Θ Ε Μ Α A Α1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του Fermat Α2. Θεωρήστε την παρακάτω πρόταση: Μ ο ν ά δ ε ς 1 «Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σύνολο α,β, τότε οπωσδήποτε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα f α,f β, ή το f β,f α» α. Να χαρακτηρίσετε την παραπάνω πρόταση γράφοντας στο τετράδιό σας, το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (α). Μ ο ν ά δ α 1 Μ ο ν ά δ ε ς 4 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σ ωσ τ ό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λ ά θ ο ς, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για κάθε συνάρτηση f:α η οποία είναι 1 1, η εξίσωση f x 219 έχει ακριβώς μια ρίζα. f x h f x β. Αν υπάρχει το lim h h συνεχής στο x., τότε η συνάρτηση f είναι
γ. Αν για μια συνάρτηση εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο διάστημα α,β, τότε εφαρμόζεται και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών στο ίδιο διάστημα. δ. Αν μια συνάρτηση f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο x, τότε το x δεν μπορεί να είναι σημείο του πεδίου ορισμού της. ε. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και ισχύει f(x)< για κάθε x [α, β], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες x=α, x=β και τον άξονα xx είναι Ε(Ω) = β α f(x)dx Μ ο ν ά δ ε ς 5 x 2 = 1
Θ Ε Μ Α Β Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f:, μιας εφαπτομένης της ε και της ασυμπτώτου της στο. Β1. Σύμφωνα με τα δεδομένα του σχήματος, να προσδιορίσετε τις τιμές και να υπολογίσετε το f και lim x f fx f x 1 2 Β2. i. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε. ii. Να προσδιορίσετε την τιμή του θετικού ακεραίου ν, για τον οποίο ισχύει Εστω ν Ε ν 1, όπου Ε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη x 1 και τους άξονες συντεταγμένων. x f x αx β e 1, όπου α,β.. C f, την ευθεία
Β3. Με βάση τα προηγούμενα ερωτήματα, να δείξετε ότι ισχύει Β4. Έστω x f x 1 x 1 e, x και ημx, για κάθε x,1 x e ημx 1 e x 1 gx f lnx, x.. Να δείξετε ότι η εκτός του σημείου 1, 2. C g είναι κάτω από τον κλάδο της υπερβολής 2 y, x, x Μ ο ν ά δ ε ς [ 6 + ( 4 + 3 ) + 6 + 6 ] = 2 5 Θ Ε Μ Α Γ Έστω συνάρτηση f:, με για την οποία ισχύει: Γ1. Να δείξετε ότι 1 f, 4 3 x f x x 2 και f 1 2,, για κάθε x 1 1 f x, x 2 x x. 1 Γ2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f και να χαράξετε (με στυλό), τη γραφική της παράσταση Γ3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που ορίζεται από τη C f, την εφαπτομένη της ε στο σημείο Α1, και την ευθεία y 2 Γ4. i. Να ορίσετε τη συνάρτηση με τύπο gx f x ii. Να λύσετε την εξίσωση α β 1 β α 1 α β, για α,β 1 Μ ο ν ά δ ε ς [ 6 + 7 + 5 + ( 3 + 4 ) ] = 2 5
Δίνονται οι συναρτήσεις και g :,π με για κάθε x,π. f x Θ Ε Μ Α Δ 1 x συν π x 1, x x 1 x ημx, x Δ1. Να βρείτε την ασύμπτωτη ε, της η ε εφάπτεται στη g x f x 1, C f σε άπειρα σημεία. C f στο και να δείξετε ότι Δ2. Να δείξετε ότι η C f τέμνει τον άξονα xx σε σημείο με τετμημένη x 1, και ισχύει η σχέση: πx x ημ 2 2 Δ3. Έστω F μια παράγουσα της f στο,. Να δείξετε ότι ισχύει : για κάθε x 2 2 x 2 2 x F e F x 4 F x 1 F e 3, Δ4. i. Να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη της συνάρτησης g. Να βρείτε τα ii. κοινά σημεία της C 1 g με την ευθεία y x και τη σχετική θέση της C 1 g, ως προς την ευθεία y x. Θεωρώντας δεδομένο ότι η να δείξετε ότι π 1 g είναι συνεχής, g x g x dx π 1 2 και να αποδείξετε αλγεβρικά, ότι τα χωρία που ορίζει η ευθεία y x, με τις C και C 1 αντίστοιχα, είναι ισεμβαδικά. g Δίνονται οι τύποι: g 2 ημ2α= 2ημασυνα και συν2α=1 2ημ α Μ ο ν ά δ ε ς [5+ 6 + 7 + (4+ 3 ) ] = 2 5
