη και τις απώλειες το ηλεκτρικό πεδίο γίνεται: az iβz e x z e x e e όπου a είναι ο συντελεστής εξασθένισης πεδίου λόγω ωμικών απωλειών. Επομένως η μείωση ισχύος κατά μήκος του κυματοδηγού είναι: ωμ az ΔP P( z ) P z Δz P Δz, Όμως P z e P z αp z P z Δz P z P P z a ωμ ωμ /4/9 Δz P z 8 P
Κύματα ΤΜ h x k h x h x A k x B k x sin cos dh h iωε e iωε e, h iωε e dx z x Το εφαπτομενικό ηλεκτρικό πεδίο πρέπει να μηδενίζεται στα τοιχώματα, δηλαδή h x Ak cos k x Bk sin k x = για x και x D A και k D π,,,,... iβz H x, z H cos k x e, Ez x, z H ksin kxe iωε β E x z H k x e, cos iβz x ωε /4/9 9 iβz
β Για H x, z H e και E x, z H e έχουμε επίπεδο κύμα iβz x ωε H,E x iβz σε αντίθεση με τα TE. /4/9
Άσκηση. Έστω ότι σε κυματοδηγό παράλληλων πλακών στο επίπεδο z= υπάρχει κατανομή ρεύματος στην κατεύθυνση του θετικού άξονα των και με συνάρτηση J (x). Να βρείτε το είδος κυμάτων που μπορούν να διαδοθούν στις περιοχές z < και z >. Λύση I nπx E ( x,z) An sin exp( γnz), z n D () II nπx E ( x,z) Bn sin e( γnz), z n D () xˆ ˆ zˆ E E iωμh iωμh iωμh x 3 x z z E /4/9
I γ n nπx γz n H x( x, z) Ansin e, z (4) () n iωμ D (3) () II γ n nπx γz n H x ( x,z) Ansin e, z (5) n iωμ D II I II I z zˆ E E E x, E x, 6 II I II I x x zˆ H H J H H J x 7 () nπx nπx 6 A sin B sin A B n n n n () n D n D (4) n x 7 J x An nsin D (5) i n D i n x An J ( x)sin dx /4/9 nd D
Μικροκυματικές Επικοινωνίες & Τεχνολογίες Χιλιοστομετρικών Κυμάτων chris.d.nikolopoulos@gail.co