ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα δείγµατα νερού συλλέγονται και βρίσκονται οι ακόλουθοι αριθµοί βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου: 7 75 9 98 5 85 84 7 93 96 8 Αν τα παραπάνω δεδοµένα ακολουθούν κανονική κατανοµή, να ελεγχθεί κατά πόσο υπάρχει επίπεδο ανησυχίας, σε επίπεδο σηµαντικότητας α =,5 Λύση: Επειδή µας ενδιαφέρει η περίπτωση οι συγκεντρώσεις των βακτηριδίων να µην είναι µεγαλύτερες από το ανώτατο επιτρεπτό όριο των 9 µονάδων θα εκτελέσουµε ένα µονόπλευρο έλεγχο µε µηδενική και εναλλακτική υπόθεση: Η ο : µ = 9 και Η α : µ > 9, αντίστοιχα. Το επίπεδο σηµαντικότητας είναι α =, 5. Επειδή το σ είναι άγνωστο θα χρησιµοποιήσουµε τον t- έλεγχο υποθέσης µέσης τιµής κανονικής κατανοµής (µε άγνωστη τυπική απόκλιση) (Κεφ. 5.). Η µέση τιµή των µετρήσεων είναι x = 9,97, ενώ η τυπική απόκλιση είναι s = 4.9. Η τιµή της x µ στατιστικής συνάρτησης t είναι t =. Εδώ, µ = 9 και n =, οπότε s n 9, 97 9 t = =,473 4, 5 Στη συνέχεια, βρίσκουµε την κρίσιµη τιµή για µονόπλευρο έλεγχο σε επίπεδο σηµαντικότητας 5% (δίπλευρο 5%-σηµείο της t-κατανοµής) για β.ε. =, που είναι,8. Εποµένως η κρίσιµη περιοχή (περιοχή απόρριψης της H o ) ορίζεται ως t >,8. Εδώ το t =,473 δεν ανήκει στην κρίσιµη περιοχή και εποµένως η H o γίνεται αποδεκτή, δηλαδή το νερό είναι προς το παρόν ασφαλές. 5. Σε µια τυχαιοποιηµένη κλινική δοκιµή διερευνήθηκε η αντικαταθλιπτική δράση ενός νέου φαρµάκου. Μετά την θεραπεία µε το νέο φάρµακο στην οµάδα Α ή µε «αδρανές» φάρµακο στην οµάδα Β το επίπεδο της κατάθλιψης 9 ασθενών όπως µετρήθηκε µε µια ειδική κλίµακα ήταν: Οµάδα Α 85 96 97 8 84 7 7 74 75 74 Οµάδα Β 83 8 73 86 8 79 8 8 76 Μπορεί να τεκµηριωθεί η αντικαταθλιπτική δράση του φαρµάκου; Λύση: εχόµαστε ότι οι µετρήσεις της αντικαταθλιπτικής δράσης ακολουθούν κανονική κατανοµή και στις δύο οµάδες µε κοινή διασπορά σ, δηλαδή Ν(µ, σ ) για την οµάδα Α και Ν(µ, σ ) για την οµάδα Β. Θα χρησιµοποιήσουµε τον t-έλεγχο (Κεφ. 5.5β) σύγκρισης µέσων τιµών δύο ανεξάρτητων πληθυσµών µε άγνωστες, αλλά ίσες τυπικές αποκλίσεις. Η µηδενική και εναλλακτική υπόθεση είναι: Η ο : µ = µ και Η α : µ µ, αντίστοιχα. Από τις µετρήσεις προκύπτει ότι οι µέσες τιµές και τυπικές αποκλίσεις των δύο οµάδων είναι: x = 8,9 και s = 9,678 για την Α, και x = 8, και s = 3,88 για την Β. Η εκτίµηση της κοινής τυπικής απόκλισης σ γίνεται από την εκτιµήτρια
