Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι ομαλή κυκλική, το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας παραμένει σταθερό ίσο με: υ = ω R () y υ R m Για τη στροφορμή του σώματος υπολογισμένη ως προς το κέντρο του κύκλου Ο,, έχουμε ( p mυ x είναι το διάνυσμα της ορμής): R p R mυ m(r υ) π (mr υsin ) kˆ mr υkˆ () όπου kˆ το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο xy με φορά έξω από τη σελίδα. Άρα, από τη σχέση () διαπιστώνουμε ότι αφενός μεν διατηρείται το μέτρο της στροφορμής, αφού m R υ = σταθερό, αφετέρου δε διατηρείται η διεύθυνση και η φορά της, δηλαδή το διάνυσμα της στροφορμής! Στο εξής όταν λέμε ότι διατηρείται η στροφορμή θα εννοούμε το διάνυσμα της στροφορμής (μέτρο, διεύθυνση και φορά). Συμπέρασμα Σώμα που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση έχει σταθερή στροφορμή ως προς άξονα που περνά από το κέντρο της τροχιάς. Προσοχή Παρατηρήστε ότι ενώ το διάνυσμα της ορμής, p m υ, αλλάζει συνεχώς διεύθυνση (με το μέτρο του mυ=σταθερό) η στροφορμή διατηρείται. Αν η φορά κίνησης του σώματος αλλάξει από δεξιόστροφη σε αριστερόστροφη τότε και η φορά του διανύσματος της στροφορμής αλλάζει.
Άσκηση Δυο σώματα με μάζα m και m συνδέονται με ιδανικό νήμα μέσω μιας πραγματικής τροχαλίας όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οι επιφάνειες είναι λείες και η τροχαλία μπορεί να θεωρηθεί ως δακτύλιος ακτίνας R και μάζας Μ. Ζητείται η επιτάχυνση του συστήματος και οι τάσεις στα άκρα του νήματος. Το σύστημα κινείται όπως φαίνεται στο σχήμα. υ Mg m g υ m g Απάντηση Για διδακτικούς σκοπούς παρουσιάζουμε δυο τρόπους λύσης: I. Με χρήση του δευτέρου νόμου του Νεύτωνα. II. Με χρήση των εννοιών εξωτερικής ροπής και στροφορμής. Τρόπος Σχεδιάζουμε τα διαγράμματα ελευθέρου σώματος για τις μάζες m, m και την τροχαλία:
N N T T T m g T Mg m g Μάζα m Τροχαλία Μάζα m Προσέξτε ότι αφού η τροχαλία είναι πραγματική, οι τάσεις στο οριζόντιο και στο κάθετο τμήμα του ιδανικού νήματος είναι διαφορετικές κατά μέτρο, δηλαδή Τ Τ. Όμως σε κάθε τμήμα του νήματος (οριζόντιο η κάθετο) οι τάσεις στα άκρα πρέπει να είναι ίσου μέτρου και αντίθετης φόρας αφού το μήκος του νήματος δεν μπορεί να μεταβληθεί (μη εκτατό νήμα). Ακριβώς γι αυτό το λόγο οι οριζόντιες τάσεις που ασκούνται στο σώμα m και στην τροχαλία συμβολίζονται με Τ και έχουν αντίθετη φορά. Ίδια λογική ισχύει και για τις τάσεις Τ με σημεία εφαρμογής το σώμα μάζας m και την τροχαλία. Οι δυνάμεις στην τροχαλία είναι: το βάρος της Mg και η κάθετη αντίδραση από το σημείο στήριξης, Ν, που εφαρμόζονται στο κέντρο της, Ο. Επίσης, οι δυο τάσεις νήματος Τ και Τ, που εφαρμόζονται σε σημεία της περιφέρειας του δακτυλίου (θυμηθείτε ότι η τροχαλία θεωρείται δακτύλιος). Εφαρμόζουμε τους νόμους της δυναμικής και έχουμε: T m α () m g T m α () T (3) R - T R I αγ α γ α/r (4)
