Κεφάλαιο 1. Πλειότιµες απεικονίσεις. 1.1 Ορισµοί

Κεφάλαιο 1 Πλειότιµες απεικονίσεις 1.1 Ορισµοί Εστω X,Y µη κενά σύνολα. Μία (πλειότιµη) απεικόνιση φ : X Y, από το X στο Y είναι ένας κανόνας που σε κάθε σηµείο x του X αντιστοιχεί ένα υποσύνολο φ(x) του Y. Σηµειώνουµε ότι στη ϐιβλιογραφία η φ αναφέρται και ως πλειότιµη απεικόνιση ή πλειότιµη συνάρτηση όµως εδω ϑα προτιµήσουµε τον όρο απεικόνιση. Το σύνολο X ειναι το πεδίο ορισµού και το Y το πεδίο τιµών της φ. Αν φ(x) είναι µη κενό, αντίστοιχα κλειστό, ανοικτό, συµπαγές, κυρτό, γιά κάθε x, λέµε ότι φ έχει µη κενές, αντίστοιχα κλειστές, ανοικτές, συµπαγείς, κυρτές τιµές, εφόσον οι έννοιες αυτές ορίζοντα στον Y. Οι συναρτήσεις f : X Y είναι ειδικές µορφες απεικονίσεων µε τιµές µονοσύνολα. Για κάθε x [0, ), συµβολίζουµε µε φ(x) το σύνολο στοιχείων του R των οποίων το τετράγωνο ισούται µε x. ηλαδή, φ(x) = { y R y 2 = x }. Τότε η φ : [0, ) R είναι µία πλειότιµη απεικόνιση µε συµπαγείς τιµές. Αν A X και B Y, το σύνολο φ(a) = x A φ(x), 1

2 Κεφάλαιο1. Πλειότιµες απεικονίσεις είναι η εικόνα του A µέσω της φ, το σύνολο φ u (B) = {x X φ(x) B}, είνα η άνω (ή ισχυρή) αντίστροφη εικόνα του B και το σύνολο φ l (B) = {x X φ(x) B }, είαι η κάτω (ή ασθενής) αντίστροφη εικόνα του B. Επίσης γιά κάθε y Y το σύνολο είναι η αντίστροφη εικόνα του y. φ 1 (y) = {x X y φ(x)}, Πρόταση 1.1. Αν φ : X Y και A Y έχουµε : (i) (φ u (A)) c = φ l (A c ), (ii) (φ l (A)) c = φ u (A c ). Απόδειξη. Από τους αντίστοιχους ορισµούς έχουµε : (φ u (A)) c = {x X φ(x) A c } = φ l (A c ). Επίσης ( φ l (A) )c = {x X φ(x) A c } = φ u (A c ). 1.2 Συνέχεια Εστω X, Y µετρικοί χώροι και έστω η πλειότιµη απεικόνιση φ : X Y και έστω x X. Η φ είναι upper hemicntinuous στο x X αν για κάθε ανοικτή περιοχή U του φ(x) η άνω αντίστροφη εικόνα φ u (U) είναι περιοχή του x. Αν η φ είναι upper hemicontinuous σε κάθε σηµείο του X, είναι upper hemicontinuous στο X. Υπεθυµίζουµε οτι περιοχή ενός υποσυνόλου A του Y είναι κάθε B Y ώστε υπάρχει ανοικτό V Y µε A V B.

1.2. Συνέχεια 3 Η φ είναι lower hemicontinuous στο x X αν για κάθε U Y ανοικτό µε φ(x) U, η κάτω αντίστροφη εικόνα φ l (U) του U είναι περιοχή του x. Αν η φ είναι lower hemicontinuous σε κάθε σηµείο του X, είναι lower hemicontinuous στο X. Αν η φ είναι upperκαι lower hemicontinuous στο x X, είναι συνεχής στο x και αν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του X είναι συνεχής στο X. Αν η φ : X Y είναι µονότιµη τότε για κάθε V Y έχουµε φ u (V) = φ l (V), άρα τα δύο είδη ηµισυνέχειας ταυτίζονται. Εποµένως, αν µία µονότιµη απεικόνιση είναι upper hemicontinuous ή lower hemicontinuous στο X τότε είναι συνεχής. Αν η συνάρτηση f : X R είναι άνω ηµισυνεχής δηλαδή το σύνολο {x X f (x) < c} είναι ανοικτό γιά κάθε c, δεν έπεται κατ ανάγκη ότι η f είναι upper hemicontinuous. Εποµένως η έννοια της upper hemicntinuity δεν επεκτείνει την έννοια της άνω ηµισυνέχειας σε πλειότιµες απεικονίσεις. Επίσης αν η f είναι κάτω ηµισυνεχής δεν είναι κατ ανάγκη και lower hemicontinuous. Γνωρίζουµε ότι η συνάρτηση f : X Y είναι συνεχής αν και µόνο αν γιά κάθε U Y ανοικτό το f 1 (U) είναι ανοικτό. Για τον χαρακτηρισµό της συνέχειας απεικονίσεων έχουµε τα παρακάτω αποτελέσµατα. Θεώρηµα 1. Αν X, Y µετρικοί χώροι και φ : X Y, οι παρακάτω προτάσες είναι ισοδύναµες : 1. Η φ είναι upper hemicontinuous, 2. φ u (V) ανοικτό, για κάθε ανοικτό υποσύνολο V του Y, 3. φ l (F) κλειστό για κάθε κλειστό υποσύνολο F του Y. Απόδειξη. (1) (2). Υποθέτουµε ότι η φ είναι upper hemicontinuous και ότι V ανοικτό υποσύνολο του Y. Θα δείξουµε ότι φ u (V) ανοικτό. Γιά κάθε x φ u (V) έχουµε : φ(x) V και από τον ορισµό της άνω ηµισυνέχειας φ u (V) είναι περιοχή του x, εποµένως το φ u (V) είναι ανοικτό. (2) (1). Γιά να δείξουµε ότι η φ είναι upper hemicontinuous αρκεί να δείξουµε ότι γιά κάθε x X και κάθε V Y ανοικτό µε φ(x) V

4 Κεφάλαιο1. Πλειότιµες απεικονίσεις το φ u (V) είναι περιοχή του x. Οµως x φ u (V) και φ u (V) ανοικτό, άρα φ u (V) περιοχή του x. (2) (3). Θα δείξουµε ότι φ l (F) κλειστό, γιά κάθε F Y κλειστό. Εχουµε : ( φ l (F) )c = φ u (F c ), (1.2.0.1) ανοικτό, άρα φ l (F) κλειστό. (3) (2) Θα δείξουµε ότι φ u (V) ανοικτό γιά κάθε V Y ανοικτό. Εχουµε (φ u (V)) c = φ l (V c ), κλειστό, άρα φ u (V) ανοικτό. Θεώρηµα 2. Αν X, Y µετρικοί χώροι και φ : X Y, οι παρακάτω προτάσες είναι ισοδύναµες : 1. Η φ είναι lower hemicontinuous, 2. φ l (V) ανοικτό για κάθε ανοικτό υποσύνολο V του Y, 3. φ u (F) κλειστό για κάθε κλειστό υποσύνολο F του Y. Απόδειξη. (1) (2). Εστω φ lower hemicontinuous και V ανοικτό υποσύνολο του Y. Θα δείξουµε ότι φ l (V) ανοικτό. Εστω x φ l (V). Τότε φ(x) V και από τον ορισµό της κάτω ηµισυνέχειας το φ l (V) είναι ανοικτό, άρα περιοχή του x και το φ l (V) είναι ανοικτό. (2) (1). Γιά να δείξουµε ότι η φ είναι lower hemicontinuous στο τυχαίο σηµείο x X υποθέτουµε ότι V Y ώστε φ(x) V και έχουµε να δείξουµε ότι φ l (V) είναι περιοχή του x. Οµως x φ l (V) και το φ l (V) είναι ανοικτό, άρα το φ l (V) είναι περιοχή του x. (2) (3). Θα δείξουµε ότι φ u (F) κλειστό γιά κάθε F Y κλειστό. Εχουµε (φ u (F)) c = φ l (F c ), ανοικτό, άρα φ u (F) κλειστό. (3) (2) Θα δείξουµε ότι φ l (V) ανοικτό, γιά κάθε V Y ανοικτό. Οµως (φ l (V)) c = φ u (V c ),