s = ( n ) s ( n ) s n n = ( ) 9, 678 ( 9 ) 3, 88 9 = 7,5 Από τις παραπάνω τιµές υπολογίζουµε την τιµή της στατιστικής συνάρτησης t µε τον τύπο t = x x = s s n n 8, 9 8, 7, 5 7, 5 9 =,6 Η τιµή της t-κατανοµής µε n n - β.ε., εδώ (9- = 7) β.ε, και για επίπεδο σηµαντικότητας 5% βρίσκεται από τον Πίνακα ίση µε t 7,,5 =,. Άρα η περιοχή απόρριψης της Ηο ορίζεται ως t <-, ή t >,. Από την σύγκριση των τιµών της t προκύπτει ότι το,6 ανήκει στην περιοχή αποδοχής της Ηο άρα η Ηο δεν απορρίπτεται. ηλαδή, δεν υπάρχει στατιστικά σηµαντική διαφορά στην αντικαταθλιπτική δράση µεταξύ του νέου φαρµάκου και του «αδρανούς» φαρµάκου (placebo). 5.3 Σε ασθενείς µε αυξηµένη συστολική αρτηριακή πίεση (ΣΑΠ) χορηγήθηκε για µήνες καθιερωµένο αντιϋπερτασικό φάρµακο. Μετά από διακοπή 5 ηµερών χορηγήθηκε για µήνες (στους ίδιους ασθενείς) ένα νέο αντιϋπερτασικό φάρµακο. Οι µεταβολές της ΣΑΠ σε mmhg των ασθενών µετά την χορήγηση των δύο αυτών φαρµάκων ήταν: Ασθενής 3 4 5 6 7 8 9 Καθιερωµένο -35 33-8 - 6 - φάρµακο Νέο φάρµακο -8-7 6 6-5 - -8-8 - -9 Μπορεί να υποστηριχθεί ότι η αντιυπερτασική επίδραση του ενός φαρµάκου είναι καλύτερη από την επίδραση του άλλου; Λύση: Θα εφαρµόσουµε τον t-έλεγχο για για ζευγαρωτά δείγµατα (Κεφ. 5.3). Υπολογίζουµε τις διαφορές d = Ν-Κ (Nέο µείον Kαθιερωµένο) για όλα τα ζεύγη: Ασθενής 3 4 5 6 7 8 9 d = N-K - -7 4-5 -58 8-8 -6-7 Ο έλεγχος της H : µ N = µ K εναντίον της H A : µ N µ K είναι ισοδύναµος µε τον H : µ d = εναντίον H A : µ d, όπου µ d είναι η µέση τιµή των διαφορών d. Εποµένως ο κατάλληλος έλεγχος είναι ο t-έλεγχος για την µέση τιµή των διαφορών d. εχόµαστε ότι οι διαφορές d (των µετρήσεων της πίεσης µεταξύ των δύο φαρµάκων) ακολουθούν κανονική κατανοµή Ν(µ d, σ ). Η µέση τιµή και τυπική απόκλιση των διαφορών υπολογίστηκε σε d = -3. και s = 7,459, αντίστοιχα. Εποµένως το τυπικό σφάλµα των διαφορών είναι s/ n = 7,459/ = 8,68. d 3, Η τιµή της στατιστικής συνάρτησης t που προκύπτει είναι t = = =, 5. Η τιµή του s 8, 68 n t που ορίζει την κρίσιµη περιοχή απόρριψης της Ηο υπολογίζεται για επίπεδο σηµαντικότητας,5 και βαθµούς ελευθερίας - = 9. Η τιµή του t από τον πίνακα είναι,6, οπότε η κρίσιµη περιοχή ορίζεται ως t <,6 ή t >,6. Από την σύγκριση των τιµών προκύπτει ότι t = -,5 > -,6 άρα η Ηο είναι αποδεκτή, δηλαδή δεν υπάρχει στατιστικά σηµαντική διαφορά στην αντιϋπερτασική δράση των δύο φαρµάκων.