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους) Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το Εξεταζόμενο μάθ η- μα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απ α- ντήσεις σας το όνομα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημει ώ- σεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιό σας και τα φωτοαντίγραφα. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η ε κφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: δυο (2) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. Σ Α Σ Ε Υ Χ Ο Μ Α Σ Τ Ε K Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α
Οδηγίες διδασκαλίας για το σχολικό έτος 21 8-219 Βασικές προτάσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν γα τη λύση ασκήσεων. χ ω ρ ί ς α π ό δ ε ι ξ η i. Aν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα, τότε για οποιαδήποτε x 1, x2 ισχύει η συνεπαγωγή: f x f x x x. 1 2 1 2 ii. Aν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα, τότε για οποιαδήποτε x 1, x2 ισχύει η συνεπαγωγή: f x f x x x. 1 2 1 2 Έστω f, g δύο συναρτήσεις που είναι ορισμένες κοντά στο i. Aν ισχύουν: f x g x κοντά στο x και lim f x, xx x,. τότε θα ισχύει και xx lim g x. ii. Aν ισχύουν: f x g x κοντά στο x και xx lim g x, τότε θα ισχύει και xx lim g x.
Έστω f, g δύο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα α, β. Αν τότε θα ισχύει: gx για κάθε f x β f xdx α β α x α,β, g x dx. Αν, επιπλέον, οι συναρτήσεις f και g δεν είναι ίσες στο α, β (δηλαδή, αν υπάρχει ξ α, β, με f ξ gξ τότε θα ισχύει: β f xdx α β α ) g x dx. Για κάθε x, ισχύει ότι Η ισότητα ισχύει μόνο για x. x e x 1.
1 Γ ε ν ι κ έ ς ο δ η γ ί ε ς γ ι α τ η ν ώ ρ α τ ω ν Ε ξ ε τ ά σ ε ω ν Αγαπητέ μαθητή/μαθήτρια, Όταν πάρεις τα θέματα, προσπάθησε να κυριαρχήσεις στο άγχος σου. Να τα διαβάσεις αργά, ήρεμα και προσεκτικά. Μην περιμένεις να τα λύσεις με την πρώτη ματιά. Ησύχασε και κάνε τα μια δεύτερη ανάγνωση, ώστε να κατανοήσεις πλήρως τι ζητείται. Αν νοιώσεις έντονο άγχος, εφάρμοσε τεχνικές χαλάρωσης. Πάρε μερικές βαθιές διαφραγματικές αναπνοές : βαθιά εισπνοή από τη μύτη, ισόποση εκπνοή από το στόμα. Σκέψου κάτι που σε κάνει να νοιώθεις όμορφα. Πιες λίγο νερό. Αν ωστόσο εξακολουθείς να μην αισθάνεσαι καλά, φρόντισε να ενημερώσεις τον επιτηρητή. Ξεκίνα από το Α, ή το Β θέμα, γράφοντας πρώτα αυτά που ξέρεις. Για τα υπόλοιπα, θα αφιερώσεις τον χρόνο που θα σου απομείνει. Γράψε στο πρόχειρο, μόνο τα τελείως απαραίτητα και στη συνέχεια, πέρασε τα στο καθαρό. Μη βιάζεσαι, ειδικά στα ερωτήματα που σου φαίνονται γνωστά και εύκολα. Ίσως κρύβουν κάποιο έξυπνο σημείο και ίσως από απροσεξία, δεν δώσεις σωστή απάντηση, ή λύση. Η λανθασμένη ερμηνεία των ερωτήσεων, είναι αιτία αρκετών λαθών των υποψηφίων. Μην γράψεις εσκεμμένα, κάτι που δεν ζητείται. Συγκεντρώσου στα ερωτήματα, κινητοποιώντας την κρίση και τη συνθετική σου ικανότητα. Συνέχισε απαντώντας στα ερωτήματα που γνωρίζεις, δίνοντας πάντα χρόνο στον εαυτό σου να κατανοεί τα ερωτήματα και να σκέφτεται. Να ακολουθείς την ίδια διαδικασία, δηλαδή πρόχειρο μόνο τα απαραίτητα- καθαρό. Κάνε το ίδιο, για το επόμενο θέμα και για το τελευταίο. Όταν θεωρείς πως έχεις τελειώσει ένα ερώτημα, ή ένα θέμα, ξαναδιάβασε την εκφώνηση, ώστε να δεις αν έχεις απαντήσει σε όλα τα ερωτήματα Για τα ερωτήματα που δε γνωρίζεις, ηρέμησε, ώστε να μπορέσεις να χρησιμοποιήσεις την εμπειρία σου, αλλά και το μυαλό σου. Προσπάθησε για λίγη ώρα, σκέψου μήπως ανήκει σε κάποια γενική κατηγορία ασκήσεων και τι έκανες σε παρόμοιες περιπτώσεις.