1.2. Συνέχεια 5 κλειστό, άρα φ l (V) ανοικτό. Πρόταση 1.2. Εστω X µετρικός χώρος, f 1, f 2 : X R συναρήσεις, µε f 1 (x) f 2 (x) γιά καθε x X και έστω η απεικόνιση φ : X R µε φ(x) = [f 1 (x), f 2 (x)] γιά κάθε x. Εχουµε (i) Αν η f 1 είναι κάτω ηµισυνεχής και η f 2 άνω ηµισυνεχής, η φ είναι upper hemicontinuous, (ii) αν η f 1 ειναι άνω ηµισυνεχής και η f 2 κάτω ηµισυνεχής, η φ είναι lower hemicontinuous. Απόδειξη. (i): Εστω x 0 R και έστω φ(x 0 ) = [f 1 (x 0 ), f 2 (x 0 )] (a, b). Τότε f 1 (x 0 ) > a και f 2 (x 0 ) < b. Επειδή η f 1 είναι lower hemicontinuous, υπάρχει ɛ 1 > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x (x 0 ɛ 1, x 0 + ɛ 1 ) είναι f 1 (x) > a. Επειδή η f 2 είναι upper hemicontinuous, υπάρχει ɛ 2 > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x (x 0 ɛ 2, x 0 + ɛ 2 ) είναι f 2 (x) < b. Ορίζουµε ɛ = min {ɛ 1, ɛ 2 }. Τότε για κάθε x (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) έχουµε f 1 (x) > a και f 2 (x) < b, δηλαδή φ(x) = [f 1 (x), f 2 (x)] (a, b). Άρα τελικά, (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) φ u ((a, b)),δηλαδή φ u ((a, b)) ανοικτή πε- ϱιοχή του x 0, εποµένως η φ είναι upper hemicontinuous. Ανάλογα αποδεικνύεται και η (ii). Θεώρηµα 3. Εστω X, Y µετρικοί χώροι και φ : X Y. Αν η φ είναι upper hemicontinuous µε συµπαγείς τιµές και X συµπαγής, τότε φ(x) είναι συµπαγές υποσύνολο του Y. Απόδειξη. Εστω (U a ) a A, ανοικτή κάλυψη του φ(x). Για κάθε x X το φ(x) είναι συµπαγές υποσύνολο του φ(x), άρα υπάρχει πεπερασµένο υποσύνολο A x του A ώστε φ(x) U a = W x. a A x

6 Κεφάλαιο1. Πλειότιµες απεικονίσεις φ(x) = x X φ(x) n W xi. Οµως W xi = a A x U a, άρα η οικογένεια (U a ) a B, όπου B = n i A x i, είναι πεπερασµένη ανοικτή υποκάλυψη του φ(x), εποµένως το φ(x) είναι συµπαγές. Το σύνολο Gr(φ) = {(x, y) X Y y φ(x)}, Τότε το W x είναι ανοικτό ως ένωση ανοικτών µε φ(x) W x εποµένως το σύνολο φ u (W x ) είναι περιοχή του x. Επίσης από το Θεώρηµα 1, το σύνολο O x = φ u (W x ) είναι ανοικτό ως η άνω αντίστροφη εικόνα ανοικτού συνόλου διαµέσου της upper hemicontinuous συνάρτησης φ. Τότε φ(y) W x για κάθε y O x. Επίσης η οικογένεια (O x ) x X είναι ανοικτή κάλυψη του X άρα υπάρχει πεπερασµένη υποκάλυψη έστω η {O x1, O x2,..., O xn }. Η οικογένεια {W x1, W x2,..., W xn } είναι ανοικτή κάλυψη του φ(x). Πραγ- µατικά για κάθε x X έχουµε x O xi για ένα τουλάχιστο i, άρα φ(x) W xi εποµένως είναι το γράφηµα της απεικόνισης φ : X Y και είναι υποσύνολο του X Y. Αν το γράφηµα της φ είναι κλειστό, λέµε ότι η φ έχει κλειστό γράφηµα. Κάθε απεικόνιση µε κλειστό γράφηµα έχει κλειστές τιµές. Πραγ- µατικά αν η φ : X Y έχει κλειστό γράφηµα και υποθέσουµε ότι {y n } είναι ακολουθία του φ(x) τέτοια ώστε y n y, η ακολουθία {(x, y n )} του Gr(φ) συγκλίνει στο (x, y), τότε (x, y) Gr(φ) γιατί το Gr(φ) είναι κλειστό. Άρα y φ(x) και το φ(x) είναι κλειστό υποσύνολο του Y. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντοτε. Πραγµατικά η απεικόνιση φ : [0, 1] [0, 1] µε φ(x) = {0} αν x > 0 και φ(0) = [ 1 2, 1], έχει κλειστές τιµές αλλά ό- χι κλειστό γράφηµα. Παρακάτω αποδεικνύουµε ότι γιά απεικονίσεις µε συµπαγή χώρο τιµών η ιδιότητα του κλειστού γραφήµατος είναι ισοδύναµη µε την ιδιότητα της υππερ ηεµιςοντινυιτψ.

1.2. Συνέχεια 7 Θεώρηµα 4 (Θεώρηµα κλειστού γραφήµατος). Εστω X, Y µετρικοί χώροι και φ : X Y. Αν ο Υ είναι συµπαγής και φ(x) κλειστό για κάθε x X, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες : 1. η φ έχει κλειστό γράφηµα, 2. η φ είναι upper hemicontinuous. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι η φ έχει κλειστό γράφηµα και έχουµε να δείξουµε ότι είναι upper hemicontinuous. Αν η φ δεν είναι upper hemicontinuous, υπάρχει x X και V Y ανοικτό µε φ(x) V τέτοιο ώστε για κάθε περιοχή U του x, υπάρχει z U µε φ(z) V. Εποµένως υπάρχει ακολουθία {z n } του X τέτοια ώστε z n x και υπάρχουν y n φ(z n ) µε y n / V. Επειδή ο Y είναι συµπαγής υπάρχει συγκλίνουσα υπακολουθία {y kn } της {y n }. Αν y είναι το όριο της υπακολουθίας έχουµε ότι y V c. Επειδή η φ έχει κλειστό γράφηµα έχουµε ότι y φ(x) V, άτοπο, εποµένως η φ είναι upper hemicontinuous. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι ότι η φ είναι upper hemicontinuous και έχουµε να δείξουµε ότι Gr(φ) είναι κλειστό ή ισοδύναµα ότι το συµπλήρωµα (Gr(φ)) c του Gr(φ) είναι ανοικτό σύνολο. Υποθέτουµε ότι (x, y) / Gr(φ). Τότε y / φ(x) και επειδή το φ(x) είναι κλειστό, υπάρχουν ανοικτές περιοχές V του y και W του φ(x) µε V W =. Επειδή η φ είναι upper hemicontinuous το σύνολο U = φ u (W) είναι περιοχή του x, εποµένως υπάρχει ανοικτή περιοχή A του x µε A U. Ετσι έχουµε ότι φ(a) W και A V ανοικτή περιοχή του (x, y) µε (A V) Gr(φ) = και το (Gr(φ)) c είναι ανοικτό. Η συµπάγεια του χώρου τιµών είναι απαραίτητη για το συµπέρασµα του ϑεωρήµατος. Πραγµατικά η φ : R R µε { { 1 } φ(x) = x αν x 0, {0} αν x = 0, έχει κλειστό γράφηµα και συµπαγείς τιµές αλλά δεν είναι upper hemicontinuous στο 0.

