Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ Είναι σύνηθες να μελετάμε διάφορα φαινόμενα σε διακριτές (και όχι συνεχείς) τιμές της μεταβλητής του χρόνου, οπότε, μιλάμε για για σήματα και συστήματα διακριτού χρόνου. Τα σήματα διακριτού χρόνου ονομάζονται και χρονικές ακολουθίες ή χρονοσειρές (time series) και η ανάλυσή τους αποτελεί ένα διάσημο κλάδο των Μαθηματικών, την Ανάλυση Χρονοσειρών (Time Series Analysis), η οποία χρησιμοποιείται πολύ στα Οικονομικά. 1
Ο ρόλος του Μετασχηματισμού Ζ για τα σήματα και συστήματα διακριτού χρόνου είναι αντίστοιχος του ρόλου του Μετασχηματισμού Laplace ή του Μετασχηματισμού Fourier για τα σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου: και οι δύο μετασχηματίζουν ένα σήμα από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της (μιγαδικής) συχνότητας, όπου μπορούμε να δούμε το φάσμα του (spectrum), δηλαδή ένα διάγραμμα που δείχνει πώς κατανέμεται η ισχύς του στις διάφορες συχνότητες. 2
Σήματα και Συστήματα Συνεχούς Χρόνου Μετασχηματισμός Laplace ή Fourier Πεδίο (Συνεχούς) Χρόνου t L ήf Πεδίο (Μιγαδικής) Συχνότητας s = σ+jω Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου Πεδίο (Διακριτού) Χρόνου n Μετασχηματισμός Ζ Ζ Πεδίο (Μιγαδικής) Συχνότητας z = z e j z L ήf - 1 Ζ - 1 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace ή Fourier Αντίστροφος Μετασχηματισμός Z Μετασχηματισμός Laplace: μιγαδική συνάρτηση μιγαδικής μεταβλητής (s) Μετασχηματισμός Fourier: μιγαδική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής (ω) με μιγαδικό και πραγματικό μέρος (τηλεπικοινωνίες συνήθως). 3
Τα σήματα στο πεδίο του χρόνου παριστάνονται με πεζά γράμματα, όπως x(t), y(t), για το συνεχή χρόνο ή x(n), y(n), για το διακριτό χρόνο, ενώ στο πεδίο της συχνότητας με τα αντίστοιχα κεφαλαία, όπως X(s), Y(s), ή X(ω), Y(ω), και Χ(z), Y(z), αντίστοιχα. Μέσα στην παρένθεση η ανεξάρτητη μεταβλητή δηλώνει το πεδίο (t, n = χρόνος, s (ω) ή z = συχνότητα), ενώ έξω από την παρένθεση η εξαρτημένη μεταβλητή δηλώνει το σήμα, π.χ. ηλεκτρική τάση, ρεύμα ή το τηλεπικοινωνιακό σήμα. 4
Έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους συμβολισμούς L{ }, L -1 { }, F{ }, F -1 { }, Z{ } και Z -1 { } για να γράψουμε ζεύγη μετασχηματισμών: Στο συνεχή χρόνο: X(s) = L{ x(t) } x(t) = L -1 { X(s) } X(ω) = F{ x(t) } x(t) = F -1 { X(ω) } και Στο διακριτό χρόνο: Χ(z) = Z{ x(n) } x(n) = Z - 1 { X(z) } 5
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ Οι όροι «σήμα» (signal) και «σύστημα» (system) χρησιμοποιούνται σε πολλά και διαφορετικά επιστημονικά πεδία. Για τους ηλεκτρονικούς / ηλεκτρολόγους μηχανικούς, τα κλασσικότερα παραδείγματα σημάτων είναι οι κυματομορφές της ηλεκτρικής τάσης ή του ηλεκτρικού ρεύματος, ως συνάρτηση του χρόνου (δηλαδή με οριζόντιο άξονα το χρόνο, όπως φαίνονται σε ένα παλμογράφο), ενώ παραδείγματα συστημάτων είναι όλα τα ηλεκτρονικά / ηλεκτρικά κυκλώματα, από τα πολύ απλά έως τα πολύ σύνθετα, όπως ενισχυτές, φίλτρα, ταλαντωτές, γεννήτριες κυματομορφών, κ.α. 6