Παρατήρηση Αξίζει να δούμε αναλυτικά το πως προκύπτει η εξίσωση (3). R T τ T R T τ α γ Για την τροχαλία, η οποία εκτελεί περιστροφική κίνηση, εφαρμόζουμε την μορφή Στ Ια γ ( τ : ροπή, Ι: ροπή αδράνειας, α : γωνιακή επιτάχυνση) και υπολογίζουμε τις γ ροπές ως προς το κέντρο, Ο, της τροχαλίας. Επομένως, οι δυνάμεις Mg και Ν ως προς το σημείο Ο έχουν μηδενική ροπή, ενώ για τις τάσεις Τ και Τ έχουμε ότι οι αντίστοιχες ροπές τους τ και τ είναι: τ R Τ RΤ (- k) ˆ και τ ˆ R Τ RΤ k όπου ˆk είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στη σελίδα με φορά προς τα έξω. Επίσης, ισχύει ότι α α kˆ διότι η τροχαλία περιστρέφεται δεξιόστροφα και θυμηθείτε ότι η γ γ φορά της γωνιακής επιτάχυνσης προκύπτει από τον αντίχειρα του δεξιού χεριού κλείνοντας τα υπόλοιπα δάκτυλα κατά τη φορά της κίνησης Σημείωση: Στις σχέσεις (), (), (3) και (4) χρησιμοποιούμε το ίδιο α αφού το νήμα είναι ιδανικό και συνεπώς οι αποστάσεις που διανύουν τα m και m στον ίδιο χρόνο είναι ίσες, άρα τα σώματα m και m έχουν και ίσες ταχύτητες και επιταχύνσεις. Επίσης, τόσο η γραμμική ταχύτητα όσο και η γραμμική επιτάχυνση των σημείων της περιφέρειας της ράβδου είναι ίσες κατά μέτρο με εκείνες των σωμάτων m και m, από όπου προκύπτει η σχέση (4).
Με δεδομένο ότι για την τροχαλία-δακτύλιο προκύπτει ότι: I MR από τις σχέσεις (3) και (4) α ( T T ) R MR α M T T (5) R Αντικαθιστώντας στη σχέση (5) τις τιμές για τα μεγέθη Τ κι Τ των εξισώσεων () και () λαμβάνουμε: m α M m (g α) mα α (M m m ) mg α g (6) M m m Τέλος, οι τιμές για τις τάσεις νήματος Τ και Τ προκύπτουν από τις σχέσεις () και () αντικαθιστώντας το α από την εξίσωση (6). Τρόπος ΙΙ Αρχικά υπολογίζουμε τη συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων που για το σύστημα μάζες m, m και τροχαλία είναι οι εξής: m g, N, Mg,N και m g. Σημειώστε ότι οι τάσεις Τ και Τ είναι οι εσωτερικές δυνάμεις του συστήματος. Εφαρμόζουμε το νόμο της δυναμικής για σύστημα σωμάτων: dt τ (7) εξ dt Όπου τ η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων και η συνολική στροφορμή εξ T του συστήματος. Ως προς το κέντρο της τροχαλίας,, η ροπή των δυνάμεων Mg και Ν είναι μηδενική. Επίσης, τ N τ (αφού m g και έχουν κοινό σημείο εφαρμογής) επομένως mg N παραμένει μόνο η ροπή του βάρους m g, δηλαδή θα έχουμε ότι: τ m gr (8) εξ Θα υπολογίσουμε τώρα τη συνολική στροφορμή του συστήματος ως προς τον άξονα κάθετο στο επίπεδο της τροχαλίας που περνά από το κέντρο της. Θα πρέπει να συμπεριλάβουμε τη στροφορμή των μαζών m και m που εκτελούν μεταφορική κίνηση καθώς και τη στροφορμή της τροχαλίας που κάνει περιστροφική κίνηση. Έχουμε ότι:
Στροφορμή m : r mυ r mυ sin θ kˆ όπου kˆ το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στη B φ Α m υ R R θ r m υ Για την τροχαλία ισχύει: r σελίδα με φορά προς τα έξω. Παρατηρείστε ότι sin θ Α R, άρα: r R m υkˆ Στροφορμή m : r mυ ότι sin φ Β R, οπότε: r R m υkˆ υ υ 3 Iω I kˆ MR kˆ R R MR υkˆ r m υ sin φkˆ και έχουμε (αφού υ ωr ) () Συνεπώς έχουμε ότι: 3 (m υ R m υ R M υ R)kˆ (m m T M) υr kˆ () Παρατηρούμε ότι η ροπή του βάρους m g (δείτε σχέση 8) είναι: r m g R m gkˆ τm g (3) Τελικά, από τις σχέσεις (7), () και (3) λαμβάνουμε: m Rg d dt (m m M) υ R m Rg (m m M)R dυ dt α m m m g M που είναι ίδια με τη σχέση (6) όπως περιμένουμε. Σημείωση: Στην περίπτωση ιδανικής τροχαλίας, θέτουμε Μ= και λύνουμε το αντίστοιχο πρόβλημα (κάντε το ως επαλήθευση).
