ΘΕΜΑ Α Α. β Α. γ Α. α Α. γ Α5. α) Λ Β) Σ Γ) Λ Δ) Σ Ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β.Επειδή η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή. η συχνότητα που αντιλαμβάνεται είναι: f = u u+u f Εφαρμόζουμε την ΑΔΟ για την πλαστική κρούση: P αρχ = P τελ Μετά την κρούση η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι: f = Διαιρώντας κατά μέλη τις και () προκύπτει: mu = mv V = u () u u+ u f () () f f = u u+u f u = u+ u = u+u u+ u f u+u = u+ u 0 u+u u+ u = u 0 u = (ii) ΣΤΗΝ ΠΑΤΡΑ / ΚΕΝΤΡΙΚΟ: ΓΟΥΝΑΡΗ 5 & ΚΑΝΑΚΑΡΗ, ΤΗΛ. 66855 // ΑΓΥΙΑ: ΑΝΘΕΜΙΟΥ 7 & ΚΡΑΤΙΝΟΥ, ΤΗΛ. 6700 /// ΖΑΡΟΥΧΛΕΙΚΑ: ΔΙΟΜΕΙΑΣ & ΕΥΒΟΙΑΣ, ΤΗΛ. 609 ΣΤΗ ΝΑΥΠΑΚΤΟ //// ΔΟΝ ΖΟΥΑΝ ΑΥΣΤΡΙΑΚΟΥ 5, ΤΗΛ. 6096
Β. Από την εξίσωση συνέχειας έχουμε: Au = Au Au = Au u = u [] Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli: p + u = p + u p + u = p + u p = patm + u [] p = p + gh [] Όμως atm gh gh Από τις [] και [] προκύπτει: u gh 8gh u = gh u = u = = u = [] Αφού η στάθμη του υγρού στο δοχείο παραμένει σταθερή τότε: = Au = Au u = u gh Από το θεώρημα Torricelli για την ταχύτητα u έχουμε: u = gh u = [6] 8gh gh h H h Από τις σχέσεις [], [6] προκύπτει = = = (iii) H 6 Β. Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. για την κίνηση της ράβδου από το σημείο Α στο Δ: K K = WF I = FL ML = FL = rad Η ροπή αδράνειας του συστήματος που προκύπτει από την πλαστική κρούση είναι: I L + ml = kg m Εφαρμόζουμε την Α.Δ.Σ. για την κρούση: L = L I = I = rad Μετά την κρούση η συνολική ροπή που ασκείται στο σύστημα είναι μηδέν, άρα αυτό κινείται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα και επομένως ο χρόνος που θα χρειαστεί η ράβδος είναι: = t t = t = (ii)
ΘΕΜΑ Γ m g Γ. Στη θέση ισορροπίας ισχύει F = 0 k = m g k = k = k = 00 N m 0,05 ( m+ m) g 0 Μετά την σύγκρουση, στη θέση ισορροπίας του συσσωματώματος ισχύει F = 0 k x = ( m+ m) g x = x = x = 0,m k 00 Η απόσταση αυτή είναι και το πλάτος της ταλάντωσης, άρα A= 0,m Γ. Η απόσταση του σημείου σύγκρουσης από τη θέση ισορροπίας του συσσωματώματος είναι x = A = 0,05m Εφαρμόζουμε την Α.Δ.Ε.Τ.: ( ) max ( ) ( ) k A x E = U + K U = U + K DA = Dx + m + m u ka = kx + m + m u u = u = 0,75 u = m m+ m Εφαρμόζουμε την Α.Δ.Ο. για την σύγκρουση των δύο σωμάτων: m+ m p = p mu 0 = ( m + m ) u mu 0 = ( m + m) u u0 = u u0 = u u0 = m m Άρα η κινητική ενέργεια του σώματος πριν την κρούση είναι: K = mu0 =,5 J Γ. Η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ είναι: p = mu mu0 p = mu mu0 p = kg m Επομένως η κατεύθυνσή της είναι αντίθετη της κίνησης του σώματος Σ. Γ. Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του συσσωματώματος είναι: D = ( m + m ) k = ( m + m) = k rad m m = + Η αρχική φάση υπολογίζεται από τις αρχικές συνθήκες t 0 = 0, x 0 = + 0, 05 m, u 0 = m x A ( t 0) 0,05 0, = + = 0 0 = 0 = 0 = rad, εφόσον u0 0 Άρα τελικά x= 0, ( t+ ) 6 6 6
