ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α, όπου σύνολο {( xyz) ( xyz) ( xyz) } Ε= :,, :,, και F,, = Α Το λέγεται επιφάνεια του χώρου µε αναλυτική εξίσωση F ( xyz,, ) = Επίσης το σύνολο Ε λέγεται γεωµετρικός τόπος της εξίσωσης F ( xyz,, ) = F ( xyz,, ) z f( xy, ) Gf : = {( xyf,, ( xy, )):( xy, ) Β} z = f ( x, y) Λέµε ότι η συνάρτηση z f ( x, y) Ε ή ότι η επιφάνεια Ε έχει καρτεσιανή εξίσωση z f ( x, y) Αν z = f ( x, y) είναι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Β, τότε η επιφάνεια Ε µε αναλυτική εξίσωση της συνάρτησης επιφάνεια Θεωρούµε ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς { ( xyz) } = = είναι το γράφηµα = ορίζει την = xyz στο χώρο, Α, το σύνολο Σ= : r = OP : Ρ,, Α και τη συνάρτηση F:Σ Τότε το σύνολο των σηµείων Ρ του Α, των οποίων η διανυσµατική ακτίνα r ικανοποιεί την εξίσωση F r = είναι µία επιφάνεια του µε διανυσµα- τική εξίσωση Αν οι εξισώσεις F r = { x x ( uv, ), y y ( uv, ), z z ( uv, ), ( uv, ) J } = = = Ι ()
6 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο ικανοποιούν την εξίσωση F ( xyz,, ) =, δηλαδή, αν ισχύει F ( x( u, v), y( u, v), z( u, v) ) =, για κάθε (, ) J uv Ι, τότε αυτές λέγονται παραµετρικές εξισώσεις της επιφάνειας Ε του µε αναλυτική εξίσωση F xyz,, =, ενώ η εξίσωση r = r ( uv, ) = x( uv, ) i+ y( uv, ) j+ z( uv, ) k, (, ) J uv Ι, () λέγεται διανυσµατική παραµετρική εξίσωση της επιφάνειας Ε Μία καµπύλη στο χώρο δίνεται συνήθως ως τοµή δύο επιφανειών Αν F ( xyz,, ) = και F ( xyz,, ) = είναι οι εξισώσεις των επιφανειών Ε και Ε, αντίστοιχα, τότε το σύστηµα { F ( xyz,, ), F ( xyz,, ) } = = () ορίζει µία καµπύλη Γ του χώρου Αν οι εξισώσεις x = x t, y = y t, z = z t, t Ι (4) () επαληθεύουν το σύστηµα (), τότε λέγονται παραµετρικές εξισώσεις της καµπύλης Γ που ορίζεται από το σύστηµα () Η εξίσωση r = r t = x t i+ y t j+ z t k t Ι (5) (), λέγεται διανυσµατική παραµετρική εξίσωση της καµπύλης Γ Μέσω των παραµετρικών εξισώσεων είναι δυνατόν να γίνει εισαγωγή της έννοιας της καµπύλης του χώρου, χωρίς τη χρήση του συστήµατος () Αν Ι είναι ένα διάστηµα του και r : Ι είναι συνάρτηση µε τύπο r t = x t i + y t j+ z t k t Ι, τότε το σύνολο τιµών της r () (), { x t, y t, z t : t Ι} () Ι = ( ) ορίζει µία καµπύλη του χώρου µε διανυσµατική παραµετρική εξίσωση r = r t t Ι ή µε παραµετρικές εξισώσεις (), () x = x t, y = y t, z = z t, t Ι Παράδειγµα ι παραµετρικές εξισώσεις της επιφάνειας Ε δίνονται από x = α cos usin v, y = αsin usin v, z = αcos v, u < π, v π, όπου α σταθερά Να βρεθεί η αναλυτική εξίσωση της επιφάνειας Ε Λύση Υψώνουµε τις παραµετρικές εξισώσεις στο τετράγωνο και τις προσθέτουµε κατά µέλη, οπότε λαµβάνουµε x + y + z = α
6 Η ευθεία στο χώρο 7 Παράδειγµα Να βρείτε τις παραµετρικές εξισώσεις της επιφάνειας x y z + + = α β γ Λύση Αν θέσουµε x = αχ, y = βy, z = γ Ζ, τότε η δεδοµένη εξίσωση γίνεται Χ + Y +Ζ =, οπότε µία κατάλληλη επιλογή παραµετρικών εξισώσεων αυτής δίνεται από το παράδειγµα, ως εξής: X = cos usin v, Y = sin usin v, Z = cos v, u < π, v π x = α cos usin v, y = βsin usin v, z = γ cos v, u < π, v π 6 Η ευθεία στο χώρο I Θεωρούµε ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς xyz και υποθέτουµε ότι η ευθεία ε περνάει από το σηµείο Ρ µε διάνυσµα θέσης Ρ = r και είναι παράλληλη προς το δεδοµένο διάνυσµα = ( α, β, γ) Αν Ρ είναι τυχόν σηµείο της ευθείας ε µε διάνυσµα θέσης Ρ = r, τότε ισχύει: z Ρ r Ρ r ε Ρ ε ΡΡ r r = t, t r = r + t, t, () x η οποία είναι η διανυσµατική παραµετρική εξίσωση της ευθείας ε Η τελευταία είναι ισοδύναµη µε την εξίσωση Σχήµα 6 y r r =, () η οποία είναι η διανυσµατική εξίσωση της ευθείας ε Αν υποθέσουµε ότι Ρ = r = ( x, y, z) και Ρ = r = ( x, yz, ), τότε από την () προκύπτουν οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας ε x = x + tα, y = y + tβ, z = z + tγ, t () Από την (), µε απαλοιφή της παραµέτρου κές ή κανονικές εξισώσεις της ευθείας ε : t, προκύπτουν οι αναλυτι-
8 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο x x y y z z = =, αν αβγ (4) α β γ x x y y ή =, z z =, αν αβ και γ = (5) α β Αν είναι β = γ =, τότε οι αναλυτικές εξισώσεις γίνονται: y = y, z = z ΙΙ Αν δίνονται δύο σηµεία Ρ ( x, y, z ) και ( x, y, z ) Ρ της ε, διαφορετικά µεταξύ τους, τότε ΡΡ = r r = και θεωρώντας Ρ Ρ αναγόµαστε στη προηγούµενη περίπτωση, οπότε έχουµε τις εξισώσεις: r = r + t( r r ), t, διανυσµατική παραµετρική εξίσωση x = x + t x x, y = y + t y y, z = z + t z z, t, παραµετρι- ( r r) ( r r) =, διανυσµατική εξίσωση ( ) ( ) ( ) κές εξισώσεις και, αν ( x x )( y y )( z z ) αναλυτικές εξισώσεις Συνηµίτονα κατεύθυνσης, λαµβάνουµε τις x x y y z z = = x x y y z z Θεωρούµε ευθεία ε µε παράλληλο διάνυσµα Αν,,, ijk είναι δεδοµένο ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς, τότε στην ευθεία ε, µέσω του διανύσµατος, αντιστοιχίζουµε τις γωνίες α = i,, β = j,, γ = k,, ( ) ( ) όπου α, βγ, [, π] ι γωνίες α, βγ, λέγονται γωνίες διεύθυνσης της ευθείας ε ή γωνίες κατεύθυνσης του διανύσµατος Αν Ρ = και ΑΒΓ,, είναι οι προβολές του Ρ πάνω στους άξονες x xy, y και zz, αντίστοιχα, τότε: Α x z k i ε Γ Ρ γ β j B α Q Σχήµα 6 y
6 Η ευθεία στο χώρο 9 Α = ( cosα ) i, Β = ( cosβ ) j, ( cosγ ) Γ = k και Ρ = Α + Β + Γ ( α) ( β) ( γ) = cos i+ cos j+ cos k Εποµένως, οι συντεταγµένες του µοναδιαίου διανύσµατος της κατεύθυνσης που ορίζεται από το είναι cos α,cos β, cosγ και λέγονται συνηµίτονα κατεύθυνσης του Επιπλέον, ισχύει: Ρ = cos α + cos β + cos γ = Παράδειγµα Να βρείτε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας ε που περνάει από το σηµείο Ρ,, και είναι παράλληλη στο διάνυσµα (,,) = Λύση Σύµφωνα µε τη εξισώσεις (4) έχουµε τις κανονικές εξισώσεις x y z+ = = Παράδειγµα ίνονται οι ευθείες ε : = + t, t r r και ε : = + s, s r r b, όπου b, Να αποδείξετε ότι: (i) ε, ε συνεπίπεδες ( r r,, b) = (ii), ε ε ασύµβατες r r,, b Απόδειξη (i) Έχουµε τις ισοδυναµίες: ε, ε συνεπίπεδες ΡΡ,, b συνεπίπεδα ΡΡ, b, = ( ) ( r r,, b) (ii) Έχουµε τις ισοδυναµίες:, = Ρ r ε ε ασύµβατες Σχήµα 6 ε ε µη συνεπίπεδες, ΡΡ, b, µη συνεπίπεδα (,, ) r r,, b Ρ ΡΡ b b Παράδειγµα Αν οι ευθείες ε : = + t, t r r και ε : = + s, s r r b,
4 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο όπου b,, είναι ασύµβατες, να αποδείξετε ότι η απόστασή τους, δηλαδή το µήκος του κοινού κάθετου τµήµατος είναι: (, ) d ε ε = ( r r,, b) b Ρ Λ ε Λύση Αν υποθέσουµε ότι ΚΛ είναι το κοινό κάθετο τµήµα των δύο ευθειών, τότε ένα γνωστό διάνυσµα παράλληλο µε το διάνυσµα ΚΛ είναι το διάνυσµα b και ακόµη (, ) = ΛΚ Έχουµε ( ) = ( ) pr ( b) d ε ε ΡΡ b b ΡΡ ( ) ( ) =± b ΛΚ r-r b (, ) r r Ρ Κ b b Σχήµα 6 4 d ε ε = ΛΚ = ε ( r-r, b, ) b Παράδειγµα 