Άσκηση 3 Μελέτη τραμπάλας: ένα απλό παράδειγμα από την καθημερινή εμπειρία Θεωρείστε δύο ανθρώπους με μάζες m και m, όπου m >m, που κάνουν τραμπάλα. Η τραμπάλα σε καλή προσέγγιση θεωρείται ως ομογενής ράβδος μήκους και μάζας M που περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο της, Ο. Επομένως, η ροπή αδράνειας της τραμπάλας ως προς το σημείο Ο είναι Ι Μ =Μ /. Θα βρούμε εκφράσεις για τις συναρτήσεις α) (ω), στροφορμή σε σχέση με τη γωνιακή ταχύτητα, β) α γ (θ), γωνιακή επιτάχυνση ως προς τη γωνία που σχηματίζει η τραμπάλα με την οριζόντιο, και γ) πως θα γίνει να ισορροπήσει η τραμπάλα. Απάντηση α) Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση = Ιω. Άρα, θα πρέπει να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας του συστήματος τραμπάλα, μάζα m και μάζα m ως προς τον άξονα που περνά από το και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας. Θα ισχύει ότι: Ι=Ι Μ +Ι m +Ι m () και θεωρώντας τους δύο ανθρώπους ως σημεία σε απόσταση / από τον άξονα θα έχουμε: I και m m ( / ) I m m ( / ) δηλαδή: I = M / +(m +m ) /4 () Τελικά, η ζητούμενη σχέση =(ω) θα είναι: = /4 (M/3 + m + m ) ω (3) β) Για να βρούμε τη σχέση α γ (θ) θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το νόμο της δυναμικής εκφρασμένο για την περιστροφική κίνηση: τ Ι α εξ γ (4)
όπου οι εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα τραμπάλα-άνθρωποι είναι τα τρία βάρη τους Mg,m g και m g. Σημείωση: Οι δυνάμεις κάθετης αντίδρασης μεταξύ ανθρώπων και τραμπάλας είναι εσωτερικές δυνάμεις στο σύστημα τραμπάλα-άνθρωποι και εμφανίζονται πάντα ως ζεύγη δράσης-αντίδρασης. Για παράδειγμα, η κάθετη αντίδραση που δέχεται η μάζα m από την τραμπάλα είναι ίση και αντίθετη από την κάθετη αντίδραση που δέχεται η τραμπάλα από τη μάζα m. r θ m g r Mg m g Ως προς το σημείο η ροπή του βάρους Μg είναι μηδενική (αφού το διάνυσμα Mg αρχίζει από το ) άρα: τ τ εξ m τm (5) όπου θεωρώντας ως kˆ το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στη σελίδα και με φορά προς τα έξω θα έχουμε ότι: π r m g m g sin( θ)kˆ m g cos θ τm kˆ (6) r mg m π g sin( θ) ( kˆ) m τm g cos θkˆ (7)
Από τις σχέσεις (5)-(7) λαμβάνουμε: τεξ g cos θ (m m ) (8) που σε συνδυασμό με τις σχέσεις () και (4) δίνει τελικά τη ζητούμενη σχέση: α γ gcos θ (m m ) (9) M ( m m ) 3 Σχόλιο Παρατηρείστε ότι αφού m -m > έχουμε α γ > που σημαίνει ότι η τραμπάλα περιστρέφεται δεξιόστροφα, όπως διαισθητικά αναμένουμε. Όταν m -m < (δηλαδή m >m ) τότε η φορά της περιστροφής αλλάζει. γ) Για να ισορροπήσει η τραμπάλα θα πρέπει α γ = που σημαίνει ισοδύναμα ότι τ εξ. Αυτή η τελευταία συνθήκη, μαζί με την F εξ, αποτελούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ισορροπία στερεού σώματος, όπως θα δείτε στο επόμενο κεφάλαιο. Από τη σχέση (9) διαπιστώνουμε ότι, όταν οι άνθρωποι κάθονται στα άκρα της τραμπάλας θα έχουμε α γ = μόνο αν m =m. Όμως, αφού στην περίπτωση μας m >m, θα πρέπει να γυρίσουμε πίσω στις σχέσεις των ροπών (6) και (7) και να δούμε πότε τ m τ m. Γενικά, για αποστάσεις r και r των μαζών m και m από το μέσο της τραμπάλας Ο έχουμε ότι: τm r m gcos θkˆ και τm r m g cos θkˆ Επομένως : τm m τ g cos θ (r m r m ) () που οδηγεί στη συνθήκη (για να ισχύει ότι τ τ ): m m r () m r m