5.4 Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται τα αποτελέσµατα µια έρευνας σχετικής µε την διαµονή (τύπο κατοικίας) ενός τυχαίου δείγµατος νεαρών ανύπαντρων µητέρων και της ηλικίας τους. Η έρευνα αυτή έγινε το 99 σε µια µικρή πόλη στις δυτικές ΗΠΑ. Έφηβος (5-8 χρονών) Ενήλικη (9 5 χρονών) Οικογένεια Σύντροφος/ Φίλοι Μόνη 6 4 3 7 7 9 (α) Παρουσιάστε τα παραπάνω δεδοµένα σ ένα γράφηµα και δώστε προκαταρκτικά σχόλια. (β) Εφαρµόστε ένα κατάλληλο έλεγχο σηµαντικότητας της υπόθεσης ότι υπάρχει σχέση µεταξύ του τύπου κατοικίας και ηλικίας? Σε τι συµπέρασµα καταλήγετε; Λύση: (α) Ένα χρήσιµο γράφηµα είναι αυτό των ποσοστών των µητέρων ανα κατηγορία τύπου κατοικίας (διαµονής) για εφήβους και ενήλικες. Για παράδειγµα: το ποσοστό των εφήβων µητέρων που µένουν µε την οικογένεια τους είναι 6/3 = 69,57%, και παρόµοια για τις άλλες δύο κατηγορίες είναι 7,39% και 3,4%. Ένα απλό γράφηµα αυτών των ποσοστών (όπως φαίνεται παρακάτω) δίνει την προκαρκτική εντύπωση ότι το ποσοστό των εφήβων µητέρων που ζουν µε την οικογένεια τους είναι πολύ µεγαλύτερο από αυτό των ενήλικων µητέρων. Αντίστροφα, τα ποσοστά των ενήλικων µητέρων στις άλλες δύο κατηγορίες τύπου διαµονής είναι µεγαλύτερα από τα αντίστοιχα ποσοστά των εφήβων µητέρων..8.6.4. Εφηβος. Οικογένεια Σύντροφος/ Φίλοι Μόνη Ενήλικας (β) Για να ελέγξουµε αν υπάρχει σχέση µεταξύ τύπου κατοικίας και ηλικίας θα χρησιµοποιήσουµε ένα χ -έλεγχο για πίνακες συνάφειας (x3) (Κεφ. 5.7). Η µηδενική και ενναλακτική υπόθεση ορίζονται ως: Η ο : δεν υπάρχει καµία σχέση ανάµεσα στον τύπο κατοικίας και την ηλικία, και H α : πράγµατι υπάρχει σχέση. Οι παρατηρήσεις και οι αναµενόµενες συχνότητες (σε παρένθεση) που υπολογίζονται αν δεχθούµε την ανεξαρτησία των ενδεχοµένων (µηδενική υπόθεση) είναι: Οικογένεια Σύντροφος/ Μόνη Σύνολο Φίλοι Έφηβος 6 (,5) 4 (5,5) 3 (6) 3 (5-8 χρονών) Ενήλικη 7 (,5) 7 (5,5) 9 (6) 3 (9 5 χρονών) Σύνολο 3 46
Υπολογίζουµε το Χ = Σ(O-E) ( 6, 5) ( 4 5, 5) ( 9 6) /E =..., 5 5, 5 6,76,49,5 = 7,34 =,76,49,5 Η κρίσιµη περιοχή απόρριψης µε επίπεδο σηµαντικότητας α =,5 και βαθµούς ελευθερίας (r-)(c-) = (3-)(-) = είναι η περιοχή Χ > χ,,5 = 5,99. Από την σύγκριση, Χ = 7,34 > 5,99, προκύπτει ότι πρέπει να απορρίψουµε την Ηο. ηλαδή, υπάρχει στατιστικά σηµαντική συσχέτιση µεταξύ του τύπου κατοικίας και της ηλικίας νεαρών ανύπαντρων µητέρων. 