4 Αφού αποδείξετε ότι οι ευθείες y 9 x 6 y+ 7 ε : x = = z 5 και ε : = = z 7 6 είναι ασύµβατες, να βρείτε την ελάχιστη απόσταση καθώς και την εξίσωση της κοινής κάθετης αυτών Λύση Σύµφωνα µε το παράδειγµα έχουµε: r r,, b ε, ε ασύµβατες ( ) Από τα δεδοµένα έχουµε: r = (, 9, 5) r = ( 6, 7, ), = (,,) και b = ( 7, 6,), οπότε r- r = ( 5,6, 5) (,, ) και 5 6 5 r r b = = 6 7 6 r Ρ Ρ r Α Β Σχήµα 6 5 b ε ε τύπος του παραδείγµατος δίνει την ελάχιστη απόσταση, όχι όµως και τα ίχνη της κοινής κάθετης των δύο ασύµβατων ευθειών Για το λόγο αυτό θα χρησιµοποιήσουµε µία διαδικασία µε την οποία ταυτόχρονα αποδεικνύεται και η ύπαρξη του κοινού κάθετου τµήµατος των δύο ασύµβατων ευθειών
6 Η ευθεία στο χώρο 4 Το τυχόν σηµείο της ε είναι το Το ε είναι το Β (6+ 7 s, 7 6 s, s), s, οπότε θα είναι Α + t,9 t,5 + t, t και όµοια της ( 5 t 7 s, 6 t 6 s, 5 t s) ΑΒ = + + + ΑΒ είναι κοινό κάθετο τµήµα των ε και ε, αν, και µόνον αν, ισχύουν ΑΒ = t s 6 = t =, s =, ΑΒ b = t 4s 6= οπότε τα ίχνη της κοινής κάθετης πάνω στις ευθείες ε και ε είναι τα ση- µεία Α (, 5, 7) και Β(,, ) Εποµένως η ελάχιστη απόσταση των ε και ε, είναι (, ) ( ) ( 5) ( 7) d ε ε = ΑΒ = + + = 9, ενώ η εξίσωση της ευθείας του κοινού κάθετου τµήµατος είναι η ( r-rα ) u=, όπου = ΑΒ = ( 4, 6, 8) r Α =, 5, 7 ή ισοδύναµα οι αναλυτικές εξισώσεις της είναι u και x y 5 z 7 = = 4 6 8 Παράδειγµα 5 ( Η απόσταση δύο παράλληλων ευθειών) ίνονται οι παράλληλες ευθείες ε : = + t, t r r και ε : r = r + s, s d ε, ε δίνεται από τη σχέση Να αποδείξετε ότι η απόσταση τους ( ) ( r r) d ( ε, ε ) = Λύση Έστω αναφοράς τέτοιο, ώστε xyz ορθοκανονικό σύστηµα Ρ = r και Ρ = r Στη συνέχεια παίρνουµε σηµεία Α και Β ε τέτοια, ώστε ΡΑ = ΡΒ = και θεωρούµε το εµβαδόν Ε= ( ΡΡ ΒΑ) παραλληλογράµµου ΡΡΒΑ Έχουµε ε του r Ρ Α r ε d ε Ρ Β Σχήµα 6 6
4 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο Ε= ΡΡ = r r, αλλά και Ε= d ( ε, ε ), οπότε από τις δύο προηγούµενες ισότητες προκύπτει και η ζητούµενη ισότητα Παράδειγµα 6 Η απόσταση σηµείου από ευθεία του χώρου ίνεται η ευθεία ε : r = r + t, t και σηµείο Ρ µε Ρ = r Να αποδείξετε ότι η απόσταση d = d Ρ ε του σηµείου Ρ ισότητα από την ευθεία ε δίνεται από την, d (, ε r r Ρ ) = Β Ρ r ε Α Ρ r Σχήµα 6 7 Λύση Έστω Ρ είναι το σηµείο της ευθείας ε µε Ρ = r Κατασκευάζουµε το παραλληλόγραµµο ΡΡΑΒ που ορίζεται από τα διανύσµατα = ΡΑ και ΡΡ = r r Τότε έχουµε ( ) ( ) αλλά και την ισότητα Ε ( Ρ Ρ ΑΒ ) = d ( Ρ ε ) ζητούµενη ισότητα 6 Το επίπεδο Ε Ρ Ρ ΑΒ = r r,,, από τις οποίες προκύπτει η Το επίπεδο είναι η απλούστερη από τις επιφάνειες που θα µελετήσουµε και ορίζεται αξιωµατικά στην Ευκλείδεια Γεωµετρία από τρία σηµεία µη συνευθειακά Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε τον προσδιορισµό διαφόρων µορφών εξισώσεων του επιπέδου, όταν δίνονται διάφορα στοιχεία που οδηγούν στον ορισµό κατά µοναδικό τρόπο ενός επιπέδου Έτσι έχου- µε τις περιπτώσεις κατά τις οποίες για ένα επίπεδο, έστω Π, δίνονται τα στοιχεία: Ι (α) Ένα σηµείο του Ρ και δύο µη µηδενικά µη συγγραµµικά διανύσµατα b, παράλληλα προς το επίπεδο Π (β) ύο σηµεία του Ρ Ρ, διαφορετικά µεταξύ τους, και ένα διάνυσµα, παράλληλο προς το Π έτσι, ώστε ΡΡ λ, λ (γ) Τρία σηµεία του Ρ, Ρ, Ρ µη συνευθειακά