Σε μορφή υλικού (hardware) ένα σύστημα μπορεί να είναι μία ή περισσότερες πλακέτες, ένα ολοκληρωμένο κύκλωμα (chip) ή και απλώς ένα εξάρτημα, όπως αντίσταση ή πυκνωτής. Σε μορφή λογισμικού (software) ένα σύστημα μπορεί να είναι ένα πρόγραμμα για Η/Υ ή μία ή περισσότερες ρουτίνες ή υπορουτίνες ή υποπρογράμματα, γραμμένα σε οποιαδήποτε γλώσσα ή μεταγλώσσα προγραμματισμού όπως C, C++, Java, Mathcad, Matlab, κλπ. 7
Στα Μαθηματικά Ως δυναμικό σύστημα (dynamical system) ονομάζεται ένα πεπερασμένο σύνολο μεταβλητών των οποίων οι τιμές αλλάζουν στο χρόνο. Οι τιμές που δέχονται οι μεταβλητές σε ένα σημείο στο χρόνο ονομάζονται κατάσταση της μεταβλητής (state of the variable) και το διάνυσμα με στοιχεία αυτές τις τιμές ονομάζεται κατάσταση του δυναμικού συστήματος (state of the dynamical system). 8
Σε κάθε περίπτωση, το αντίστοιχο σύνολο τμημάτων υλικού ή λογισμικού θεωρείται σύστημα διότι επιτυγχάνει κάποια ολοκληρωμένη εργασία ή διαδικασία-στόχο: ο ενισχυτής ενισχύει το πλάτος του σήματος, το φίλτρο φιλτράρει κάποιες συχνότητες από το φάσμα του σήματος, το πρόγραμμα υπολογίζει χαρακτηριστικά μεγέθη όπως μέση τιμή ή η ενέργεια του σήματος, κ.ο.κ. 9
Γενική μορφή ενός συστήματος (κεντρικό ορθογώνιο), καθώς των σημάτων εισόδου (αριστερά) και εξόδου (δεξιά). x(t) Σύστημα 1 x 1 y(t) 10
Γενικά ένα σύστημα μπορεί να έχει περισσότερα από ένα σήματα εισόδου ή/και εξόδου (Πολλών Εισόδων Πολλών Εξόδων, ΠΕ-ΠΕ ή Multiple Inputs Multiple Outputs, MI-MO ή Σύστημα m x n). Αν έχει ένα σήμα εισόδου και ένα εξόδου, χαρακτηρίζεται ως σύστημα Μιας Εισόδου Μιας Εξόδου (ΜΕ-ΜΕ) ή Single Input Single Output (SI-SO) ή σύστημα 1 x 1. Φυσικά υπάρχουν και οι ενδιάμεσοι συνδυασμοί: ΠΕ-ΜΕ (MI-SO) ή ΜΕ-ΠΕ (SI-MO). Παραδείγματος χάριν, ένας μονοφωνικός ενισχυτής είναι σύστημα 1 x 1, ένας στερεοφωνικός ενισχυτής είναι σύστημα 2 x 1 (2 έξοδοι x 1 είσοδος) ενώ ένα ηχείο τριών δρόμων είναι σύστημα 3 x 1 (3 έξοδοι: tweeter, midrange, woofer x 1 είσοδος). 11
ΣΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ Τα σήματα (ή συναρτήσεις) συνεχούς χρόνου, έστω x(t), ονομάζονται έτσι διότι υπάρχει τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής x για κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής του χρόνου t. Άρα σε οποιοδήποτε σημείο t = t 0 του οριζόντιου άξονα t κι αν φέρουμε κατακόρυφη ευθεία, αυτή τέμνει την καμπύλη της κυματομορφής του σήματος x(t). Αντίστροφα, δεν υπάρχει κανένα σημείο t = t 0 του οριζόντιου άξονα t, στο οποίο αν φέρουμε κατακόρυφη ευθεία αυτή ΔΕΝ θα τέμνει την κυματομορφή του σήματος x(t). 12
Αν το πλάτος τους δεν έχει υποστεί στρογγυλοποίηση (κβαντισμό) σε συγκεκριμένα επίπεδα τιμών, τα σήματα αυτά λέγονται «συνεχούς χρόνου συνεχούς πλάτους» ή με μία λέξη «αναλογικά» (analog), όπως το σήμα x 1 (t) : 13