8 Κεφάλαιο1. Πλειότιµες απεικονίσεις 1.3 Ακολουθιακή συνέχεια Θεώρηµα 5. Αν X, Y µετρικοί χώροι και φ : X Y, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες : (ι) Η φ είναι lower hemicontinious στο x, (ιι) αν x n x, για κάθε y φ(x) υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } και ακολουθία y n φ(x kn ) ώστε y n y. Απόδειξη. (i) (ii): Υποθέτουµε ότι η φ είναι lower hemicontinious στο x, ότι x n x και ότι y φ(x). Τότε για κάθε ανοικτή περιοχή U k = B(y, 1), k N του y έχουµε ότι U k k φ(x), εποµένως φ l (U k ) είναι περιοχή του x. Εποµένως υπάρχει n k N ώστε x n φ l (U k ) για κάθε n n k. Είναι ϕανερό ότι µπορούµε να επιλέξουµε τα n k ώστε η ακολουθία {n k } να είναι γνησίως αύξουσα. Ετσι έχουµε ότι φ(x nk ) U k, για κάθε k. Επιλέγουµε y k φ(x nk ) U k και έχουµε οτι η ακολουθία {y k } είναι η ητούµενη. (ii) (i): Υποθέτουµε οτι η φ δεν είναι lower hemicontinious στο x. Τότε υπάρχει ανοικτό υποσύνολο U του Y ώστε U φ(x) και φ l (U) δεν είναι περιοχή του x. Άρα για κάθε n N υπάρχει x n B(x, 1 n ) \ φl (U), εποµένως φ(x n ) U =. Ετσι έχουµε ότι x n x και φ(x n ) U c και U c κλειστό. Αρα έχουµε φ(x n ) U c. n=1 Απο την (ii) έχουµε ότι υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } και ακολου- ϑία y n φ(x kn ) ώστε y n y, όπότε y φ(x kn ) U c, n=1

1.3. Ακολουθιακή συνέχεια 9 που είναι άτοπο γιατί y U. Εποµένως η φ είναι lower hemicontinious στο x. Θεώρηµα 6. Αν X, Y είναι µετρικοί χώροι και φ : X Y, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες : (i) η φ είναι upper hemicontinious στο x και φ(x) είναι συµπαγές, (ii) για κάθε ακολουθία x n X µε x n x και γιά κάθε y n φ(x n ) υπάρχει υπακολουθία {y kn } της {y n } ώστε y kn y φ(x). Απόδειξη. (i) (ii): Υποθέτουµε ότιη φ είναι upper hemicontinious στο x και ότι δεν ισχύει η (ii). Τότε υπάρχει ακολουθία {x n } του X ώστε x n x, y n φ(x n ) και δεν υπάρχει υπακολουθία της {y n } που συγκλίνει σε στοιχείο του φ(x). Εποµένως για κάθε y φ(x) υπάρχει ανοικτή περιοχή B(y, ρ y ) του y ώστε y n B(y, ρ y ) για κάθε n. Επειδή το φ(x) είναι συµπαγές υπάρχει πεπερασµένη υποκάλυψη και υποθέτουµε ότι k φ(x) B(y i, ρ yi ) = U. Το U είναι ανοικτή περιοχή του φ(x) και y n U για κάθε n. Επειδή η φ είναι upper hemicontinious έχουµε ότι φ u (U) είναι περιοχή του x, εποµένως x n φ u (U) τελικά για κάθε n n 0. Άρα για κάθε n n 0 έχουµε ότι φ(x n ) U, εποµένως y n U για κάθε n n 0 που είναι άτοπο. Εποµένως ισχύει η (ii). (ii) (i): Αν υποθέσουµε οτι η φ δεν είναι upper hemicontinious στο x, υπάρχει ανοικτή περιοχή U του φ(x) ώστε φ u (U) δεν είναι περιοχή του x. Τότε για κάθε n N υπάρχει x n B(x, 1 ) \ n φu (U). Ετσι για την ακολουθία {x n } έχουµε : x n x και φ(x n ) U. Άρα για κάθε n υπάρχει y n φ(x n )\U και η {y n } δεν έχει οριακό σηµείο στο φ(x) γιατί y n U c, U c κλειστό και φ(x) U. Ετσι καταλήγουµε σε

10 Κεφάλαιο1. Πλειότιµες απεικονίσεις άτοπο, εποµένως η φ είναι upper hemicontinuous στο x. Θα δείξουµε τώρα ότι το φ(x) είναι συµπαγές. Ετσι υποθέτουµε ότι {y n } είναι ακολουθία του φ(x) και έχουµε να δείξουµε οτι έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του φ(x). Θεωρούµε τη σταθερή ακολουθία x n = x. Τότε έχουµε ότι y n φ(x n ), εποµένως από τη (ii), υπάρχει υπακολουθία {y kn } της {y n } που συγκλινει σε στοιχείο του φ(x). Άρα το φ(x) είναι συµπαγές. 1.4 Θεώρηµατα Μεγίστου Παρακάτω όταν λέµε ότι η πλειότιµη συνάρτηση φ : X Y έχει κλειστό γράφηµα στο x X ϑα εννοούµε ότι για κάθε ακολουθία {(x n, y n )} Gr(φ) µε (x n, y n ) (x, y), έχουµε (x, y) Gr(φ). Λήµµα 1.3. Εστω X, Y µετρικοί χώροι και έστω οι απεικονίσεις φ : X Y και µ : X Y. Ορίζουµε την απεικόνιση φ µ : X Y ώστε (φ µ) (y) = φ(y) µ(y), και υποθέτουµε ότι φ(y) µ(y) γιά κάθε y X. Αν η µ έχει κ- λειστό γράφηµα στο x και η φ είναι upper hemicontinuous στο x και φ(x) συµπαγές, τότε η φ µ είναι upper hemicontinuous στο x. Απόδειξη. Εστω U ανοικτό ώστε φ(x) µ(x) U. Για να δείξουµε ότι η φ µ είναι upper hemicontinuous στο x αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει περιοχή W του x τέτοια, ώστε για κάθε z W να έχουµε φ(z) µ(z) U. Θέτουµε C = φ(x) U c. Τότε το C είναι συµπαγές και µ(x) C =. Εστω y C. Τότε y / µ(x). Θα δείξουµε ότι υπάρχει ανοικτή περιοχή U y του y και περιοχή W y του x µε µ(w y ) (U y ) c. Πραγµατικά αν υποθέσουµε ότι για κάθε ανοικτή περιοχή U y του y και κάθε περιοχή W y του x έχουµε υπάρχει ακολοθία y n ώστε µ(w y ) U y, y n y µε y n µ(x n ) όπου x n x.

1.4. Θεώρηµατα Μεγίστου 11 Επειδή η µ έχει κλειστό γράφηµα στο x έχουµε ότι y µ(x), άτοπο. Άρα γιά κάθε y C, υπάρχει ανοικτή περιοχή U y του y και περιοχή W y του x µε µ(w y ) (U y ) c και επειδή το C είναι συµπαγές υπάρχει ανοικτή κάλυψη U y1, U y2,..., U yn του C. Επισης υπάρχουν περιοχές W y1, W y2,..., W yn του x ώστε µ(w yi ) U yi =. Εστω W 1 = n W y i. Τότε W 1 είναι περιοχή του x µε γιά κάθε i. Αν έχουµε ότι µ(w 1 ) U 2 = άρα µ(w 1 ) ( n U y i ) =, U 2 = n U y i, µ(w 1 ) U c 2. Επειδή η φ είναι upper hemicontinuous, υπάρχει περιοχή W 2 του x ώστε φ(z) U U 2 γιά κάθε z W 2. Θέτουµε W = W 1 W 2. Τότε για κάθε z W έχουµε (φ(z) µ(z)) (U U 2 ) U c 2 U, άρα η φ µ upper hemicontinuous στο x. Θεώρηµα 7 (Θεώρηµα µεγίστου του Berge, 1959). Εστω X, Y µετρικοί χώροι και φ : X Y συνεχής απεικόνιση µε µη κενές, συµπαγείς τιµές και έστω η συνεχής συνάρτηση f : Gr(φ) R. Ορίζουµε την συνάρτηση m : X R ως εξής : m(x) = max f (x, y) y φ(x) και την πλειότιµη απεικόνιση Τότε µ(x) = {y φ(x) f (x, y) = m(x)}.