5.5 Η µέση τιµή και τυπική απόκλιση (του πληθυσµού) της ουρίας στο αίµα είναι 3 mg/dl και mg/dl, αντίστοιχα. έκα άτοµα που ακολουθούν µια ειδική διατροφή έχουν τις ακόλουθες τιµές ουρίας: 46, 54, 6, 55, 6, 58, 6, 4, 59, 5. Η προφανής αυτή αύξηση των τιµών της ουρίας και ιδιαίτερα της µέσης τιµής οφείλεται στην ειδική διατροφή; Να ελεγχθεί η κατάλληλη υπόθεση για τη µέση τιµή µε επίπεδο α =5%, αν οι τιµές της ουρίας ακολουθούν κανονική κατανοµή. Λύση: Υποθέτουµε ότι οι τιµές της ουρίας στο αίµα ακολουθούν την κανονική κατανοµή Ν(3, ). Τότε η µέση τιµή του δείγµατος (από το ΚΟΘ) θα ακολουθεί την Ν(3, /). Η µηδενική και εναλλακτική υπόθεση ορίζονται ως: Η ο : µ = 3 και Η α : µ 3. Θα χρησιµοποιήσουµε τον z-έλεγχο (Κεφ. 5.) υποθέσεως µέσης τιµής κανονικής κατανοµής (µε γνωστή τυπική απόκλιση). Η µέση τιµή της ουρίας του δείγµατος είναι x =54,4. Η στατιστική συνάρτηση x µ z 54, 4 3 = = = σ n, 4 36, = 7,84 Η περιοχή απόρριψης µε επίπεδο σηµαντικότητας α =,5 ορίζεται από τις τιµές z >,96 ή z < -,96. Επειδή z =7,84 >,96 απορρίπτουµε την Η ο, δηλαδή δεχόµαστε ότι τα άτοµα µε αυτή την ειδική διατροφή έχουν διαφορετικό µέσο επιπεδο ουρίας στο αίµα. 5.6 Θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση ότι ο αριθµός των ακτινών γάµα που εκπέµπονται ανά δευτερόλεπτο από ορισµένη ραδιενεργό ουσία έχει κατανοµή Poisson. Σε 5 διαστήµατα τους ενός δευτερολέπτου έχουµε τα παρακάτω αποτελέσµατα. Χρησιµοποιήστε επίπεδο εµπιστοσύνης 5%. Αρ. Ακτινών γ/sec 3 4 5 6 7 8 9 Συχνότητες 3 5 6 38 3 6 4 6 Λύση: Για να ελέγξουµε εάν οι τιµές των παρατηρουµένων συχνοτήτων ακολουθούν την κατανοµή Poisson θα χρησιµοποιήσουµε τον χ -έλεγχο βαθµού-προσαρµογής (Κεφ. 5.8). Η αρχική και η εναλλακτική υπόθεση είναι Η ο : f(x) = fo(x)=e -λ λ x /x! και H α : f(x) f o (x), αντίστοιχα. Για να βρούµε τις αναµενόµενες συχνότητες θα πρέπει να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου λ της κατανοµής Poisson από παρατηρούµενες συχνότητες. Όπως ήδη γνωρίζουµε (Κεφ. 3Α) µια καλή εκτιµήτρια της λ είναι η µέση τιµή του δείγµατος (είναι ΕΜΠ, Κεφ. 4). Εδώ, x = (x3 x 7x 8 x 6)/5 = 9/5 = 3,648 Ο πίνακας παρατηρούµενων και αναµενόµενων συχνοτήτων δίνεται παρακάτω. Οι πιθανότητες των τιµών υπολογίστηκαν από την κατανοµή Poisson για λ = 3,648.
Αρ. ακτίνων γ/ ανά sec Παρατηρούµενες συχνότητες Πιθανότητες Po µε λ=3,648 3,6 6,5,95 3,75 5,73 43,3 3 6, 5,68 4 38,9 48,4 5 3,4 35,5 6 6,85,3 7 4,44, 8 6. 5,6 9.3 3,5 Αναµενόµενες Συχνότητες Όπως βλέπουµε η τελευταία κατηγορία έχει αναµενόµενη συχνότητα < 5. Η κατηγορία αυτή ενοποιείται µε την γειτονικής της, ώστε η νέα (ενοποιηµένη) κατηγορία (8) έχει ολική παρατηρηθείσα συχνότητα 6 και αναµενόµενη 8,. Υπολογίζουµε τώρα το άθροισµα Χ = Σ(O i -E i ) /E I ( 3 6, 5) ( 3, 75) ( 4, ) ( 6 8, ) =... 6, 5 3, 75, 8, = 9,538 Η περιοχή απόρριψης της Ηο ορίζεται από τις τιµές της χ για k--m = 9-- = 7 β.