Αν το πλάτος τους έχει υποστεί στρογγυλοποίηση (κβαντισμό) σε συγκεκριμένα επίπεδα τιμών, τα σήματα αυτά λέγονται «συνεχούς χρόνου διακριτού πλάτους», όπως το σήμα x 2 (t), που λαμβάνει μόνο τις τιμές 0, ±1, ±2: x 2 (t) 2 1 t -1-2 14
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ Συστήματα συνεχούς χρόνου είναι εκείνα που δέχονται στην είσοδο και παράγουν στην έξοδο σήματα συνεχούς χρόνου. Στην ηλεκτρονική ονομάζονται και Αναλογικά Ηλεκτρονικά Κυκλώματα. Όλα τα γνωστά κυκλώματα ενισχυτών ή φίλτρων ή ταλαντωτών με transistors ή τελεστικούς ενισχυτές (OpAmps) και παθητικά στοιχεία R, L, C ανήκουν στην κατηγορία αυτή. Τα συστήματα συνεχούς χρόνου τα μελετάμε με τη χρήση διαφορικών εξισώσεων, η λύση των οποίων μας δίνει την έξοδο του συστήματος. 15
ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τα σήματα διακριτού χρόνου ή ακολουθίες, έστω x(n), ονομάζονται έτσι διότι υπάρχει τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής x μόνο για συγκεκριμένες και αριθμήσιμες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής t. Μεταξύ δύο χρονικών στιγμών t 1 και t 2 για τις οποίες το σήμα έχει τιμή, υπάρχει άπειρο πλήθος στιγμών για τις οποίες το σήμα δεν έχει τιμή (δεν ορίζεται). Απλουστευτικά, μπορούμε να πούμε ότι ένα σήμα είναι διακριτού χρόνου εάν η κυματομορφή του αποτελείται από μεμονωμένες τιμές, δηλαδή σημεία ή κουκίδες. Οι τιμές αυτές ονομάζονται «δείγματα» (samples). 16
Αν το πλάτος τους δεν έχει υποστεί στρογγυλοποίηση (κβαντισμό) σε συγκεκριμένα επίπεδα τιμών, τα σήματα αυτά λέγονται «διακριτού χρόνου συνεχούς πλάτους», όπως το σήμα x 3 (t) : x 3 (n) -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n 17
Αν το πλάτος τους έχει υποστεί στρογγυλοποίηση (κβαντισμό) σε συγκεκριμένα επίπεδα τιμών, τα σήματα αυτά λέγονται «διακριτού χρόνου διακριτού πλάτους», ή με μία λέξη «ψηφιακά» (digital), όπως το σήμα x 4 (t), που λαμβάνει μόνο τις τιμές ±1: x 4 (n) +1 0 1 2 3 4 5 6 7 n -1 Παρατήρηση: Τα ψηφιακά σήματα είναι εκείνο το υποσύνολο των σημάτων διακριτού χρόνου, που ΕΧΕΙ υποστεί κβαντισμό (στρογγυλοποίηση) πλάτους. 18
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Συστήματα διακριτού χρόνου είναι εκείνα που δέχονται στην είσοδο και παράγουν στην έξοδο σήματα διακριτού χρόνου. Στην ηλεκτρονική ονομάζονται Κυκλώματα. και Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Παραδείγματα συστημάτων διακριτού χρόνου είναι τα flip-flops και γενικά τα λογικά κυκλώματα ακολουθιακής λογικής, όλα τα κυκλώματα ενός Η/Υ, όπως CPU, μνήμες, καταχωρητές, κλπ. Σημαντικό ρόλο στα κυκλώματα αυτά παίζει ένα κύκλωμα χρονισμού (ρολόι ή clock) που χρονίζει τις διάφορες λειτουργίες. Τα συστήματα διακριτού χρόνου τα μελετάμε με τη χρήση εξισώσεων διαφορών, η λύση των οποίων μας δίνει την έξοδο 19 του συστήματος.