12 Κεφάλαιο1. Πλειότιµες απεικονίσεις (ι) η µ είναι upper hemicontinuous µε µη κενές, συµπαγείς τιµές, (ιι) η m είναι συνεχής. Απόδειξη. Γιά κάθε x X έχουµε ότι µ(x) γιατί το φ(x) είναι συµπαγές και η f ως συνεχής συνάρτηση µεγιστοποιείται στο φ(x). Επίσης µ(x) είναι κλειστό υποσύνολο του φ(x), άρα συµπαγές. Ετσι έχουµε µ(x) = φ(x) µ(x), γιά κάθε x X. Γιά να δείξουε ότι η µ είαι upper hemicontinuous σύµφωνα, µε το προηγούµενο λήµµα, αρκεί να δείξουµε ότι έχει κλειστό γράφηµα. Ετσι υποθέτουµε ότι x n είναι ακολουθία του X ώστε x n x y n µ(x n ) µε y n y και έχουµε να δείξουµε ότι y µ(x). Επειδή µ(x n ) φ(x n ), έχουµε ότι και y n φ(x n ) για κάθε n. Επειδή η φ είναι upper hemicontinuous µε συµπαγείς τιµές, από το Θεώρηµα 6 συµπεραίνουµε εύκολα ότι η φ έχει κλειστό γράφηµα, εποµένως y φ(x). Υποθέτουµε, ότι y / µ(x). Τότε υπάρχει z φ(x) µε f (x, z) > f (x, y). Επειδή φ είναι lower hemicontinuous υπάρχει ακολουθία z n φ(x n ) µε z n z. Ετσι έχουµε z n z, x n x, y n y και f (x, z) > f (x, y). Από τη συνέχεια της f έχουµε ότι f (x n, z n ) > f (x n, y n ), τελικά γιά κάθε n n 0, που είναι άτοπο γιατί y n µ(x n ). Άρα y µ(x) και η µ είναι upper hemicontinuous. Για να δείξουµε ότι η m είναι συνεχής αρκεί να δείξουµε ότι γιά κάθε x X και κάθε ακολουθία x n του X µε x n x έπεται m(x n ) m(x). Υποθέτουµε ότι αυτό δεν είναι αληθές. Τότε υπάρχει υπακολουθία {m(x kn )} της {m(x n )} µε limm(x kn ) = a, όπου a πραγµατικός αριθός ή µε a m(x). Τότε έχουµε m(x kn ) = max z φ(x kn ) f (x k n, z) = f (x kn, y kn ),

1.5. Συνεχείς Επιλογές 13 όπου η συνάρτηση f (x kn,.) µεγιστοποιείται στο y kn µ(x kn ). Επειδή η µ είναι upper hemicontinuous µε συµπαγείς τιµές, από το Θεώρηµα 6, υπάρχει συγκλίνουσα υπακολουθία της της {y kn } που τη συµβολίζουµε πάλι µε {y kn }, µε όριο y µ(x). Από τη συνέχεια της f έχουµε ότι f (x kn, y kn ) f (x, y), άρα m(x kn ) m(x), εποµέµως a = m(x), άτοπο. συνεχής. Άρα η m είναι 1.5 Συνεχείς Επιλογές Εστω X, Y µετρικοί χώροι και φ : X Y πλειότιµη απεικόνιση. Η συνάρτηση f : X Y ώστε f (x) φ(x) για κάθε x X, είναι µιά επιλογή της φ (από τη φ). Αν επιπλέον η f είναι συνεχής επιλογή της φ. εχόµαστε την ύπαρξη επιλογής της φ αξιωµατικά εφόσον ϕυσικά η φ(x) γιά κάθε x. Η ύπαρξη επιλογής είνα ένα από τα σηµαντικότερα αξιώµατα της ϑεωρίας συνόλων που είναι γνωστό ως αξίωµα επιλογής. Ωστόσο η ύπαρξης συνεχούς επιλογής είναι ενα χρήσιµο και δύσκολο πρόβληµα που προφανώς δεν έχει πάντοτε λύση αφού κάθε συνάρτηση δεν είναι συνεχής. Οπως ϑα δούµε παρακάτω η ιδιότητα της lower hemicontinuity είναι πλέον πρόσφορη γιά την ύπαρξη συνεχούς επιλογής. Ωστόσο, δεν έ- χουν όλες οι lower hemicontinuous απεικονίσεις συνεχή επιλογή. Ικανές συνθήκες για την ύπαρξη συνεχούς επιλογής δίδονται παρακάτω στο ϑεώρηµα επιλογής του Michael που είναι το αντιπροσωπευτικότερο αποτέλεσµα αυτού του είδους. Υπενθυµίζουµε παρακάτω µερικές τοπλολογικές έννοιες. Εστω X µετρικός χώρος. Η οικογένεια {f i } i I συνεχών συναρτήσεων του X στο [0, 1] είναι διαµέριση της µονάδας αν οι ϕορείς των f i είναι τοπικά πεπερασµένο κάλυµµα του X και i I f i(x) = 1 για κάθε x X Υπενθυµίζουµε ότι ο ϕορέας του f i, suppf i είναι το κλειστό περίβληµ- µα του συνόλου {x X f i (x) 0}. Επίσης υπό τον όρο οι ϕορείς των

14 Κεφάλαιο1. Πλειότιµες απεικονίσεις f i είναι τοπικά πεπερασµένο κάλυµµα του X εννοούµε ότι η ένωση αυτών των συνόλων ειναι ο X και ότι γιά κάθε i, ο ϕορέας της f i τέµνει το πολύ πεπερασµένου πλήθους ϕορείς άλλων συναρτήσεων f j. Ετσι αν η οικογένεια {f i } i I είναι διαµέριση της µονάδας, γιά κάθε x X, έχουµε ότι f i (x) > 0 γιά πεπερασµένου πλήθους i. Αν {U i } i I ανοικτή κάλυψη του X και {f i } i I διαµέριση της µονάδας ώ- στε suppf i U i γιά κάθε i, λέµε ότι η οικογένεια {f i } i I υποδιατάσσεται από την οικογένεια {U i } i I. Το παρακάτω αποτέλεσµα είναι ή ϐάση γιά τη µελέτη που ακολουθεί και ϐασίζεται στό Λήµµα του Uryson. Ισχύει γενικότερα αλλά γιά µετρικούς χώρους διατυπώνεται ως εξής : Θεώρηµα 8. Αν X είναι συµπαγής µετρικός χώρος και {U α } ανοικτή κάλυψη του X, υπάρχει διαµέριση της µονάδας του X που υποδιατάσσεται από την οικογένεια {U α }. Λήµµα 1.4. Εστω X µετρικός χώρος, Y χώρος µε norm και φ : X Y. Αν ο X είναι συµπαγής και η φ lower hemicontinuous µε µη κενές, κυρτές τιµές, τότε γιά κάθε πραγµατικό αριθµό ɛ > 0 υπάρχει συνεχής συνάρτηση f ɛ : X Y ώστε f ɛ (x) φ(x) + B(0, ɛ), για κάθε x X. Η f ɛ ονµάζεται ɛ προσέγγιση της φ. Απόδειξη. Εστω y(x) φ(x), x X, τυχαία επιλογή της φ. Επειδή η φ είναι lower hemicontinuous και B(y(x), ɛ) ανοικτή περιοχή του y(x) που τέµνει το φ(x), έχουµε ότι φ l (B(y(x), ɛ)) είναι περιοχή του x και έστω W x φ l (B(y(x), ɛ)) ανοικτή περιοχή του x. Επειδή ο X είναι συµπαγής, υπάρχουν x 1, x 2,..., x n X ώστε η οικογένεια W xi, i = 1, 2,..., n, είναι ανοικτή κάλυψη του X. Εστω {f i i = 1,..., n} διαµέριση της µονάδας του X που υποδιατάσσεται από τη παραπάνω κάλυψη. Θά δείξουµε ότι η συνάρτηση f ɛ (x) = n f i (x)y(x i ),