6 Το επίπεδο 4 ΙΙ Ένα σηµείο του Ρ και ένα διάνυσµα n Π z Ρ b Ρ Π r r y x Σχήµα 6 8 Ι (α) Σύµφωνα µε τα δεδοµένα στοιχεία, αν θεωρήσουµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς xyz, τότε έχουµε: Ρ Π, µε Ρ = r ΡΡb,, συνεπίπεδα υπάρχουν λ, µ µε ΡΡ= λ + µ b r = r + λ + µ b, λ, µ, () η οποία είναι η διανυσµατική παραµετρική εξίσωση του επιπέδου Π Επειδή τα διανύσµατα r- r,, b είναι συνεπίπεδα, έχουµε την εξίσωση που είναι η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου Π Αν υποθέσουµε ότι = x, y, z, = x, y, z, = α, α, α r-r,, b =, () Ρ Ρ και = ( β, β, β ) b, τότε από την () προκύπτουν οι παραµετρικές εξισώσεις του επιπέδου Π x = x + λα + µβ y = y + λα + µβ, λ, µ, () z = z + λα + µβ ενώ από τη () προκύπτει η αναλυτική εξίσωση του επιπέδου Π x x y y z z α α α β β β = (4)
44 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο Η περίπτωση Ι(β) ανάγεται στην Ι(α), αν θεωρήσουµε =, ενώ η περίπτωση Ι(γ) ανάγεται στην Ι(α), αν θεωρήσουµε = ΡΡ και b = ΡΡ ΙΙ Έστω ότι δίνεται το σηµείο ( x, y, z) του διάνυσµα n = ( α, β, γ) Αν Ρ ( x, yz, ) είναι το τυχόν σηµείο του επιπέδου Π µε Ρ = r, τότε Ρ Π ΡΡ n ( r r ) n = b ΡΡ Ρ του επιπέδου Π και το κάθετο η οποία είναι η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου Π Η εξίσωση (5) γράφεται και ως εξής: x Σχήµα 6 9 r n r n = αx+ βy+ γz αx + βy + γz = όπου α, β, (5) Α x+β y+γ z+ =, (6) Α= Β= Γ=γ και ( αx + βy + γz ) = Παρατήρηση Η περίπτωση Ι(α), άρα και οι Ι(β) και Ι(γ), ανάγεται στην περίπτωση (4), αν θεωρήσουµε n = b Έτσι, σε όλες τις περιπτώσεις, η καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου είναι της µορφής (6) Γενικότερα, ισχύει και το αντίστροφο που δίνεται από το θεώρηµα που ακολουθεί Θεώρηµα 6 Κάθε εξίσωση της µορφής x y z, µε ΑΒΓ,,,, Α +Β +Γ + = είναι η καρτεσιανή εξίσωση επιπέδου µε κάθετο διάνυσµα = ( ΑΒΓ,, ) z Ρ n Ρ n y Απόδειξη Θεωρούµε το σηµειοσύνολο Π= xyz,, : Α x+β y+γ z+ =,µε ΑΒΓ,,,, { } Θα αποδείξουµε ότι η γεωµετρική αναπαράσταση του συνόλου Π είναι ένα επίπεδο κάθετο προς το διάνυσµα n = ( Α, Β, Γ) Έστω Ρ ( x, y, z) ένα σηµείο του συνόλου Π, δηλαδή ένα σηµείο που ικανοποιεί την εξίσωση Α x +Β y +Γ z + = (7) z x Ρ n Σχήµα 6 Ρ y
6 Το επίπεδο 45 Θεωρούµε το τυχόν σηµείο Ρ( xyz,, ) Π, οπότε θα ισχύει η ισότητα Α x+β y+γ z+ = (8) Με αφαίρεση της (7) από την (8) λαµβάνουµε Α x x +Β y y +Γ z z = n ΡΡ =, από την οποία προκύπτει ότι το διάνυσµα ΡΡ είναι κάθετο προς το σταθερό διάνυσµα n = ( ΑΒΓ),, Άρα το τυχόν σηµείο του συνόλου Π βρίσκεται σε ευθεία κάθετη προς το φορέα του n στο δεδοµένο σηµείο Ρ, οπότε τα σηµεία του συνόλου Π ορίζουν το µοναδικό επίπεδο που είναι κάθετο προς το φορέα του στο σηµείο Ρ n ιερεύνηση της εξίσωσης x y z Α +Β +Γ + =, (,, ) (,,) ΑΒΓ Επειδή είναι ( ΑΒΓ,, ) (,,), ένας τουλάχιστον από τους συντελεστές Α, Β και Γ είναι διάφορος του, οπότε διακρίνουµε τις περιπτώσεις: Ι Α =Β=Γ Τότε η εξίσωση γίνεται =, όπου x x x = Α, ενώ το κάθετο διάνυσµα = Α Εποµένως το επί- προς το επίπεδο Π είναι το n = ( Α,,) (,,) = Αi πεδο Π είναι κάθετο προς τον άξονα x x στο σηµείο του x,, Όµοια, η εξίσωση y = y ορίζει επίπεδο κάθετο προς στον άξονα yy στο σηµείο του (, y, ), ενώ η εξίσωση z = z ορίζει επίπεδο κάθετο προς στον άξονα zz στο σηµείο του (,, z ) Ειδικότερα, για τα επίπεδα συντεταγµένων έχουµε ότι: z = είναι η εξίσωση του επιπέδου xy, z Π y = είναι η εξίσωση του επιπέδου xz, x = είναι η εξίσωση του επιπέδου yz ΙΙ ΑΒ = Γ Είναι n = ΑΒ,, = Α+Β i j, οπότε ισχύει ότι n k = Άρα το επίπεδο Π είναι παράλληλο προς τον άξονα zz µοίως, η εξίσωση Β y+γ z+ = ορίζει επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα x k n Σχήµα 6 y