2 Αν ωστόσο δεν καταφέρεις να λύσεις το ερώτημα, μην παγιδεύεσαι σε αδιέξοδο προβληματισμό. Να προχωρήσεις στο επόμενο, είναι πολύτιμος ο χρόνος για άλλα ερωτήματα, που πιθανόν γνωρίζεις. Συγκεντρώσου στο γραπτό σου, σαν να μην υπάρχει κανένας άλλος γύρω σου. Μην κάνεις ηττοπαθείς σκέψεις και μην απογοητεύεσαι. Αν κάποιο ερώτημα σου φαίνεται δύσκολο, σκέψου ότι θα είναι δύσκολο για όλους. Μην εγκαταλείπεις την προσπάθεια. Γράψε ότι νομίζεις, ακόμη κι αν δεν είσαι σίγουρος/η. Ίσως και αυτό το ερώτημα σου δώσει κάποιες μονάδες. Η σειρά με την οποία θα γράψεις τα θέματα δεν έχει καμία σημασία για τη βαθμολογία σου. Ακόμη κι αν οι άλλοι παραδώσουν σύντομα το γραπτό τους, μείνε και ξαναδιάβασε τα θέματα. Ίσως κάτι να είχε διαφύγει της προσοχής σου νωρίτερα. Φρόντισε το γραπτό σου να έχει καλή εμφάνιση, να είναι ευανάγνωστο και καθαρογραμμένο. Αυτό θα προκαταβάλλει θετικά τον διορθωτή. Κάνε καλή κατανομή του χρόνου ανάμεσα στα θέματα, ώστε να σου μείνει χρόνος για μια τελευταία ανάγνωση και διόρθωση τυχόν εκφραστικών, ή ορθογραφικών λαθών. Στην τελευταία σελίδα των Θεμάτων υπάρχει και η εξής οδηγία: «Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή». Το ίδιο το Υπουργείο Παιδείας έχει διευκρινίσει ότι: «Ο μαθητής μπορεί να χρησιμοποιήσει την εξεταστέα ύλη, που περιέχεται στο σχολικό βιβλίο και ότι άλλο αποδείξει, με βάση την ύλη αυτή». Επομένως, για τις λύσεις των θεμάτων, πρέπει να χρησιμοποιήσεις μόνο τύπους ή προτάσεις που υπάρχουν στην εξεταζόμενη ύλη του σχολικού βιβλίου σου. Διαφορετικά, οτιδήποτε χρησιμοποιήσεις, πρέπει πρώτα να το αποδείξεις (πάντα με βάση την εξεταζόμενη ύλη). Να θυμάσαι : η υπομονή και η επιμονή, η θέληση και η πίστη για επιτυχία, η αυτοσυγκέντρωση, η ποιότητα της μελέτης, η αυτοπεποίθηση μαζί με τη σωστή προετοιμασία, είναι οι καταλυτικοί παράγοντες για την επιτυχία σου. Ό λ ο ι ε μ ε ί ς, σ ο υ τ η ν ε υ χ ό μ α σ τ ε ο λ ό ψ υ χ α!