1.5. Συνεχείς Επιλογές 15 είναι η ητούµενη. Γιά κάθε i, η συνάρτηση x f i (x)y(x i ) είναι συνεχής άρα η f ɛ είναι συνεχής ως άθροισµα συνεχών συναρτήσεων. Θα δείξουµε ότι B(f ɛ (x), ɛ) φ(x). Εστω x X σταθερό. Επειδή η {f i i = 1,..., n} είναι διαµέριση της µονάδας που υποδιατάσσεται από τη κάλυψη {W xi }, έχουµε f i (x) > 0 για ένα τουλάχιστο i και γιά κάθε τέτοιο i έχουµε x φ l (B(y(x i ), ɛ), άρα Ετσι έχουµε φ(x) B(y(x i ), ɛ), γιά κάθε i µε f i (x) > 0. y(x i ) φ(x) + B(0, ɛ), γιά κάθε i µε f i (x) > 0. Το σύνολο φ(x) + B(0, ɛ) είναι κυρτό ως άθροισµα κυρτών. Επειδή f ɛ (x) είναι κυρτός συνδυασµός των y(x i ), έχουµε ότι και το Λήµµα αποδείχτηκε. f ɛ (x) φ(x) + B(0, ɛ) Λήµµα 1.5. Εστω X µετρικός χώρος, Y χώρος µε norm και έστω ότι η απεικόνιση φ : X Y είναι lower hemicontinuous. Αν f : X Y είναι συνεχής συνάρτηση και φ(x) [f (x) + B(0, ρ)], γιά κάθε x X, όπου B(0, ρ) η ανοικτή σφαίρα του Y µε κέντρο µηδέν και ακτίνα ρ, τότε η απεικόνιση ψ(x) = φ(x) [f (x) + B(0, ρ)], είναι lower hemicontinuous. Απόδειξη. Εστω x 0 X και G Y ανοικτό ώστε G ψ(x 0 ). Θα δείξουµε ότι ψ l (G) είναι περιοχή του x 0. Εστω y 0 φ(x 0 ) [f (x 0 ) + B(0, ρ)] G. Τότε y 0 [f (x 0 ) + B(0, ρ)] G. Εποµένως υπάρχει θ > 0 ώστε y 0 + 2B(0, θ) [f (x 0 ) + B(0, ρ)] G. Επειδή y 0 + 2B(0, θ) f (x 0 ) + B(0, ρ), έχουµε ότι 2θ < ρ και επίσης ότι f (x 0 ) y 0 + 2θ < ρ.

16 Κεφάλαιο1. Πλειότιµες απεικονίσεις Εστω V = f 1 (f (x 0 ) + B(0, θ)). Από τη συνέχεια της f έχουµε ότι V είναι περιοχή του x 0. Θα δείξουµε ότι y 0 + B(0, θ) f (x) + B(0, ρ), για κάθε x V. Πραγµατικά f (x) f (x 0 ) + B(0, θ), άρα f (x) = f (x 0 ) + z, µε z B(0, θ). Άρα γιά κάθε h B(0, θ) έχουµε y 0 + h f (x 0 ) z y 0 f (x 0 ) + + h z = y 0 f (x 0 ) + 2θ < ρ και το ητούµενο αποδείχτηκε. Επίσης από το τρόπο εκλογής του y 0 έχουµε ότι y 0 φ(x 0 ) (y 0 + B(0, θ)), άρα x 0 φ l (y 0 + B(0, θ)). Επειδή η φ είναι lower hemicontinuous το σύνολο U = V φ l (y 0 + B(0, θ)), είναι περιοχή του x 0. Θα δείξουµε ότι ψ(x) G. Επειδή y 0 + 2B(0, θ) G, για κάθε x U έχουµε ψ(x) G = φ(x) [f (x) + B(0, ρ)] G φ(x) [f (x) + B(0, ρ)] (y 0 + B(0, θ)). Οπως αποδείξαµε παραπάνω y 0 + B(0, θ) f (x) + B(0, ρ), εποµένως έχουµε φ(x) [f (x) + B(0, ρ)] (y 0 + B(0, θ)) = φ(x) (y 0 + B(0, θ)) και επειδή x φ l (y 0 + B(0, θ)) έχουµε ότι φ(x) (y 0 + B(0, θ)). Εποµένως ψ(x) G γιά κάθε x U, άρα U ψ l (G). Ετσι έχουµε ότι ψ l (G) περιοχή του x 0 και η ψ είναι lower hemicontinuous.

1.5. Συνεχείς Επιλογές 17 Θεώρηµα 9 ( Michael, 1956). Εστω X µετρικός χώρος, Y χώρος µε norm και φ : X Y. Αν ο X είναι συµπαγής και η απεικόνιση φ : X Y είναι lower hemicontinuous µε κλειστές, κυρτές τιµές, υπάρχει συνεχής επιλογή f : X Y της φ(x). Απόδειξη. Εστω V n = B(0, 1 ) η ανοικτή σφαίρα του Y µε κέντρο το 0 2 n και ακτίνα 1. Από το λήµµα 1.4 υπάρχει f 2 n 1 : X Y συνεχής, ώστε f 1 (x) φ(x) + V 1, για κάθε x X. Εστω ψ 2 : X Y ώστε ψ 2 (x) = φ(x) (f 1 (x) + V 1 ). Σηµειώνουµε ότι ψ 2 (x) γιά κάθε x. Από το λήµµα 1.5 η ψ 2 είναι lower hemicontinuous και από το λήµµα 1.4, υπάρχει f 2 : X Y συνεχής, ώστε f 2 (x) ψ 2 (x) + V 2, για κάθε x X. Τότε Επίσης f 2 (x) f 1 (x) + V 1 + V 2 f 1 (x) + 2V 1. f 2 (x) ψ 2 (x) + V 2 φ(x) + V 2. Στη σνέχεια ϑα κατασκευάσουµε επαγωγικά ακολουθία συνεχών συναρτήσεων f n : X Y ώστε για κάθε x X και κάθε n να ισχύουν : (i) f n (x) f n 1 (x) + 2V n 1 και (ii) f n (x) φ(x) + V n. Οι f 1, f 2 ικανοποιούν τις παραπάνω ιδιότητες. Υποθέτουµε ότι οι f 1,..., f n ικανοποιούν τις (i), (ii). Ορίζουµε ψ n+1 : X Y ως ψ n+1 (x) = φ(x) (f n (x) + V n ). Τότε ψ n+1 (x) και ψ n+1 lower hemicontinuous από το λήµµα 1.5. Εποµένως υπάρχει f n+1 συνεχής, ώστε f n+1 (x) ψ n+1 (x) + V n+1 για κάθε x X. Εχουµε f n+1 (x) f n (x) + V n + V n+1 f n (x) + 2V n.