Κβαντισμός (Quantization) Διακριτού πλάτους Συνεχούς πλάτους } } Δειγματοληψία (sampling) Συνεχούς χρόνου Διακριτού χρόνου «Αναλογικό Σήμα» x(t) x(n) x q (t) «Ψηφιακό Σήμα» x q (n) Μετασχηματισμός Laplace ή Fourier Μετασχηματισμός Ζ 20
Τα σήματα διακριτού χρόνου προκύπτουν είτε διότι ορίζονται απευθείας στο διακριτό χρόνο, όπως π.χ. ο αριθμός των φορών το μήνα που χιονίζει σε κάποιον τόπο, ή η θερμοκρασία κάθε μεσημέρι, κ.α. είτε μετά από μετατροπή σήματος συνεχούς χρόνου σε σήμα διακριτού χρόνου, όπως π.χ. η ψηφιοποίηση της φωνής μας στο τηλέφωνο για να μεταδοθεί στη συνέχεια ψηφιακά. Για να μετατρέψουμε ένα αναλογικό σήμα σε ψηφιακό, απαιτείται ΚΑΙ δειγματοληψία ΚΑΙ κβαντισμός. Οι δύο αυτές διαδικασίες μαζί ονομάζονται «Αναλογοψηφιακή Μετατροπή» (Analog to Digital Conversion, A/D Conversion) και υλοποιούνται από υλικό (hardware) με μορφή κάρτας για Η/Υ, που ονομάζεται A/D Converter. 21
Η διαδικασία της ψηφιοποίησης (digitization) περιλαμβάνει ως πρώτο βήμα τη δειγματοληψία (sampling) του σήματος. Μέσω της δειγματοληψίας από ένα σήμα συνεχούς χρόνου προκύπτει μια ακολουθία από τιμές του σε τακτά διαστήματα, δηλαδή μια ακολουθία από δείγματα (samples). Τα δείγματα συνήθως λαμβάνονται ισαπέχοντα (ομοιόμορφη δειγματοληψία uniform sampling). Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δειγμάτων ονομάζεται Περίοδος Δειγματοληψίας (sampling period, Ts) ενώ το αντίστροφό της Συχνότητα Δειγματοληψίας (sampling frequency, fs). 22
Στο σχήμα φαίνεται η διαδικασία (ομοιόμορφης) δειγματοληψίας του σήματος συνεχούς χρόνου x 1 (t), με περίοδο δειγματοληψίας Ts = 0.5 sec ή αντίστοιχα συχνότητα δειγματοληψίας fs = 2 Hz. 2.5 2 (β) Το δειγματοληπτημένο σήμα είναι μια ακολουθία τιμών (δειγμάτων). x(n) 1.5 1 0.5 T s =0.5 sec f s =2Hz Κάθε δείγμα αριθμείται από τον ακέραιο αριθμό n που είναι το πολλαπλάσιο του διαστήματος Ts οπότε λήφθηκε αυτό το δείγμα. 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12...14 16...18 20 n sec Tη στιγμή t = 3,5 sec ελήφθη το n = 7 ο δείγμα με τιμή x(n Ts) = x(7 0.5) = x(3,5) = 1. Θεωρώντας το x(n) ως σήμα διακριτού πλέον χρόνου, γράφουμε x(7) = 1. 23
Πηγές: Οι παρούσες διαφάνειες βασίστηκαν σε υλικό διδασκαλίας του καθ. Περικλή Παπαδόπουλου. Ευχαριστώ τον κ. Παπαδόπουλο που μου τις παραχώρησε για να τις χρησιμοποιήσω ως υλικό παρουσίασης του μαθήματός μου. 24