stopband Passband stopband H L H ( e h L (n) = 1 π = 1 h L (n) = sin ω cn

Transcript

1 Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ 22: Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 7: Σχεδιασμός Φίλτρων!"#!"#! "#$% Σημειώσεις διαλέξεων στο: Οι σημειώσεις γράφτηκαν από τον καθηγητή Χαράλαμπο Δ. Χαραλαμπους (2009. Τροποποιήθηκαν από τον επισκέπτη λέκτορα Θεμιστοκλή Χαραλάμπους (200.

2 Εισαγωγή Ενα δυναμικό σύστημα μοντελοποιείται από μερικές διαφορικές εξισώσεις. Για να μπορέσουμε εμείς να επεξεργαστούμε αυτό το μοντέλο στον υπολογιστή πρέπει να δημιουργήσουμε ένα αριθμητικό μοντέλο καθώς και αλγόριθμους επεξεργασίας των δειγμάτων που προέρχονται από τη δειγματοληψία του σήματος. Μέθοδοι απεικόνισης ενός επιθυμητού μετασχηματισμού Λαπλαςε σε μετασχηματισμό Z, απαντούνται στο πρόβλημα σχεδίασης ψηφιακών φίλτρων, όπου το ζητούμενο είναι να σχεδιάσουμε ένα επιθυμητό ψηφιακό φίλτρο που έχει δοσμένα φασματικά χαρακτηριστικά που προδιαγράφονται προφανώς με όρους συχνότητας σε z. Σχεδόν όλα τα συστήματα διακριτού χρόνου μπορούν να θεωρηθούν ως φίλτρα από μια άποψη, α- φού η απόκριση συχνοτήτων αλλάζει (δεν είναι σταθερή με τη συχνότητα. 2 Ιδανικά φίλτρα επιλεκτικής συχνότητας Τα ιδανικά φίλτρα επιλεκτικής συχνότητας είναι συστήματα που επιλέγουν συγκεκριμένες συχνότητες και αποκόπτουν τις υπόλοιπες. 2. Βαθυπερατό (φίλτρο χαμηλών συχνοτήτων ( e stopbad Passbad stopbad ( e { - (e- ω, ω ωc = 0 0, διαφορετικά π.χ. ω c < ω π h ( = π e ω (e ω dω 2π π = ωc e ω dω 2π ω c = 2π h ( = si ω c π ( e ω c e ωc = ω c π si ω c ω c

3 2. Βαθυπερατό (φίλτρο χαμηλών συχνοτήτων 2 h ( 4 [ ] ( 2 ( 2 4 ω = kπ, k = ±, ±2,... ω = ω c = kπ, k = ±, ±2,... Επομένως, το h ( δεν είναι Αιτιατό x ( h ( y ( Οταν ω c π X ( e Y ( e ( e No ausal h ( icreases h ( h Ap ( ( e icreases ( e ( e

4 2.2 Υψιπερατό (φίλτρο υψηλών συχνοτήτων Υψιπερατό (φίλτρο υψηλών συχνοτήτων Καθυστερημένη έκδοση της βαθυπερατής απόκρισης συχνότητας κατά π. [e ω0 x( X(e (ω π ] ( e [igh-pass] - -(- 0 (- (e ω = (e ω ω=ω π h ( = F { (e (ω π } = e π h ( = ( h ( 2.3 Ζωνοπερατό (φίλτρο ζώνης συχνοτήτων ( e Το ζωνοπερατό μπορεί να -2κατασκευαστεί - από: B (e ω = (e (ω ω0 2, 0 < ω 0 < π 2.4 Συνδυασμός Βαθυπερατού και Υψιπερατού Φίλτρου e ( x ( x ( e x y ( ( e ( ( e ( e ( e Σημείωση: Η απόδειξη βρίσκεται σε παράδειγμα στο Κεφάλαιο 5 (Μετασχηματισμοί Fourier.

5 ΗΜΥ Κατηγορίες φίλτρων Τα ψηφιακά φίλτρα διακρίνονται σε:. FIR (Fiite Impulse Respose - φίλτρα των οποίων η διάρκεια της κρουστικής απόκρισης είναι πεπερασμένη. Παράδειγμα: Εστω το φίλτρο με μετασχηματισμό Z: (z = 2z + 3z 3. Τότε, Y (z = ( 2z + 3z 3 X(z y[] = x[] 2x[ ] + 3x[ 3] Επομένως, το σήμα εξόδου εξαρτάται μόνο από το σήμα εισόδου, κι όχι από προηγούμενες τιμές του σήματος εξόδου. Γι αυτό και αυτού του είδους φίλτρα έχουν πεπερασμένη διάρκεια. Ουσιαστικά το φίλτρο έχει απόκριση τους συντελεστές του ([ ] όπως αυτοί δίνονται από το (z. Τέτοια συστήματα στην γενική τους μορφή είναι: y[] = M b k x[ k] k=0 2. IIR (Ifiite Impulse Respose - φίλτρα των οποίων η διάρκεια της κρουστικής απόκρισης ΔΕΝ είναι πεπερασμένη. Παράδειγμα: Εστω το φίλτρο με μετασχηματισμό Z: (z = z 0.3. Τότε, Y (z = X(z Y (z(z 0.3 = X(z y[] = 0.3y[ ] + x[] z 0.3 Y (z = z (0.3z X(z y[] = x[ ] + (0.3x[ 2] + (0.3 2 x[ 3] +... =0 Επομένως, το σήμα εξόδου έχει άπειρη διάρκεια και επίσης, εξαρτάται και από προηγούμενες τιμές του σήματος εξόδου. Τέτοια συστήματα στην γενική τους μορφή είναι: N M y[] = a k y[ k] + b k x[ k] k= 4 Μέθοδοι σχεδιασμού Ψηφιακών Φίλτρων k=0 4. Από αναλογικό φίλτρο σε ψηφιακό Επειδή υπάρχει μεγάλη και εξαιρετική γκάμα αναλογικών φίλτρων, είναι λογικό να χρησιμοποιήσουμε την υπάρχουσα τεχνογνωσία και να δημιουργήσουμε ψηφιακά φίλτρα μέσω αναλογικών. Στη συνέχεια παραθέτονται μερικές από τις βασικές μεθόδους σχεδιασμού ψηφιακών φίλτρων μέσω αναλογικών. 4.. Μέθοδος ταύτισης των αποκρίσεων Η λογική πίσω από αυτή τη μέθοδο είναι να διατηρήσουμε την απόκριση κάποιων σταθερών σημάτων που προκύπτουν από δείγματα του σήματος την ίδια, όταν το ψηφιακό πλέον σήμα περάσει από ψηφιακό φίλτρο με αυτήν που προκύπτει όταν το αναλογικό σήμα περάσει από αναλογικό φίλτρο. Εστω ένα αναλογικό φίλτρο με μετασχηματισμό Λαπλαςε s (s.. Μέθοδος αναλλοίωτης κρουστικής απόκρισης:

6 4. Από αναλογικό φίλτρο σε ψηφιακό 5 Η κρουστική απόκριση δίνεται από h(t = ( s (s Η αντίστοιχη κρουστική απόκριση σε διακριτό χρόνο δίνεται από h[] = h( Οπότε ο μετασχηματισμός Z δίνεται από το μετασχηματισμό της δειγματοληψίας από την κρουστική απόκριση. Δηλαδή, ( z (z = Z ( s (s (t (Ts [] 2. Μέθοδος αναλλοίωτης βηματικής απόκρισης: Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε και το μετασχηματισμό Z και για βηματική απόκριση: Η βηματική απόκριση δίνεται από h (t = ( s (s s Η αντίστοιχη βηματική απόκριση σε διακριτό χρόνο δίνεται από h [] = h ( Ο μετασχηματισμός Z του h [] δίνεται από Z (h [] = z z z(z Επομένως ο τελικός μετασχηματισμός είναι ( z (z = z ( Z s (s z s (t ( [] 4..2 Με διγραμμικό μετασχηματισμό ή μετασχηματισμό Tusti Ο μετασχηματισμός Tusti δημιουργεί ένα ψηφιακό φίλτρο του οποίου η απόκριση στο πεδίο συχνοτήτων έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με αυτή του αναλογικού φίλτρου (αλλά η κρουστική απόκριση μπορεί να είναι διαφορετική. Ορίζουμε τον μετασχηματισμό Tusti ως την ακόλουθη αντικατάσταση s = ψ(z = 2 z + z Με αυτόν τον τρόπο, ο μετασχηματιμός αυτός οδηγεί σε ένα ευσταθές φίλτρο (εφόσον το αναλογικό είναι ευσταθές.

7 4.2 Απευθείας ψηφιακό φίλτρο με βάση τις ιδιότητες που επιθυμούμε Προσέγγιση διαφορικών εξισώσεων με εξισώσεις διαφορών Σε αυτήν την περίπτωση, γράφουμε το φίλτρο στη μορφή διαφορικών εξισώσεων και προσεγγίζουμε τις παράγωγους με εξισώσεις διαφοράς. Π.χ. d dt y(t t=k y(k y([k ] = y(k y(k d 2 dt 2 y(t t=k = d dt [ d dt y(t] t=k d dt y(t t=k d dt y(t t=(k = [y(k y(k ]/ [y(k y(k 2]/ = 2 [y(k 2y(k + y(k 2] 4.2 Απευθείας ψηφιακό φίλτρο με βάση τις ιδιότητες που επιθυμούμε Μπορούμε πολύ εύκολα, όπως και στα σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου, να υπολογίσουμε το μέγεθος και τη φάση του συστήματος γραφικά από τους πόλους και τα μηδενικά. Στη γενική του μορφή μια συνάρτηση (z της τάξης N, μπορεί να γραφτεί ως εξής: (z = c (z µ (z µ 2... (z µ M (z p (z p 2... (z p N Για να υπολογίσουμε την απόκριση συχνοτήτων (e ω, βρίσκουμε το (z στο z = e ω. Αλλά z = e ω = και z = ω, οπότε το z = e ω αντιπροσωπεύει ένα σημείο πάνω στην περιφέρεια του κύκλου με ακτίνα τη μονάδα. Εστω A i = e ω p i και B i = e ω µ i, όπως φαίνεται και στο σχήμα 4.2. Τότε, (e ω = c eω µ e ω µ 2... e ω µ M e ω p e ω p 2... e ω p N, N M και = c B B 2... B M A A 2... A N γινόμενο των αποστάσεων τον μηδενικών από το eω = c γινόμενο των αποστάσεων τον πόλων από το e ω (e ω = (e ω µ + (e ω µ (e ω µ M (e ω p (e ω p 2... (e ω p N = άθροισμα των γωνιών που σχηματίζουν τα μηδενικά με το e ω άθροισμα των γωνιών που σχηματίζουν οι πόλοι με το e ω