18 Κεφάλαιο1. Πλειότιµες απεικονίσεις Επίσης έχουµε f n+1 (x) f n (x) 1/2 n 1 για κάθε x X και κάθε n, άρα η ακολουθία {f n } είναι οµοιόµορφα Cauchy, εποµένως συγκλίνει οµοιόµορφα σε συνεχή συνάρτηση f : X Y. Απο την υπόθεση ότι το φ(x) είναι κλειστό και τη (ii) έχουµε ότι f (x) φ(x) για κάθε x X και το Θεώρηµα αποδείχτηκε. Το παρακάτω πόρισµα εξασφαλίζει την ύπαρξη συνεχούς επιλογής που διέρχεται από συγκεκριµένο σηµείο του γραφήµατος της πλειότιµης απεικόνισης. Πόρισµα 1.6. Εστω X µετρικός χώρος, Y χώρος µε norm και φ : X Y. Αν ο X είναι συµπαγής και η φ είναι lower hemicontinuous µε µη κενές, κλειστές, κυρτές τιµές, τότε γιά κάθε (x 0, y 0 ) Gr(φ), υπάρχει συνεχής επιλογή f της φ ώστε f (x 0 ) = y 0. Απόδειξη. Ορίζουµε την απεικόνιση ψ : X Y ώστε ψ(x) = φ(x) γιά κάθε x x 0 και ψ(x 0 ) = {y 0 }. Η ψ είναι lower hemicontinuous. Πραγ- µατικά γιά κάθε x X και κάθε G Y ανοικτό µε ψ(x) G έχουµε : Αν x x 0, τότε ψ l (G) = φ l (G), άρα ψ l (G) είναι περιοχή του x και η ψ είναι lower hemicontinuous στο x. Αν x = x 0 έχουµε ότι y 0 G, άρα φ(x 0 ) G εποµέως το φ l (G) είναι περιοχή του x 0 αφού φ είναι lower hemicontinuous. Θα δείξουµε ότι φ l (G) ψ l (G), οπότε έχουµε ότι η ψ l (G) είναι περιοχή του x 0 και η ψ lower hemicontinuous στο x 0. Γιά κάθε z φ l (G) µε z x 0, έχουµε φ(z) = ψ(z) άρα z ψ l (G). Επίσης x 0 ψ l (G) γιατί ψ(x 0 ) G, εποµένως φ l (G) ψ l (G) και η ψ είναι lower hemicontinuous. Η ψ έχει κλειστές και κυρτές τιµές, άρα έχει συνεχή επιλογή, έστω την f. Είναι προφανές ότι f (x 0 ) = y 0. Πρόταση 1.7. Εστω η απεικόνιση φ : X Y, όπου X, Y µετρικοί χώροι. Αν η φ έχει ανοικτά κάτω τµήµατα, δηλαδή το σύνολο φ 1 (y) είναι ανοικτό για κάθε y Y, τότε η φ είναι lower hemicontinuous. Απόδειξη. Εστω x 0 X και G Y ανοικτό ώστε φ(x 0 ) G. Θα δείξουµε ότι φ l (G) περιοχή του x 0. Εστω y φ(x 0 ) G. Τότε x 0 φ 1 (y) και το φ 1 (y) είναι ανοικτό από την υπόθεση. Επίσης γιά κάθε

1.6. Μεγιστοποίηση διµελών σχέσεων 19 z φ 1 (y) έχουµε y φ(z) και επεδή y G έχουµε φ(z) G. Άρα φ 1 (y) φ l (G), εποµένως το φ l (G) είναι περιοχή του x 0. Στο επόµενο ϑεώρηµα η υπόθεση του Θωρήµατος του Michael ότι η φ έχει κλειστές τιµές αντικαθίσταται από την υπόθεση ότι φ 1 (y) είναι ανοικτό για κάθε y. Θεώρηµα 10 (Browder, 1968). Εστω X µετρικός χώρος, Y χώρος µε norm και φ : X Y. Αν ο X είναι συµπαγής και η απεικόνιση φ έχει µη κενές, κυρτές τιµές και φ 1 (y) είναι ανοικτό για κάθε y Y, υπάρχει συνεχής επιλογή f : X Y της φ(x). Απόδειξη. Η οικογένεια {φ 1 (y) y Y } είναι ανοικτή κάλυψη του X, άρα υπάρχουν y 1,..., y n ώστε X = n φ 1 (y). Εποµένως υπάρχει διαµέριση της µονάδας, έστω η {f i i = 1,..., n} που υποδιατάσσεται από τη {φ 1 (y i ) i = 1,..., n}. Εστω f (x) = n f i (x)y i. Η f είναι συνεχής. Γιά κάθε x X έχουµε f i (x) > 0 γιά ένα τουλάχιστο i και γιά κάθε τέτοιο i έχουµε x φ 1 (y i ) άρα y i φ(x) γιά κάθε i µε f i (x) > 0. Εποµένως, το f (x) ως κυρτός συνδυασµός στοιχείων του φ(x) ανήκει στο φ(x) άρα η f είναι συνεχής επιλογή της φ. 1.6 Μεγιστοποίηση διµελών σχέσεων Στο κεφάλαιο µελετούνται ικανές συνθήκες ώστε µιά οικογένεια συνόλων να έχει µη κενή τοµή. Μία συγκεκριµένη εφαρµογή αυτής της ιδιότητας είναι η εύρεση µεγιστικών στοιχείων διµελών σχέσεων. Ικανές συνθήκες για την ύπαρξη µεγιστικού στοιχείου περιγράφονται στο ϑεώρηµα Μεγιστικών στοιχείων. Το παρακάτω είναι γνωστό ως Θεώρηµα Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz και αποδείχτηκε το 1929. Για την απόδειξη ϐλέπε []. Υπενθµίζουµε ότι

20 Κεφάλαιο1. Πλειότιµες απεικονίσεις γιά κάθε υποσύνολο A γραµµικού χώρου E, συµβολίζουµε µε coa το κυρτό περίβληµα του A. Θεώρηµα 11. Αν {x 1,..., x m } πεπερασµένο υποσύνολο του R n και F 1,..., F m οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του R n τέτοια ώστε για κάθε υποσύνολο δεικτών I του {1,..., m} έχουµε co {x i i I} i I F i, τότε F 1 F m co {x 1,..., x m } =. Εστω X χώρος µε norm και A X. Η απεικόνιση φ : A X είναι ΚΚΜ απεικόνιση (Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz απεικόνιση) αν co {x 1,..., x n } n φ(x i) για κάθε πεπερασµένο υποσύνολο {x 1,..., x n } του Α. Γιά κάθε ΚΚΜ απεικόνιση φ : A X X έχουµε x φ(x) για κάθε x A. Θεώρηµα 12 (Fan). Εστω X χώρος µε nom, A X και έστω η απεικόνιση φ : A X είναι ΚΚΜ. Αν η φ έχει κλειστές τιµές και φ(x) συµπαγές για κάποιο x, το σύνολο x A φ(x) είναι συµπαγές και µη κενό. Απόδειξη. Εστω φ(x 0 ) συµπαγές. Επειδή η φ είναι ΚΚΜ, έχουµε ότι φ(x 0 ) φ(x) και υποθέτουµε ότι Επειδή ω(x) = φ(x 0 ) φ(x) για κάθε x A. x A φ(x) = x A ω(x), αρκεί να δείξουµε ότι x A ω(x). Επειδή τα σύνολα ω(x) είναι κ- λειστά υποσύνολα του συµπαγούς φ(x 0 ), άρκεί να δείξουµε ότι η οικογένεια {ω(x) x A} ικανοποιεί την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής. Υποθέτουµε ότι x 1,..., x n A. Τότε n n n ω(x i ) = φ(x i ) φ(x 0 ) = φ(x i ). i=0

1.6. Μεγιστοποίηση διµελών σχέσεων 21 Εστω G i = φ(x i ) co {x 0, x 1,..., x n }. Οι οικογένειες {x i i = 0, 1,..., n}, {G i i = 0, 1,..., n} ικανοποιούν τις υποθέσεις του Θεωρήµατος ΚΚΜ. Πραγµατικά γιά κάθε I {0, 1,..., n} έχουµε co{x i i I} = co{x i i I} co{x 0, x 1,..., x n } ( i I φ(x i )) co{x 0, x 1,..., x n } = i I G i, άρα ικανοποιούν τις υποθέσεις του Θεωρήµατος ΚΚΜ. Αν L είναι ο υποχωρος του X που παράγεται από τα x 0, x 1,..., x n έχουµε ότι x i L και G i L γιά κάθε i, και επειδή ο L είναι πεπερασµένης διάστασης, από το Θεώηµα ΚΚΜ έχουµε Επειδή = n n G i = ( φ(x i )) co {x 0, x 1,..., x n }. i=0 i=0 n φ(x i ) = i=0 n ω(x i ), έχουµε ότι n ω(x i), και το Θεώρηµα αποδείχτηκε. Εστω R µία διµελής σχέση στο σύνολο X. Ταυτίζουµε την σχέση R µε τη πλειότιµη απεικόνιση φ : X X ώστε φ(x) = {y X yrx}. Αν K X, το σύνολο των µεγιστικών στοιχείων της R στο K είναι {x K φ(x) K = }. Στη συνέχεια, αποδεικνύουµε το ϑεώρηµα µεγιστικών στοιχείων που περιγράφει ικανές συνθήκες ώστε µια µη ανακλαστική διµελής σχέση να έχει µεγιστικό στοιχείο. Θεώρηµα 13. (Μεγιστικά στοιχεία). Εστω X χώρος µε nom, K συµπαγές, κυρτό υποσύνολο του X και έστω η µη ανακλαστική διµελής σχέση στον X τέτοια ώστε