ΘΕΜΑ Δ Δ. Το σώμα Σ ισορροπεί, επομένως: Fy = 0 w T = 0 T = w T = 0N [] Η τροχαλία ισορροπεί επομένως: = 0 T R T R = 0 T = T [] Ο κύλινδρος ισορροπεί, άρα: Fx = 0 F + wx T T = 0 F + M g T T = 0 [] = 0 T R T R = 0 T = T [] Τα νήματα είναι αβαρή άρα T = T = 0 και T = T οπότε από τη σχέση [] προκύπτει: T = T = 0 Από τις σχέσεις [], [] έχουμε: F + M g T F = T M g F = 0 Δ. Από τον ο Ν.Ν. για την κίνηση του σώματος Σ έχουμε: F w T T g M T = 0 y Η τροχαλία στρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση, άρα από τον ο Ν.Ν. για την στροφική κίνηση έχουμε: = I, T R T R R, T T R, T T T T = [6] Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς ολίσθηση, επομένως: Fx T + T M g T + T = [7] = I,, T R T R R, T T R, T T T T = [8] Προσθέτουμε κατά μέλη της [7] και [8] κι έχουμε: T = [9] Τα νήματα είναι αβαρή άρα T = T και T = T, άρα η εξ. [6] γράφεται T T = [] Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς ολίσθηση άρα στο σημείο Α της περιφέρειας του ισχύει = ενώ αφού το νήμα δεν ολισθαίνει στην τροχαλία τότε = =, R = [] Από τις σχέσεις [9], [] και [] προκύπτει τελικά = m
Δ. Την χρονική στιγμή t ο κύλινδρος έχει αποκτήσει ταχύτητα u = t = 0,5 = m Αφού κοπεί το νήμα ο κύλινδρος εκτελεί επιβραδυνόμενη κίνηση. Εφαρμόζουμε τον ο Ν.Ν για την μεταφορική και την στροφική κίνηση του σώματος κι έχουμε: F M g T x = I,, TR R, T R, Εφόσον ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς ολίσθηση τότε = R,, άρα από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε: M g M = g = m Άρα η εξίσωση της ταχύτητάς του είναι: u = u, t = t Ο κύλινδρος θα σταματήσει όταν u = 0 t = 0 t = 0, t 0,5 = 0, t = 0,8 Δ. Μέχρι τη χρονική στιγμή t ο κύλινδρος έχει διανύσει απόσταση ενώ στο χρονικό διάστημα που επιβραδύνεται έχει διανύσει απόσταση Άρα το συνολικό διάστημα που διένυσε είναι = + = 0,m [] = t = 0,5m = = u, t t 0,5m Δ5. Καθώς ο κύλινδρος κινείται πάνω στη ράβδο ασκεί σε αυτήν μια δύναμη N η οποία είναι ζεύγος δράσης αντίδρασης με τη δύναμη Ν που ασκεί η ράβδος στον κύλινδρο. Στον άξονα y ο κύλινδρος ισορροπεί άρα F = 0 N M g = 0 N g. Επομένως N g y Για να ανατραπεί η ράβδος όταν ο κύλιδρος βρίσκεται σε απόσταση x από το σημείο Γ θα πρέπει M g = 0 N x M g d = 0 x = x = 0,5m N Αλλά ο κύλινδρος διανύει απόσταση 0,m,άρα σταματά να κινείται σε απόσταση 0,m από το σημείο Γ. Άρα η ράβδος δεν θα ανατραπεί. =