46 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο x x, ενώ η εξίσωση Α x+γ z+ = ορίζει επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα yy ΙΙΙ = Τότε η εξίσωση Α x+β y+γ z = αρχή (,, ) των αξόνων ορίζει επίπεδο που περνάει από την ΙV ΑΒΓ Τότε η δεδοµένη εξίσωση είναι ισοδύναµη µ ε την εξίσωση x y z + + =, (9) α β γ όπου α =, β = Α Β, γ = είναι οι Γ λεγόµενες συντεταγµένες επί την αρχή του επιπέδου Π Η εξίσωση (9) λέγεται κανονική εξίσωση τ ου επιπέδου Π και έχει το πλεονέκτηµα ότι µε αυτήν είν αι εύκολη η σχεδίαση του επιπέδου Π, αφού τα σηµεία τοµής του µε τους άξονες συντεταγµένων είναι τα Α ( α,, ), Β (, β, ) και Γ (,,γ ) Α x z Γ Σχήµα 6 Β y Παράδειγµα Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου Π που ορίζεται από,,,,, Γ,, (α) Τα σηµεία Α Β και (β) Το σηµείο Ρ,, και είναι παράλληλο προς το επίπεδο x+ y 4z 8= (γ) Το σηµείο (,, ) Ρ και είναι παράλληλο προς τις ευθείες x y z ε : = = και ε : x + = y = z Λύση (α) ι αριθµοί, και - είναι οι συντεταγµένες επί την αρχή του επιπέδου Π, οπότε η εξίσωσή του είναι x y z + + = x+ y 6z 6= (β) Το επίπεδο x y 4z 8 n =,, 4, οπότε + = έχει κάθετο διάνυσµα το n είναι κάθετο διάνυσµα και προς το επίπεδο Π Άρα το επίπεδο Π έχει την εξίσωση r r n = xyz,,,,,, 4 = ( ) ( )
6 Το επίπεδο 47 ( x y z ), +,,, 4 = x+ y 4z+ = (γ) Τα παράλληλα διανύσµατα των ευθειών ε και ε είναι τα = (,, ) και = (,,), αντίστοιχα Έτσι, τα διανύσµατα και είναι παράλληλα προς το επίπεδο Π, οπότε η διανυσµατική παραµετρική εξίσωσή του είναι r = r + λ + µ, λ, µ, όπου = = ( x, y, z ) = (,,) r Ρ Η καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου Π είναι x y+ z = ι σχετικές θέσεις δύο επιπέδων ( x ) ( y ) ( z ) 4 + + 5 = x 4y+ 5z = Θεωρούµε τα επίπεδα Π : Α x+β y+γ z+ = () Π : Α x+β y+γ z+ = µε κάθετα διανύσµατα n = Α, Β, Γ και ιακρίνουµε τις περιπτώσεις: Α Β Γ Ι n n = = = λ, Α Β Γ () ( ) n = ( Α, Β, Γ), αντίστοιχα Αν υποθέσουµε ότι το σύστηµα αυτό έχει µία λύση όπου όταν κάποιος παρανοµαστής είναι, τότε και ο αντίστοιχος αριθµητής πρέπει να είναι Τότε τα επίπεδα Π και Π έχουν το ίδιο κάθετο διάνυσµα, οπότε είναι παράλληλα ή συµπίπτουν Αυτό εξαρτάται από το πλήθος των λύσεων του γραµµικού συστήµατος των εξισώσεων () και () x, y, z, τότε λαµβάνουµε Αx Βy Γz Α x+β y+γz λ = = = = = = Α x Β y Γ z Α x +Β y +Γ z Άρα έχουµε την ισοδυναµία των εξισώσεων () και (), αφού Α x+β y+γ z+ = λ Α x+β y+γ z+ = Α x+β y+γ z+ =,
48 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο δηλαδή τα επίπεδα και Π έχουν όλα τα σηµεία τους κοινά, οπότε συ- Π µπίπτουν Εποµένως η συνθήκη λ = είναι αναγκαία και ικανή για να έχουν τα δύο επίπεδα ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο Έτσι, αν υποθέσουµε ότι λ, τότε τα επίπεδα Π και Π δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο, οπότε είναι παράλληλα Με τα παραπάνω έχουµε καταλήξει στις υποπεριπτώσεις: Ι(α) Αν Α Β Γ = = = = λ, τότε τα επίπεδα Π και Π Α Β Γ συµπίπτουν Α Β Γ Ι(β) Αν = =, τότε τα επίπεδα Π, Π είναι παράλληλα Α Β Γ ΙΙ Τα διανύσµατα n και n είναι