22 Κεφάλαιο1. Πλειότιµες απεικονίσεις 1. για κάθε x στο K, x / co {y K y x}, 2. για κάθε x στο K, το {y K x y} είναι ανοικτό στο Κ. Τότε το σύνολο {x K y x για κάθε y K} των µεγιστικών στοιχείων της στο K είναι συµπαγές και µη κενό. Απόδειξη. Εστω η απειόνιση φ : K X ώστε φ(x) = {y K y x}. Υποθέτουµε ότι φ(x) για κάθε x K, γιατί αν υποθέσουµε ότι φ(x) = γιά κάποιο x, έχουµε ότι το x είναι µεγιστικό στοιχείο της στο K. Επίσης παρατηρούµε ότι φ(x) K για κάθε x γιατί αν υποθέσουµε ότι φ(x) = K, έχουµε x x που είναι άτοπο. Σηµειώνουµε επίσης ότι το x 0 K είναι µεγιστικό στοιχείο της στο K αν και µόνο αν x 0 z K K \ φ 1 (z), εποµένως αρκεί να δείξουµε ότι K \ φ 1 (z). z K Από την υπόθεση έχουµε ότι x / coφ(x) για κάθε x K. Θα δείξουµε όι η απεικόνιση ψ(x) = K \ φ 1 (x), x K, είναι ΚΚΜ. Ετσι υποθέτουµε ότι x 1, x 2,..., x n K και έχουµε να δείξουµε ότι co{x 1, x 2,..., x n } n ψ(x i). Εστω Τότε έχουµε n y co{x 1, x 2,..., x n } και y ψ(x i ). y K \ n ψ(x i ) = n (K\ψ(x i )) = n φ 1 (x i ), εποµένως x i φ(y) για κάθε i. Επειδή το coφ(y) είναι κυρτό έχουµε co{x 1, x 2,..., x n } coφ(y), άρα y coφ(y), άτοπο. Εποµένως η ψ είναι

1.6. Μεγιστοποίηση διµελών σχέσεων 23 ΚΚΜ. Το ψ(x) είναι κλειστό υποσύνολο του K άρα συµπαγές, για κάθε x K και από το Θεώρηµα 12 έχουµε ότι το σύνολο z K ψ(z) = z K K\ φ 1 (z) είναι µη κενό και συµπαγές και το Θεώρηµα αποδείχτηκε. Πόρισµα 1.8. Εστω X χώρος µε nom, K µη κενό, συµπαγές, κυρτό υποσύνολο του X και έστω η απεικόνιση p : K X, όπου X ο τοπολογικός δυϊκός του X. Αν η απεικόνιση (x, y) y, p(x) είναι συνεχής στο K K, υπάρχει x K ώστε για κάθε y K. x, p(x) y, p(x), Απόδειξη. Ορίζουµε την διµελή σχέση στον X ως εξής : x y αν και µόνο αν x, p(y) < y, p(y). Εύκολα ϕαίνεται ότι η είναι µη ανακλαστική. Επίσης για κάθε x K έχουµε {y K y x} = {y K y, p(x) < x, p(x) }, άρα x / {y K y x} και επίσης x / co {y K y x}. Παρατηρούµε ακόµη ότι γιά κάθε x K σταθερό, η συνάρτηση f (y) = x y, p(y) είναι συνεχής στο K, εποµένως το σύνολο {y K x y} = {y K x y, p(y) < 0} είναι ανοικτό υποσύνολο του K ως η ατίστροφη εκόνα f 1 (, 0) του (, 0). Άρα από το παραπάνω ϑεώρηµα, η έχει µεγιστικά στοιχεία στο K. Αν x είναι µεγιστικό στοιχείο της στο K, για κάθε y K, έχουµε y x, άρα y, p(x) < x, p(x). Εποµένως έχουµε για κάθε y K. x, p(x) y, p(x),

24 Κεφάλαιο1. Πλειότιµες απεικονίσεις 1.7 Θεωρήµατα σταθερού σηµείου Στο κεφάλαιο αυτό µελετούµε την ύπαρξη σταθερού σηµείου απεικονίσεων. Εστω A X και η απεικόνιση φ : A X. Αν x A και x φ(x), το x είναι σταθερό σηµείο της φ. Αν η φ είναι συνάρτηση, το x είναι σταθερό σηµείο της φ αν x = φ(x). Το πρώτο αποτέλεσµα σταθερού σηµείου είναι το παρακάτω : Θεώρηµα 14 (Brouwer, 1912). Κάθε συνεχής συνάρτηση f : K K, όπου K µη κενό, συµπαγές και κυρτό υποσύνολο του R n, έχει σταθερό σηµείο. Στη συνέχεια το ϑεώρηµα αυτό γενικεύθηκε γιά απεικονίσεις ως εξής : Θεώρηµα 15 ( Kakutani, 1941). Αν K R n µη κενό, συµπαγές και κυρτό, κάθε απεικόνιση φ : K K µε κλειστό γράφηµα και µη κενές, κυρτές τιµές έχει σταθερό σηµείο. Παρακάτω ϑα αποδείξουµε ένα γενικό αποτέλεσµα από το οποίο προκύπτουν ως πορίσµατα τα προηγούµενα αποτελέσµατα. Αν X χώρος µε norm και A X, η απεικόνιση φ : A X είναι inward pointing αν για κάθε x A υπάρχει y φ(x) και λ > 0 ώστε x + λ (y x) A. Κάθε πλειότιµη απεικόνιση φ από το A στο A µε µη κενές τιµές είναι inward pointing. Θεώρηµα 16 (Halpern-Bergman, 1968). Αν X χώρος µε norm, K X µη κενό, συµπαγές και κυρτό, τότε κάθε inward pointing, upper hemicontinuous απεικόνιση φ : K X µε µη κενές, κλειστές και κυρτές τιµές έχει σταθερό σηµείο. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι η φ δεν έχει σταθερό σηµείο. Τότε x / φ(x) για κάθε x K. Εποµένως για κάθε x K υπάρχει συνεχές γραµµικό συναρτησιακό q x του X και α x R ώστε q x (y) < α x για κάθε y φ(x) και q x (x) > α x. Επειδή η φ είναι upper hemicontinuous, έχουµε ότι το σύνολο U x = φ u ({y K q x (y) < α x )) {y K q x (y) > α x },

1.7. Θεωρήµατα σταθερού σηµείου 25 είναι ανοικτή περιοχή του x στο K. Η οικογένεα {U x x K} είναι ανοικτή κάλυψη του K και επειδή το K είναι συµπαγές, υπάρχουν x 1, x 2,..., x n ώστε K = n U x i. Εστω f i : K [0, 1], i = 1,..., n διαµέριση της µονάδας που υποδιατάσσεται από την {U xi }. Τότε γιά κάθε x K έχουµε f i (x) > 0 γιά ένα τουλάχιστο i και γιά κάθε τέτοιο i έχουµε x U xi. Άρα f i (x) > 0 = [q xi (y) < α xi, για κάθε y φ(x) και q xi (x) > α xi ]. Ορίζουµε p : K X ως εξής p(x) = n f i (x)q xi, για κάθε x K. Επειδή κάθε q xi είναι συνεχές γραµµικό συναρτησιακό, η απεικόνιση (x, y) y, p(x) = n f i (x)q xi (y), x K, y X, είναι συνεχής. Σύµφωνα µε το Πόρισµα 1.8, υπάρχει x 0 K ώστε για κάθε y K. Επίσης για κάθε x K και y φ(x) έχουµε y, p(x 0 ) x 0, p(x 0 ) (1.7.0.2) x, p(x) = n f i (x)q xi (x) > n f i (x)α xi > y, p(x). (1.7.0.3) Επειδή η φ είναι inward pointing υπάρχει y 0 φ(x 0 ) και λ > 0 ώστε y = x 0 + λ(y 0 x 0 ) K, εποµένως y, p(x 0 ) x 0, p(x 0 ). Οµως y, p(x 0 ) = x 0 + λ(y 0 x 0 ), p(x 0 ) = (1 λ) x 0, p(x 0 ) + λ y 0, p(x 0 ) (1 λ) x 0, p(x 0 ) + λ x 0, p(x 0 ) = x 0, p(x 0 ), άτοπο. Άρα x φ(x) για κάποιο x K και η φ έχει τουλάχιστο ένα σταθερό σηµείο.