ε. και επίπεδο σηµαντικότητας,5. Η τιµή αυτή από τον Πίνακα 3 είναι 4,7. Άρα η περιοχή απόρριψης είναι οι τιµές Χ µεγαλύτερες από 4,7. Εδώ το Χ = 9,538 < 4,7, συνεπώς απδεχόµαστε ότι η Ηο ισχύει, δηλαδή δεχόµαστε την υπόθεση ότι ο αριθµός εκποµπής ακτίνων από ραδιενεργό ουσία ακολουθεί την κατανοµή Poisson. 5.7 Σε µια δοκιµή αντιϋπερτασικού φαρµάκου χορηγήθηκε σε 5 υπερτασικούς ασθενείς ένα νέο σκεύασµα, ενώ σε άλλους 5 χορηγήθηκε placebo. Μετρήθηκε η συστολική πίεση των ασθενών και βρέθηκε ότι στους 34 από τους 5 που έλαβαν το νέο φάρµακο η αντίδραση ήταν ευνοϊκή ενώ ή αντίστοιχη αντίδραση στο placebo ήταν 9 στους 5. Ελέγξτε την υπόθεση ότι το νέο φάρµακο έχει διαφορετική αποτελεσµατικότητα στους υπερτασικούς ασθενείς απ ότι το placebo. Λύση: Πρόκειται να συγκρίνουµε τις πιθανότητες p και p που αντιστοιχούν στην ευνοϊκή αντίδραση στο νέο φάρµακο και στο placebo αντίστοιχα. Οι υποθέσεις της έρευνας είναι Η ο : p = p = p και H α : p p Θα εφαρµόσουµε τον z-έλεγχο υπόθεσης για την διαφορά δύο ποσοστών (Κεφ. 5.6). Η εκτίµηση των πιθανοτήτων είναι p ˆ = X / n = 34/5 =,68 για το φάρµακο Α και p ˆ = Y / n = 9/5=,8 για το placebo. X Y Η εκτίµηση της κοινής πιθανότητας p δίνεται ως pˆ = = (349) / (55)=,43. H τυπική n n απόκλιση του pˆ δίνεται ως: p ˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) n n Η τιµή της στατιστικής συνάρτησης z δίνεται ως: =,99
pˆ pˆ z = = (,68-,8)/.99 = 5,5 pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) n n H περιοχή απόρριψης της Ηο για επίπεδο σηµαντικότητας.5 ορίζεται ως z <,96 ή z >,96. Από την σύγκριση της τιµής του z προκύπτει ότι 5,5 >,96, άρα η Ηο απορρίπτεται. ηλαδή το νέο φάρµακο παρουσιάζει στατιστικά σηµαντική διαφορά ευνοϊκής δράσης σε σχέση µε το placebo. 5.8 Μια νέα θεραπεία εφαρµόζεται σε άτοµα που έχουν καρκίνο στο παχύ έντερο, µε αποτέλεσµα 55 από αυτούς να επιζήσουν για 5 χρόνια. Με α = 5% να ελεγχθεί η πιθανότητα επιζήσεως 5 ετών να είναι µεγαλύτερη από 5%. Λύση: Θα εφαρµόσουµε τον z-έλεγχο υπόθεσης για το ποσοστό επιτυχιών πληθυσµού (Κεφ. 5.4). Η έκφραση της µηδενικής και εναλλακτικής υπόθεσης είναι: H o : p =,5 και Hα: p >.5, αντίστοιχα. Πρόκειται για ένα µονόπλευρο z-έλεγχο µε επίπεδο σηµαντικότητας α =.5. Η εκτίµηση του p είναι pˆ = 55/=,55 ενώ το τυπικό σφάλµα του pˆ είναι ΤΣ( pˆ ) = p ( p ), 5(, 5) = =,5 n 5 Η τιµή της στατιστικής συνάρτησης z που υπολογίζεται είναι (,55-,5)/,5 =. pˆ p z = = p ( p ) n Η κρίσιµη τιµή του z για µονόπλευρο έλεγχο και επίπεδο σηµαντικότητας,5 είναι,645. Οπότε η περιοχή απόρριψης ορίζεται ως z >,645. Από την σύγκριση των τιµών του z προκύπτει ότι <,645, άρα Ηο είναι αποδεκτή. ηλαδή η πιθανότητα επιζήσεως πάνω από 5 έτη δεν είναι µεγαλύτερη από 5%.