Αφήνοντας τον άνθρωπο μικρότερης μάζας m στο άκρο της τραμπάλας (r =/) βρίσκουμε: r m m που σημαίνει ότι r /, αφού m /m <, επομένως ο βαρύτερος άνθρωπος θα πρέπει να μετακινηθεί προς το κέντρο. Άσκηση 4 Ομογενής ράβδος μήκους και μάζας Μ βρίσκεται σε οριζόντιο λείο επίπεδο και είναι αρχικά ακίνητη. Σφαίρα μάζας m κινείται πάνω στο ίδιο επίπεδο προς τα δεξιά με ταχύτητα υ και συγκρούεται με τη ράβδο στο ανώτερο άκρο της. Μετά την κρούση, που θεωρούμε ελαστική, η σφαίρα εξακολουθεί να κινείται στην ίδια διεύθυνση με ταχύτητα υ, το κέντρο της ράβδου κινείται με ταχύτητα V, ενώ ταυτόχρονα η ράβδος περιστρέφεται αριστερόστροφα με γωνιακή ταχύτητα ω. Με δεδομένα τα μεγέθη, M, m και υ, να υπολογισθούν τα μεγέθη υ, V και ω μετά την κρούση. m υ m υ Ο V ω Απάντηση
Θεωρούμε τη ράβδο και τη σφαίρα ως ένα σύστημα σωμάτων. Παρατηρούμε ότι η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων στο σύστημα είναι μηδέν και ότι η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων είναι επίσης μηδέν. Συνεπώς τα φυσικά μεγέθη ορμής, στροφορμής και μηχανικής ενέργειας του συστήματος παραμένουν σταθερά. Για σκεφθείτε αν.. μπορείτε να δικαιολογήσετε τα παραπάνω; γίνεται να έχουμε μηδενική συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων και μη μηδενική συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων; Δώστε παραδείγματα. Διατήρηση ορμής: p Α p τ mυ mυ MV () Διατήρηση στροφορμής: Όπως πάντα, αρχικά θα χρειαστεί να πάρουμε ένα σημείο αναφοράς που καλό θα ήταν να είναι σταθερό. Σαν τέτοιο θεωρούμε το κέντρο της ράβδου στην αρχική της θέση,. Ως προς το σημείο η αρχική τιμή της στροφορμής, A, είναι: Α r m υ r m υ sin φ( kˆ) m υ kˆ () Για τον υπολογισμό της σχέσης () χρησιμοποιήθηκαν τα εξής: kˆ : μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στη σελίδα με φορά προς τα έξω. r sin φ (B) από το τρίγωνο ΟΑΒ. στο A συνεισφέρει μόνο η σφαίρα μιας και η ράβδος είναι αρχικά ακίνητη. A r υ φ B Ο Στην τελική στροφορμή, τ, συνεισφέρουν τόσο η σφαίρα όσο και η ράβδος. Για τη σφαίρα έχουμε ότι:
m r m υ r m υ sin θ ( kˆ) m υ kˆ r θ υ αφού r sin θ / (βλ. παραπάνω) Για τη ράβδο η τελική στροφορμή είναι: R V Μ R MV I ω I ω( kˆ) Προσέξτε ότι η στροφορμή της ράβδου έχει όρους λόγω της μεταφορικής και της περιστροφικής της κίνησης. Απλά, στην παρούσα περίπτωση ο όρος της μεταφορικής κίνησης είναι, κάτι που δεν ισχύει γενικά! Τελικά, έχουμε ότι: τ (I ω m υ)( κˆ ) οπότε η αρχή διατήρησης της στροφορμής Α δίνει: Τ (3) m υ m υ Iω (4) Διατήρηση ενέργειας Εδώ έχουμε μόνο κινητική ενέργεια αφού οι κινήσεις των σωματιδίων του συστήματος γίνονται σε οριζόντιο επίπεδο. Αρχικά είναι : ΕΑ m υ (5) ενώ για την τελική ενέργεια έχουμε ότι: Ε τ m υ MV I ω (6) αφού η ράβδος έχει κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς και λόγω περιστροφής. Τελικά: m υ (7) m υ MV I ω