26 Κεφάλαιο1. Πλειότιµες απεικονίσεις Παρατήρηση 1.9. Τα ϑεωρήµατα σταθερού σηµείου των Brouwer και Kakutani προκύπτουν ως πορίσµατα του ϑεωρήµατος των Halpern-Bergman. Πραγµατικά, κάθε συνεχής µονότιµη συνάρτηση είναι upper hemicontinuous ως πλειότιµη απεικόνιση και κάθε απεικόνιση µε κλειστό γράφηµα και συµπαγή χώρο τιµών είναι upper hemicontinuous. Επίσης, κάθε απεικόνιση από το K στο K είναι inward pointing. Στη περίπτωση lower hemicontinuous απεικονίσεων παρουσιάζουµε τα παρακατω αποτελέσµατα. Η απόδειξη τους ϐασίζεται στην ύπαρξη συνεχούς επιλογής από την πλειότιµη απεικόνιση, που ικανοποιεί τις υποθέσεις του ϑεωρήµατος σταθερού σηµείου Brouwer. Θεώρηµα 17 (Michael-Browder, 1956). Εστω X χώρος µε norm, και έστω K X συµπαγές. Αν φ : K K είναι lower hemicontinuous απεικόνιση µε µη κενές, κλειστές, κυρτές τιµές, τότε η φ έχει σταθερό σηµείο. Απόδειξη. Από ϑεώρηµα επιλογής του Michael υπάρχει συνεχής µονότιµη συνάρτηση f : K K τέτοια,ώστε f (x) φ(x) για κάθε x K. Οµως η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του ϑεωρήµατος σταθερού σηµείου Brouwer, άρα υπάρχει x 0 K τέτοιο ώστε x 0 = f (x 0 ). Οµως, x 0 = f (x 0 ) φ(x 0 ), άρα η φ έχει σταθερό σηµείο. Θεώρηµα 18 ( Browder, 1968). Εστω X χώρος µε norm, K X συµπαγές, κυρτό. Αν η απεικόνιη φ : K K έχει µη κενές, κυρτές τιµές και φ 1 (y) ανοικτό για κάθε y K, η φ έχει σταθερό σηµείο. Απόδειξη. Από ϑεώρηµα επιλογής Browder υπάρχει συνεχής µονότιµη συνάρτηση f : K K τέτοια,ώστε f (x) φ(x) για κάθε x K. Η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του ϑεωρήµατος σταθερού σηµείου Brouwer άρα υπάρχει x 0 K τέτοιο ώστε x 0 = f (x 0 ). Οµως, x 0 = f (x 0 ) φ(x 0 ), άρα η φ έχει σταθερό σηµείο. 1.8 Απεικονίσεις συστολής Εστω X µετρικός χώρος. Η συνάρτηση f : X X είναι συνάρτηση συστολής αν υπάρχει σταθερός πραγµατικός αριθµός 0 < c < 1 ώστε d(f (x), f (y)) cd(x, y),

1.8. Απεικονίσεις συστολής 27 για κάθε x, y X. Το παρακάτω είναι το πλέον γνωστό αποτέλεσµα σταθερού σηµείου γιά συναρτήσεις συστολής. Θεώρηµα 19 (Banach, 1922 ). Αν X πλήρης µετρικός χώρος, τότε κάθε συνάρτηση συστολής f : X X έχει µοναδικό σταθερό σηµείο. Γιά πλειότιµες απεικονίσεις η έννοια της συστολής προϋποθέτει την έννοια της µετρικής Hausdorff που ορίζεται ως εξής : Για κάθε εύγος υποσυνόλων A, B του µετρικού χώρου X, ορίζουµε ως απόσταση των A, B τον αριθµό { h d (A, B) = max sup α A } d(α, B), sup d(b, A). b B Η συνάρτηση h d ονοµάζεται µετρική Hausdorff του X. Η απεικόνιση φ : X X είναι απεικόνιση συστολής αν έχει µη κενές, κλειστές, ϕραγµένες τιµές και υπάρχει σταθερός πραγµατικός αριθµός 0 < c < 1 ώστε h d (φ(x), φ(y)) cd(x, y) για κάθε x, y X. Το επόµενο είναι η γενίκευση του ϑεωρήµατος Banach για απεικονίσεις συστολής. Θεώρηµα 20 ( Nadler, 1969). Αν X πλήρης µετρικός χώρος, τότε κάθε απεικόνιση συστολής φ : X X έχει σταθερό σηµείο. Απόδειξη. Θα δείξουµε πρώτα ότι γιά κάθε A, B X, ϕραγµένα, γιά κάθε ɛ > 0 και κάθε x 1 A, υπάρχει x 2 B ώστε d(x 1, x 2 ) < h d (A, B) + ɛ. Πραγµατικά έχουµε d(x 1, B) sup a A d(a, B). Οµως d(x 1, B) = inf b B d(x 1, b), εποµένως υπάρχει x 2 B ώστε d(x 1, x 2 ) < inf b B d(x 1, b) + ɛ = d(x 1, B) + ɛ sup a A d(a, B) + ɛ h d (A, B) + ɛ.

28 Κεφάλαιο1. Πλειότιµες απεικονίσεις Η απεικόνιση φ είναι συστολή, άρα υπάρχει πραγµατικός αριθµός c (0, 1) ώστε h d (φ(x), φ(y)) cd(x, y), για κάθε x, y X. Εστω x 0 X. Από την εικόνα φ(x 0 ) του x 0 επιλέγουµε x 1 φ(x 0 ) και ϑεωρουµε την εικόνα φ(x 1 ) του x 1. Γιά A = φ(x 0 ), B = φ(x 1 ) και ɛ = c, υπάρχει x 2 φ(x 1 ) ώστε d(x 1, x 2 ) < h d (φ(x 0 ), φ(x 1 )) + c. Γιά A = φ(x 1 ), B = φ(x 2 ) και ɛ = c 2, υπάρχει x 3 φ(x 2 ) ώστε d(x 2, x 3 ) < h d (φ(x 1 ), φ(x 2 )) + c 2. Συνεχίζοντας, προσδιορίζουµε ακολουθία {x n } ώστε x n+1 φ(x n ) και d(x n, x n+1 ) h d (φ(x n 1 ), φ(x n )) + c n. Για κάθε n 1 έχουµε d(x n, x n+1 ) h d (φ(x n 1 ), φ(x n )) + c n cd(x n 1, x n ) + c n Εποµένως, c [ h d (φ(x n 2 ), φ(x n 1 )) + c n 1] + c n c 2 d(x n 2, x n 1 ) + 2c n... c n d(x 0, x 1 ) + nc n. n+m 1 k=n d(x n, x n+m ) n+m 1 k=n d(x k, x k+1 ) [ [ ] c k d(x 0, x 1 ) + kc k] c k d(x 0, x 1 ) + k=n kc k. Οµως 0 < c < 1, άρα οι σειρές k=n ck και k=n kck συγκλίνουν, εποµένως η ακολουθία {x n } είναι Cauchy, άρα υπάρχει x X τέτοιο, ώστε d(x n, x) 0. Θα δείξουµε ότι x φ(x). Εχουµε k=n 0 d(x n+1, φ(x)) h d (φ(x n ), φ(x)) cd(x n, x),

1.8. Απεικονίσεις συστολής 29 επειδή η φ είναι συστολή. Παίρνουµε όρια και έχουµε ότι x φ(x) γιατί το φ(x) είναι κλειστό. Παρατήρηση 1.10. Σε αντίθεση µε το ϑεώρηµα Banach, το ϑεώρηµα Nadler δεν εξασφαλίζει µοναδικότητα. Για παράδειγµα, η απεικόνιση φ : [0, 1] [0, 1] µε φ(x) = [0, 1] για κάθε x είναι συστολή µε άπειρα σταθερά σηµεία.