µη συγγραµµικά Α Β Γ Τότε δύο τουλάχιστον από τους λόγους,, Α Β Γ µεταξύ τους Αν είναι Α Α είναι διαφορετικοί Β, τότε το γραµµικό σύστηµα των () και () Β µε τις δύο εξισώσεις και τους τρεις αγνώστους γίνεται Γ z Β Α Γ z Α x+β y = Γz Γ z Β Α Γ z x =, y = Α x+β y = Γ z ΑΒ ΑΒ ΑΒ ΑΒ, οπότε λύνοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις ως προς z αυτό γίνεται τελικά ισοδύναµο µε τις αναλυτικές εξισώσεις της ευθείας της τοµής των δύο επιπέδων x x y y z = =, α β όπου οι παράµετροι x, y, α, β ορίζονται κατάλληλα µετά τις πράξεις Εποµένως, αν τα διανύσµατα n και n είναι µη συγγραµµικά, τότε τα επίπεδα Π και Π τέµνονται κατά µία ευθεία γραµµή
6 Το επίπεδο 49 Παράδειγµα Να βρεθούν οι αναλυτικές και οι παραµετρικές εξισώσεις της τοµής των επιπέδων Π :6x+ y z+ = και Π : x y+ z 4 = Λύση ( ος τρόπος) Σύµφωνα µε την περίπτωση ΙΙ, έχουµε 6x+ y z+ = 6x+ y = z 8x = z+ x y+ z 4= x y = z+ 4 4y = z 44 8x 4y+ 44 x y+ z x y+ z = = z = = = = 5 4 4 οι οποίες είναι οι αναλυτικές εξισώσεις ευθείας που περνάει από το σηµείο Α,, και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα (,, 4) = Η ευθεία αυτή έχει παραµετρικές εξισώσεις: x = + t, y =, t z = 4, t t ( ος τρόπος) Αρκεί να προσδιορίσουµε ένα σηµείο καθώς και το παράλληλο διάνυσµα της ευθείας της τοµής των δύο επιπέδων Όπως είναι γνωστό από την Ευκλείδεια Γεωµετρία, η τοµή δύο επιπέδων (αν υπάρχει) είναι κάθετη προς τα κάθετα διανύσµατα και n των δύο επιπέδων, οπότε είναι παράλληλη µε το διάνυσµα i j k n n = 6 = i j 8k n Για να βρούµε ένα σηµείο της ευθείας της τοµής δίνουµε µία αυθαίρετη τιµή σε έναν από τους αγνώστους, έστω z = z, και από τις δύο εξισώσεις των δεδοµένων επιπέδων προσδιορίζουµε τα x, y, οπότε το σηµείο ( x, y, z ) ανήκει στην ευθεία της τοµής Για παράδειγµα, αν θεωρήσουµε z=, τότε λαµβάνουµε 6x+ y = x = x y = 4 y =
5 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο Άρα το Α,, είναι ένα σηµείο της ευθείας της τοµής των δύο επιπέδων, η οποία έχει πλέον αναλυτικές εξισώσεις x y+ z x y+ z = = = = 8 4 Παράδειγµα Να βρεθεί η ορθή προβολή του σηµείου Α(,, 6) στο επίπεδο Π: x+ y z = Λύση Αν Β είναι η ορθή προβολή του σηµείου Α πάνω στο επίπεδο Π, τότε η ευθεία ε που ορίζεται από τα Α και Β έχει παράλληλο διάνυσµα το κάθετο διάνυσµα i Α n = (,, ) του επιπέδου Π n Εποµένως η ευθεία ε έχει εξίσωση r = r Α + tn, t ( xyz,, ) = (,,6) + t(,, ), t Β Π { x t, y t, z 6 t, t } = = + = () Για τον προσδιορισµό του Β θα λύσουµε το σύστηµα των εξισώσεων της ευθείας ε και του επιπέ- Σχήµα 6 δου Π Έτσι αντικαθιστώντας τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας στην εξίσωση του επιπέδου Π, λαµβάνουµε: t + + t 6 t = 4t 8= t =, οπότε από τις () προκύπτει η λύση του συστήµατος ( xyz,, ) = ( 4,,4) Εποµένως είναι Β( 4,, 4) y Παράδειγµα 4 Να βρεθεί η προβολή της ευθείας ε : x = = z πάνω στο επίπεδο Π: x y+ z = Λύση Αν Q είναι το επίπεδο που ορίζεται από τη δεδοµένη ευθεία ε και την προβολή της, έστω δ, πάνω στο επίπεδο Π, τότε θα είναι δ =Π Q Ένα κάθετο διάνυσµα u προς το επίπεδο Q είναι κάθετο προς το (,, (παράλληλο της ε ), ) Π n Q ε Σχήµα 6 4 δ ε