Οι σχέσεις (), (4) και (7) αποτελούν ένα (δυστυχώς) μη γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με 3 άγνωστους. Για όποιον ενδιαφέρεται η αναλυτική λύση υπάρχει παρακάτω. Από την επίλυση του συστήματος βρίσκουμε τις ποσότητες υ, V και ω. Προαιρετικά: Επίλυση συστήματος άσκησης (4) m υ m υ m υ Έχουμε τις παρακάτω εξισώσεις με αγνώστους τα υ, V και ω: mυ MV () m υ I ω () m υ ΜV I ω m υ m υ MV I (3) ω Από τη σχέση (): m(υ m(υ υ) υ) MV V (4) M και αντικαθιστώντας στη (): m(υ MV υ ) I ω MV Iω ω (5) I Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (4) και (5) στη σχέση (3) έχουμε: m υ m υ m (υ υ) M V mυ M I M 4 I m (υ υ υ υ) M m (υ υ m υ M 4 I M υ υ ) m m m m m υ m υ υ υ υ υ (υ υ υ υ ) M M M 4 I υ m m m υ (m ) υ ( M 4 I M m υ 4 I ) υ m m ( M 4 I m)
Από τις λύσεις του τριώνυμου λαμβάνουμε το υ και αντικαθιστώντας στη σχέση (4) υπολογίζουμε το V και κατόπιν από την (5) το ω. Άσκηση 5 Μελέτη κίνησης σβούρας Όσοι έχουν δοκιμάσει να περιστρέψουν μία σβούρα παρατηρούν ότι ενώ η σβούρα γυρίζει πολύ γρήγορα γύρω από τον άξονα συμμετρίας της, ταυτόχρονα ο ίδιος άξονας της σβούρας που σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο εκτελεί κυκλική κίνηση γύρω από την κατακόρυφο. Η κίνηση αυτή ονομάζεται κίνηση μετάπτωσης. Στόχος της άσκησης είναι ακριβώς η μελέτη της κίνησης μετάπτωσης. Απάντηση Ας ξεκινήσουμε απαντώντας αρχικά στο ερώτημα γιατί η σβούρα δεν πέφτει αμέσως παρότι ο άξονας της σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο. Είναι σίγουρο ότι η σβούρα θα έπεφτε αμέσως αν δεν περιστρεφόταν. Λόγω της περιστροφής της γύρω από τον άξονα της, η στροφορμή της σβούρας έχει σα διεύθυνση τον άξονα της συμμετρίας της. Συνεπώς, αν η σβούρα έπεφτε αμέσως (ακαριαία) θα έπρεπε να είχαμε μια τεράστια εξωτερική ροπή (μάλιστα σχεδόν άπειρη) λόγω του νόμου της δυναμικής τ d / dt, αφού dt=. Σχόλιο από την καθημερινή εμπειρία Σκεφθείτε ότι έχουμε παρόμοιο παράδειγμα και για τη μεταφορική κίνηση που είναι ο άνθρωπος πάνω σε ένα ποδήλατο. Ενώ γενικά είναι εύκολο να ισορροπούμε όταν προχωρούμε με κάποια ταχύτητα, δηλαδή όταν υπάρχει ορμή, είναι αρκετά δυσκολότερο να ισορροπήσουμε πάνω σε ένα ακίνητο ποδήλατο. Δηλαδή, το ότι όλοι μαθαίνουμε να ποδηλατούμε οφείλεται στην αρχή διατήρησης της ορμής! Για παράδειγμα, λόγω του δεύτερου νόμου της δυναμικής στη μορφή F dp / dt αν πέφταμε αμέσως από ένα κινούμενο ποδήλατο θα είχαμε ξαφνικά την εμφάνιση μιας πολύ μεγάλης εξωτερικής δύναμης, αφού για dp πεπερασμένο και dt έχουμε ότι F.