6 Το επίπεδο 5 αλλά και προς το n = (,, ), (κάθετο προς το επιπέδου Π ) Εποµένως είναι i j k u = n = = 8i j 4k, οπότε, αν r = Ρ =(,, ) είναι το διάνυσµα θέσης του δεδοµένου σηµείου της ευθείας ε, άρα και του επιπέδου Q, η εξίσωση του επιπέδου Q είναι r r u = x y z+ = 4 Εποµένως έχουµε x y z x y z x z δ : + = = + = 4x y z+ = 4x y = z y = z y + δ : x + = = z Παράδειγµα 5 (Απόσταση σηµείου από επίπεδο) Θεωρούµε ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς xyz, επίπεδο Π µε εξίσωση Α x+β y+γ z+ = και σηµείο ώστε Ρ Π Να αποδείξετε ότι η απόσταση d = d ( Ρ, Π) του σηµείου Ρ από το επίπεδο Π δίνεται από την ισότητα d x +Β y +Γ z + ( Ρ, Α Π ) = Α +Β +Γ Λύση Έστω το σηµείο ( Π ) Ρ Κ το ίχνος της κάθετης από προς το επίπεδο Π Τότε είναι Ρ µε = = ( x, y, z ) Ρ r τέτοιο, z Ρ d Ρ, x = ΡΚ Θεωρούµε τυχόν σηµείο Ρ του επιπέδου Π µε διάνυσµα θέσης Σχήµα 6 5 Ρ = r = ( x, yz, ) και το κάθετο διάνυσµα n = ( Α, Β, Γ) του επιπέδου Π Τότε έχουµε: ΡΡn = n pr ΡΡ = n ΡΚ - = ± n ( rr) n n ΡΚ ( r r ) n x y z Α +Β +Γ + d = = n Α +Β +Γ Κ Ρ Π y n rr - n= d n
5 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο έσµες επιπέδων ρισµός 6 Αξονική δέσµη επιπέδων είναι το σύνολο των επιπέδων που διέρχονται από την ίδια ευθεία ε, η οποία λέγεται άξονας της δέσµης Αν Πi : Α ix+β iy+γ iz+ i =, i =, είναι δύο επίπεδα που έχουν τοµή µία ευθεία ε, τότε αυτά ορίζουν µία αξονική δέσµη επιπέδων µε άξονα την ευθεία ε και εξίσωση λ Α x+β y+γ z+ + λ Α x+β y+γ z+ =, λ, λ ρισµός 6 Κεντρική δέσµη επιπέδων, λέγεται το σύνολο των επιπέδων που διέρχονται από ένα σταθερό σηµείο, το οποίο λέγεται κέντρο της δέσµης Αν Π : Α x+β y+γ z+ =, i =,, i i i i i που διέρχονται από το ίδιο σηµείο κεντρική δέσµη επιπέδων µε εξίσωση i= ( x y z ) Ρ είναι τρία διαφορετικά επίπεδα ( x, y, z ) λi Α i +Β i +Γ i + i =, µε λ, λ, λ, τότε αυτά ορίζουν Μελέτη ανισοτήτων Α x+β y+γ z+ >, Α x+β y+γ z+ < Θεωρούµε επίπεδο Π µε εξίσωση: Α x+β y+γ z+ = Ρ ( x, y, z ) και Ρ ( x, y, z ) Αν είναι δύο τυχαία σηµεία του χώρου µε ΡΡ n, τότε η ευθεία που ορίζεται από τα σηµεία Ρ και Ρ τέµνει το επίπεδο Π σε σηµείο ( x, y, z ) Ρ για το οποίο υποθέτουµε ότι ισχύει: x ΡΡ = λρρ, λ Σχήµα 6 6 y Τότε κατά τα γνωστά από το Κεφάλαιο 4 έχουµε Ρ = ( Ρ + λρ ) + λ και το σηµείο έχει συντεταγµένες x, y, z, που δίνονται από τις ισότητες: Ρ Ρ z n Ρ Ρ
6 Το επίπεδο 5 x+ λx y+ λ y z+ λz x =, y = και z = + λ + λ + λ Επειδή Ρ Π, έπεται ότι x+ λx y+ λy z+ λz Α +Β +Γ + = + λ + λ + λ Α x +Β y +Γ z + + λ Α x +Β y +Γ z + = Αν υποθέσουµε ότι λ Α x +Β y +Γ z +, = αν Α x +Β y +Γ z + Ρ, Ρ Π Ρ Π, τότε από την τελευταία ισότητα προκύπτουν: Τα σηµεία βρίσκονται στον έναν από τους δύο ηµίχωρους που ορίζει το επίπεδο Π, αν, και µόνον αν, λ < ή ισοδύναµα, αν είναι οµόσηµοι οι αριθµοί Α x +Β y +Γ z +, Α x +Β y +Γ z +, Τα σηµεία Ρ Ρ βρίσκονται σε διαφορετικούς ηµίχωρους ως προς το επίπεδο Π, αν, και µόνον αν, ετερόσηµοι οι αριθµοί Α x +Β y +Γ z +, Α x +Β y +Γ z + Έτσι καταλήγουµε στο συµπέρασµα: λ > ή ισοδύναµα, αν είναι Κάθε επίπεδο Π: Α x+β y+γ z+ =, διαµερίζει τον χώρο σε τρία υποσύνολα της µορφής: + Π : = x, y, z : Α x+β y+γ z+ > (θετικός ηµίχωρος) { } {( xyz) x y z } {( xyz) x y z } Π : =,, : Α +Β +Γ + < (αρνητικός ηµίχωρος) Π= :,, : Α +Β +Γ + = (επίπεδο Π)
54 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν, Ρ και Q είναι τρία µη συνευθειακά σηµεία τέτοια, ώστε Ρ = p και Q =q, να περιγραφεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του χώρου µε διάνυσµα θέσης Μ =r ως προς το, στις περιπτώσεις: (i) ( ) = r p q, (ii) = ίνονται οι ευθείες ε = : r p q p = r p q p, (iii) r και ε r r b =, όπου b : (i) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ε έχουν ένα κοινό σηµείο, αν, ( b) = (,,) = (,, ) = (,, ) ε Q και µόνον αν, r = (ii) Αν, b και r να αποδείξετε ότι r b και να βρείτε σηµεία Ρ και ε έτσι, ώστε η ευθεία Ρ Q να είναι κάθετη προς τις ευθείες ε και ε Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε : x =, y+ z = και x + y+ z+ ε : = = είναι ασύµβατες και να προσδιορίσετε τα ίχνη και το µήκος της κοινής κάθετης αυτών 4 Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση των ευθειών ε : r = + λi και ε : r = b+ µ ( j+ k ), λ, µ, αν είναι = (,, ) και b = (,,) 5 Θεωρούµε το σηµείο Α (,, και τις ευθείες ) x y z x y ε : = = και ε : = = z 4 (i) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ε είναι ασύµβατες (ii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από το σηµείο και τέµνει τις ε και ε Α 6 Να βρείτε το ίχνος της κάθετης από σηµείο Α(,, ) προς την ευθεία y 4 z ε : x = =
Ασκήσεις 55 7 Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου Π που ορίζεται από (i) το σηµείο Α (,, ) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο: y z =, (ii) τα σηµεία Α(,, ), Β (,, ) και Γ (,, 4), (iii) το σηµείο Α(,, ) και είναι κάθετο προς τα επίπεδα: Π : x+ y+ z = και Π : x+ y+ 4 z = 8 Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που περιέχει την τοµή των επιπέδων Π :7 x+ z 6 =, Π :7 x+ y 8 = καθώς και το σηµείο Α (,, ) 9 Τα σηµεία ΑΒ, έχουν διάνυσµα θέσης, + b, αντίστοιχα, ως προς την αρχή ίνεται ότι η ευθεία ε : r = + λu, λ, u = τέµνει το επίπεδο που περνάει από το σηµείο Β και είναι κάθετο στο n, µε n = Να αποδείξετε ότι η τιµή του λ που αντιστοιχεί στο σηµείο το- µής είναι ίση προς b cos ( b, n) cos un, Να βρεθεί η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου (i) που περιέχει τις ευθείες ε : r = + λb και ε : r = c+ µ b, λ, µ, όπου bc,, είναι δεδοµένα διανύσµατα, (ii) που περιέχει την ευθεία ε : r = λ, λ και είναι κάθετο προς το επίπεδο που ορίζεται από τις ευθείες ε : r = λ, ε : r = µ b, λ, µ, b Να βρεθεί η διανυσµατική εξίσωση της τοµής των επιπέδων Π : ( r ) b = και Π :( r ) c =, µε b c Να αποδείξετε ότι η διανυσµατική εξίσωση r = r + λ + µ b, λ, µ, επιπέδου Π, µπορεί να γραφεί στη µορφή r n = α και να προσδιορίσετε τα n και α σε συνάρτηση των r και b ίνεται η ευθεία ε : r n = (i) Ποια είναι η γεωµετρική ερµηνεία των και n ; (ii) Αν η ευθεία ε είναι η τοµή των επιπέδων Π : x+ y+ z = και Π :4x y z+ =,,
56 Κεφάλαιο 6 Ευθεία-Επίπεδο να βρείτε τα, n και να εξηγήσετε γιατί δεν είναι µοναδικά 4 Το επίπεδο Π έχει κάθετο διάνυσµα = (,,) σηµείο (,, ) Το επίπεδο Π έχει εξίσωση ( + j) = Α n και περνάει από το r i (i) Να βρεθεί η οξεία γωνία των επιπέδων Π και Π (ii) Αφού επαληθεύσετε ότι το σηµείο Μ (,, ) ανήκει και στα δύο επίπεδα, να βρείτε την εξίσωση της τοµής των Π και Π (iii) Να βρεθεί σηµείο Β της τοµής των Π και Π έτσι, ώστε η ευθεία της τοµής και η ευθεία ΑΒ να είναι κάθετες 5 Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε της ορθογώνιας προβολής του παραλληλογράµµου ΑΒΓ µε ΑΒ = u, Α = v πάνω σε ένα επίπεδο µε µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα n, δίνεται από την ισότητα Ε= u v n