Ας δούμε τώρα από πλευράς φυσικής το πώς περιγράφουμε την κίνηση της σβούρας! Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, ο άξονας συμμετρίας της σβούρας σχηματίζει γωνία φ με τον κατακόρυφο άξονα z και, ταυτόχρονα, η σβούρα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από τον άξονα της. Οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στη σβούρα είναι το βάρος της, Mg, και η κάθετη αντίδραση από το οριζόντιο δάπεδο Ν στο σημείο επαφής σβούρας-εδάφους. Θεωρούμε ότι το σημείο επαφής παραμένει σταθερό κάτι το οποίο είναι πολύ δύσκολο να πετύχουμε στην πράξη. Ως προς το σημείο επαφής έχουμε ότι η συνολική ροπή είναι: Στ C Mg r M g sin φrˆ εξ () z ω Ν y C r φ Mg όπου rˆ το μοναδιαίο άνυσμα στη διεύθυνση του ορίζουν τα ανύσματα C και Στ εξ T εξ Mg. Συνεπώς, το διάνυσμα x που είναι κάθετο στο επίπεδο που τ βρίσκεται πάνω στο εξ οριζόντιο επίπεδο xy. Δεδομένου ότι I ω είναι φανερό ότι // C και επομένως το διάνυσμα της εξωτερικής ροπής είναι κάθετο στη στροφορμή. Δηλαδή από τη σχέση τ εξ d / dt συμπεραίνουμε ότι d // τεξ //(xy). Επομένως καταλήξαμε στο ότι d. Αυτό όμως σημαίνει ότι δεν αλλάζει το μέτρο της στροφορμής (που διατηρείται) παρά μόνο η διεύθυνση της! Παρατήρηση : Η κατάσταση αυτή μοιάζει με την ομαλή κυκλική κίνηση όπου το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό ενώ αλλάζει μόνο η διεύθυνση της. Εδώ τώρα η ορμή p mυ έχει εφαπτομενική διεύθυνση (αυτής της ταχύτητας) ενώ αφού F dp / dt και η μόνη δύναμη είναι η κεντρομόλος που είναι κάθετη στην ταχύτητα θα έχουμε ότι dp p.
Άρα αφού θα έχουμε ότι: z d φ dθ d το διάνυσμα της στροφορμής περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα, μάλιστα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μετάπτωσης ω μ διαγράφοντας κώνο με γωνία φ. d αφού d θα είναι sin dθ dθ () Από τις σχέσεις () και () λαμβάνουμε: d dθ dθ r M g sin φ r M g sin φ ωm (3) dt dt dt I ω τεξ Η παραπάνω σχέση (3) μας δίνει τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του άξονα της σβούρας γύρω από τον κατακόρυφο άξονα. Μάλιστα, η γωνιακή ταχύτητα ω Μ ονομάζεται συχνότητα μετάπτωσης. Παρατηρήσεις Στο δεξί μέλος της σχέσης (3) όλες οι ποσότητες που εμφανίζονται είναι σταθερές, δηλαδή και η συχνότητα μετάπτωσης είναι σταθερή. Στην πράξη όμως η σβούρα πέφτει τελικά διότι υπάρχουν δυνάμεις τριβής που έχουμε αγνοήσει στην ανάλυση μας. Για την εξαγωγή της σχέσης (3) αντικαταστήσαμε για τη στροφορμή της σβούρας την ποσότητα Ιω, θεωρήσαμε δηλαδή ότι =Ιω. Αυτή η συνθήκη ισχύει μόνο αν αγνοήσουμε τη συνεισφορά της κίνησης του κέντρου μάζας της σβούρας στη στροφορμή της. Η προσέγγιση αυτή έχει ισχύ μόνο αν ω Μ <<ω. Τώρα, παρατηρώντας
τη σχέση (3) διαπιστώνουμε ότι πράγματι για πολύ μεγάλα ω η τιμή της συχνότητας μετάπτωσης γίνεται πολύ μικρή. Η κίνηση μετάπτωσης βρίσκει πληθώρα εφαρμογών σε τομείς όπως η πυρηνική φυσική, η αεροδιαστημική και η ιατρική. Για παράδειγμα, το σύστημα πλοήγησης διαστημοπλοίων στηρίζεται σε γυροσκόπια που περιγράφονται από την ανάλυση της άσκησης. Στην πυρηνική φυσική, κάθε πυρήνας χαρακτηρίζεται από τη στροφορμή του και σε παρουσία εξωτερικού μαγνητικού πεδίου παρουσιάζει μοναδική συχνότητα μεταπτώσεως. Το φαινόμενο αυτό με τη σειρά του βρίσκει εφαρμογές σε σύγχρονες διαγνωστικές μεθόδους της πυρηνικής ιατρικής (π.χ. μαγνητική τομογραφία) και αποτελεί τη βάση της φασματοσκοπίας πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού (NMR).